基于遺傳算法的脫模機(jī)轉(zhuǎn)動系統(tǒng)最優(yōu)控制器設(shè)計

熊澳，王琦

（武漢工程大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，湖北 武漢 430000）

混凝土作為現(xiàn)代最主要的建筑原材料，其強(qiáng)度對整個建筑工程的結(jié)構(gòu)安全有重要影響，對建筑工程的質(zhì)量也有很大影響，因此擁有相當(dāng)嚴(yán)格的技術(shù)標(biāo)準(zhǔn)。建筑工程中，施工單位主要是通過混凝土試塊檢測方式來檢測混凝土的強(qiáng)度，以確定混凝土配料是否符合施工的設(shè)計標(biāo)準(zhǔn)[1]?；炷猎噳K的制作包括振動、抹平、脫模、養(yǎng)護(hù)等工作步驟。現(xiàn)階段，混凝土脫模全過程基本都是由工人完成，隨著不同標(biāo)號不同類型的混凝土種類越來越多，試件制作的工作量逐步加大，脫模工作量也變得很大，耗費(fèi)較多人力，故需要研制混凝土自動脫模機(jī)來實現(xiàn)混凝土脫模的自動化。混凝土試塊脫模機(jī)是一種專注于混凝土試塊快速脫模的新型自動化設(shè)備[2]。根據(jù)課題，每次脫模，混凝土試塊不少于5 組，每組3 個混凝土試塊，該設(shè)備采用電推桿、微頂氣壓和可拆卸模具等裝置進(jìn)行輔助脫模，能夠?qū)崿F(xiàn)快速同步脫模，擁有操作方法簡單方便、脫?？旖莸葍?yōu)點，能夠有效減少混凝土試塊在脫模過程中發(fā)生的碰撞，極大減少了試塊的不良率。模型如圖1 所示。

圖1 混凝土試塊脫模機(jī)三維模型圖

轉(zhuǎn)動裝置是混凝土試塊脫模機(jī)的關(guān)鍵組成部分。為實現(xiàn)脫模機(jī)轉(zhuǎn)動系統(tǒng)的角度控制，采用直流伺服電機(jī)作為驅(qū)動裝置，傳動軸為連接件，外框架為被控制對象。

隨著電子技術(shù)的發(fā)展，直流電機(jī)的成本大大降低[3]。同時，直流電機(jī)還具有比較簡單的控制理論。目前，直流電機(jī)角度跟蹤控制已成為一項應(yīng)用性很強(qiáng)的技術(shù)，因低成本、易攜帶、使用壽命長等特性受到歡迎[4]。但由于受精度建模等限制，所以存在魯棒性不能令人滿意等一系列問題[5]。為實現(xiàn)對伺服電機(jī)的高精準(zhǔn)度、高靈敏度控制，許多學(xué)者通過現(xiàn)代控制理論，提出一系列線性或非線性的控制方法，如模糊PID 控制[6-7]、極點配置法[8]、最優(yōu)控制[9-11]、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制[12-13]、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)PID 控制[14-15]等。其中最優(yōu)控制的理論研究基礎(chǔ)完善，實際控制性能強(qiáng)。如何設(shè)計出最優(yōu)控制律主要取決于其加權(quán)矩陣Q、R的參數(shù)，但“最優(yōu)”的加權(quán)矩陣系數(shù)往往通過設(shè)計者的經(jīng)驗工程和試湊法確定，而這樣的控制器通常計算效能較差，也就無法獲得最佳的動態(tài)性能指標(biāo)。

本文以脫模機(jī)轉(zhuǎn)動系統(tǒng)為研究對象，設(shè)計出一款基于最優(yōu)控制的控制器，并利用遺傳算法進(jìn)行優(yōu)化，即提高了設(shè)計效率，又保證了控制器的控制性能[16-19]。通過仿真結(jié)構(gòu)驗證了經(jīng)過遺傳算法尋優(yōu)得到加權(quán)系數(shù)的控制器優(yōu)于經(jīng)驗法求得的控制器。

脫模機(jī)轉(zhuǎn)動控制主要是以直流伺服電機(jī)作為執(zhí)行機(jī)構(gòu)，通過直流伺服電機(jī)連接傳動軸驅(qū)動外框架來實現(xiàn)角度控制的目的。直流伺服電機(jī)的驅(qū)動是依靠電路兩端的電壓，再采用傳動軸連接脫模機(jī)外框架，實現(xiàn)外框架的角度跟蹤控制[20]。其系統(tǒng)原理如圖2 所示。

圖2 傳動系統(tǒng)角度控制模型圖

1 脫模機(jī)轉(zhuǎn)動模型建立

1.1 動力學(xué)和電學(xué)方程

整個系統(tǒng)在運(yùn)動過程中，根據(jù)基爾霍夫電壓定律和牛頓第二定律，得到滿足的動力學(xué)方程和電學(xué)方程。

電樞回路電壓平衡與反電動勢方程為：

式中：E為電機(jī)反電動勢；I為電樞電流；t為時間；Ke為電機(jī)反電動勢系數(shù)；θ為角度。

電磁轉(zhuǎn)矩方程為：

式中：Ki為電機(jī)力矩系數(shù)，N·m/A。

當(dāng)電樞通過電流時會產(chǎn)生一個力矩，該力矩可用于維持負(fù)載和克服摩擦力等。根據(jù)牛頓第二定律，可以得到負(fù)載平衡方程式為：

式中：TL為負(fù)載轉(zhuǎn)矩；Jm為電機(jī)轉(zhuǎn)動慣量；ωL為負(fù)載角速度；Bm為負(fù)載粘性摩擦系數(shù)。

當(dāng)TL＝0 時，由式（3）（4）可得：

化簡式（1）（2），可得：

1.2 電機(jī)的傳遞函數(shù)

對式（5）（6）進(jìn)行拉普拉斯變換，得：

式中：Ke為電機(jī)反電動勢系數(shù)。

消去中間變量I( )s，得到電機(jī)電壓到角位置的傳遞函數(shù)為：

本實驗采用AKM41H 型直流伺服電機(jī)模型，參數(shù)：Ra＝1.2 Ω，La＝1×10-3mH，Ki＝0.5 N·m/A，Ke＝0.029 V·s/rad，J＝0.01 kg·cm2。

代入式（9）可得電機(jī)角度的傳遞函數(shù)為：

1.3 脫模機(jī)轉(zhuǎn)動系統(tǒng)模型建立

本文以脫模機(jī)轉(zhuǎn)動模型為研究對象，主要是依靠電機(jī)進(jìn)行負(fù)載，其力學(xué)模型如圖2 所示，根據(jù)上述電壓平衡方程，可得力學(xué)微分方程為：

式中：bm為電機(jī)的粘性摩擦系數(shù)。

式（11）可簡化為：

式中：ω為電機(jī)的角速度。

所以針對脫模機(jī)轉(zhuǎn)動過程運(yùn)動模型，建立狀態(tài)空間模型為：

式中：y(t)為系統(tǒng)的優(yōu)化輸出向量。

根據(jù)前文參數(shù)，輸入脫模機(jī)轉(zhuǎn)動系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型為：

2 控制系統(tǒng)的分析

2.1 系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析

根據(jù)定常系統(tǒng)的勞斯判定依據(jù)，若系統(tǒng)的特征根全部為實數(shù)，則系統(tǒng)穩(wěn)定，反之，若系統(tǒng)的特征根有一個或多個具有負(fù)實部，則系統(tǒng)不穩(wěn)定[21]。求得矩陣A的特征根為0、-1.2096、-1198.8，有一個為0，所以根據(jù)上述理論，該系統(tǒng)處于不穩(wěn)定狀態(tài)。

2.2 系統(tǒng)的可觀性和可控性

根據(jù)最優(yōu)控制理論，對于式（14），若矩陣[A,B]完全可控、[A,C]完全可觀，則存在狀態(tài)反饋增益矩陣K。根據(jù)系統(tǒng)的可觀性和可控性的秩判據(jù)計算為：

當(dāng)rank(C)＝n時，系統(tǒng)可觀。

當(dāng)rank(M)＝n時，系統(tǒng)可控。

在MATLAB 中求得，rank(C)＝2＝n、rank(M)＝2＝n。因此，系統(tǒng)完全可觀且可控。

3 LQR 控制器的設(shè)計與仿真

3.1 線性二次型控制算法

LQR（Linear Quadratic Regulator，線性二次型調(diào)節(jié)器）采用線性二次型控制，其是一種常見的控制器設(shè)計方法，適用于連續(xù)或離散時間系統(tǒng)[22-23]。通過線性二次型控制實現(xiàn)系統(tǒng)穩(wěn)定性，由上述模型建立出的線性系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式為：

式中：x(t) 為系統(tǒng)狀態(tài)變量；u(t) 為系統(tǒng)輸入。

根據(jù)脫模轉(zhuǎn)動過程的需求，計算出系統(tǒng)法最優(yōu)狀態(tài)反饋增益矩陣K，求得最優(yōu)控制律u*(t)，使系統(tǒng)的優(yōu)化輸出y(t)跟隨期望輸出yr(t)，并使下列性能指標(biāo)極?。?/p>

式中：Q為權(quán)重矩陣，是一個3×3 維正定對角矩陣，其中對角線上的每一個元素分別為系統(tǒng)電流、角速度和角度誤差的權(quán)重系數(shù)；R為權(quán)重系數(shù)，是系統(tǒng)控制輸入的調(diào)節(jié)系數(shù)，是一個正實數(shù)變量；e(t) 為系統(tǒng)的輸出誤差向量。

式（16）表示：通過使用Q和R進(jìn)行優(yōu)化，可以同時控制脫模機(jī)轉(zhuǎn)動過程中的電流、角速度和角度，從而實現(xiàn)轉(zhuǎn)動過程的穩(wěn)定性控制。

2.2 節(jié)已證明該系統(tǒng)的可觀性和可控性，現(xiàn)擬設(shè)計最優(yōu)控制律u*(t) 為：

式中：P為滿足代數(shù)黎卡提矩陣方程的唯一正定對稱解。

黎卡提方程為：

本系統(tǒng)中y(t)=x3(t)，則在該系統(tǒng)中應(yīng)采用以下狀態(tài)反饋控制方案：

式中：r為參考輸入；1x為電流輸入；x2為角速度輸入；3x為角度輸入。

3.2 線性二次型控制仿真

在本文中通過試湊法選取加權(quán)矩陣為：

所以：

式中：Q11為電機(jī)電流的權(quán)重；Q22為電機(jī)角速度的權(quán)重；Q33為電機(jī)角位置的權(quán)重。

在MATLAB 中最優(yōu)增益反饋矩陣K由函數(shù)K＝lqr[A,B,Q,R]實現(xiàn)，得到K＝[0.008,0.1927,1]，運(yùn)行后得到仿真圖如圖3 所示。

圖3 轉(zhuǎn)動系統(tǒng)的線性二次型控制仿真

4 基于遺傳算法的LQR 控制器設(shè)計與仿真

4.1 遺傳算法

遺傳算法是一種全局搜索算法，主要通過模仿自然界物種的優(yōu)勝劣汰機(jī)制演化而來。它將待優(yōu)化的參數(shù)進(jìn)行編碼作為染色體，通過自適應(yīng)度函數(shù)對染色體進(jìn)行比較、選擇、交叉和變異，實現(xiàn)篩選個體，以保留優(yōu)秀個體、淘汰不良個體，最終達(dá)到符合目標(biāo)條件的全局最優(yōu)解。本節(jié)主要使用遺傳算法對線性二次型控制中的加權(quán)矩陣Q和R的參數(shù)進(jìn)行智能尋優(yōu)，將線性二次型的最小性能指標(biāo)轉(zhuǎn)換為適應(yīng)度函數(shù)，以滿足控制仿真結(jié)果的“最優(yōu)”。

4.2 遺傳算法確定參數(shù)的過程。

（1）確定變量空間。確定加權(quán)矩陣的四個參數(shù)和取值范圍，本文設(shè)置加權(quán)矩陣Q的取值范圍為[1,100]，R的取值范圍為[1,10]。

（2）編碼和解碼。將4 個變量分別以長度為十的二進(jìn)制字符串表示，將這些字符串組成長字符串。

（3）確定目標(biāo)函數(shù)。為獲取滿意的動態(tài)特性指標(biāo)，采用線性二次型控制算法的性能指標(biāo)作為系統(tǒng)的最小目標(biāo)函數(shù)，所以目標(biāo)函數(shù)為：

（4）確定適應(yīng)度函數(shù)。將誤差信號e(t) 和控制量u(t) 作為系統(tǒng)的約束條件，控制系統(tǒng)的動態(tài)性能指標(biāo)主要取決于這兩個條件構(gòu)成的目標(biāo)函數(shù)值，其目標(biāo)函數(shù)值越小，控制系統(tǒng)的控制效果越好。所以在遺傳算法中將目標(biāo)函數(shù)f(x) 的倒數(shù)作為適應(yīng)度函數(shù)J。

（5）確定遺傳算法的運(yùn)行參數(shù)非常重要。在確定參數(shù)時，需要根據(jù)實際情況來選擇種群大小、遺傳代數(shù)、交叉概率和精英成員等。本文通過目標(biāo)函數(shù)的計算，確定了迭代到20 次后，遺傳算法的結(jié)果不再發(fā)生變化。經(jīng)過研究，發(fā)現(xiàn)種群越大，尋優(yōu)的可能性越大。因此，在確定參數(shù)時需要權(quán)衡計算效率和結(jié)果的準(zhǔn)確性，選擇適當(dāng)?shù)膮?shù)以達(dá)到最優(yōu)結(jié)果。

解決上述遺傳算法的參數(shù)問題后，遺傳算法的優(yōu)化控制律流程如圖4 所示。

圖4 遺傳算法優(yōu)化流程圖

4.3 基于遺傳算法的線性二次型控制

設(shè)置遺傳算法，種群為100，交叉概率為0.4，精英成員為10，lqr的取值范圍為[1,100]，R的取值范圍為[1,10]，遺傳代數(shù)為20。lqr參數(shù)的編碼也是選取二進(jìn)制字串，一共四個變量，分別表示為lqr(1),lqr(2),lqr(3),lqr(4)。之后將四個編碼串聯(lián)形成長編碼，即為遺傳算法的可操作對象。

設(shè)Q＝diag[lqr(4),lqr(2),lqr(3)]、R＝x(4)，經(jīng)過遺傳算法尋優(yōu)后得到參數(shù)為：Q＝diag[6.71,2.19,90.5]、R＝6.4，經(jīng)過計算得到狀態(tài)增益反饋矩陣K＝[0.4 0.73 3.76]，得到目標(biāo)函數(shù)優(yōu)化曲線如圖5 所示。可以看出，當(dāng)程序運(yùn)行到第四代時，目標(biāo)函數(shù)已達(dá)到最優(yōu)。

圖5 目標(biāo)函數(shù)優(yōu)化過程及最優(yōu)個體圖

將得到的K代入Simulink 仿真圖中，并與試湊法比較，比較后的仿真結(jié)果如圖6 所示?？梢钥闯?，在試湊法中，通過求得的加權(quán)矩陣Q和R參數(shù)得到的狀態(tài)反饋增益矩陣K使得系統(tǒng)穩(wěn)定時間為2 s，且存在一定的超調(diào)量。而通過遺傳算法尋優(yōu)得到的Q和R參數(shù)計算出的K，使系統(tǒng)在1 s 內(nèi)達(dá)到平衡。通過反復(fù)測試，得出結(jié)論，經(jīng)過遺傳算法尋優(yōu)得到的參數(shù)明顯優(yōu)于試湊法得到的參數(shù)，具有更好的性能和更快的響應(yīng)速度。

圖6 兩種優(yōu)化方法的仿真圖

5 結(jié)論

為提高脫模機(jī)轉(zhuǎn)動系統(tǒng)的角度控制，本文對脫模機(jī)轉(zhuǎn)動裝置進(jìn)行了數(shù)學(xué)建模，并建立了傳遞函數(shù)模型和狀態(tài)空間方程。同時，對系統(tǒng)進(jìn)行了可控性和可觀性分析。為實現(xiàn)理論控制，采用了線性二次型最優(yōu)控制方法，并進(jìn)行了仿真研究。然而，在控制方法優(yōu)化方面，發(fā)現(xiàn)LQR控制法的加權(quán)矩陣Q、R的參數(shù)需要進(jìn)行優(yōu)化，因此，提出遺傳算法來解決這個問題。通過仿真結(jié)果可以看出，經(jīng)過遺傳算法尋優(yōu)得到的參數(shù)所計算出的狀態(tài)反饋增益矩陣優(yōu)于試湊法得到的狀態(tài)反饋增益矩陣。在針對脫模機(jī)轉(zhuǎn)動系統(tǒng)的角度控制方面，遺傳算法均優(yōu)于試湊法。經(jīng)過優(yōu)化后，線性二次型控制法的穩(wěn)定時間從2 s 降到了1 s，且沒有超調(diào)量。雖然基本遺傳算法具有較快的收斂速度，但是局部搜索能力較弱，容易陷入局部最優(yōu)解。因此，需要提供一種改進(jìn)遺傳算法的方法，以增加其局部搜索能力，避免陷入局部最優(yōu)。