基于擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器的快速反射鏡滑?？刂?/h1>
2024-02-29 14:38:06緱澤恩韓順杰李雙成
紅外技術(shù) 2024年2期
緱澤恩，韓順杰，李雙成，粟 華
（1.長(zhǎng)春工業(yè)大學(xué) 電氣與電子工程學(xué)院，吉林 長(zhǎng)春 130012；2.長(zhǎng)春奧普光電技術(shù)股份有限公司，吉林 長(zhǎng)春 130033）
0 引言
快速反射鏡（fast steering mirror，F(xiàn)SM）是一種用于精確定位和控制光束方向的光學(xué)元件。它由一個(gè)反射面和一個(gè)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)組成，通過驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的精確調(diào)節(jié)，實(shí)現(xiàn)對(duì)光束的快速偏轉(zhuǎn)和穩(wěn)定定位。快速反射鏡具有體積小、功耗低、響應(yīng)速度快和高精度控制等優(yōu)勢(shì)[1]，廣泛應(yīng)用在各類航空相機(jī)中，能夠補(bǔ)償振動(dòng)和運(yùn)動(dòng)引起的像移和模糊，提高成像質(zhì)量和系統(tǒng)性能。此外，在天文望遠(yuǎn)鏡、激光通信、自適應(yīng)光學(xué)系統(tǒng)、光學(xué)雷達(dá)和光電穩(wěn)定跟蹤等領(lǐng)域，快速反射鏡也發(fā)揮著獨(dú)特而不可替代的作用[2]。與傳統(tǒng)的跟蹤儀器相比，快速反射鏡具有較高的諧振頻率和較小的慣性，可實(shí)現(xiàn)更高的角分辨率，并顯著提升系統(tǒng)的帶寬和響應(yīng)速度[3]。為滿足快速反射鏡系統(tǒng)跟蹤目標(biāo)時(shí)，跟蹤速度的快速性和抗干擾的能力，需要采用一種恰當(dāng)?shù)目刂扑惴ā１壤?積分-微分（PID）控制作為一種經(jīng)典的線性控制方法，結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，參數(shù)整定容易，早期應(yīng)用于快速反射鏡系統(tǒng)中[4]。但PID 控制所能達(dá)到的跟蹤精度、響應(yīng)速度和抗干擾能力還有待提升。為提高快速反射鏡系統(tǒng)的適應(yīng)性，研究人員將自適應(yīng)算法[5-6]應(yīng)用于FSM 系統(tǒng)之中。文獻(xiàn)[7]結(jié)合經(jīng)典PID 控制和自適應(yīng)前饋控制兩種算法的優(yōu)點(diǎn)，同時(shí)結(jié)合解耦理論，提出了一種解耦的復(fù)合控制算法，有效抑制光束抖動(dòng)并增強(qiáng)了系統(tǒng)的控制精度。文獻(xiàn)[8]通過引入模糊設(shè)計(jì)思想，在經(jīng)典PID 控制器的基礎(chǔ)上，設(shè)計(jì)了模糊自適應(yīng)PID 控制器，跟蹤能力進(jìn)一步提高。自抗擾控制是韓京清教授[9]提出的一種非線性控制理論，而擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器是自抗擾控制技術(shù)的核心組成部分，是一種主動(dòng)抗擾動(dòng)控制方法。它直接將系統(tǒng)內(nèi)外的未知擾動(dòng)視為總擾動(dòng)，并通過系統(tǒng)的輸入輸出對(duì)其進(jìn)行估計(jì)和補(bǔ)償，從而抵消擾動(dòng)，達(dá)到抗擾動(dòng)的目的。
本文基于快速控制反射鏡數(shù)學(xué)模型，考慮到外界擾動(dòng)未知的條件下，提出了一種改進(jìn)的滑?？刂疲╯liding mode control,SMC）方法并構(gòu)造了一個(gè)擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器（extended state observer，ESO）觀測(cè)系統(tǒng)受到的外界總擾動(dòng)，簡(jiǎn)稱SMC＋ESO 方法。SMC＋ESO方法不僅可以獲得更好的動(dòng)態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能，而且可以解決傳統(tǒng)滑模控制器存在的抖振問題，減小了抖振，仿真結(jié)果驗(yàn)證了該方法的有效性。
1 快速反射鏡系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型
目前主流的快速調(diào)節(jié)角度的驅(qū)動(dòng)器分別是音圈電機(jī)和壓電陶瓷[10]，二者被廣泛應(yīng)用于快速反射鏡系統(tǒng)。壓電陶瓷通過“逆壓電效應(yīng)”實(shí)現(xiàn)機(jī)械能和電能互相轉(zhuǎn)換，它具有轉(zhuǎn)動(dòng)慣量小、重量輕、噪聲小、發(fā)熱少且無雜散電磁場(chǎng)等優(yōu)點(diǎn)，但存在遲滯和蠕變等非線性特性，對(duì)系統(tǒng)跟蹤精度造成影響。音圈電機(jī)（voice coil actuator,VCA）是一種特殊形式的直線驅(qū)動(dòng)電機(jī)，相比于壓電陶瓷驅(qū)動(dòng)器，它的結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、響應(yīng)頻率低、無滯后、體積小，具有更大的運(yùn)動(dòng)行程，而且對(duì)振動(dòng)、沖擊等工作環(huán)境具有較強(qiáng)的適應(yīng)性。因此，本文選用音圈電機(jī)作為快速反射鏡系統(tǒng)的驅(qū)動(dòng)元件。
音圈電機(jī)的運(yùn)行基于安培力原理，即通電線圈（導(dǎo)體），在磁場(chǎng)中會(huì)產(chǎn)生一力F，力的大小與施加在線圈上的電流成比例，具體公式表示為：
式中：N為受到磁場(chǎng)作用的線圈匝數(shù)；I為電流大?。籐為線圈每匝長(zhǎng)度；B是磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度。將音圈電機(jī)等效為一個(gè)電路原理圖如圖1所示，根據(jù)基爾霍夫第二定律可得音圈電機(jī)電壓平衡方程：
圖1 音圈電機(jī)等效電路圖Fig.1 Equivalent circuit diagram of VCA
其中電機(jī)產(chǎn)生漏感抗電壓E＝keVe。
式中：ke為反電動(dòng)勢(shì)常數(shù)；Ve為線圈運(yùn)動(dòng)速度；線圈電感L的感應(yīng)壓降UL＝L×di/dt；通過電阻R的電壓UR＝Ri。將這些等式重新代入上式得：
根據(jù)快速反射鏡在轉(zhuǎn)動(dòng)過程中受到的音圈電機(jī)驅(qū)動(dòng)力矩、阻尼力矩、柔性鉸鏈力矩以及慣性力矩作用，得到FSM 系統(tǒng)的機(jī)械平衡方程為：
式中：J、θ、km分別為快速反射鏡的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、鏡面轉(zhuǎn)角、柔性鉸鏈扭轉(zhuǎn)剛度。
對(duì)式(3)和式(4)進(jìn)行拉氏變換并聯(lián)立可得：
式中：c為粘滯阻尼系數(shù)，消去中間變量i(s)，得：
由于音圈電機(jī)的電感L和粘滯阻尼系數(shù)c很小，建模時(shí)可以忽略不計(jì)，所以反射鏡模型可近似為：
2 滑模自抗擾控制器設(shè)計(jì)
2.1 ESO 設(shè)計(jì)
擴(kuò)張觀測(cè)器將對(duì)系統(tǒng)輸出有影響的內(nèi)擾和外擾看成一個(gè)總擾動(dòng)擴(kuò)張成系統(tǒng)的一個(gè)新狀態(tài)變量，并對(duì)系統(tǒng)中各個(gè)狀態(tài)變量進(jìn)行觀測(cè)，構(gòu)造出新的系統(tǒng)狀態(tài)方程。
以快速反射鏡作為被控對(duì)象，將其復(fù)頻域函數(shù)模型式(7)改寫為二階微分方程：
將系統(tǒng)各種外部擾動(dòng)和模型誤差等效為一個(gè)擾動(dòng)d，則式(8)可以寫為：
式中：x1代表位置信號(hào)，x2代表此時(shí)運(yùn)動(dòng)速度，根據(jù)(9)式把f作為一個(gè)新的被擴(kuò)張狀態(tài)變量加入到系統(tǒng)中，即令x3＝f，符號(hào)上面加點(diǎn)代表此量對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)。
根據(jù)被控對(duì)象的控制量u和輸出量y，擴(kuò)張觀測(cè)器可以對(duì)系統(tǒng)的位置、速度以及總擾動(dòng)進(jìn)行估計(jì)。其表達(dá)形式如下：
式中：Z1是對(duì)位置x1的估計(jì)；e1是估計(jì)誤差；Z2是對(duì)此刻運(yùn)動(dòng)速度x2的估計(jì)；Z3是對(duì)總擾動(dòng)的估計(jì)；β1、β2和β3是擴(kuò)張觀測(cè)器的增益。
由式(11)可以得到誤差傳遞矩陣，進(jìn)一步寫出其特征方程為：
根據(jù)高志強(qiáng)教授基于帶寬參數(shù)確定ESO 增益的算法[12]，有期望特征方程：
比較系數(shù)可得到觀測(cè)器增益向量為：
2.2 滑?？刂破髟O(shè)計(jì)
滑?？刂仆ㄟ^控制量切換使系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)軌跡將保持在滑模面上滑動(dòng)，具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、魯棒性好、可靠性高、抗干擾能力強(qiáng)的優(yōu)點(diǎn)。本文設(shè)計(jì)了擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器來觀測(cè)系統(tǒng)所受總和擾動(dòng)，通過觀測(cè)擾動(dòng)來補(bǔ)償控制器，減少了對(duì)滑模控制增益的要求，從而減少了抖振。本文定義快速反射鏡位置跟蹤誤差為：
式中：θd為期望跟蹤的軌跡；y為實(shí)際軌跡。對(duì)式(14)求導(dǎo)可得速度跟蹤誤差：
根據(jù)上節(jié)擴(kuò)張觀測(cè)器的定義，結(jié)合式(14)和式(15)得到：
定義滑模面為：
式中：c＞0。對(duì)式(17)求導(dǎo)并代入式(16)可得：
因此控制的控制器輸出為：
2.3 穩(wěn)定性分析
對(duì)于滑?？刂破鳎x取Lyapunov 函數(shù)：
則：
綜上所述，快速反射鏡系統(tǒng)的控制器的原理框圖如圖2所示。
圖2 基于擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器的滑模控制結(jié)構(gòu)框圖Fig.2 Fragments of sliding mold control structure based on the extended state observer
3 仿真實(shí)驗(yàn)
為了驗(yàn)證本文提出的SMC-ESO 算法在快速反射鏡系統(tǒng)中的性能，采用Matlab/Simulink 對(duì)其有效性進(jìn)行仿真驗(yàn)證。SMC-ESO 算法的控制參數(shù)分別為：ω0＝100，ε＝100，k＝800，c＝180。傳統(tǒng)滑?？刂扑惴ǎ⊿MC）的相關(guān)參數(shù)與之選取相同。首先對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行階躍響應(yīng)實(shí)驗(yàn)，給定幅值為1 的單位階躍輸入，對(duì)兩種算法對(duì)比分析，如圖3所示。SMC 算法上升時(shí)間為0.0379 s，系統(tǒng)到達(dá)穩(wěn)態(tài)的時(shí)間是0.0581 s；SMC-ESO算法上升時(shí)間為0.0188 s，系統(tǒng)到達(dá)穩(wěn)態(tài)的時(shí)間是0.0354 s?；跀U(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器的滑?？刂破鬏^前者的上升時(shí)間縮短了50.4%，調(diào)節(jié)時(shí)間縮短了39.1%。根據(jù)仿真實(shí)驗(yàn)可知，SMC-ESO 算法具有較快的響應(yīng)時(shí)間和調(diào)節(jié)時(shí)間。
圖3 快速反射鏡系統(tǒng)階躍響應(yīng)Fig.3 Step response of fast steering mirror
兩種控制算法的跟蹤誤差曲線如圖5，從圖中可以看出，基于擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器的滑?？刂坪蛡鹘y(tǒng)滑模控制的最大跟蹤誤差分別為0.0241、0.0347，前者跟蹤精度較后者提高了30.5%，具有更好的位置跟蹤能力和更強(qiáng)的抗干擾能力。
圖5 正弦跟蹤誤差曲線Fig.5 Sine tracking error curves
4 結(jié)論
本文對(duì)快速反射鏡系統(tǒng)進(jìn)行分析與建模，針對(duì)系統(tǒng)跟蹤時(shí)的快速響應(yīng)和抗干擾問題，通過引入自抗擾控制中的ESO，提出了一種基于擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器的改進(jìn)滑?？刂品椒āＴ摲椒ò严到y(tǒng)所受總擾動(dòng)擴(kuò)張為新的狀態(tài)變量進(jìn)行觀測(cè)估計(jì)，并補(bǔ)償?shù)娇刂戚斎胫?，使跟蹤誤差收斂的同時(shí)減小抖振。仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明：采用基于擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器的改進(jìn)滑?？刂破?，較傳統(tǒng)滑?？刂破?，上升時(shí)間縮短了50.4%，調(diào)節(jié)時(shí)間縮短了39.1%，跟蹤精度提高了30.5%。在不同輸入信號(hào)下，本文的方法較傳統(tǒng)滑?？刂凭哂懈叩目刂凭?，更強(qiáng)的抑制干擾能力，具有更好的動(dòng)態(tài)性能。
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本文基于快速控制反射鏡數(shù)學(xué)模型，考慮到外界擾動(dòng)未知的條件下，提出了一種改進(jìn)的滑?？刂疲╯liding mode control,SMC）方法并構(gòu)造了一個(gè)擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器（extended state observer，ESO）觀測(cè)系統(tǒng)受到的外界總擾動(dòng)，簡(jiǎn)稱SMC＋ESO 方法。SMC＋ESO方法不僅可以獲得更好的動(dòng)態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能，而且可以解決傳統(tǒng)滑模控制器存在的抖振問題，減小了抖振，仿真結(jié)果驗(yàn)證了該方法的有效性。
1 快速反射鏡系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型
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音圈電機(jī)的運(yùn)行基于安培力原理，即通電線圈（導(dǎo)體），在磁場(chǎng)中會(huì)產(chǎn)生一力F，力的大小與施加在線圈上的電流成比例，具體公式表示為：
式中：N為受到磁場(chǎng)作用的線圈匝數(shù)；I為電流大?。籐為線圈每匝長(zhǎng)度；B是磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度。將音圈電機(jī)等效為一個(gè)電路原理圖如圖1所示，根據(jù)基爾霍夫第二定律可得音圈電機(jī)電壓平衡方程：
圖1 音圈電機(jī)等效電路圖Fig.1 Equivalent circuit diagram of VCA
其中電機(jī)產(chǎn)生漏感抗電壓E＝keVe。
式中：ke為反電動(dòng)勢(shì)常數(shù)；Ve為線圈運(yùn)動(dòng)速度；線圈電感L的感應(yīng)壓降UL＝L×di/dt；通過電阻R的電壓UR＝Ri。將這些等式重新代入上式得：
根據(jù)快速反射鏡在轉(zhuǎn)動(dòng)過程中受到的音圈電機(jī)驅(qū)動(dòng)力矩、阻尼力矩、柔性鉸鏈力矩以及慣性力矩作用，得到FSM 系統(tǒng)的機(jī)械平衡方程為：
式中：J、θ、km分別為快速反射鏡的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、鏡面轉(zhuǎn)角、柔性鉸鏈扭轉(zhuǎn)剛度。
對(duì)式(3)和式(4)進(jìn)行拉氏變換并聯(lián)立可得：
式中：c為粘滯阻尼系數(shù)，消去中間變量i(s)，得：
由于音圈電機(jī)的電感L和粘滯阻尼系數(shù)c很小，建模時(shí)可以忽略不計(jì)，所以反射鏡模型可近似為：
2 滑模自抗擾控制器設(shè)計(jì)
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擴(kuò)張觀測(cè)器將對(duì)系統(tǒng)輸出有影響的內(nèi)擾和外擾看成一個(gè)總擾動(dòng)擴(kuò)張成系統(tǒng)的一個(gè)新狀態(tài)變量，并對(duì)系統(tǒng)中各個(gè)狀態(tài)變量進(jìn)行觀測(cè)，構(gòu)造出新的系統(tǒng)狀態(tài)方程。
以快速反射鏡作為被控對(duì)象，將其復(fù)頻域函數(shù)模型式(7)改寫為二階微分方程：
將系統(tǒng)各種外部擾動(dòng)和模型誤差等效為一個(gè)擾動(dòng)d，則式(8)可以寫為：
式中：x1代表位置信號(hào)，x2代表此時(shí)運(yùn)動(dòng)速度，根據(jù)(9)式把f作為一個(gè)新的被擴(kuò)張狀態(tài)變量加入到系統(tǒng)中，即令x3＝f，符號(hào)上面加點(diǎn)代表此量對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)。
根據(jù)被控對(duì)象的控制量u和輸出量y，擴(kuò)張觀測(cè)器可以對(duì)系統(tǒng)的位置、速度以及總擾動(dòng)進(jìn)行估計(jì)。其表達(dá)形式如下：
式中：Z1是對(duì)位置x1的估計(jì)；e1是估計(jì)誤差；Z2是對(duì)此刻運(yùn)動(dòng)速度x2的估計(jì)；Z3是對(duì)總擾動(dòng)的估計(jì)；β1、β2和β3是擴(kuò)張觀測(cè)器的增益。
由式(11)可以得到誤差傳遞矩陣，進(jìn)一步寫出其特征方程為：
根據(jù)高志強(qiáng)教授基于帶寬參數(shù)確定ESO 增益的算法[12]，有期望特征方程：
比較系數(shù)可得到觀測(cè)器增益向量為：
2.2 滑?？刂破髟O(shè)計(jì)
滑?？刂仆ㄟ^控制量切換使系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)軌跡將保持在滑模面上滑動(dòng)，具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、魯棒性好、可靠性高、抗干擾能力強(qiáng)的優(yōu)點(diǎn)。本文設(shè)計(jì)了擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器來觀測(cè)系統(tǒng)所受總和擾動(dòng)，通過觀測(cè)擾動(dòng)來補(bǔ)償控制器，減少了對(duì)滑模控制增益的要求，從而減少了抖振。本文定義快速反射鏡位置跟蹤誤差為：
式中：θd為期望跟蹤的軌跡；y為實(shí)際軌跡。對(duì)式(14)求導(dǎo)可得速度跟蹤誤差：
根據(jù)上節(jié)擴(kuò)張觀測(cè)器的定義，結(jié)合式(14)和式(15)得到：
定義滑模面為：
式中：c＞0。對(duì)式(17)求導(dǎo)并代入式(16)可得：
因此控制的控制器輸出為：
2.3 穩(wěn)定性分析
對(duì)于滑?？刂破鳎x取Lyapunov 函數(shù)：
則：
綜上所述，快速反射鏡系統(tǒng)的控制器的原理框圖如圖2所示。
圖2 基于擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器的滑模控制結(jié)構(gòu)框圖Fig.2 Fragments of sliding mold control structure based on the extended state observer
3 仿真實(shí)驗(yàn)
為了驗(yàn)證本文提出的SMC-ESO 算法在快速反射鏡系統(tǒng)中的性能，采用Matlab/Simulink 對(duì)其有效性進(jìn)行仿真驗(yàn)證。SMC-ESO 算法的控制參數(shù)分別為：ω0＝100，ε＝100，k＝800，c＝180。傳統(tǒng)滑?？刂扑惴ǎ⊿MC）的相關(guān)參數(shù)與之選取相同。首先對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行階躍響應(yīng)實(shí)驗(yàn)，給定幅值為1 的單位階躍輸入，對(duì)兩種算法對(duì)比分析，如圖3所示。SMC 算法上升時(shí)間為0.0379 s，系統(tǒng)到達(dá)穩(wěn)態(tài)的時(shí)間是0.0581 s；SMC-ESO算法上升時(shí)間為0.0188 s，系統(tǒng)到達(dá)穩(wěn)態(tài)的時(shí)間是0.0354 s?；跀U(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器的滑?？刂破鬏^前者的上升時(shí)間縮短了50.4%，調(diào)節(jié)時(shí)間縮短了39.1%。根據(jù)仿真實(shí)驗(yàn)可知，SMC-ESO 算法具有較快的響應(yīng)時(shí)間和調(diào)節(jié)時(shí)間。
圖3 快速反射鏡系統(tǒng)階躍響應(yīng)Fig.3 Step response of fast steering mirror
兩種控制算法的跟蹤誤差曲線如圖5，從圖中可以看出，基于擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器的滑?？刂坪蛡鹘y(tǒng)滑模控制的最大跟蹤誤差分別為0.0241、0.0347，前者跟蹤精度較后者提高了30.5%，具有更好的位置跟蹤能力和更強(qiáng)的抗干擾能力。
圖5 正弦跟蹤誤差曲線Fig.5 Sine tracking error curves
4 結(jié)論
本文對(duì)快速反射鏡系統(tǒng)進(jìn)行分析與建模，針對(duì)系統(tǒng)跟蹤時(shí)的快速響應(yīng)和抗干擾問題，通過引入自抗擾控制中的ESO，提出了一種基于擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器的改進(jìn)滑?？刂品椒āＴ摲椒ò严到y(tǒng)所受總擾動(dòng)擴(kuò)張為新的狀態(tài)變量進(jìn)行觀測(cè)估計(jì)，并補(bǔ)償?shù)娇刂戚斎胫?，使跟蹤誤差收斂的同時(shí)減小抖振。仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明：采用基于擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器的改進(jìn)滑?？刂破?，較傳統(tǒng)滑?？刂破?，上升時(shí)間縮短了50.4%，調(diào)節(jié)時(shí)間縮短了39.1%，跟蹤精度提高了30.5%。在不同輸入信號(hào)下，本文的方法較傳統(tǒng)滑?？刂凭哂懈叩目刂凭?，更強(qiáng)的抑制干擾能力，具有更好的動(dòng)態(tài)性能。
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