由一道高考題引發(fā)的高觀點(diǎn)思考

摘 要：運(yùn)用高觀點(diǎn)將2011年高考浙江卷理科16題放在三維空間，從二元函數(shù)的角度來考察、分析，發(fā)現(xiàn)這道考題的高等數(shù)學(xué)背景和本質(zhì)，就是求多元函數(shù)條件極值、最值問題，剖析了中學(xué)階段求解此類問題常用的判別式法的法理. 對于在各類數(shù)學(xué)考試和競賽中常出現(xiàn)的二次型條件最值問題，都可利用拉格朗日乘數(shù)法加以解決.

關(guān)鍵詞：高考數(shù)學(xué)；試題解析；拉格朗日乘數(shù)法；最值

■眾多解法引人思考

設(shè)x，y為實(shí)數(shù)，若4x2+y2+xy=1，則2x+y的最大值是______？搖. （2011年高考浙江卷理科16），此題是2011年高考浙江理科卷的亮點(diǎn)之作，入口寬，方法多，據(jù)筆者不完全統(tǒng)計(jì)，截止2012年12月底全國各種數(shù)學(xué)雜志針對本題的的解法刊發(fā)了近10余篇文章，介紹了近20種解法，筆者將這些方法分為五大類：（1）不等式法：適當(dāng)改變式子結(jié)構(gòu)利用基本不等式、柯西不等式等放縮求解；（2）三角函數(shù)法：在函數(shù)思想指引下通過換元、構(gòu)造轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值問題；（3）數(shù)形結(jié)合法：通過巧妙的坐標(biāo)變換轉(zhuǎn)化為直線與橢圓的位置關(guān)系問題；（4）判別式法：在方程觀點(diǎn)指引下引入恰當(dāng)?shù)淖兞?，?gòu)造相應(yīng)的二次方程，利用判別式來解決問題；（5）待定系數(shù)法：引入?yún)?shù)，巧設(shè)關(guān)系式，神秘求解. 縱覽這些解法，所用的知識與方法覆蓋了高中數(shù)學(xué)大部分的核心內(nèi)容與思想方法，有通性通法，也有獨(dú)門絕技.

由此可見，這的確是一道有豐富內(nèi)涵的經(jīng)典好題，那么這道題的背景和本質(zhì)是什么，有沒有解決此類問題的統(tǒng)一方法，像待定系數(shù)法很神秘巧妙又是如何想到的？這些都值得思考和研究. 筆者認(rèn)為：本文中的解法1較好地揭示了該題在二維平面視野下的背景和本質(zhì)，分析與解法如下.

思路：注意到二次方程4x2+y2+xy=1表示圓錐曲線（對稱軸不重合于坐標(biāo)軸），整體變量m=2x+y表示斜率為-2的平行直線系y=-2x+m的截距，即當(dāng)直線與圓錐曲線有公共點(diǎn)時求直線截距m的最大值，顯然當(dāng)直線y=-2x+m與此橢圓相切且切點(diǎn)D在第一象限時，截距m最大，可用導(dǎo)數(shù)法求解.

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圖1

解法1：由于圓錐曲線4x2+y2+xy=1關(guān)于原點(diǎn)O（0，0）對稱，且沒有無窮原點(diǎn)，所以此圓錐曲線是橢圓. 根據(jù)數(shù)形結(jié)合的思想，當(dāng)直線y=-2x+m與此橢圓相切且切點(diǎn)D在第一象限時，截距m最大.

二次方程4x2+y2+xy=1兩邊關(guān)于x求導(dǎo)數(shù)得

8x+2y·y′x+（y+x·y′x）=0.

設(shè)切點(diǎn)D（x0，y0），其中x0>0，y0>0，取y′x=-2，代入得到方程

8x0+2y0·（-2）+[y0+x0·（-2）]=0，4x■+y■+x0y0=1，

解得，當(dāng)x0=■，y0=■時，2x+y取得的最大值是■.

若將此問題放在三維空間，從二元函數(shù)的角度來考察、分析，便會發(fā)現(xiàn)這道高考題的高等數(shù)學(xué)背景和本質(zhì)，就是求多元函數(shù)條件極值、最值問題.

令f（x，y）=2x+y，φ（x，y）=4x2+y2+xy-1，則問題變?yōu)榍蠛瘮?shù)z=f（x，y），在條件φ（x，y）=0下的最大值. 此類問題一般的解題思路是從φ（x，y）=0中解得y=g（x），代入z=f（x，y），從而消去y轉(zhuǎn)換為求關(guān)于x的一元函數(shù)z=f（x，g（x）），在其定義域φ（x，g（x））=0上的最值問題，然而一般情況下要從φ（x，y）=0在解出y=g（x）并不總是容易的，甚至根本無法解出，但有一種不直接依賴消元而求解條件最值的有效方法：拉格朗日乘數(shù)法.

■拉格朗日（Lagrange）乘數(shù)法

求函數(shù)z=f（x，y）在約束條件φ（x，y）=0之下的極值.

分析：記C為曲面z=f（x，y）上一條曲線，則C在平面：z=0的投影為曲線φ（x，y）=0. 因此，求條件極大（?。┲档膯栴}就相當(dāng)于在空間曲線C上求極大（?。┲档膯栴}，從幾何圖形角度講就是尋找曲線C的最高（低）點(diǎn)問題.

若在曲面z=f（x，y）上作一系列等高線t=f（x，y）， 當(dāng)t從-∞單調(diào)上升+∞時，此一族等高線與條件曲線C有相交、相切及相離三種情況，容易看出當(dāng)相切時z=f（x，y）取到極大（?。┲祕0=f（p0）. 若站在二維平面的角度來看就是曲面z=f（x，y）的等高線f（p0）=f（x，y）與曲線C在平面：z=0的投影曲線φ（x，y）=0在極值點(diǎn)p0處具有公共切線（如圖2）.

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由此看來，曲線C在整個問題中起重要作用，我們作一帶參數(shù)λ的曲面族使每一曲面都經(jīng)過曲線C，由幾何形狀可以斷定曲線C存在最高（低）點(diǎn)，即變量z？搖必然存在極大（?。┲? 利用拉格朗日乘數(shù)法，可求得極值點(diǎn)的坐標(biāo)，從而求得目標(biāo)函數(shù)的極、最值.

作拉格朗日（Lagrange）函數(shù)

L（x，y，λ）=f（x，y）+λφ（x，y） （稱其中的實(shí)數(shù)λ為Lagrange乘數(shù)），從方程組

Lx（x，y，λ）=0，Ly（x，y，λ）=0，Lλ（x，y，λ）=0

解出x，y，λ，其中x，y就是f可能的極值點(diǎn)的坐標(biāo).

例1 （2011年高考浙江卷理科16） 設(shè)x，y為實(shí)數(shù)，若4x2+y2+xy=1，則2x+y的最大值是________.

解法2：令L=2x+y+λ（4x2+y2+xy-1），

由Lx=2+8λx-3λy=0，Ly=1+2λy-3λx=0，Lλ=4x2+y2+xy-1=0，

得x=±■，y=±■，？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖

所以2x+y的最大值是2·■+■=■.

還可以求出2x+y的最小值是2·-■-■=-■.

■2011年浙江理科第16題的幾何背景和本質(zhì)剖析

設(shè)x，y為實(shí)數(shù)，若4x2+y2+xy=1，則2x+y的最大值是________.若將此問題放在三維空間可知，z=2x+y是空間一平面，4x2+y2+xy=1是橢圓柱面，就是尋找二者的交線C：z=2x+y，4x2+y2+xy-1=0的最高點(diǎn)，并求出該點(diǎn)坐標(biāo)問題. 這類問題一般都可利用拉格朗日乘數(shù)法求解.

若從二維平面的角度來看就是當(dāng)平面z=2x+y的等高線即直線：m=2x+y與曲線C在xOy平面的投影曲線即橢圓：4x2+y2+xy=1相切且切點(diǎn)D在第一象限時，m=2x+y最大. （如圖4）

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圖4

對于平面內(nèi)的直線與圓錐曲線相切問題，只要用初等的方法——方程思想、判別式法就可以解決.

解法3：（判別式法）令m=2x+y，則y=m-2x，代入4x2+y2+xy=1，

得4x2+（m-2x）2+x（m-2x）=1，

整理得到關(guān)于x的二次方程6x2-3mx+（m2-1）=0（x，m∈R），

則判別式Δ=9m2-24（m2-1）≥0，

解得-■≤m≤■.

檢驗(yàn)知，當(dāng)x=■，y=■時，2x+y取得的最大值是■.

因此“方程思想、判別式法”就是中學(xué)階段求解此類問題的通性通法.

■拉格朗日（Lagrange）乘數(shù)法在求二次型條件最值中的應(yīng)用

設(shè)x，y為實(shí)數(shù)， 滿足Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey=1，求S=ux2+vxy+wy2+ax+by（其中A，B，C，D，E，u，v，w，a，b為常數(shù)）的取值范圍. 這類二次型條件最值問題，常出現(xiàn)在各類數(shù)學(xué)考試和競賽中，都可以利用拉格朗日乘數(shù)法加以解決.

例2 （2010年高考重慶市理科7） 已知x>0，y>0，x+2y+2xy=8，則x+2y的最小值是（ ）

A. 3 B. 4 C. ■ D. ■

解：令L=x+2y+λ（x+2y+5xy-8），

由Lx=1+λ+2λy=0，Ly=2+2λ+2λx=0，Lλ=x+2y+2xy-8=0得x=2，？搖y=1，

所以2x+y的最小值是4，故選C.

例3 （2012年高考浙江文科9）若正數(shù)x，y滿足x+3y=5xy，則3x+4y的最小值是（ ）

A. ■ B. ■ C. 5 D. 6

解：令L=3x+4y+λ（x+3y-5xy），

由Lx=3+λ-5λy=0，Ly=4+3λ-5λx=0，Lλ=x+3y-5xy=0得x=1，？搖y=■，

所以3x+4y·2x+y的最小值是5，故選C.

例4 （2006年安徽省競賽題）若x，y為實(shí)數(shù)，且x2+xy+y2=3，求x2-xy+y2的最大值和最小值.

解：令L=x2-xy+y2+λ（x2+xy+y2-3），

由Lx=2x-y+2λx+λy=0，Ly=-x+2y+λx+2λy=0，Lλ=x2+xy+y2-3=0

得x=1，y=1，或x=■，y=-■，或x=-■，y=■，？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖？搖

所以x2-xy+y2的最大值是9，最小值是1.

結(jié)束語：拉格朗日乘數(shù)法是高等數(shù)學(xué)中求多元函數(shù)條件極值的重要方法，應(yīng)用廣泛，思想深刻. 該方法程序性強(qiáng)，非常容易掌握，作為高中教師是應(yīng)該了解掌握的，但由于涉及求多元函數(shù)的偏微分，并不適合一般的學(xué)生學(xué)習(xí)，但作為數(shù)學(xué)尖子生培優(yōu)、競賽輔導(dǎo)而教授拉格朗日（Lagrange）乘數(shù)法求二次型條件最值那是可行且有效的.

高考題并非是無源之水，而是有根可尋. 高等數(shù)學(xué)或數(shù)學(xué)競賽題中的一些思想、方法都可為高考題的設(shè)計(jì)提供廣闊的背景，作為高中教師，應(yīng)深入研究高考試題，了解高考試題的背景，挖掘試題的本質(zhì)，站在更高的視角（高等數(shù)學(xué)）來審視、理解數(shù)學(xué)問題，多運(yùn)用高觀點(diǎn)居高臨下地認(rèn)識高考試題，只有觀點(diǎn)高了，問題才能顯得明了而簡單.