基于循環(huán)維納濾波器的聲學(xué)成像優(yōu)化方法

何 通，徐賦民，任豪杰，張二亮

（鄭州大學(xué)機(jī)械與動力工程學(xué)院，河南 鄭州 450001）

1 引言

循環(huán)平穩(wěn)源是旋轉(zhuǎn)機(jī)械工作時的主要噪聲源，來自齒輪、軸承等關(guān)鍵部件，其輻射的振動與噪聲信號表現(xiàn)為循環(huán)平穩(wěn)性［1］。循環(huán)平穩(wěn)性為信號的處理與分析提供一個強(qiáng)大的工具，已有學(xué)者將其用于軸承故障診斷［2］、疲勞損傷檢測［3］等領(lǐng)域，引起了廣泛關(guān)注。旋轉(zhuǎn)機(jī)械的噪聲信號類型通常很復(fù)雜，包含各種平穩(wěn)源和循環(huán)平穩(wěn)源所輻射信號的混合?？紤]到循環(huán)平穩(wěn)源實(shí)際上蘊(yùn)含了大多數(shù)重要信息的情況下，對其輻射的循環(huán)平穩(wěn)信號進(jìn)行盲提取并應(yīng)用聲學(xué)成像技術(shù)，可以準(zhǔn)確地識別、定位和可視化重建主要噪聲源，進(jìn)而有針對性的指導(dǎo)旋轉(zhuǎn)機(jī)械的設(shè)計(jì)及改進(jìn)，從而減振降噪。

盲分離混合源是通信、生物醫(yī)學(xué)等領(lǐng)域的一類無監(jiān)督學(xué)習(xí)問題。盲源分離通常依賴于信號相互統(tǒng)計(jì)獨(dú)立性的假設(shè)。相互統(tǒng)計(jì)獨(dú)立性假設(shè)對許多復(fù)雜機(jī)械系統(tǒng)可能不再滿足。考慮到混合源中的重要信息往往由一種信號攜帶，其余的則是干擾或噪聲。因此，只需恢復(fù)一個感興趣的信號，盲源分離便簡化為盲信號提取?；谘h(huán)平穩(wěn)性的盲信號提取更適合被應(yīng)用于機(jī)械系統(tǒng)，尤其在旋轉(zhuǎn)或往復(fù)機(jī)械研究方面得到廣泛關(guān)注。循環(huán)平穩(wěn)信號處理方法最早在文獻(xiàn)［4］中被提及，被成功應(yīng)用于通信領(lǐng)域。后來，它被很多學(xué)者引入到機(jī)械領(lǐng)域，相繼出現(xiàn)了多種盲信號提取方法，例如多元循環(huán)回歸［5］，子空間盲提取［6］，降秩循環(huán)回歸［7］和角時循環(huán)維納濾波器［8］等。

盲信號提取方法目前大多被用于機(jī)械的振動信號分析，而非聲學(xué)信號處理。但振動信號需要采用加速度計(jì)等進(jìn)行傳統(tǒng)的表面接觸式測量，這樣會造成兩個弊端，一是由于加速度計(jì)本身的重量可能使其附著的機(jī)械結(jié)構(gòu)固有特性發(fā)生改變，二是在高溫或腐蝕環(huán)境等情況下不能適用。隨著基于麥克風(fēng)陣列測量的聲學(xué)成像技術(shù)［9］的快速發(fā)展，聲學(xué)信號處理取得很大進(jìn)展。近場聲全息作為其中一種重要的噪聲源識別、定位及可視化重建技術(shù)，不僅具有非接觸式測量、空間分辨率高的優(yōu)點(diǎn)，還包含豐富的聲場信息，可以為噪聲控制提供指導(dǎo)依據(jù)。貝葉斯近場聲全息是基于貝葉斯理論對近場聲全息方法的優(yōu)化，與傳統(tǒng)的近場聲全息相比具有更好的重建精度，最早在文獻(xiàn)［10］中被提出。然而，這些聲學(xué)成像技術(shù)僅能用于聲源重建，而不能用于聲源分離。目前而言，盡管其可能的應(yīng)用價值巨大，但有關(guān)方面的研究卻極少，僅在文獻(xiàn)［11-12］中嘗試去分離不同噪聲源。

綜上所述，針對噪聲環(huán)境中循環(huán)平穩(wěn)源的重建問題，提出了一種基于循環(huán)維納濾波器的聲學(xué)成像優(yōu)化方法。首先對麥克風(fēng)陣列測量的信號進(jìn)行濾波，盲提取出由感興趣的循環(huán)平穩(wěn)源輻射的循環(huán)平穩(wěn)信號，然后引入貝葉斯近場聲全息重建循環(huán)平穩(wěn)源。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，所提方法能夠很好的消除其它噪聲源的干擾，僅重建感興趣的循環(huán)平穩(wěn)源。

2 問題描述

2.1 盲信號提取問題

盲信號提取問題是從觀測信號xi(n)中提取循環(huán)平穩(wěn)信號xci(n)，可以寫成：

式中：i=1，…，M，M—傳感器個數(shù)；pi(n)—一階循環(huán)平穩(wěn)信號；xci(n)—二階循環(huán)平穩(wěn)信號；ni(n)—“噪聲”部分，包含所有與pi(n)和xci(n)均不相關(guān)的干擾或噪聲。

2.2 循環(huán)平穩(wěn)信號及其二階描述

循環(huán)平穩(wěn)信號指的是信號本身不具有周期性，但信號統(tǒng)計(jì)量（如均值、自相關(guān)函數(shù)等）呈周期性變化的信號。均值是周期性的信號為一階循環(huán)平穩(wěn)信號（CS1），更一般的循環(huán)平穩(wěn)信號是二階循環(huán)平穩(wěn)信號（CS2），即其自相關(guān)函數(shù)是周期性的。在此，主要研究CS2的盲提取算法，因?yàn)镃S1通過同步平均法［1］不難得到。

CS2信號xci(n)的時變自相關(guān)函數(shù)為

式中：n—時間；τ—時滯；αk≠0，k=1，…，K—循環(huán)頻率。循環(huán)譜密度由(τ)的傅里葉變換得到，即：

式中：f—譜頻率。

根據(jù)CS2信號的二階循環(huán)平穩(wěn)性，其循環(huán)譜密度(f) ≠0，即以循環(huán)頻率αk∈A隔開的兩個頻譜分量之間存在非零相關(guān)性。

3 理論研究

3.1 循環(huán)維納濾波器

在信號平穩(wěn)的情況下，盲提取問題的解決方案是利用線性時不變?yōu)V波器，眾所周知，它是維納濾波器。有趣的是，在信號循環(huán)平穩(wěn)的情況下，盲提取問題的最優(yōu)解具有線性周期時變結(jié)構(gòu)，因此，可以將其命名為循環(huán)維納濾波器。本節(jié)主要基于線性周期時變結(jié)構(gòu)介紹了盲提取CS2信號的工作原理，以及循環(huán)維納濾波器的計(jì)算問題。

3.1.1 盲提取CS2信號的工作原理

對于循環(huán)頻率αk∈A，線性周期時變?yōu)V波器可寫成以下形式

式中：gi，k(n)—線性時不變?yōu)V波器。輸入-輸出關(guān)系可寫為：

式中：*—卷積算符；zi，k(n)=xi(n)?e-2πjαkn—輸入信號xi(n)的頻移，αk可通過計(jì)算頻譜相關(guān)性估算得到［13］。

可以看出，對信號的線性時變?yōu)V波等效于對信號的頻移進(jìn)行線性時不變?yōu)V波的總和?；诰€性周期時變原理盲提取CS2信號的結(jié)構(gòu)框圖，如圖1所示。

圖1 盲提取CS2信號的結(jié)構(gòu)框圖Fig.1 Block Diagram of Blind Extraction of CS2 Signal

3.1.2 循環(huán)維納濾波器的計(jì)算

如上所述，已經(jīng)顯示了如何基于線性周期時變原理提取CS2信號，現(xiàn)在剩下的事情就是找到濾波器gi，k(n)，或等效地求出其頻域形式Gi，k(f)。

由節(jié)2.2可知，盲提取CS2信號正是基于兩個頻譜分量之間的非零相關(guān)性，因此，一種更相關(guān)的方法是從頻域上進(jìn)行計(jì)算。那么，式（5）的頻域形式為：

循環(huán)維納濾波器是在最小均方誤差意義上最佳地提取CS2分量，即：

由此，求得其矩陣形式的最優(yōu)濾波器為：

最終，將最優(yōu)濾波器代入式（6）可求得CS2分量(f)，再進(jìn)行傅里葉逆變換得到(n)。遍歷麥克風(fēng)陣列上所有聲壓傳感器，便計(jì)算出

3.2 貝葉斯近場聲全息

如上所述，經(jīng)過循環(huán)維納濾波器進(jìn)行濾波后，問題就變成：已知，重建感興趣的循環(huán)平穩(wěn)源s1。為此，采用貝葉斯近場聲全息方法。

設(shè)聲源為s1(r)，r∈Γ是感興趣的源面區(qū)域，聲源到麥克風(fēng)陣列的正向傳播模型為：

式中：G(r)—傳遞矩陣；v—測量噪聲。聲源分布可以寫成以下形式：

式中：M—空間基函數(shù)?m(r)的數(shù)量（等于麥克風(fēng)陣列上傳感器的個數(shù)）；cm—系數(shù)。

因此，估計(jì)聲源的問題就歸結(jié)為尋找最優(yōu)空間基函數(shù)Φ及其系數(shù)c的問題?？梢酝ㄟ^后驗(yàn)概率分布最大化，獲得最優(yōu)參數(shù)和，這就是所謂的最大后驗(yàn)估計(jì)（［］表示隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)）。

基于貝葉斯公式，后驗(yàn)概率分布可表示為：

式中：[1(c，Φ)]—似然函數(shù)，表示給定源分布s1(c，Φ)下觀察到測量數(shù)據(jù)xc的概率；s1(c，Φ)—先驗(yàn)概率分布，表示源分布的空間先驗(yàn)信息，可通過引入孔徑函數(shù)來表示，滿足

最終，重建感興趣的循環(huán)平穩(wěn)源為：

3.3 聲學(xué)成像優(yōu)化方法

將提出的基于循環(huán)維納濾波器的聲學(xué)成像優(yōu)化方法進(jìn)行梳理總結(jié)，具體流程，如圖2所示。

圖2 聲學(xué)成像優(yōu)化方法流程圖Fig.2 Flow Chart of Acoustic Imaging Optimization Method

4 盲信號提取算法評估

在聲學(xué)成像優(yōu)化方法中，循環(huán)維納濾波器的性能對聲源重建結(jié)果影響較大，而許多因素都會影響其降噪質(zhì)量，因此需要對盲信號提取算法進(jìn)行評估，探究各參數(shù)對盲提取精度的影響。

4.1 仿真信號模型

根據(jù)式（1）對含噪聲ni(n)的CS2信號xci(n)進(jìn)行建模，一階成分pi(n)已由同步平均法濾除。循環(huán)周期由T表示，且長度為L的合成信號模型為：

式中：δ(n)—離散狄拉克脈沖；Al—遵循高斯分布N(μA，σ)的隨機(jī)振幅；τl—遵循高斯分布N(0，σ)的一系列獨(dú)立且均勻分布的隨機(jī)變量；ni(n)—高斯白噪聲。信號模型式（14）可以很好地對許多旋轉(zhuǎn)機(jī)械信號進(jìn)行建模，因此將該信號用于盲信號提取算法的仿真驗(yàn)證。

4.2 算法評估

為了評估循環(huán)維納濾波器的降噪效果，可通過計(jì)算提取的CS2 信號(n)和真實(shí)的CS2 信號xci(n)之間的均方誤差來實(shí)現(xiàn)，即：

選擇采樣頻率fs=8192Hz，數(shù)據(jù)長度L=219。將信號按循環(huán)頻率αk=k/T，k=1，…，K成比例的頻移，由于二階循環(huán)平穩(wěn)信號xci(n)與其頻移形式相關(guān)，而噪聲ni(n)與其頻移形式不相關(guān)。因此，在對頻移的信號進(jìn)行濾波后，噪聲減小。

噪聲信號比和用于頻移的循環(huán)頻率數(shù)量的影響，如圖3 所示?？梢钥闯?，增加循環(huán)頻率的數(shù)量K會增強(qiáng)降噪效果。但隨著循環(huán)頻率數(shù)量的增加，計(jì)算量將變得非常大，這將降低算法的計(jì)算效率。因此，算法中使用的循環(huán)頻率數(shù)量應(yīng)在計(jì)算速度和降噪效果之間進(jìn)行折衷。另外，噪聲信號比越低，盲提取精度越高。

圖3 噪聲信號比和循環(huán)頻率數(shù)量的影響Fig.3 The Influence of the Noise-to-Signal Ratio and the Number of Cycle Frequencies

采樣頻率和數(shù)據(jù)長度與上述保持一致，選擇循環(huán)頻率個數(shù)K=4，考慮噪聲信號比為-5dB的情形。濾波前后的結(jié)果和殘差，如圖4（a）、圖4（b）所示。其中，圖4（a）中，部分顏色是使用循環(huán)維納濾波器之前的測量信號，另一部分顏色是使用循環(huán)維納濾波器之后盲提取的CS2 信號。圖4（b）中，殘差圖符合平穩(wěn)白噪聲的形式。因此，這驗(yàn)證了盲提取CS2信號的有效性。

圖4 CS2信號的盲提取Fig.4 Blind Extraction of CS2 Signal

5 聲源重建實(shí)驗(yàn)

為了進(jìn)一步驗(yàn)證所提的聲學(xué)成像優(yōu)化方法的有效性，進(jìn)行了雙音響聲源重建實(shí)驗(yàn)，該實(shí)驗(yàn)在混響室中進(jìn)行。實(shí)驗(yàn)裝置如圖5所示，主要由三部分組成：（1）雙音響聲源（按一定距離放置的兩個白色音響，音響1為循環(huán)平穩(wěn)信號源，由CS2信號驅(qū)動，音響2為干擾源，由白噪聲信號驅(qū)動）；（2）麥克風(fēng)陣列（由半徑為0.5m的圓形陣列支架及64個G.R.A.S.麥克風(fēng)傳感器組成），用于采集由雙音響聲源所輻射的聲壓信號；（3）PXIe-1085信號采集器，用于麥克風(fēng)陣列上的聲壓傳感器所采集信號的接收和存儲。

圖5 聲源重建實(shí)驗(yàn)Fig.5 Sound Source Reconstruction Experiment

聲源重建實(shí)驗(yàn)的具體流程如下：

（1）實(shí)驗(yàn)場景布置：將麥克風(fēng)傳感器與信號采集器對應(yīng)相連，且陣列面與聲源面（xy平面）的距離為z=0.5m，音響1在xy平面上距離麥克風(fēng)陣列中心的位置為（-0.1，0.05）m，音響2在xy平面上距離麥克風(fēng)陣列中心的位置為（0.25，0.05）m。

（2）信號的產(chǎn)生：利用Matlab分別生成循環(huán)平穩(wěn)信號xci(n)=和白噪聲信號ni(n)，并將其轉(zhuǎn)換成可播放格式，從而作為雙音響的信號源。

（3）采集聲壓數(shù)據(jù)：同時播放音響1和音響2，利用麥克風(fēng)傳感器對其輻射信號的聲壓進(jìn)行采集，采樣頻率fs=8192Hz，采樣時間為40s，然后將數(shù)據(jù)存儲到信號采集器中。

（4）數(shù)據(jù)處理：分別采用貝葉斯近場聲全息方法和這里所提的聲學(xué)成像優(yōu)化方法處理數(shù)據(jù)，進(jìn)行聲源重建。

其中，在2422Hz處聲源的重建結(jié)果，如圖6所示。圖6（a）是直接采用貝葉斯近場聲全息方法得到的重建結(jié)果，重建聲源的平面位置中心分別為（-0.11，0.06）m和（0.27，0.04）m，與兩個音響的實(shí)際位置非常接近。由結(jié)果可知，貝葉斯近場聲全息方法雖然可以較好的實(shí)現(xiàn)聲源的定位，但并不能抑制其它干擾源。圖6（b）則是用基于循環(huán)維納濾波器的聲學(xué)成像優(yōu)化方法得到的結(jié)果，重建聲源的平面位置中心為（-0.1，0.06）m，與音響1的實(shí)際位置非常接近。由結(jié)果可知，聲學(xué)成像優(yōu)化方法既能較好的實(shí)現(xiàn)聲源的定位，又可以從含有其它干擾源的噪聲環(huán)境中僅重建感興趣的循環(huán)平穩(wěn)源。

圖6 2422Hz處聲源重建結(jié)果Fig.6 Sound Source Reconstruction Result at 2422Hz

6 結(jié)論

基于循環(huán)維納濾波器提出了一種聲學(xué)成像優(yōu)化方法，通過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了所提方法的有效性和可行性。與傳統(tǒng)的振動信號分析方法相比，該方法具有非接觸式測量和可視化重建的優(yōu)點(diǎn)。與傳統(tǒng)的聲學(xué)成像技術(shù)相比，又解決了在含有其它干擾源的噪聲環(huán)境中準(zhǔn)確地定位和重建感興趣的循環(huán)平穩(wěn)源的問題。因此，該方法具有一定的應(yīng)用價值，將為機(jī)械系統(tǒng)，尤其是旋轉(zhuǎn)機(jī)械系統(tǒng)中關(guān)鍵部件的噪聲控制和結(jié)構(gòu)優(yōu)化等方面提供指導(dǎo)依據(jù)。