化歸思想之我見

摘 要：在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，應(yīng)用化歸思想方法解題應(yīng)注意強(qiáng)化通性通法教學(xué)，掌握化歸的一般方法. 隨著化歸方法教學(xué)的日益普及和深入，一些問(wèn)題也擺在我們面前，“化歸”在數(shù)學(xué)理論研究以及數(shù)學(xué)教學(xué)中集“保守與創(chuàng)新”于一體，在利用“化歸”時(shí)要注意它的“雙重身份”.

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)教學(xué)；數(shù)學(xué)思想；化歸思想

數(shù)學(xué)思想方法對(duì)于中學(xué)數(shù)學(xué)教與學(xué)的重要性，目前已得到數(shù)學(xué)教育界的普遍認(rèn)可. 數(shù)學(xué)中一切問(wèn)題的解決都離不開轉(zhuǎn)化與化歸，數(shù)形結(jié)合思想體現(xiàn)了數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化；函數(shù)與方程思想體現(xiàn)了函數(shù)、方程、不等式之間的相互轉(zhuǎn)化；分類討論思想體現(xiàn)了局部與整體的相互轉(zhuǎn)化. 以上三種思想方法都是轉(zhuǎn)化與化歸思想的具體體現(xiàn). 分析法、反證法、待定系數(shù)法、構(gòu)造法等都是轉(zhuǎn)化的手段. 因此，轉(zhuǎn)化與化歸是數(shù)學(xué)思想方法的靈魂. 在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，應(yīng)用化歸思想方法解題應(yīng)注意以下幾個(gè)方面.

■強(qiáng)化通性通法教學(xué)

通性通法使人有章可循，在教學(xué)中強(qiáng)化通性通法，有助于真正掌握基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能，進(jìn)而形成相對(duì)穩(wěn)定的數(shù)學(xué)模式，從而解決一類相關(guān)問(wèn)題.

1. 尋求更為一般的解法

例1 已知圓O：（x-a）2+（y-2）2=4（a>0），直線l：x-y+3=0，當(dāng)直線l被C截得的弦長(zhǎng)為2■時(shí)，a等于（ ）

A. ■ B. 2-■

C. ■-1 D. ■+1

思考1：注意到問(wèn)題的數(shù)值特征，在Rt△AOD中，cos∠OAD=■，得∠OAD=30°，則d=OD=1. 又d=■=■，注意到a>0，所以a=■-1.

■

圖1

思考2：若問(wèn)題所給的數(shù)據(jù)發(fā)生變化，即∠OAD不是特殊角，又該如何處理？較為一般的處理方法是在Rt△ADC中利用勾股定理計(jì)算出d，接下來(lái)的過(guò)程與（1）相同.

2. 探求更為一般的結(jié)論

例2 已知a，b，m∈R+，且a■（課本例題）.

講完這道題后，對(duì)問(wèn)題進(jìn)一步拓展：若0

借助例題，學(xué)生很快得出結(jié)論：■<■，進(jìn)而得出更為一般的結(jié)論：f（x）=■（a>b>0）在（0，+∞）上是增函數(shù).

3. 總結(jié)更為一般的模式

數(shù)學(xué)問(wèn)題千變?nèi)f化，卻有規(guī)律可循，例如二次函數(shù)極值問(wèn)題，它的求解過(guò)程總不外乎這樣三個(gè)步驟：①得到二次函數(shù)；②確定變量的取值范圍；③根據(jù)拋物線對(duì)稱軸位置及開口方向確定極值，從而形成一類問(wèn)題的解決模式. 中學(xué)數(shù)學(xué)中這樣的情況很多，教學(xué)中教師要善于總結(jié)歸納，并通過(guò)練習(xí)，提高學(xué)生模式識(shí)別能力，學(xué)會(huì)通過(guò)適當(dāng)代換、合理變形，轉(zhuǎn)化為熟悉的解題模式.

例3 已知f（t）=log2t，t∈[■，8]，對(duì)于f（t）值域內(nèi)的所有實(shí)數(shù)m，不等式x2+mx+4>2m+4x恒成立，求x的取值范圍.

解：因?yàn)閠∈[■，8]，所以f（t）∈■，3，原題轉(zhuǎn)化為m（x-2）+（x-2）2>0恒成立，它是關(guān)于m的一次函數(shù)，當(dāng)x=2時(shí)，不等式不成立，所以x≠2. 令g（m）=m（x-2）+（x-2）2，m∈■，3，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為g（m）在m∈■，3上恒大于0，

則g■>0，g（3）>0，解得x>2或x<-1.

評(píng)析：本題利用變量與參數(shù)變更關(guān)系，視m為主元，轉(zhuǎn)換思考的角度，使解法變得簡(jiǎn)單易行.

■掌握化歸的一般方法

化歸的實(shí)質(zhì)是不斷變更問(wèn)題， 可以從變形的成分去考慮；也可從實(shí)現(xiàn)化歸的常用方法直接考慮. 下面舉例說(shuō)明.

1. 對(duì)問(wèn)題中的未知成分進(jìn)行變形

例3 過(guò)圓外一點(diǎn)P（a，b），作圓x2+y2=r2的切線，求經(jīng)過(guò)兩切點(diǎn)的直線方程.

分析：對(duì)結(jié)論不急于求成，退一步先寫出經(jīng)過(guò)P（a，b）的圓的切線方程，這是學(xué)生十分熟悉的問(wèn)題. 設(shè)切點(diǎn)分別為A（x1，y1），B（x2，y2），則兩切線方程為x1x+y1y=r2，x2x+y2y=r2，

因兩切線都過(guò)P（a，b），得x1a+y1b=r2，x2a+y2b=r2，至此，再求問(wèn)題的結(jié)論已是輕而易舉，不攻自破.

2. 對(duì)問(wèn)題中的已知成分進(jìn)行變形

例4 求函數(shù)f（x）=x+■的最值.

分析：看到函數(shù)解析式，很快聯(lián)想到基本不等式：當(dāng)a>0，b>0時(shí)，a+b≥2■. 本題缺少x>0這樣的條件，可先求得f（x）=x+■的最值，則函數(shù)f（x）=x+■的最值便迎刃而解. 因x+■=x+■≥2■=2■，故x+■≥2■或x+■≤-2■，即當(dāng)x>0時(shí)，函數(shù)f（x）=x+■有最小值2■；當(dāng)x<0時(shí)，函數(shù)f（x）=x+■有最大值-2■.

3. 對(duì)問(wèn)題進(jìn)行形式轉(zhuǎn)化

例5 設(shè)函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，對(duì)？坌x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y），f（1）=-2，且當(dāng)x>0時(shí)，f（x）<0，求f（x）在[-3，3]上的最大值和最小值.

分析：f（x）是奇函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，有f（x）<0，可將問(wèn)題形式化歸為先證函數(shù)f（x）是減函數(shù)，再求端點(diǎn)函數(shù)值.

解：設(shè)x1，x2∈R+，且x1

因?yàn)閤2-x1>0，所以f（x2-x1）<0，即f（x2）-f（x1）<0，f（x2）

點(diǎn)評(píng)：?jiǎn)栴}形式的轉(zhuǎn)化，常能找到熟悉的解決方法.

4. 把問(wèn)題進(jìn)行正反轉(zhuǎn)化

例6 （2009丹陽(yáng)中學(xué)一模）設(shè)p：4x-3≤1，q：（x-a）（x-a-1）≤0，若p是q的充分不必要條件，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________.

解析：由題意知4x-3≤1？圳-1≤4x-3≤1，故p的解集A=■，1，q的解集B=[a，a+1].

又p是q的充分不必要條件，

故A？埭B，所以a≤■，a+1≥1.

所以0≤a≤■.

點(diǎn)評(píng)：“充分條件和必要條件”是四種命題的關(guān)系的深化，它們之間存在著密切的聯(lián)系，在正面判斷較難時(shí)，可轉(zhuǎn)化為該命題的逆否命題進(jìn)行判斷.

5. 將問(wèn)題進(jìn)行數(shù)形轉(zhuǎn)化

例7 對(duì)？坌x∈R，試求函數(shù)f（x）=■+■的值域.

分析：等式右邊通過(guò)轉(zhuǎn)化就是動(dòng)點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和.

解：f（x）=■+■ 表示動(dòng)點(diǎn)x，■到定點(diǎn)■，0，-■，0的距離之和，故f（x）≥2■，即函數(shù)的值域?yàn)閇2■，+∞）.

點(diǎn)評(píng)：數(shù)形轉(zhuǎn)化與數(shù)形結(jié)合是解題的常用思想方法，本題亦可用基本不等式求解，但應(yīng)注意取等號(hào)的條件.

化歸思想在中學(xué)數(shù)學(xué)中有著十分廣泛的運(yùn)用，成為數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)中的熱點(diǎn)之一. 但隨著化歸方法教學(xué)的日益普及和深入，一些問(wèn)題也擺在我們面前. 在教學(xué)中，筆者對(duì)化歸思想的運(yùn)用做了以下幾方面思考.

思考一：化歸思想是否只有通過(guò)解題教學(xué)這條唯一的途徑才能培養(yǎng)？答案顯然是否定的. 在教學(xué)過(guò)程中，筆者體會(huì)到化歸思想不僅僅隱含在解題過(guò)程中，還蘊(yùn)藏在數(shù)學(xué)概念、定義、定理、公式、法則等之中. 比如：三角函數(shù)的概念就將三角函數(shù)化歸為代數(shù)中的比值；圓錐曲線的統(tǒng)一定義就是點(diǎn)到點(diǎn)的距離與點(diǎn)到直線的距離的相互轉(zhuǎn)化；線面平行的判定定理就是將線線平行轉(zhuǎn)化為線面平行；面面平行的判定定理就是將線面平行轉(zhuǎn)化為面面平行；同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式就是六個(gè)三角函數(shù)的相互轉(zhuǎn)化；對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則就是將復(fù)雜的乘、除、乘方、開方的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的加、減、倍、積運(yùn)算……如何通過(guò)教學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)來(lái)培養(yǎng)化歸思想有待研究.

思考二：在化歸思想的運(yùn)用過(guò)程中，還要注意克服其負(fù)面影響. 在教學(xué)過(guò)程中，筆者發(fā)現(xiàn)化歸思想的運(yùn)用存在瑕疵. 比如，在解“無(wú)理不等式”時(shí)，通常方法是：將無(wú)理不等式化歸為有理不等式組，即“平方法”，但是在教學(xué)過(guò)程中，我們只強(qiáng)調(diào)“平方法”，會(huì)影響學(xué)生的創(chuàng)新. 在強(qiáng)調(diào)基本方法的同時(shí)，我們還要鼓勵(lì)學(xué)生積極思維，學(xué)會(huì)創(chuàng)造性地解決問(wèn)題.

例8 解下列關(guān)于x的方程：

（1）■+x=2；

（2）■+2=x；

（3）■=x-7.

分析：（1）采用常規(guī)方法，移項(xiàng)、再平方，將此無(wú)理方程化歸為有理方程求解.

（2）如果還是像（1）一樣，移項(xiàng)、兩邊平方，再解有理方程，就是受到化歸負(fù)面效應(yīng)影響的結(jié)果. 此時(shí)，教師應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生積極思考，找到簡(jiǎn)單明了的解題方法：先移項(xiàng)，可發(fā)現(xiàn)，此方程僅在x-2=0成立，故方程的解為x=2.

（3）由平方根的意義知5-x≥0，且x-7≥0，顯然x不存在，故原方程無(wú)解.

例9 解不等式 ■+■≤8.

分析：若用常規(guī)方法解題，即平方、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)等方法將其化歸為有理方程求解，其復(fù)雜性是顯而易見的. 注意到不等式左邊的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，可化為■+■≤8，這時(shí)化靜為動(dòng)得到一個(gè)平面區(qū)域：■+■≤8及其內(nèi)部區(qū)域，再以靜制動(dòng)，這是一個(gè)a=4，c=3的橢圓■+■=1. 令y=2，可得原不等式的解為■≤x≤■.

解決該題即克服了化歸的負(fù)面效應(yīng)，實(shí)現(xiàn)了解題創(chuàng)新，其實(shí)質(zhì)也是一種轉(zhuǎn)化——數(shù)形轉(zhuǎn)化.

從上述例題可看出，化歸思想是中學(xué)數(shù)學(xué)解題的重要思想方法，但并非萬(wàn)能方法，即并不是所有的問(wèn)題都可以通過(guò)化歸解決的. 化歸思想的成功應(yīng)用是以“數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)”為前提的. 這就需要我們?cè)诶谩盎瘹w”時(shí)注意它的創(chuàng)新與保守的“雙重身份”，切忌面對(duì)新的數(shù)學(xué)問(wèn)題生搬硬套原來(lái)的解題模式、方法.