把握數(shù)學(xué)概念本質(zhì)　發(fā)展學(xué)生數(shù)據(jù)意識

作者簡介：張艷華，遼寧省實驗學(xué)校高級教師。

摘要：平均數(shù)是統(tǒng)計學(xué)中的一個重要概念，是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)據(jù)意識的重要載體。對于平均數(shù)，教材的教學(xué)指向非常明確，即在具體情境中不僅要會計算一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，更應(yīng)理解其概念本質(zhì)，感悟平均數(shù)的統(tǒng)計意義。教學(xué)中，教師要進行學(xué)情檢測，把握學(xué)習(xí)起點；分層建構(gòu)，發(fā)展數(shù)據(jù)意識；運用拓展，研判平均數(shù)的價值。

關(guān)鍵詞：平均數(shù)；概念本質(zhì)；數(shù)據(jù)意識

數(shù)據(jù)意識是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2022年版）》（以下通稱“新課標”）中提出的學(xué)生在義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)課程中特別需要培養(yǎng)的數(shù)學(xué)基本素養(yǎng)之一，數(shù)據(jù)意識主要指對數(shù)據(jù)的意義和隨機性的感悟。“平均數(shù)”是人教版數(shù)學(xué)教材四年級下冊第八單元“統(tǒng)計”例1、例2的學(xué)習(xí)內(nèi)容。小學(xué)數(shù)學(xué)所研究的平均數(shù)指算術(shù)平均數(shù)，就是一組數(shù)據(jù)的總和除以總份數(shù)就能夠得到一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，反映的是一組數(shù)據(jù)的整體水平，具有代表性、區(qū)間性、虛擬性和敏感性等特性。對于平均數(shù)，教材的教學(xué)指向非常明確，即在具體情境中不僅要會計算一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，更應(yīng)理解其概念本質(zhì)，感悟平均數(shù)的統(tǒng)計意義，發(fā)展數(shù)據(jù)意識。

一、學(xué)情檢測，把握學(xué)習(xí)起點

從統(tǒng)計的角度去理解平均數(shù)的意義，對于學(xué)生來說是有一定困難的。為了準確地把握學(xué)生的學(xué)習(xí)起點，教師對學(xué)生進行了學(xué)情檢測，結(jié)果見下頁表1所示。

通過表中兩個題目的分層次分析我們可知，學(xué)生對于平均數(shù)的理解存在以下兩個問題：一是平均數(shù)與平均分產(chǎn)生混淆。平均數(shù)是在學(xué)生理解了平均分和除法運算含義的基礎(chǔ)上進行學(xué)習(xí)的，從第1，2題的解答可以看出，學(xué)生已有平均分的學(xué)習(xí)經(jīng)驗，但很容易把平均數(shù)與平均分等同起來；二是平均數(shù)的統(tǒng)計學(xué)意義理解不夠。在學(xué)習(xí)平均數(shù)之前，四年級學(xué)生所認識數(shù)都是表示具體事物數(shù)量的數(shù)，具有現(xiàn)實性，而平均數(shù)不反映具體事物的多少，表示一組數(shù)據(jù)的總體水平，它可能等于一組數(shù)據(jù)中的某個數(shù)，也可能是一組數(shù)中不存在的，具有虛擬性。這對學(xué)生的認知來說是一個巨大的挑戰(zhàn)。從第2題的解答可

以看出學(xué)生對平均數(shù)統(tǒng)計學(xué)意義的理解較為欠缺，需要借助合適的現(xiàn)實情境感悟。

二、分層建構(gòu)，形成數(shù)據(jù)意識

基于以上分析，本課的教學(xué)應(yīng)著重解決以下3個問題：一是通過創(chuàng)設(shè)貼近生活、生動有趣、指向數(shù)學(xué)概念本質(zhì)的學(xué)習(xí)材料（以下簡稱“學(xué)材”），使學(xué)生感受平均數(shù)產(chǎn)生的必要性，會用移多補少、求和均分計算一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)；二是引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷觀察、思考、計算、交流等一系列活動，理解平均數(shù)是代表一組數(shù)據(jù)整體（平均）水平的量值，體驗平均數(shù)的虛擬性、敏感性、區(qū)間性；三是應(yīng)該通過多維的變式練習(xí)使學(xué)生能用平均數(shù)解決簡單的實際問題。

（一）優(yōu)化學(xué)材，初步體會平均數(shù)的意義

“對數(shù)據(jù)的需要”是學(xué)生形成數(shù)據(jù)意識的起點，它要求學(xué)生在具體情境中認識到數(shù)據(jù)分析有助于問題解決，進而產(chǎn)生引進新的統(tǒng)計量的需求。在教學(xué)時，教師應(yīng)準確把握學(xué)生這一起點，優(yōu)化學(xué)材，引導(dǎo)學(xué)生主動參與學(xué)習(xí)活動。

師：看到“平均”兩個字，你想到了什么？

生：我想到了分桃子，把10個桃子平均分給5個人，每人分到2個。

生：我想到了把一塊蛋糕平均分成8塊，我家4人，每人分得2塊。

生：我想到了每人分得同樣多。

師：那么，看到“平均數(shù)”三個字你又想知道些什么呢？

生：我想知道什么是平均數(shù)。平均數(shù)與平均分有什么關(guān)系？平均數(shù)怎么求？學(xué)習(xí)平均數(shù)有什么用？

師：提出問題比解決問題更重要。會提問題，說明你們會學(xué)習(xí)、會思考。

教師出示改編的例1：東東同學(xué)是學(xué)校環(huán)保小隊的成員，四天來，他每天收集飲料瓶的數(shù)量分別是12，14，15，11個，請問他平均每天收集多少個飲料瓶？

【設(shè)計意圖】通過回憶平均分激活學(xué)生已有經(jīng)驗，同時通過提問引發(fā)學(xué)生產(chǎn)生對于平均數(shù)的新思考。

（二）探究新知，分層建構(gòu)平均數(shù)的計算方法

平均數(shù)的統(tǒng)計學(xué)意義（代表性、區(qū)間性、虛擬性、敏感性等）對于剛?cè)胨哪昙壍膶W(xué)生來說很難理解，教學(xué)中除了引導(dǎo)他們掌握平均數(shù)的計算方法，教師更應(yīng)重視通過多重辨析，使其經(jīng)歷觀察、猜想、計算的過程，深入感知、感悟平均數(shù)的特征。

1. 看圖理解含義，探求方法

教師出示任務(wù)：東東犯難了，請你幫他在任務(wù)單中寫出建議的數(shù)據(jù)。

生：我填的是15，因為最多的是15。

生：我填的是14，因為最多的是15，最少的是11，如果這四天每天同樣多，不可能比最多的多，也不可能比最少的少。

師：誰讀懂他的意思了？

生：他的意思是平均數(shù)要比最多的少，比最少的多。

師：可能是16嗎？可能是10嗎？平均數(shù)在11到15之間，而這兩個數(shù)之間有12，13，14，到底是哪個呢？怎么讓別人一眼就能看出平均數(shù)是多少呢？

生：可以移動珠子。

師：你怎么想到移動珠子了呢？

生：我看到黑板上有珠子，而且珠子的高度不同，這樣通過移動就能夠讓它們同樣高，也就能看出平均數(shù)是多少了。

生：把14移動一個到12的上面，把15移動兩個到11的上面，這樣這四個數(shù)就都變成13了。也就是相當于每天都是13，達到了每天同樣多。

師：這13個是第一天收集的飲料瓶數(shù)嗎？

教師小結(jié)：像這樣一組數(shù)據(jù)中，通過“移多補少”方法，得到相同的數(shù)13，13就是這幾個數(shù)的平均數(shù)。

2. 思考辨析，感悟虛擬性

教師提出問題：“平均數(shù)‘13’是具體的數(shù)嗎？你是怎么理解平均數(shù)（平均數(shù)介于最大數(shù)與最小數(shù)之間，反映的是這幾個數(shù)平均后都相等而得到的數(shù)，可以等于其中的某個具體數(shù)，也可以不等于其中的任意一個數(shù)）13的？“觀察四天的平均數(shù)與每天收集飲料瓶的數(shù)量，平均數(shù)代表的是整體水平，并不是這組數(shù)據(jù)中某個具體的數(shù)。

3. 舉例估算，感悟敏感性

如果第五天東東收集了100個飲料瓶，平均數(shù)還會是13嗎？會發(fā)生怎樣的變化？

生：平均數(shù)不會是13，我認為大約是30多個，因為100相對于前幾天的數(shù)據(jù)太大了。

生：我們也同意。

師：無論怎么樣，會超過100嗎？

生：不會，會介于11和100之間。

師：如果第五天只收集到2個飲料瓶呢？平均數(shù)會發(fā)生怎么樣的變化？

生：會比13小。

生：會在2和15之間。

師：由此你們有什么發(fā)現(xiàn)？

生：平均數(shù)很敏感，每個數(shù)據(jù)的變化都會對它產(chǎn)生影響。

師：這位同學(xué)用到了“敏感”一詞，事實上，每個數(shù)據(jù)的變化都會帶來平均數(shù)的改變。

教師小結(jié)：通過剛才的探究我們發(fā)現(xiàn)，平均數(shù)很奇特，它不是具體每一天收集飲料瓶的數(shù)量，但卻能反映出這四天的整體情況。而且我們發(fā)現(xiàn)，平均數(shù)介于最小數(shù)和最大數(shù)之間；同時，平均數(shù)又很敏感，任何一個數(shù)據(jù)的變化都能夠引起平均數(shù)的改變。

4.豐富算法，理解運算本質(zhì)

教師提出問題：有時候我們可以用“移多補少”方法計算平均數(shù)，但是也有些數(shù)據(jù)比如身高、體重或者較大的數(shù)據(jù)等不方便用“移多補少”方法，我們還有別的方法嗎？

學(xué)生組間交流匯報：先把四天的數(shù)量加在一起，然后除以4。

師：有多少位同學(xué)是按照這種方法計算的？我們給這種方法起個名字可好？

生：先加后除法，先總后分法，先和后均法。

師：同學(xué)們真有智慧，為了方便交流，像這樣先求總數(shù)再求平均數(shù)的方法，叫“先總后分”法，即平均數(shù) = 總數(shù)量 ÷ 總份數(shù)。

【設(shè)計意圖】教師注重使學(xué)生自主探索、合作交流，通過解決“東東平均每天收集多少個飲料瓶”的問題，引導(dǎo)學(xué)生思考并理解平均數(shù)的意義，掌握“移多補少”以及“先求和再平均分”的數(shù)學(xué)方法。

教師小結(jié)： 剛才我們通過“移多補少”和“先總后分”的方法，都求出了東東每天收集飲料瓶的平均數(shù)。我們來看，這個平均數(shù)13并不是每天真正收集的飲料瓶數(shù)量，而是一個“虛擬”的數(shù)，它反映了這幾天平均每天收集飲料瓶數(shù)的一般情況。

（三）估算平均數(shù)，理解使用平均數(shù)的必要性

教師提出過渡問題：下面是第4小組男生隊和女生隊踢毽比賽的成績。你認為哪個隊成績好（見圖1）？

先交流：怎樣判斷兩隊中哪一隊的成績好？判斷成績好，能不能用總數(shù)來判斷？為什么？用什么來判斷更好呢？再猜測一下，哪個隊的成績會更好？然后，通過計算的方法驗證誰猜測得更準確。

教師小結(jié)：當我們遇到“兩個小組人數(shù)不等，踢毽數(shù)量也不等”的問題時，再比較總個數(shù)就不公平。這時，我們需要使用一個新的數(shù)來表示每組學(xué)生踢毽的整體水平，這個數(shù)就是平均數(shù)。

三、運用拓展，鞏固數(shù)據(jù)意識

平均數(shù)在生活中運用非常廣泛，教師要引導(dǎo)學(xué)生通過解決簡單的實際問題，對數(shù)據(jù)信息進行后續(xù)推斷、預(yù)測，提高對平均數(shù)概念的認知，感受平均數(shù)的合理性與獨有價值，同時也認識到平均數(shù)的局限性，鞏固數(shù)據(jù)意識。

（一）身邊的平均數(shù)

教師提出問題：找班上的3名同學(xué)，了解、紀錄其身高和體重情況。

（1）這3名同學(xué)的平均身高、平均體重各是多少？

（2）張俊才是現(xiàn)今中國最高的人，身高達到2.42米，如果這3名同學(xué)加上張俊才，4人的平均身高是多少？

【設(shè)計意圖】調(diào)查計算班上3名同學(xué)的平均身高和平均體重，指向數(shù)據(jù)收集和計算平均數(shù)。第二小題中求4人的平均身高，可以使學(xué)生感受到極端數(shù)據(jù)會對平均數(shù)產(chǎn)生較大影響。

（二）生活中的平均數(shù)

教師提出問題：2022年，遼寧省平均每戶3.25人。2022年，某地教師的人均預(yù)期壽命為79歲。

獨立思考并交流：為什么有0.25個人？每戶不到4人，你有什么想說的？已退休多年的李老師今年78歲，看到這則新聞很焦慮，你猜猜他是怎么想的？你會如何解釋呢？

【設(shè)計意圖】計算人的個數(shù)時應(yīng)取整數(shù)，這里出現(xiàn)了0.25個人，也就是說平均數(shù)并不一定是現(xiàn)實中具體的某個數(shù)。消除李老師的焦慮可以從平均數(shù)的區(qū)間性來解釋，在這個過程中可以使學(xué)生進一步感受平均數(shù)的意義和價值。

（三）比賽中的平均數(shù)

教師提出問題：讀書節(jié)朗誦比賽中邀請了5名家長作評委，表2中是四年級一班的成績，請你先去掉最高分和最低分，然后算一算，四年級一班在這次比賽中的平均分是多少？

【設(shè)計意圖】在生活中常見的比賽計分情境中，通過去掉最高分和最低分，可降低極端數(shù)據(jù)對平均數(shù)的影響，增強學(xué)生解決問題的能力，提高應(yīng)用意識。

（四）平均數(shù)的局限性

圖2統(tǒng)計的是一個公司員工的工資情況，你能用手勢比畫一下這個公司員工的平均工資嗎？這里的平均工資水平能反應(yīng)每位員工的真實工資情況嗎？

【設(shè)計意圖】新課標在對數(shù)據(jù)意識的描述中提到：“感受到對于同樣的一組數(shù)據(jù)可以有多種分析的方法，需要根據(jù)背景和需要，選擇恰當?shù)姆椒??！睂W(xué)生意識到現(xiàn)實生活中并不是每次數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析都適合用平均數(shù)來表示，其有局限性，也為后續(xù)的學(xué)習(xí)做出鋪墊，鞏固了數(shù)據(jù)意識。

通過“平均數(shù)”一課的教學(xué)，教師要引導(dǎo)學(xué)生把握概念本質(zhì)，分層建構(gòu)概念，發(fā)展數(shù)據(jù)意識，從而達成以生為本的課堂樣態(tài)。

參考文獻：

［1］牛獻禮.從統(tǒng)計學(xué)的角度理解平均數(shù)［J］.小學(xué)教學(xué)研究，2017（4）.

［2］劉加霞.“平均數(shù)”的本質(zhì)及小學(xué)生理解水平解析［J］.湖北教育（教育教學(xué)），2021（2）.

（責任編輯：楊強）