旋轉(zhuǎn)行波型超聲電機(jī)定子的非線性動力學(xué)分析

陶 征，趙 丹，高建設(shè)

（鄭州大學(xué)機(jī)械與動力工程學(xué)院，河南 鄭州 450001）

1 引言

超聲電機(jī)（Ultrasonic Motor，簡稱USM）是一種全新概念的微特電機(jī)。它利用壓電材料的逆壓電效應(yīng)，激發(fā)彈性體在超聲頻段內(nèi)的微幅振動，并通過定、轉(zhuǎn)子之間的摩擦作用來實現(xiàn)轉(zhuǎn)子（動子）的旋轉(zhuǎn)（直線）運動。相比于傳統(tǒng)電磁電機(jī)，超聲電機(jī)具有低速大扭矩、重量輕、結(jié)構(gòu)緊湊、起停靈敏度高、響應(yīng)快，不受外界磁場干擾等特點。這些特點使其在航天領(lǐng)域中的空間機(jī)器人、火星探測器和衛(wèi)星等系統(tǒng)中有著廣闊的應(yīng)用前景［1］。2020年11月24日，中國新聞網(wǎng)報道由我國自行研制的超聲電機(jī)已在嫦娥五號登月工程中獲得成功應(yīng)用，助力嫦娥五號奔月挖土。

超聲電機(jī)是一項橫跨振動、摩擦、材料等多學(xué)科的高新技術(shù)體系。其結(jié)構(gòu)特點及其工作形式?jīng)Q定了該體系相比于一般的機(jī)械振動系統(tǒng)具有強(qiáng)非線性的特性。這一特性嚴(yán)重影響著超聲電機(jī)運行的平穩(wěn)性、可靠性，同時也為超聲電機(jī)的運行控制帶來了一定的困難。為此，超聲電機(jī)的非線性建模問題已在該領(lǐng)域受到廣泛的關(guān)注。文獻(xiàn)［2］考慮定子、轉(zhuǎn)子、摩擦和接觸等因素建立了電機(jī)整機(jī)模型，該模型可預(yù)測電機(jī)輸入輸出功率和效率；文獻(xiàn)［3］系統(tǒng)地研究了雙模態(tài)縱扭直線型超聲電機(jī)的動力學(xué)原理，通過數(shù)值仿真和實驗發(fā)現(xiàn)了死區(qū)和飽和現(xiàn)象；文獻(xiàn)［4］通過理論分析和實驗觀察得到蘭杰文振子的滯后、頻率漂移及飽和現(xiàn)象。文獻(xiàn)［5-6］建立了定子駐波和行波振動的非線性動力學(xué)模型，應(yīng)用多尺度法研究了定子的主共振響應(yīng)，發(fā)現(xiàn)定子存在多解和跳躍現(xiàn)象；文獻(xiàn)［7］在建立了超聲電機(jī)非線性混沌分析模型后，分析了電機(jī)轉(zhuǎn)速控制系統(tǒng)的非線性運行特性；文獻(xiàn)［8］考慮了桿式電機(jī)摩擦、接觸等非線性因素建立了精確有限元模型，設(shè)計制造了電機(jī)原理樣機(jī)。這里通過四階Runge-Kutta法、Lyapu‐nov指數(shù)、Poincaré截面等方法，針對TRUSM-60旋轉(zhuǎn)型行波超聲電機(jī)定子在單相激勵下的振動響應(yīng)特性進(jìn)行了研究，獲得了定子機(jī)體在一定激勵頻率下的非線性響應(yīng)特性，為進(jìn)一步研究超聲電機(jī)的非線性問題提供了一定的基礎(chǔ)。

2 定子的非線性動力學(xué)模型

TRUSM-60旋轉(zhuǎn)型行波超聲電機(jī)定子結(jié)構(gòu)，如圖1所示。電機(jī)定子主要由線彈性金屬體和壓電陶瓷片構(gòu)成。如前所述，當(dāng)定子中的壓電陶瓷片被施加一定頻率的交變電壓時，其逆壓電效應(yīng)將使定子彈性體產(chǎn)生相應(yīng)的振動響應(yīng)，如圖3所示。

圖1 超聲電機(jī)定子結(jié)構(gòu)圖Fig.1 Stator Structure Chart of Ultrasonic Motor

圖2 壓電陶瓷極化圖Fig.2 Polarization Chart of Piezoelectric Ceramics

圖3 定子振型圖Fig.3 Stator Vibration Shape Chart

當(dāng)激勵頻率接近或達(dá)到定子的固有頻率時，定子達(dá)到共振狀態(tài)?，F(xiàn)有資料表明［9］，壓電陶瓷在強(qiáng)交變電場的作用下，由于極化后的壓電陶瓷體內(nèi)剩余極化殘留出現(xiàn)翻轉(zhuǎn)，使得壓電陶瓷的機(jī)電耦合特性不再是簡單的線性關(guān)系，強(qiáng)非線性則成為主要的表現(xiàn)特征。壓電材料的這種非線性是形成定子體非線性問題的本質(zhì)，在超聲電機(jī)的諸多非線性因素中占有重要的地位，對電機(jī)性能有著重要的影響。

在科研學(xué)者前期研究的基礎(chǔ)上，根據(jù)電機(jī)定子的結(jié)構(gòu)特點，考慮壓電材料的非線性本構(gòu)關(guān)系，利用廣義Hamilton變分原理和Rayleigh-Ritz模態(tài)假設(shè)方法建立了TRUSM-60型電機(jī)定子在單相電壓激勵下的非線性動力學(xué)模型，如式（1）所示。

式中：Mk—定子模態(tài)質(zhì)量；Dk—定子模態(tài)剛度；Ck—模態(tài)阻尼系數(shù)；P（t）—定子模態(tài)坐標(biāo)；機(jī)電耦合系數(shù)；Nk—壓電陶瓷的電容系數(shù)與壓電材料相關(guān)的非線性系數(shù)。壓電材料的非線性本構(gòu)關(guān)系為［10］：

式中：cE—平面剛度系數(shù)矩陣；e—壓電系數(shù)矩陣；eS—介電系數(shù)矩陣；γ—電致彈性系數(shù)矩陣；β—電致伸縮系數(shù)矩陣。

式中：?wl—定子彎曲振型函數(shù)；?v—電勢分布函數(shù)—非線性剛度系數(shù)。

令激勵電壓V（t）=V0cos（wt），將其代入式（1）中第一個方程，可得：

對式（12）進(jìn)行無量綱化，引入無量綱時間［11］：

引入無量綱小量ε，將阻尼項、非線性剛度項考慮為一階小量，外部激勵項考慮為二階小量，則動力學(xué)式（12）可以表示為：

式中：l—無量綱頻率；

Δ—激勵頻率調(diào)諧參數(shù)；

ωn—定子固有頻率。

3 定子非線性行為分析

分岔與混沌是非線性動力學(xué)系統(tǒng)所特有的一種運動形式，且對系統(tǒng)參數(shù)有較強(qiáng)的依賴性，因此，這里基于上述定子在單相激勵下的非線性動力學(xué)方程，采用四階Runge-Kutta 法、Lyapunov指數(shù)、Poincaré 截面等方法，對定子在單相激勵下的振動響應(yīng)隨激勵頻率改變而變化的非線性動力學(xué)行為進(jìn)行研究。仿真過程中所用參數(shù)，其中壓電陶瓷材料為PZT-8，如表1所示。

表1 定子的結(jié)構(gòu)參數(shù)和材料參數(shù)Tab.1 The Structural Parameters and Material Parameters of Stator

當(dāng)激勵電壓V0取150V，ε=0.1時，由式（17）可知，改變激勵頻率調(diào)諧參數(shù)Δ的值，可得定子在單相激勵下的振動響應(yīng)隨激勵頻率改變而變化的特征，如圖4、圖5所示。

圖4 分岔圖Fig.4 Bifurcation Chart

圖5 最大Lyapunov指數(shù)圖Fig.5 Chart of the Largest Lyapunov Exponent

圖6 定子系統(tǒng)局部分岔圖Fig.6 Local Bifurcation Chart of Stator System

如圖4所示，當(dāng)Δ在（-8～4）范圍變化時，定子的振動響應(yīng)有明顯的非穩(wěn)定狀態(tài)出現(xiàn)，其中，Δ在（-8～-7.4）區(qū)間變化時，定子振動出現(xiàn)Hopf分岔。如圖5所示，可知Δ在（-8～-7.4）區(qū)間所對應(yīng)的最大Lyapunov指數(shù)約為0，由最大Lyapunov指數(shù)特性可知，該處為典型的擬周期運動，定子振動處于不穩(wěn)定狀態(tài)。系統(tǒng)Hopf分岔過程中相應(yīng)的Poincaré映射圖，如圖7所示。該圖顯示，當(dāng)Δ=-7.4（分岔點A）時，Poincaré 截面成吸引環(huán)，隨著分岔參數(shù)的不斷變化，吸引不變?nèi)Σ粩嗯蛎浿敝磷冃?，最終由擬周期運動過渡為單周期穩(wěn)定運動狀態(tài)。

圖7 定子分岔過程對應(yīng)的龐加萊截面圖（a）和（b）穩(wěn)定的焦點；（c）吸引不變?nèi)Γ唬╠）和（e）膨脹的吸引不變?nèi)?；（f）變形的吸引不變?nèi)ig.7 Poincaré Cross-Sections Corresponding to Stator Bifurcation Process（a）and（b）Stable Focus；（c）Attraction Invariant Loop；（d）and（e）Expanded Attraction Invariant Loop；（f）Deformation Attraction of Constant Circle

當(dāng)Δ=-3.52時，系統(tǒng)出現(xiàn)跳躍現(xiàn)象。這一現(xiàn)象我們認(rèn)為是壓電陶瓷在交變電場的作用下，由壓電材料的電致彈性和伸縮效應(yīng)引起的非線性激振力導(dǎo)致能量損失所致。當(dāng)Δ=（-3.52～-2.45）時，系統(tǒng)再一次出現(xiàn)Hopf分岔并逐漸演化為單周期運動。當(dāng)Δ大于0，系統(tǒng)進(jìn)入單周期穩(wěn)定運動。

超聲電機(jī)在實際應(yīng)用中，為了獲取能量轉(zhuǎn)換最大效率，一般選取定子的共振頻率作為其工作激勵頻率。以上各非穩(wěn)定區(qū)則均出現(xiàn)在定子固有頻率點的左側(cè)，如圖4 所示。這一現(xiàn)象似乎對實際工程應(yīng)用并無影響，然而，由文獻(xiàn)［11］可知，隨著超聲電機(jī)的連續(xù)工作，由于定轉(zhuǎn)子之間的摩擦以及材料阻尼使機(jī)體溫度升高而出現(xiàn)定子頻率下降的頻率漂移現(xiàn)象，導(dǎo)致電機(jī)輸出穩(wěn)定性下降。為解決這一現(xiàn)象，當(dāng)前主流的控制策略是采用頻率追蹤技術(shù)，因此，實施這一控制方法過程中，回避圖中非穩(wěn)態(tài)區(qū)應(yīng)得到關(guān)注。

另外，如圖5所示，可以看出共振點（Δ=0）處的最大Lyapunov指數(shù)也是處于略大于0的狀態(tài)，這一現(xiàn)象表明固有頻率點或接近固有頻率點處，定子振動狀態(tài)應(yīng)該也存在著一定的不穩(wěn)定性。為此，我們對共振點（Δ=0）附近的定子振動特性作進(jìn)一步的仿真分析，獲得了定子系統(tǒng)分岔圖，如圖6所示。由圖可知，定子在非常接近共振頻率時的振動的確存在著一定的相對較弱的不穩(wěn)定性。為此，我們認(rèn)為，為了獲得最佳電機(jī)工作狀態(tài)，激勵頻率應(yīng)適當(dāng)高于定子固有頻率。

4 結(jié)論

超聲電機(jī)具有強(qiáng)非線性，筆者在四階Runge-Kutta法、Lyapu‐nov指數(shù)、Poincaré截面等方法的基礎(chǔ)上，用數(shù)值分析方法研究了旋轉(zhuǎn)行波超聲電機(jī)定子在單相激勵下隨頻率變化時的非線性特性，結(jié)果表明定子系統(tǒng)在一定的頻率范圍內(nèi)存在嚴(yán)重的非線性現(xiàn)象以及在共振點處仍然處于弱非穩(wěn)定狀態(tài)?；谏鲜龇治觯槍Ξ?dāng)前所采用的頻率追蹤控制技術(shù)給出了應(yīng)避開非穩(wěn)態(tài)區(qū)所對應(yīng)頻率以及電機(jī)激勵頻率應(yīng)選取適當(dāng)高于定子固有頻率的建議。這些研究對進(jìn)一步研究超聲電機(jī)的動力學(xué)機(jī)理及工作的穩(wěn)定性控制技術(shù)具有重要的意義。