混合灰色關(guān)聯(lián)和有限元法的鋁合金三明治板輕量化設(shè)計(jì)

龔青山，吳東雨，張光國，孫章棟

（湖北汽車工業(yè)學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院，湖北 十堰 442000）

1 引言

汽車輕量化技術(shù)是目前汽車行業(yè)關(guān)注的熱點(diǎn)問題，而鋁合金三明治結(jié)構(gòu)具有質(zhì)量輕、耐腐蝕、較好的力學(xué)性能，從而在汽車、高速列車上都得到廣泛應(yīng)用。三明治結(jié)構(gòu)起源于仿生學(xué)，最早應(yīng)用于航空航天領(lǐng)域，以鋁為原料的三明治板在提高產(chǎn)品性能的同時又能大大降低成本。國內(nèi)外學(xué)者對三明治夾層結(jié)構(gòu)進(jìn)行了許多研究。文獻(xiàn)［1］通過有限元軟件ABAQUS從數(shù)值模擬的角度對比了單層不銹鋼板、波紋三明治板、管狀交叉三明治板、方形蜂窩三明治板四種結(jié)構(gòu)在爆炸沖擊載荷下的性能，證明了相同重量下方形蜂窩三明治板防護(hù)效果最佳，并考慮脫焊缺陷下的抗沖擊能力得出在工程實(shí)際中管狀交叉三明治板具有良好的抗沖擊與穩(wěn)定性。文獻(xiàn)［2］研究了管狀三明治在靜態(tài)壓縮工況下的變形、能量吸收進(jìn)行了數(shù)值仿真分析，并通過實(shí)現(xiàn)驗(yàn)證了仿真的正確性。結(jié)果表明在壓縮過程中芯體橫管的彎曲、縱管的壓縮吸收了靜載壓力下的動能，保證了下板的承載壓力較小。文獻(xiàn)［3］基于蜂窩板等效參數(shù)模型，建立了考慮安裝及膠層附加質(zhì)量的有限元模型，通過正交實(shí)驗(yàn)篩選出設(shè)計(jì)變量，并基于響應(yīng)面模型對蜂窩芯的密度及剪切模量進(jìn)行參數(shù)優(yōu)化，優(yōu)化后的蜂窩模型滿足航天器微振動分析的要求。文獻(xiàn)［4］以民船上層建筑為對象，基于鋁質(zhì)夾層板對上層建筑局部進(jìn)行輕量化代替性研究，利用有限元軟件比較分析代替前后上層建筑力學(xué)性能。結(jié)果表明鋁質(zhì)夾層板能夠有效減輕結(jié)構(gòu)質(zhì)量，并具有更好的力學(xué)性能。文獻(xiàn)［5］對幾種正多邊形金屬點(diǎn)陣格柵三明治結(jié)構(gòu)在低俗沖擊下的動態(tài)響應(yīng)進(jìn)行研究，總結(jié)各結(jié)構(gòu)能量吸收性能的差異以及不同結(jié)構(gòu)尺寸的三明治板的耐沖擊性能。

目前對于三明治結(jié)構(gòu)的研究主要集中于其力學(xué)性能的研究，由于三明治板的面板與芯層很薄，優(yōu)化余量較小，因此關(guān)于三明治板輕量化設(shè)計(jì)方面的研究較少。這里設(shè)計(jì)出性能優(yōu)良的輕量化三明治板用于貨車防滑板，分別以I型、V型、U型芯層的鋁合金板為研究對象，通過有限元分析得到不同芯層的鋁合金三明治板最大應(yīng)力以及最大位移，建立以質(zhì)量、最大撓度、最大應(yīng)力為變量的綜合性能評價函數(shù)，并基于全局響應(yīng)面法與可行方向法對性能較好的V型板進(jìn)行尺寸優(yōu)化，實(shí)現(xiàn)貨車防滑板輕量化設(shè)計(jì)要求。

2 三明治板彎曲特性分析

三明治結(jié)構(gòu)通常是由比較薄的面板與比較厚的芯層膠接而成。在三明治結(jié)構(gòu)中，上下面板是主要的承載者，主要承受側(cè)向載荷和平面彎矩，通常采用強(qiáng)度和剛度比較高的材料［6］；而夾芯則主要承受剪切力，同時起到減輕重量的作用，通常采用密度比較小的材料。這里采用鋁合金三明治板代替?zhèn)鹘y(tǒng)的單層鋁合金板對某貨車防滑板進(jìn)行設(shè)計(jì)。承受純彎曲的三明治構(gòu)件應(yīng)力應(yīng)變分布，如圖1所示。

圖1 標(biāo)準(zhǔn)寬度受彎曲載荷的三明治構(gòu)件應(yīng)力分布Fig.1 The Stress Distribution of a Sandwich Member With a Standard Width Subjected to Bending Load

而彎曲為此構(gòu)件的主要載荷情況。以寬度為標(biāo)準(zhǔn)的彎曲力矩計(jì)算如下：

在該表達(dá)式中，也必須考慮不同的局部應(yīng)力分布：

可得出抗彎強(qiáng)度為：

整理后可得出：

當(dāng)t?h時，可得：

式中：By—每單位寬度夾層結(jié)構(gòu)彎曲剛度（N·m）；

EH—夾層結(jié)構(gòu)面板材料彈性模量（N·m-2）；

EK—夾層結(jié)構(gòu)芯層材料彈性模量（N·m-2）；

t—夾層結(jié)構(gòu)上、下層面板厚度（mm）；

hk—夾層結(jié)構(gòu)夾芯層高度（mm）。

3 鋁合金三明治板芯層結(jié)構(gòu)優(yōu)選

3.1 鋁合金三明治板模型建立

在滿足公司整體尺寸要求以及保證芯層胞元密度一致的條件下，設(shè)計(jì)出I型、U型、V型的鋁合金三明治板并進(jìn)行對比分析，以得到力學(xué)性能較好的芯層結(jié)構(gòu)。三種鋁合金三明治板的整體尺寸為長L=940mm、寬B=400mm，高H=22mm、單胞尺寸，如圖2所示。三種鋁合金三明治板三維模型，如圖3所示。

圖2 三種鋁合金三明治板單胞尺寸Fig.2 Three Kinds of Aluminum Alloy Sandwich Board Unit Cell Size

圖3 三種鋁合金三明治板模型Fig.3 Three Kinds of Aluminum Alloy Sandwich Board Models

3.2 靜力學(xué)分析

這里研究的鋁合金三明治板用于貨車防滑踏板，如圖4 所示。其主要作用是方便工作人員站立檢修，由于結(jié)構(gòu)主要承受靜載，因此對三種芯層結(jié)構(gòu)的鋁合金三明治板進(jìn)行靜力學(xué)分析?；谏鲜瞿Ｐ偷慕Y(jié)構(gòu)尺寸，利用有限元軟件HyperMesh建立有限元模型。由于鋁合金三明治板厚度僅為2mm且遠(yuǎn)小于其長與寬，因此全局使用5mm的一階四邊形殼單元劃分有限元分析模型。鋁合金三明治防滑踏板兩端與車架固定連接，中心區(qū)域要求能夠承載300kg的重力，因此在下板面與車架連接位置，即下板面兩端距邊緣80mm區(qū)域施加固定約束，并施加3000N載荷在上板面中心（250×400）mm區(qū)域，如圖5所示。鋁合金蜂窩板結(jié)構(gòu)材料參數(shù)，如表1所示。

表1 鋁合金材料屬性Tab.1 Aluminum Alloy Material Properties

圖4 貨車防滑踏板Fig.4 Truck Anti-Skid Pedal

圖5 鋁合金三明治板有限元模型Fig.5 Finite Element Model of Aluminum Alloy Sandwich Plate

建立有限元模型并施加對應(yīng)的約束與載荷，通過HyperMesh自帶求解器進(jìn)行求解，得到應(yīng)力、位移云圖，如圖6所示。計(jì)算后得到不同類型鋁合金三明治板質(zhì)量、最大撓度、最大應(yīng)力得到數(shù)據(jù)，如表2所示。為了對不同鋁合金三明治板的承載能力進(jìn)行衡量以及與后續(xù)優(yōu)化結(jié)果進(jìn)行比對，三明治板的彎曲剛度通過KB最大撓度ymax來衡量，最大撓度越小，則板的剛度越大。

表2 有限元分析結(jié)果Tab.2 Finite Element Analysis Results

圖6 三種芯層鋁合金三明治板的應(yīng)力、位移云圖Fig.6 Stress and Displacement Cloud Diagrams of Three Core Aluminum Alloy Sandwich Panels

3.3 基于灰色關(guān)聯(lián)法結(jié)構(gòu)優(yōu)選

基于灰色關(guān)聯(lián)法建立評價函數(shù)并通過評價函數(shù)大小來進(jìn)行鋁合金三明治板的結(jié)構(gòu)優(yōu)選?；疑P(guān)聯(lián)法是一種多因素系統(tǒng)的分析方法［7］。用灰色關(guān)聯(lián)度來描述系統(tǒng)之間關(guān)聯(lián)度，最后得到不同系統(tǒng)之間主次大小關(guān)系的方法。在實(shí)際問題中根據(jù)評判目的選擇一組參考序列，對各評價對象分別計(jì)算與參考序列對應(yīng)元素的關(guān)聯(lián)度，利用灰色關(guān)聯(lián)法判斷各評價對象（比較序列）與參考序列之間的關(guān)系，從而得到各因素之間的權(quán)重系數(shù)。

根據(jù)表2中不同類型鋁合金三明治板質(zhì)量、最大撓度、最大應(yīng)力的數(shù)據(jù)建立起原始數(shù)據(jù)矩陣：

由于原始數(shù)據(jù)矩陣中的各數(shù)據(jù)量綱不同，所以要對數(shù)據(jù)進(jìn)行初始化：

令第一組數(shù)據(jù)為參考序列X0=(1 0.914 0.878)，并計(jì)逐個計(jì)算被評價對象（比較序列）與參考序列對應(yīng)元素的絕對值之差，公式為：

基于灰色關(guān)聯(lián)分析法得到質(zhì)量、最大撓度與最大應(yīng)力之間的關(guān)聯(lián)系數(shù)，取值范圍為（0～1）?；疑P(guān)聯(lián)系數(shù)公式為：

式中：δi(k)—比較序列與參考序列之間的灰色關(guān)聯(lián)系數(shù)；ζ—分辨系數(shù)，取值在（0～1）之間，ζ越小則關(guān)聯(lián)系數(shù)之間差異越大，通常ζ取0.5；Δmin與Δmax—被評價對象（比較序列）與參考序列對應(yīng)元素的絕對值之差的最小與最大值，文中最大最小值分別為0與2.826。從而得到關(guān)聯(lián)系數(shù)矩陣δij：

求關(guān)聯(lián)系數(shù)平均值：

得到各因素之間的關(guān)聯(lián)系數(shù)，并將其歸一化得到質(zhì)量、最大撓度、最大應(yīng)力之間的權(quán)重，如表3所示。

表3 各因素關(guān)聯(lián)系數(shù)及權(quán)重Tab.3 Correlation Coefficients and Weights of Various Factors

由各因素之間的權(quán)重與初始化后的數(shù)據(jù)矩陣建立綜合性能的評價函數(shù)：

式中：a，b，c—質(zhì)量、最大撓度、最大應(yīng)力的權(quán)重；

fm，fd，fs—質(zhì)量、最大位移、最大應(yīng)力初始化后的數(shù)據(jù)。

從而得到不同芯層鋁合金三明治板的評價函數(shù)大小，如表4所示。

由于評價函數(shù)是以質(zhì)量、最大應(yīng)力以及最大撓度為變量所構(gòu)成，因此函數(shù)值越小綜合性能越好。由上表可知，V型板的評價函數(shù)大小均小于其他兩種鋁合金板，因此基于上述V型板進(jìn)行進(jìn)一步優(yōu)化。

4 鋁合金三明治板結(jié)構(gòu)輕量化設(shè)計(jì)

基于自適應(yīng)響應(yīng)面法與可行方向法對模型進(jìn)行尺寸優(yōu)化分析。將模型參數(shù)化，分別以板的上、下表面以及芯層厚度為設(shè)計(jì)變量并設(shè)置優(yōu)化范圍為（0～2）mm；為預(yù)留一定的安全范圍，安全系數(shù)取1.5，則約束為最大應(yīng)力不超過50MPa、最大撓度不超過2mm；優(yōu)化目標(biāo)為板的質(zhì)量最小。優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)模型可表示為：

式中：T1—上板面厚度；

T2—芯層厚度；

T3—下板面厚度，如圖7所示；

圖7 優(yōu)化變量Fig.7 Optimization Variables

σmax、δmax—靜載工況下最大應(yīng)力值與最大位移值。

4.1 基于全局響應(yīng)面法的結(jié)構(gòu)優(yōu)化

響應(yīng)面法是通過一系列確定性實(shí)驗(yàn)來用響應(yīng)面函數(shù)近似隱士極限狀態(tài)函數(shù)，通過合理地選取迭代策略和樣本點(diǎn)，從而保證多項(xiàng)式函數(shù)能夠在失效概率上收斂于真實(shí)的隱式極限狀態(tài)函數(shù)的失效概率［8］。當(dāng)真實(shí)的極限狀態(tài)函數(shù)非線性程度不大時，線性響應(yīng)面具有較高的近似精度。但是由于響應(yīng)面法只是依靠初始樣本點(diǎn)數(shù)據(jù)來構(gòu)造響應(yīng)面函數(shù)，并用數(shù)值方法來求得最優(yōu)解集。如果初始樣本點(diǎn)構(gòu)造的函數(shù)精度不夠，那么得到的最優(yōu)解也不夠精確。

全局響應(yīng)面法（GRSM）是一種基于響應(yīng)面法的優(yōu)化方法，可以進(jìn)行單目標(biāo)或者多目標(biāo)的優(yōu)化［9-10］。這種算法是從初始值附近的隨機(jī)點(diǎn)開始優(yōu)化，每一步迭代過程都會基于全局采樣算法產(chǎn)生一些新的設(shè)計(jì)點(diǎn)，因此可以兼顧局部搜索與全局搜索。在迭代中產(chǎn)生的設(shè)計(jì)點(diǎn)都可以并行求解，利用新產(chǎn)生的點(diǎn)進(jìn)行自適應(yīng)更新從而更好地?cái)M合模型，具體優(yōu)化流程，如圖8 所示?；谌猪憫?yīng)面法得到目標(biāo)函數(shù)迭代過程，如圖9 所示。經(jīng)過24 次迭代目標(biāo)函數(shù)以及優(yōu)化變量趨于收斂，最終的優(yōu)化結(jié)果，如表5所示。

表5 基于全局響應(yīng)面法優(yōu)化結(jié)果前后對比Tab.5 Before and After Optimization Results Based on Global Response Surface Method

圖8 GRSM優(yōu)化流程Fig.8 GRSM Optimization Process

圖9 基于全局響應(yīng)面法的目標(biāo)迭代過程Fig.9 Target Iteration Process Based on Global Response Surface Method

4.2 基于可行方向法的結(jié)構(gòu)優(yōu)化

可行方向法（MFD）是最早出現(xiàn)的用以求解約束優(yōu)化問題的算法之一［11］。可行方向法可看作是由無約束下降算法的自然推廣。該方法的基本思想是從當(dāng)前的可行點(diǎn)出發(fā)，以一定的步長沿著目標(biāo)函數(shù)下降可行方向進(jìn)行搜索，求出使目標(biāo)函數(shù)值下降的可行點(diǎn)，進(jìn)而逼近最優(yōu)點(diǎn)?？尚蟹较蚍ㄖ饕沁x擇搜索方向和確定步長兩個方面。

式中：X(k)—第n步迭代設(shè)計(jì)變量的值；n—迭代次數(shù)；a—搜索步長；S—搜索方向。

對于搜索方向，要使得每一步設(shè)計(jì)變量的值都在可行域內(nèi)，并且使得目標(biāo)函數(shù)值下降。為了使目標(biāo)函數(shù)下降快，應(yīng)該保證梯度與搜索方向成鈍角：

搜索步長a的選取主要考慮以下幾種情況：沿著可行性方向進(jìn)行以為搜索，使得minf(Xk+ak?Sk)，從而求出步長a，在約束邊界上得到Xk+1；沿可行性方向碰到某個主動約束g1(Xk+ak?Sk)=0，求出步長a，并在邊界上得到Xk+1；移動距離到達(dá)預(yù)先規(guī)定的極限并停止移動得到Xk+1。

基于可行方向法得到目標(biāo)函數(shù)迭代過程，如圖10所示。經(jīng)過14次迭代目標(biāo)函數(shù)以及優(yōu)化變量趨于收斂，最終的優(yōu)化結(jié)果，如表6所示。

表6 基于可行方向法優(yōu)化結(jié)果前后對比Tab.6 Before and After Optimization Results Based on Feasible Direction Method

圖10 基于可行方向法的目標(biāo)迭代過程Fig.10 Target Iteration Process Based on Feasible Direction Method

4.3 優(yōu)化結(jié)果

兩種不同優(yōu)化方法的優(yōu)化結(jié)果，如表7所示。兩者均可達(dá)到輕量化效果，在減輕重量的同時滿足強(qiáng)度以及剛度的要求，但是使用可行方向法優(yōu)化的迭代次數(shù)更少且最大應(yīng)力與最大撓度均小于全局響應(yīng)面法優(yōu)化結(jié)果。

表7 兩種方法優(yōu)化結(jié)果對比Tab.7 Comparison of Optimization Results of the Two Methods

5 結(jié)論

這里以企業(yè)的實(shí)際需求為背景對鋁合金三明治板輕量化設(shè)計(jì)展開研究：

（1）針對三種不同芯層的鋁合金三明治板進(jìn)行三維模型的建立，根據(jù)實(shí)際工況對其進(jìn)行有限元分析。并基于灰色關(guān)聯(lián)法建立了以質(zhì)量、最大撓度、最大應(yīng)力為變量的綜合性能評價函數(shù)，綜合評價得出V型芯層的鋁合金三明治板性能較優(yōu)。

（2）基于全局響應(yīng)面法以及可行方向法對V型鋁合金板進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，對比得出可行方向法在該結(jié)構(gòu)優(yōu)化中的迭代次數(shù)更少、運(yùn)算效率更高。

（3）在滿足強(qiáng)度以及剛度要求的條件下，優(yōu)化后的V型鋁合金三明治板質(zhì)量減少了約29.5%，滿足生產(chǎn)要求。