“動直線”在數(shù)形結(jié)合思想中的運用

摘 要：本文對“動直線”在數(shù)形結(jié)合思想中的幾種運用做如下歸納：對分式型函數(shù)、方程根的問題及一些恒成立問題中的參數(shù)問題等，通過適當(dāng)?shù)拇鷵Q或?qū)ψ帜竻?shù)的可能位置做一些適當(dāng)?shù)淖儞Q，通過直線的運動結(jié)合圖形的直觀來處理解決上述問題.

關(guān)鍵詞：數(shù)形結(jié)合；動直線；轉(zhuǎn)化

“數(shù)”與“形”作為數(shù)學(xué)中最古老最重要的兩個方面，一直就是一對矛盾體.華羅庚先生曾說過：“數(shù)與形本是相倚依，怎能分作兩邊飛，數(shù)缺形時少直覺，形少數(shù)時難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休. 切莫忘，幾何代數(shù)統(tǒng)一體，永遠聯(lián)系，切莫分離！”寥寥數(shù)語，把數(shù)形之妙說得淋漓盡致. 數(shù)形結(jié)合就是把抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖形結(jié)合起來，通過數(shù)與形之間的對應(yīng)和轉(zhuǎn)化來解決數(shù)學(xué)問題，它包含“以形助數(shù)”和“以數(shù)解形”兩個方面.利用它可使復(fù)雜問題簡單化、抽象問題具體化，它兼有數(shù)的嚴謹與形的直觀之長，是優(yōu)化解題過程的重要途徑之一，是一種基本的數(shù)學(xué)方法.

數(shù)、形在一定的條件下的相互轉(zhuǎn)化是數(shù)學(xué)中最常見的規(guī)律之一，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)的內(nèi)容中，把數(shù)和形結(jié)合起來研究的方法貫穿始終. 在代數(shù)的核心內(nèi)容函數(shù)教學(xué)中，用函數(shù)的圖象來介紹各種基本函數(shù)的性質(zhì)，以及如何結(jié)合函數(shù)的圖象來解決函數(shù)、方程、不等式有關(guān)的問題.但在具體教學(xué)過程中，因為對幾何圖形的解釋要求教師與學(xué)生有較高的要求，需要先解決在坐標平面上帶參數(shù)的表達式的幾何意義的解釋，以下通過幾個函數(shù)、方程與不等式的例題來體驗一下“動直線”在數(shù)形結(jié)合思想中的運用.

■類型一：分式型函數(shù)求值域

例1 求函數(shù)k=■的值域.

分析：通過對分式的轉(zhuǎn)換：y+2=k（x-2），其中P（x，y）=P（cosθ，sinθ）.

把問題轉(zhuǎn)化為點P是曲線C上的動點，則過P的直線y+2=k（x-2）的斜率k取值范圍如何？

而由直線的方程可以看出，這是一條過定點（2，-2）的動直線.曲線C是以原點為圓心的單位圓，因此結(jié)合圖形可得k∈[tan（135°-α），tan（135°+α）]，其中tanα=■，所以k∈■，■.

例2 若函數(shù)f（x）=■的值域包含區(qū)間■，2，求實數(shù)m的取值范圍.

分析：通過對結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)換：y+m+1=k（x-m），

其中P（x，y）=P（cos2θ，cosθ）.

把問題轉(zhuǎn)化為點P是曲線C上的動點，則過P的直線y+m+1=k（x-m）的斜率k取值范圍如何？

而由直線的方程可以看出，這是一條過定點Q（m，-m-1）的動直線.

曲線C的方程為x+1=2y2，y∈[-1，1]，為拋物線的一部分.

由題意得，要使得斜率k的取值范圍包含■，2.

由點Q的坐標可知，點Q的位置在直線l：x+y+1=0上.

所以由圖1可知，要滿足題意，

只要點Q落在線段AB內(nèi)部即可.

其中A是直線l1與直線l的交點，

B是直線l2與直線l的交點.

l1是過（1，-1）斜率為■的直線；

l2是斜率為2的拋物線C的切線.

所以m∈-■，■.

小結(jié)：對分式型函數(shù)，特別是分子、分母中涉及的表達式都比較復(fù)雜的時候，通過適當(dāng)?shù)拇鷵Q，轉(zhuǎn)化為動直線，數(shù)形結(jié)合，通過圖形的直觀解決問題. 這方面的問題在數(shù)學(xué)競賽或大學(xué)自主招生考試題中比較常見，如下面一題：

（2010年江西賽區(qū)預(yù)賽題3） 函數(shù)f（x）=■的值域是______.

由f（x）=■，化為k=■，再化為y=k（x+2），其中y=■.

所以y=k（x+2）是一過定點（-2，0），斜率為k的直線，且與半圓y=■有交點，所以k∈0，■.

■類型二：方程的根的分布問題

例3 （2009重慶高考）以T=4為周期的函數(shù)f（x），滿足f（x）=m■，x∈（-1，1]，1-x-2？搖，x∈（1，3]，其中m>0，若3f（x）=x恰有5個實數(shù)根，則m∈_____.

分析：由函數(shù)f（x）的圖象可知，問題可轉(zhuǎn)化為方程3m■=x有兩個解，方程3m■=x無解，即直線y=x與曲線C1有兩個交點，直線y=x與曲線C2無交點.

由于曲線C1與C2都是橢圓的一部分，因此，考察關(guān)系需過多的計算. 但若將式子改寫為■=■，則可以理解為動直線y=■（過原點，斜率為■的直線）與圓（x-4）2+y2=1的關(guān)系，可得m∈■，■.

例4 求證：方程3ax2+2bx-（a+b）=0（b≠0）在（0，1）內(nèi)至少有一個實根.

分析：從上例中可以看出，解決問題的關(guān)鍵是要把相應(yīng)的方程做出一些改變，使得問題轉(zhuǎn)化為直線與曲線的位置關(guān)系，從而可以通過數(shù)形結(jié)合來解決. 改變的重點是把表達式中的字母參數(shù)與一次式結(jié)合起來，使之成為一條動直線.

所以，若a=0，則2x=1，在（0，1）內(nèi)有一根；

若a≠0，則改寫為3x2-1=■（1-2x）.

可以看做是曲線C：y=3x2-1（x∈（0，1））與動直線l：y=■（1-2x）（過點P■，0，斜率為-■的動直線）至少有一個交點.

由于3·■2-1<0，所以P■，0在拋物線的內(nèi)部，由圖可知直線l與曲線C至少有一個交點.

小結(jié)：方程有幾個解或方程的根的分布問題一般都得用數(shù)形結(jié)合的方法來解決，而上面的方法是通過對字母參數(shù)的可能位置做一些適當(dāng)?shù)淖儞Q，使得字母的影響停留在直線的運動上，讓我們可以通過直線的運動結(jié)合圖形的直觀來把握根的分布情況. 再如下例中，我們也可以通過對方程表達式的改變，再結(jié)合直線的運動來簡化運算輕松得到答案.

對于函數(shù)y=f（x），若存在x■∈R，使f（x0）=x0，則稱點（x0，x0）為函數(shù)的不動點，對于任意實數(shù)b，函數(shù)f（x）=ax2+bx-b總有相異的不動點，則實數(shù)a的取值范圍是________.

問題的解決取決于問題的轉(zhuǎn)化，像此題我們可以轉(zhuǎn)化為方程x=ax2+bx-b總有兩個不同的解，再次轉(zhuǎn)化為ax2=b（1-x）+x，則可以理解為不論過定點P（1，1）的直線（y=b（1-x）+x）如何轉(zhuǎn)動，它與拋物線y=ax2一定有兩個交點，則一定有點P（1，1）在拋物線y=ax2的內(nèi)部，所以0

■類型三：不等式的解集和恒成立問題

例5 不等式x2+ax+3-a>0對x∈[-2，2]恒成立，求a的取值范圍.

分析：把不等式轉(zhuǎn)化為x2+3>a（1-x），

將其看做是動直線l：y=a（1-x）（過點（1，0），斜率為-a的直線）一直在曲線C：y=x2+3（x∈[-2，2]）的下方.

如圖3可知，只要求出直線l與曲線C相切時的斜率和直線過A、B時的斜率即可.

■

所以a∈（-7，2）.

類似的題在高考題中也有涉及，如下題：

（2006年全國Ⅱ）設(shè)函數(shù)f（x）=（x+1）·ln（x+1）.

若對所有的x≥0，都有f（x）≥ax成立，求實數(shù)a的取值范圍.

也可以理解為曲線C：f（x）=（x+1）·ln（x+1）與直線y=ax的位置關(guān)系，從而轉(zhuǎn)化為求曲線C的切線即可.

再如：（2009年浙江）已知f（x）=x3+（k-1）x2+（5+k）x-1在區(qū)間（0，3）上不單調(diào)，求k的取值范圍.

轉(zhuǎn)化為：f ′（x）=3x2+2（k-1）x+（5+k）在（0，3）內(nèi)的值有正有負.

用上述想法，我們可以把問題轉(zhuǎn)化為曲線y=-3x2+2x-5，x∈（0，3）與動直線y=k（2x+1）（過點-■，0，斜率為2k）的位置關(guān)系.

從而得到k∈（-5，-2）.

數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)的思想方法中占有非常重要的地位，從上面所舉的例子中，可以看出：數(shù)形結(jié)合思想的“數(shù)”與“形”結(jié)合，相互滲透，把代數(shù)式的精確刻畫與幾何圖形的直觀描述相結(jié)合，使代數(shù)問題、幾何問題相互轉(zhuǎn)化，使抽象思維和形象思維有機結(jié)合；而且在數(shù)形轉(zhuǎn)化結(jié)合的過程中，為了求解簡單，需要我們對目標式進行適當(dāng)?shù)牡葍r轉(zhuǎn)換，特別是讓參數(shù)與一次式相結(jié)合后，可以理解為一條“動直線”與曲線的位置關(guān)系，通過幾何圖形的直觀結(jié)合特殊位置的計算，來得到問題的解.