高斯光束圓孔衍射光強(qiáng)分布的解析解

麻 歡,付 柯,隋林泓,武燕玲,李瑞芳,李喜彬

(內(nèi)蒙古師范大學(xué) 物理與電子信息學(xué)院,內(nèi)蒙古 呼和浩特 010022)

光束的傳輸特征,尤其是光束的衍射聚焦特征,仍是目前光學(xué)研究中的一個(gè)重要課題. 在實(shí)際工作中,高斯光束是最常見的光源,且光束傳輸常常受到光闌的限制,因此在光學(xué)工程領(lǐng)域,關(guān)于光闌對(duì)高斯光束的衍射效應(yīng)的研究就變得尤為重要[1]. 例如在光刻技術(shù)中,需要通過增加聚焦光學(xué)系統(tǒng)的焦深來增強(qiáng)蝕刻效果,因此高斯光束衍射的詳細(xì)解析結(jié)果對(duì)于設(shè)計(jì)長焦深光刻光學(xué)系統(tǒng)具有一定的指導(dǎo)意義. 目前,對(duì)于完全透光情況的圓孔衍射問題已經(jīng)有了充分的研究,利用數(shù)值方法對(duì)高斯光束衍射問題的研究同樣已經(jīng)非常充分[2-4],但對(duì)于高斯光束圓孔衍射在焦點(diǎn)附近的光強(qiáng)分布目前還沒有獲得較為精確的解析解. 此外,高斯光束衍射光強(qiáng)分布的解析計(jì)算對(duì)于衍射理論的后續(xù)研究同樣有著一定借鑒意義.

為得到高斯光束衍射的三維光強(qiáng)分布,本文參考文獻(xiàn)[5]中對(duì)圓孔衍射的解析計(jì)算方法,利用了菲涅耳-基爾霍夫衍射積分公式,對(duì)模型的具體計(jì)算過程加以適當(dāng)擴(kuò)展,并結(jié)合貝塞耳函數(shù)(Bessel function)、洛默爾函數(shù)(Lommel function)等特殊函數(shù)的具體性質(zhì),得到了焦點(diǎn)附近光強(qiáng)分布的解析結(jié)果. 利用數(shù)值方法分析了高斯光束束腰半徑對(duì)艾里斑半徑、焦深、光強(qiáng)在艾里斑內(nèi)的集中程度等參量的影響.

1 衍射積分的計(jì)算

高斯光束的一個(gè)重要性質(zhì)是光強(qiáng)在與傳播方向垂直的橫截面上呈高斯分布. 理想情況下高斯光束的發(fā)散角非常小,且束腰位于衍射圓孔平面內(nèi),因此正入射情況下高斯光束在圓孔光闌平面上的振幅為[1,6]

(1)

其中σ為高斯光束的束腰半徑(通常在腰束半徑的定義式中,指數(shù)的分母上不會(huì)出現(xiàn)因子2,這里是為了后文中公式的表達(dá)方便,并不會(huì)影響相關(guān)結(jié)論的合理性).

(2)

圖1 圓孔上的衍射示意圖

式(2)中,k=2π/λ為波矢大小,σ為高斯光束的束腰半徑,并用到了小發(fā)散角近似條件zR=πσ2/λ>>a2/f,zR表示瑞利距離. 由菲涅耳-基爾霍夫衍射積分公式得到P點(diǎn)的光強(qiáng)為[5]

(3)

為計(jì)算積分式(3),引入極坐標(biāo)

(4)

其中0≤ρ≤1,在波陣面W上,坐標(biāo)ζ還可以近似表示為

(5)

進(jìn)而

(6)

現(xiàn)定義新的無量綱變量:

(7)

同時(shí)將立體角積分元轉(zhuǎn)換為面積分元,即

(8)

于是積分式(3)變?yōu)?/p>

(9)

無量綱變量b的含義為高斯光束向中心的集中程度,即當(dāng)入射光為勻強(qiáng)的光束時(shí),滿足σ→∞,即b→0;反之當(dāng)一束無寬度的線光束通過光闌時(shí),滿足σ→0,即b→∞.

利用貝塞耳函數(shù)的定義式:

(10)

積分(9)變?yōu)殛P(guān)于貝塞耳函數(shù)的積分形式:

(11)

對(duì)于|w/v|≤1的情況,由貝塞耳函數(shù)關(guān)系式:

(12)

式(11)中的積分可以表示為

F(u,v)≡

(13)

式(13)中w的定義見式(7),并定義了雙變量洛默爾函數(shù)(Lommel function of two variables,以下簡稱洛默爾函數(shù)).

(14)

同時(shí)利用極限

(15)

(16)

對(duì)于|w/v|≥1的情況,則利用關(guān)系式

(17)

以及貝塞耳函數(shù)極限關(guān)系:

(18)

得到式(11)中的積分:

(19)

2 光強(qiáng)分布

根據(jù)式(16)和(19),焦點(diǎn)附近的光強(qiáng)表示為

I(u,v)=|U(u,v)|2=I0|F(u,v)|2

(20)

上式中I0=|U0|2表示勻強(qiáng)光場通過圓孔光闌后在焦點(diǎn)處的衍射光強(qiáng),其中

(21)

為勻強(qiáng)光場(σ→∞或b→0)在焦點(diǎn)處的衍射振幅,其中A0含義與前文相同. 但是由于w為復(fù)數(shù),無法得到式(16)和(19)實(shí)部和虛部的解析表達(dá)式. 利用數(shù)值方法,可以得到a/σ=0、0.51/4、1、21/4時(shí)焦點(diǎn)附近的相對(duì)光強(qiáng)分布I(u,v)/I0,如圖2所示. 圖2(a)中距離焦點(diǎn)O最近的等高線的幅值為0.9,而圖2(b)—2(d)中距離焦點(diǎn)最近的等照度線的幅值分別為0.7、0.6以及0.5,可見b越大,中心相對(duì)光強(qiáng)越弱,但整體光強(qiáng)分布的輪廓并未改變,只不過極值處的強(qiáng)度有所差異.

圖2 不同b值下高斯光束圓孔衍射在焦點(diǎn)附近的等照度線,即I(u,v)/I0的等高線. 虛線代表幾何陰影區(qū)域的邊界. 圖中max表示光強(qiáng)的極大,min表示光強(qiáng)的極小.

下面將詳細(xì)分析幾個(gè)特殊位置的光強(qiáng)分布.

2.1 幾何焦平面上的光強(qiáng)分布

如果P點(diǎn)位于幾何焦平面上時(shí),即u=0,此時(shí)滿足φ=0,w=b,于是式(16)為

(22)

在平面波入射情況下

(23)

那么焦平面上的光強(qiáng)沿徑向的分布為

(24)

式(24)也稱為艾里公式[5],與勻強(qiáng)光場在衍射焦平面上的表達(dá)式一致.

對(duì)于b≠0的情況,焦點(diǎn)處的振幅為

(25)

則焦點(diǎn)處的光強(qiáng)為

(26)

顯然

(27)

圖3給出了不同b情況下焦平面上徑向的光強(qiáng)分布. 不過從圖中不容易看出艾里斑半徑r0(光強(qiáng)分布I(0,v)的第一個(gè)零點(diǎn))與b之間的關(guān)系,表1中列出了艾里斑半徑r0隨b的數(shù)值結(jié)果. 可見b越大(高斯光束光強(qiáng)分布越向光軸集中),艾里斑半徑也越大.

表1 艾里斑半徑r0隨b變化的數(shù)值結(jié)果

圖3 幾何焦平面上光強(qiáng)分布關(guān)于坐標(biāo)v的變化曲線,4條曲線依次對(duì)應(yīng)時(shí)的情況.

2.2 光軸上的光強(qiáng)分布

觀察點(diǎn)P位于光軸上時(shí),此時(shí)v=0,洛默爾函數(shù)簡化為V0(u,0)=1,V1(u,0)=0. 于是

(28)

對(duì)于平面波入射的情況(b=0),此時(shí)

(29)

上式與勻強(qiáng)光場在光軸上的衍射光強(qiáng)分布一致[5].回到式(28),只有當(dāng)b=0時(shí)才會(huì)出現(xiàn)光強(qiáng)零點(diǎn),即u=4nπ,n=1,2,3,…. 當(dāng)b>0時(shí),顯然有I(u,0)>0. 圖4給出了不同b取值情況下光軸上的光強(qiáng)分布. 可以發(fā)現(xiàn),參數(shù)b的增大對(duì)焦點(diǎn)處的相對(duì)光強(qiáng)改變較為明顯,但并未改變光強(qiáng)分布的整體輪廓.

圖4 光軸上光強(qiáng)分布關(guān)于坐標(biāo)u的變化曲線,4條曲線依次對(duì)應(yīng)時(shí)的情況.

與光軸上光強(qiáng)分布有關(guān)的一個(gè)重要的參量為焦深,表示光軸上坐標(biāo)u0處的圖像仍保持一定的清晰度,這里仍采用文獻(xiàn)[6]中的結(jié)論,將焦深u0定義為該點(diǎn)處的光強(qiáng)相較于焦點(diǎn)處衰減了20%. 表2中的數(shù)值結(jié)果表明,焦深u0與b之間的關(guān)系近似為一條二次曲線,最佳擬合結(jié)果為

表2 焦深u0隨b變化的數(shù)值結(jié)果

u0=0.021 4b2+0.000 2b+3.236 0

(30)

2.3 幾何陰影邊界上的光強(qiáng)分布

式(16)與(19)收斂的共同分界為|v|=|w|,其物理含義為衍射陰影區(qū)與照明區(qū)的分界線,定義幾何陰影區(qū)域邊界為|v|=|w|,即

v2=b2+u2

(31)

可見在焦平面上及附近的幾何陰影區(qū)域邊界依賴光束形狀,而在遠(yuǎn)離焦平面處,光束形狀對(duì)陰影區(qū)域邊界無影響,而且整體輪廓與高斯光束一致,這里無量綱參數(shù)b具有與高斯光束中的束腰相類似的含義.

將條件|v|=|w|=r帶入到式(16)中,得到

U(u,r)=

(32)

再將上式帶入到光強(qiáng)公式(20)中,則

(33)

對(duì)于b=0,幾何陰影邊界上的光強(qiáng)分布為[5]

(34)

圖5為不同b值條件下幾何陰影邊界上的光強(qiáng)分布.

圖5 幾何陰影區(qū)域邊界上光強(qiáng)分布關(guān)于坐標(biāo)u的變化曲線,4條曲線依次對(duì)應(yīng)時(shí)的情況.

2.4 焦平面上的積分強(qiáng)度

定義參考光強(qiáng)

(35)

其含義是高斯光束在單位時(shí)間內(nèi)通過光闌的總能量. 假設(shè)在焦平面上(u=0),以焦點(diǎn)為中心、給定的r為半徑做一圓形區(qū)域,則在該圓形區(qū)域內(nèi)能量占光強(qiáng)總能量的百分比為

(36)

式中

(37)

將式(13)帶入到式(36),于是

[Jm(v0)Jn(v0)+Jm-1(v0)Jn-1(v0)]

(38)

上式中的第三步用到了積分[7]:

(39)

以及貝塞耳函數(shù)的性質(zhì)J0(0)=1和Jn(0)=0(n=1,2,3,…). 重新定義上式中的指標(biāo),令k=m+n,于是

(40)

其中

(41)

當(dāng)b=0時(shí),當(dāng)且僅當(dāng)m=n=1的級(jí)數(shù)項(xiàng)非零,即

(42)

此即瑞利公式[5].

圖6為b取不同值時(shí)焦平面上的積分光強(qiáng)分布,可見b越大,能量越向中心集中. 此外,研究艾里斑內(nèi)的能量百分比L(r0)更有助于直觀說明上述結(jié)論. 表3中列出了L(r0) 隨b的變化關(guān)系,進(jìn)一步驗(yàn)證了b越大,能量越向中心集中這一結(jié)論.

表3 艾里斑內(nèi)積分光強(qiáng)L(r0)隨b變化的數(shù)值結(jié)果

圖6 焦平面上給定小圓內(nèi)接收到的能量百分比

4 總結(jié)

本文從菲涅爾-基爾霍夫公式出發(fā),得到了高斯光束圓孔衍射焦點(diǎn)附近光強(qiáng)分布的解析表達(dá)形式,并通過洛默爾函數(shù)表示. 之后選取了三個(gè)特殊區(qū)域(幾何焦平面、光軸以及幾何陰影區(qū)域邊界),給出了這些區(qū)域上光強(qiáng)分布的解析表達(dá)式,并得到了光強(qiáng)分布的數(shù)值結(jié)果. 數(shù)值結(jié)果表明,參數(shù)b越大,艾里斑半徑越大,同時(shí)焦深也越大. 最后分析了焦平面上的光強(qiáng)積分強(qiáng)度. 根據(jù)以上的解析以及數(shù)值結(jié)果,發(fā)現(xiàn)高斯光束束腰半徑的大小并不會(huì)改變衍射光強(qiáng)分布的整體輪廓,但較小的束腰半徑會(huì)使得光強(qiáng)分布向焦點(diǎn)處集中.

本文中的方法及結(jié)論不僅對(duì)高斯光束衍射理論的研究有著一定指導(dǎo)意義,而且對(duì)研究生的傅里葉光學(xué)課程的教學(xué)同樣起到了補(bǔ)充的作用.

最后感謝審稿人、編輯對(duì)本文耐心細(xì)致地審閱以及對(duì)本文提出的寶貴意見.