不同晶面應(yīng)變纖鋅礦GaN/AlN量子阱的價(jià)帶結(jié)構(gòu)理論研究

劉亞群，李希越，章國(guó)豪

（1.廣東工業(yè)大學(xué) 信息工程學(xué)院, 廣東 廣州 510006；2.廣東工業(yè)大學(xué) 集成電路學(xué)院, 廣東 廣州 510006）

纖鋅礦氮化鎵(GaN)及其異質(zhì)結(jié)構(gòu)由于具有眾多優(yōu)異的性能，如高導(dǎo)熱性、高擊穿場(chǎng)以及高電子遷移率等，在高功率電子器件與射頻電子學(xué)等領(lǐng)域中具有重要的應(yīng)用前景[1-2]。然而，GaN較大的空穴有效質(zhì)量導(dǎo)致了低空穴遷移率，阻礙了其在大功率轉(zhuǎn)換器及互補(bǔ)邏輯電路[3]上的廣泛應(yīng)用。對(duì)于電力電子學(xué)和射頻電路的新應(yīng)用領(lǐng)域，迫切需要一種與N通道GaN高電子遷移率晶體管對(duì)應(yīng)的P型晶體管，以形成寬帶隙互補(bǔ)金屬氧化物半導(dǎo)體。隨著GaN外延生長(zhǎng)技術(shù)的進(jìn)步，眾多研究機(jī)構(gòu)爭(zhēng)相對(duì)GaN異質(zhì)結(jié)制備技術(shù)開展研究，并通過理論建模探索GaN空穴輸運(yùn)性能的優(yōu)化方案[4-6]。

GaN的極化效應(yīng)極大地影響了其空穴的輸運(yùn)性能。通常的GaN外延及其異質(zhì)結(jié)構(gòu)是在(0001)晶面生長(zhǎng)的，即Ga極性面。由于較大的自發(fā)極化及應(yīng)變誘導(dǎo)產(chǎn)生的較大壓電極化，AlGaN/GaN異質(zhì)結(jié)構(gòu)界面處出現(xiàn)高密度的二維電子氣[7]。與之類似，在GaN/AlN界面上也會(huì)形成二維空穴氣[8]。這對(duì)于高功率器件和耗盡型器件的生產(chǎn)非常有意義，但對(duì)GaN異質(zhì)結(jié)光電器件產(chǎn)生了負(fù)面影響，同時(shí)GaN基增強(qiáng)型器件的制造有一定難度[9]。通過生長(zhǎng)非極性(1 01ˉ0)及半極性(1 01ˉ2)晶面，GaN可以避免極化效應(yīng)的影響。目前，已有文獻(xiàn)研究這兩類晶面材料的外延生長(zhǎng)及其性能[10-11]。盡管對(duì)晶面半導(dǎo)體有較多研究，但晶面對(duì)GaN基本物理性能的影響還需進(jìn)一步探究。

此外，研究表明應(yīng)力可以有效地改變能帶結(jié)構(gòu)，這為評(píng)估能帶色散以及有效質(zhì)量在應(yīng)力下的變化提供了一種簡(jiǎn)單且實(shí)用的方法。Poncé等[12]發(fā)現(xiàn)，在(0001)晶面上施加2%的雙軸拉伸應(yīng)變，可使自旋-分裂帶能量位于重空穴帶和輕空穴帶之上，使塊體GaN的空穴遷移率明顯增加。文獻(xiàn)[13-14]也研究了單軸應(yīng)力對(duì)GaN空穴有效質(zhì)量的影響。但上述建模工作主要針對(duì)在(0001)晶面的塊體GaN，有關(guān)GaN異質(zhì)結(jié)量子阱完整結(jié)構(gòu)模型仿真的文獻(xiàn)較少。

為了研究應(yīng)力對(duì)不同晶面GaN異質(zhì)結(jié)量子阱性質(zhì)的影響，本文基于六帶k·p方法和自洽薛定諤-泊松方程，并考慮極化效應(yīng)，研究了(0001)、(1 01ˉ2)與(1 01ˉ0)晶面的纖鋅礦GaN/AlN異質(zhì)結(jié)量子阱在應(yīng)力下的二維價(jià)帶子帶結(jié)構(gòu)，給出了空穴有效質(zhì)量在雙軸和單軸應(yīng)力下的變化關(guān)系，探討P型GaN工作性能的優(yōu)化方案。

1 理論模型

根據(jù)Chuang等[15]的報(bào)道，[0001]方向(c-軸)生長(zhǎng)的應(yīng)變纖鋅礦晶體包括自旋軌道相互作用的完整哈密頓量H可以表示為

其中矩陣元素為：

式中： Δ1對(duì)應(yīng)于晶體場(chǎng)分裂能量( Δcr)，Δ2和 Δ3解釋了自旋軌道分裂能( Δso)的相互作用；ki(i=x,y,z)表示波矢，Ai(i=1～6)上的價(jià)帶有效質(zhì)量參數(shù)，與閃鋅礦晶體中的Luttinger參數(shù)類似；Di(i=1～6)為Ai相應(yīng)位置上的纖鋅礦晶體的形變勢(shì)； ?ij(i,j=x,y,z)為應(yīng)變張量；? 為約化普朗克常數(shù)；m0為電子有效質(zhì)量。

為了探索沿非極性和半極性晶面生長(zhǎng)的纖鋅礦GaN的顯著特征，本文利用(0001)晶面的k·p哈密頓矩陣通過旋轉(zhuǎn)矩陣獲得了任意晶面的矩陣[16]。如圖1所示，歐拉角θ和φ的旋轉(zhuǎn)將物理量從z(對(duì)應(yīng)于c軸[0001])方向轉(zhuǎn)換為z′方向(對(duì)于任意[hkil]晶向)。在旋轉(zhuǎn)參考框架中，新的自旋基矢量為

圖1 本文中描述的坐標(biāo)系示意圖Fig.1 Schematic diagram of coordinate system described in this paper

旋轉(zhuǎn)矩陣為

由于GaN晶體具有六重對(duì)稱性，本文只考慮以下物理量的θ依賴性(即規(guī)定φ=0)[17]。從基態(tài)(x,y,z)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換為(x′,y′,z′)坐標(biāo)是通過旋轉(zhuǎn)角度θ來完成的。如圖2所示，非極性平面是垂直于c平面的晶體平面，極化矢量位于生長(zhǎng)平面。半極性平面與c平面以一定角度相交。在軸的旋轉(zhuǎn)下，向量的分量由式(5)給出：任意晶面的k·p哈密頓量可導(dǎo)出為

圖2 纖鋅礦晶體結(jié)構(gòu)中米勒-布拉維指數(shù)為(0001)、(1 01ˉ2)和(1 01ˉ0)的晶體生長(zhǎng)平面的完整示意圖Fig.2 The complete schematic diagram of the crystal growth plane in wurtzite crystal structure with Miller-Bravais indices of (0001) , (1 01ˉ2 ) and (1 01ˉ0)

其中U為變換矩陣[18]，上標(biāo)* 和T分別表示復(fù)共軛和轉(zhuǎn)置。

通常，由于晶格失配，GaN/AlN異質(zhì)結(jié)界面上將產(chǎn)生雙軸應(yīng)力。對(duì)于在[hkil]方向生長(zhǎng)的應(yīng)變纖鋅礦GaN晶體，應(yīng)變張量?ij與傾角θ相關(guān)[19]，如式(7)所示。

式中：cij是GaN層的彈性剛度常數(shù)，a和c是晶格常數(shù)，下標(biāo)s和e分別表示AlN層和GaN層。

本文假設(shè)當(dāng)考慮弛豫AlN上的GaN時(shí)，可以忽略AlN襯底，只使用應(yīng)力分量描述來自襯底的影響。由于GaN的晶格常數(shù)小于AlN，所以受到壓縮應(yīng)變的影響，此時(shí)，GaN層中同時(shí)存在本身固有的自發(fā)極化(Psp)和應(yīng)變誘導(dǎo)的壓電極化(Ppz)。參考文獻(xiàn)[20]，設(shè)置AlN厚度為400 nm，GaN層厚度為13 nm，如圖3所示，其中點(diǎn)線與界面的電流通道厚度假定為2 nm。生長(zhǎng)平面沿(x′,y′,z′)坐標(biāo)的極化P′可以根據(jù)(x,y,z)中的極化矢量P和傾角θ計(jì)算得出[21]，計(jì)算公式為沿(x,y,z)坐標(biāo)的應(yīng)變誘導(dǎo)的極化分量Px，Py和Pz的計(jì)算公式為

圖3 GaN/AlN量子阱示意圖Fig.3 The schematic of the GaN/AlN quamtum well

dij是GaN層的壓電常數(shù)。本文中，只考慮平行于量化方向的壓電極化分量。對(duì)于量子阱內(nèi)場(chǎng)(Ez)的計(jì)算，可以根據(jù)高斯定律確定[22]。

式中：ε是GaN層的相對(duì)介電常數(shù)，ε0是真空的介電常數(shù)。

采用文獻(xiàn)[23]中的方法來計(jì)算價(jià)帶子帶結(jié)構(gòu)，即基于六帶k·p包絡(luò)函數(shù)理論自洽求解薛定諤-泊松方程。計(jì)算了Γ點(diǎn)附近的約束帶結(jié)構(gòu)，即k＜ 0.3(2π/a)，其中a為晶格常數(shù)。在這里，以(0001)極性晶面為例做簡(jiǎn)要介紹。(0001)輸運(yùn)面上的垂直場(chǎng)產(chǎn)生的量子阱，kz方向被量子化，其可被視為一個(gè)算子 (?/i)(?/?z)，需求解的薛定諤方程為

式中：H(kp，kz) 是價(jià)帶極值附近的k·p哈密頓量，I是6×6單位矩陣，ψ(z) 是與特征值E(kp) 對(duì)應(yīng)的六維包絡(luò)函數(shù)，kp是二維平面內(nèi)分量(kx，ky) ，U(z) 為局域密度近似下內(nèi)場(chǎng)影響下的空穴勢(shì)能Vp(z) 和交換相關(guān)勢(shì)Vxc(z) 之和[24]。利用有限差分法對(duì)薛定諤方程和泊松方程進(jìn)行數(shù)值求解。然后將方程式(11) 離散在一個(gè)具有Nz節(jié)點(diǎn)的z方向網(wǎng)格上，并轉(zhuǎn)化為三對(duì)角塊形式的6Nz×6Nz特征值問題。本文中計(jì)算GaN/AlN量子阱使用的關(guān)鍵參數(shù)如表1所示。

表1 計(jì)算中GaN的關(guān)鍵參數(shù)[25-27]Table 1 Key parameters of GaN in calculation[25-27]

2 結(jié)果與討論

圖4顯示了應(yīng)變張量分量、極化強(qiáng)度和極化場(chǎng)與傾角θ的關(guān)系。相應(yīng)的極性和非極性晶面分別為θ=0°(沿c軸或[0001]方向生長(zhǎng))和θ=90°(沿[1 01ˉ0]方向生長(zhǎng))。考慮到纖鋅礦GaN的六重對(duì)稱性，只計(jì)算了θ=0°和θ=90°之間的角。在圖4(a)中，通常應(yīng)變的符號(hào)對(duì)于拉伸應(yīng)力為正，對(duì)于壓縮應(yīng)力為負(fù)。觀察到應(yīng)變分量 ?yy是常數(shù)，應(yīng)變分量?xx和 ?zz分別在θ=0°和θ=90°處出現(xiàn)最大值，且在大多數(shù)區(qū)域其符號(hào)相反。此外，(0001)和(1 01ˉ0) 晶面的分量?xz為零，這意味著極性晶面的應(yīng)變是各向同性的。

圖4 (a) 應(yīng)變張量元素及 (b) 極化效應(yīng) (左) 和極化場(chǎng) (右) 在壓縮應(yīng)變GaN/AlN生長(zhǎng)方向上與角θ的關(guān)系Fig.4 (a) Strain tensor elements and (b) polarization effect (the left) and polarization field (the right) with respect to the growth plane as a function of crystal angel θ for compressively strained GaN/AlN

根據(jù)式(8)至式(10)，可以計(jì)算得到沿生長(zhǎng)方向z′的極化強(qiáng)度和極化場(chǎng)。圖4(b)顯示了沿生長(zhǎng)平面的應(yīng)變誘導(dǎo)極化分量的結(jié)果，該結(jié)果取決于傾角θ，并對(duì)應(yīng)于極化場(chǎng)，證明了GaN/AlN量子阱的總極化響應(yīng)與晶體的對(duì)稱性有關(guān)。由于在非極性(1 01ˉ0)晶面情況下，極化與生長(zhǎng)方向垂直，不存在晶體對(duì)稱性，Psp和Ppz為0，因此在該晶面上的極化場(chǎng)為0。在θ=0°處存在較大的壓縮應(yīng)變，使其P′z值出現(xiàn)最大值，因此在極性晶面纖鋅礦GaN/AlN量子阱中產(chǎn)生強(qiáng)極化場(chǎng)。其中的插圖顯示了極化場(chǎng)在θ=81°附近為零，即Psp和Ppz在異質(zhì)結(jié)中相互抵消。在θ=81°處和Ez′符號(hào)發(fā)生變化，其與應(yīng)變條件有關(guān)。在極性晶面的情況下，Psp和Ppz產(chǎn)生的影響嚴(yán)格相加，在半極性異質(zhì)結(jié)構(gòu)中，加性效應(yīng)則顯著降低。

根據(jù)上述應(yīng)變張量和極化效應(yīng)對(duì)θ的依賴關(guān)系，計(jì)算了任意應(yīng)力下GaN/AlN量子阱(0001)、(1 01ˉ2)和(1 01ˉ0)晶面的價(jià)帶子帶結(jié)構(gòu)。本文研究了雙軸應(yīng)力和單軸應(yīng)力下的應(yīng)變效應(yīng)。雙軸應(yīng)力不會(huì)破壞晶體對(duì)稱性，只改變能級(jí)而不提升能帶簡(jiǎn)并。然而，單軸應(yīng)力產(chǎn)生的剪切應(yīng)力對(duì)工藝制備來說很重要，因?yàn)樗档土司w對(duì)稱性，導(dǎo)致簡(jiǎn)并提升和能帶翹曲，且單軸應(yīng)力可以產(chǎn)生強(qiáng)烈的各向異性能面。由于沿z′方向的場(chǎng)約束對(duì)x′-y′平面內(nèi)的能量色散沒有顯著影響，因此可以討論應(yīng)變下的平面內(nèi)能量色散。

接下來，本文研究了雙軸和單軸應(yīng)力對(duì)價(jià)帶子帶二維等能圖的影響。不同晶面的生長(zhǎng)平面在文中用“平面內(nèi)”表示，“平面外”是指在平面內(nèi)之外。子帶的二維等能圖則是在平面內(nèi)被描述。圖5顯示了在無應(yīng)力下不同晶面GaN/AlN量子阱的最低能量子帶的二維等能圖。最低能量子帶主導(dǎo)了頂部?jī)r(jià)帶的性質(zhì)，因?yàn)榇蠖鄶?shù)空穴傾向于占據(jù)能量較低的價(jià)帶。這里，k′x和k′y是(x′,y′,z′)坐標(biāo)系中的平面波矢量，粗黑色箭頭表示溝道方向(適用于本文所有二維等能圖)。不同晶面的價(jià)帶結(jié)構(gòu)顯示出有趣的特征：其形狀強(qiáng)烈依賴于晶體生長(zhǎng)方向，在(0001)晶面GaN/AlN量子阱的情況下，它是完全各向同性的。然而，半極性和非極性晶面在量子阱平面上表現(xiàn)出各向異性，而非極性晶面的各向異性更強(qiáng)。(1 01ˉ2 ) 和(1 01ˉ0)晶面的能量模式顯示出二重對(duì)稱性。具體而言，A、C區(qū)域(垂直于溝道方向)沿通道方向的曲率大于B、D區(qū)域(溝道方向)。因此，位于A、C上的空穴的有效質(zhì)量比位于B、D上的小。在應(yīng)力作用下，能量可以上下移動(dòng)。因此，預(yù)計(jì)價(jià)帶子帶結(jié)構(gòu)與空穴有效質(zhì)量會(huì)受到單軸應(yīng)力與晶體晶面的影響。

圖5 無應(yīng)力作用下不同晶面GaN/AlN量子阱的最低能量子帶等能線Fig.5 Iso-energy contours of the lowest energy subband without stress with different crystal orientations for GaN/AlN quantum well

在晶體主坐標(biāo)系中的平面內(nèi)單軸應(yīng)力由雙軸壓縮分量(sxx和syy)和剪切項(xiàng)(sxy)組成[28]，如圖6所示。為了方便比較，圖7顯示了雙軸拉伸應(yīng)力(sxx=syy=8 GPa)、無應(yīng)力情況和雙軸壓縮應(yīng)力(sxx=syy=-8 GPa)的不同晶面GaN/AlN量子阱的二維子帶結(jié)構(gòu)，分別由黑色虛線、灰色虛線和紫色實(shí)心等能線表示。可以看出，雙軸應(yīng)力幾乎不影響(0001)晶面的價(jià)帶結(jié)構(gòu)。隨著θ角的增大，等能線的變化更加明顯。在圖7(c)中，雙軸拉伸應(yīng)力使其最內(nèi)層的等能線類似于圓形，而不是原來的六邊形，其原因在于此時(shí)類輕空穴子帶比類重空穴子帶更接近Γ點(diǎn)。圖8顯示了在雙軸拉伸和壓縮下(0001)、(1 01ˉ2 ) 和(1 01ˉ0)晶面的最低子帶能量。能量隨應(yīng)力上下移動(dòng)，在拉應(yīng)力下增加，在壓應(yīng)力下減少。這與已報(bào)道結(jié)果一致[29-30]。此外，它還揭示了雙軸壓縮降低了平面內(nèi)區(qū)域的能量，將空穴從平面外區(qū)域移動(dòng)到平面內(nèi)區(qū)域。相反，雙軸張力降低了平面外區(qū)域的能量。

圖6 單軸應(yīng)力在傳輸平面上的等效效應(yīng)Fig.6 The equivalent effect of uniaxial stress on the transport plane

圖7 8 GPa雙軸應(yīng)力作用于不同晶面GaN/AlN量子阱的最低能量子帶間隔為100 meV的等能線Fig.7 Iso-energy contours separated by 100 meV for the lowest energy subband with the different crystal orientations under 8 GPa biaxial stress for GaN/AlN quantum well

圖8 在不同應(yīng)力配置下不同晶面GaN/AlN量子阱在 kx (或 k′x)方向的最低子帶能量的比較Fig.8 Comparison of the lowest subband energies of different crystal orientations along kx (or k ′x) direction under different stress configurations for GaN/AlN quantum well

單軸應(yīng)力與雙軸應(yīng)力不同，z軸方向?qū)ΨQ性不再是C4v而是C2v，導(dǎo)致晶體對(duì)稱性被嚴(yán)重破壞，影響了價(jià)帶子帶結(jié)構(gòu)。在實(shí)驗(yàn)過程中可以采用四點(diǎn)彎曲試驗(yàn)設(shè)備施加單軸應(yīng)力于輸運(yùn)面上[28]。圖9顯示了不同晶面GaN/AlN量子阱在沿溝道方向(即圖中箭頭方向)的8 GPa單軸拉伸應(yīng)力(sxx=syy=sxy=4 GPa)和單軸壓縮應(yīng)力(sxx=syy=sxy=-4 GPa)作用下的二維等能圖，其中明確顯示了等能線最內(nèi)部的形狀近似于一個(gè)橢圓。圖10顯示了在不同應(yīng)力配置下，(0001)、(1 01ˉ2)和(1 01ˉ0)晶面的結(jié)構(gòu)沿溝道方向和垂直于溝道的最低能量子帶能級(jí)。最低能級(jí)在沿A方向的單軸壓縮應(yīng)力下，導(dǎo)致A和C區(qū)域成為空穴有效質(zhì)量減少的主要區(qū)域。在單軸拉伸應(yīng)力下，空穴從輕空穴有效質(zhì)量區(qū)域(A和C)重新填充到重空穴有效質(zhì)量區(qū)域(B和D)。但對(duì)于單軸壓縮應(yīng)力，其顯示出相反情況。單軸應(yīng)力有助于打破子帶結(jié)構(gòu)對(duì)稱性，改變載流子的分布并減少有效質(zhì)量。根據(jù)上述結(jié)果，最有效的應(yīng)力配置是沿溝道方向的單軸壓縮應(yīng)力，所得結(jié)果符合文獻(xiàn)報(bào)道的結(jié)果[12,31-32]。

圖9 在8 GPa單軸拉伸(上圖)和壓縮(下圖)應(yīng)力作用下不同晶面GaN/AlN量子阱中能量間隔為100 meV的最低能量子帶的等能線Fig.9 Iso-energy contours separated by 100 meV for the lowest energy subband with the different crystal orientations under 8 GPa uniaxial tension (top) and compression (below) for GaN/AlN quantum well

圖10 不同應(yīng)力配置下不同晶面GaN/AlN量子阱沿溝道方向(B方向)和垂直于溝道(A方向)最低子帶能量的比較Fig.10 Comparison of the lowest subband energies of different crystal orientations along the channel direction (B direction) and perpendicular to the channel direction (A direction) under different stress configurations for GaN/AlN quantum well

為了量化有效質(zhì)量的變化，本文基于子帶結(jié)構(gòu)的二維等能圖對(duì)E-k關(guān)系求二階導(dǎo)數(shù)，得到的結(jié)果列于表2中。無應(yīng)力作用下(0001)晶面GaN/AlN量子阱的輸運(yùn)空穴有效質(zhì)量比(1 01ˉ2) 和(1 01ˉ0)情況下的大得多。正如預(yù)期的那樣，與其他應(yīng)力配置相比，沿溝道方向的8 GPa單軸壓縮應(yīng)力可以顯著降低不同晶面GaN/AlN量子阱的空穴有效質(zhì)量，且比無應(yīng)力情況下減少了約90%。

表2 不同晶面纖鋅礦GaN/AlN量子阱在不同應(yīng)力配置下沿溝道方向的空穴有效質(zhì)量Table 2 Hole effective mass along the channel direction of wurtzite GaN/AlN quantum well with the different crystal orientations under different stress configurations

3 結(jié)論

本文利用一種綜合模型研究了不同晶面纖鋅礦GaN/AlN量子阱在雙軸和單軸應(yīng)力作用下的價(jià)子帶結(jié)構(gòu)。該模型基于k·p方法和自洽薛定諤-泊松方程，并且通過對(duì)(0001)晶面的k·p哈密頓矩陣進(jìn)行旋轉(zhuǎn)推導(dǎo)出半極性(1 01ˉ2 ) 及非極性(1 01ˉ0)晶面的矩陣。分析了雙軸應(yīng)力和單軸應(yīng)力作用下的價(jià)帶子帶結(jié)構(gòu)。此外，給出了GaN/AlN量子阱生長(zhǎng)方向z′和c軸之間的傾角θ與應(yīng)變和極化效應(yīng)的關(guān)系。結(jié)果表明，在無應(yīng)力作用下，半極性和非極性晶面的價(jià)帶子帶結(jié)構(gòu)表現(xiàn)出各向異性，非極性晶面的子帶等能線更加彎曲。雙軸應(yīng)力對(duì)極性晶面結(jié)構(gòu)的有效質(zhì)量的改善并不明顯。然而單軸應(yīng)力有利于打破晶體對(duì)稱性，改變載流子的分布，降低空穴有效質(zhì)量。其中，單軸壓縮應(yīng)力是降低空穴有效質(zhì)量最有效的應(yīng)力類型，且在不同晶面的結(jié)構(gòu)中都減少了約90%。該研究結(jié)果為應(yīng)變GaN材料及其器件的研究和設(shè)計(jì)提供理論指導(dǎo)和實(shí)驗(yàn)依據(jù)。