分?jǐn)?shù)階CEV模型下未定權(quán)益的緊致差分法

胡 青,喻喜溈,孫玉東

(1.貴州民族大學(xué) 數(shù)據(jù)科學(xué)與信息工程學(xué)院,貴陽(yáng) 550025; 2.貴州民族大學(xué) 政治與經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院,貴陽(yáng) 550025)

金融界中存在多種風(fēng)險(xiǎn),投資者的任何一筆投資在未來(lái)都可能是一個(gè)未定權(quán)利.面對(duì)風(fēng)險(xiǎn),常利用期權(quán)替換掉不利的風(fēng)險(xiǎn),保留有利的風(fēng)險(xiǎn).期權(quán)價(jià)格依賴(lài)于標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格,是交易雙方之間的一種合約,它賦予買(mǎi)方某種形式的權(quán)利,使得他可以在未來(lái)某一時(shí)間以某一固定的價(jià)格購(gòu)買(mǎi)或出售某標(biāo)的資產(chǎn).未定權(quán)益定價(jià)主要以BS模型為基礎(chǔ).近年來(lái),分?jǐn)?shù)階微分方程在科學(xué)等許多不同領(lǐng)域獲得了重要意義. 一般來(lái)說(shuō),分?jǐn)?shù)階微分方程的解析解難以求解,甚至是沒(méi)有解析解.因此利用數(shù)值技術(shù)來(lái)求解這些問(wèn)題是必要的. BS方程是典型求解歐式期權(quán)定價(jià)的偏微分方程, 分?jǐn)?shù)階BS模型下期權(quán)定價(jià)帶來(lái)更大的便利,為此許多學(xué)者提出多種求解分?jǐn)?shù)階BS模型下期權(quán)定價(jià)的技術(shù)[1-4]. 田朝微,李錦成[5]等人采用緊致有限差分格式研究了BS模型下歐式看跌期權(quán)的定價(jià)問(wèn)題.龍敏,孫玉東[6]采用加權(quán)差分格式研究了時(shí)間分?jǐn)?shù)階CEV模型下的算術(shù)亞式期權(quán). 張琪,左平[7]等人運(yùn)用有限差分法研究了美式多資產(chǎn)定價(jià)問(wèn)題. BS模型過(guò)于嚴(yán)格的假設(shè)使其在理論和應(yīng)用上存在缺陷, CEV模型很好地解決BS模型中存在的不足,大量學(xué)者已經(jīng)對(duì)該模型下的期權(quán)定價(jià)進(jìn)行了研究[8-11].

本文在文獻(xiàn)[4]的思想上,運(yùn)用緊致差分來(lái)求解分?jǐn)?shù)階CEV模型下未定權(quán)益的數(shù)值解.首先在時(shí)間上采用Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)進(jìn)行離散,空間上采用4階緊致差分格式,通過(guò)傅里葉分析法和數(shù)學(xué)歸納法驗(yàn)證該方法的穩(wěn)定性和收斂性,得到該方法是無(wú)條件穩(wěn)定的,且是O(t2-α+Δx4)收斂.所考慮以下的分?jǐn)?shù)階CEV模型[1]

(S,τ)∈R+×(0,T), 0<α<1,

(1)

邊界條件和初始條件分別為

C(S,T)=φ(S),

(2)

下面將通過(guò)變量的轉(zhuǎn)換和空間截?cái)?很好地求出分?jǐn)?shù)階CEV模型(1)-(2)的解.將采用變量變換和空間截?cái)嗟姆椒▽?duì)式(1)、(2)進(jìn)行調(diào)整.

1 時(shí)間分?jǐn)?shù)階CEV模型下歐式未定權(quán)益的數(shù)學(xué)模型

為了能推導(dǎo)出緊致差分格式,本節(jié)通過(guò)變量變換對(duì)模型進(jìn)行簡(jiǎn)單處理.設(shè)式(1)、(2)中變量S=ex,τ=T-t,有z(x,t)=C(ex,T-t),得到以下分?jǐn)?shù)階CEV模型

z(-∞,t)=φ(t),z(∞,t)=Ψ(t);

z(x,0)=f(x)

(3)

(4)

為了方便數(shù)值求解分?jǐn)?shù)階CEV模型(3),將無(wú)限空間截?cái)酁橛邢蘅臻g,滿足方程

h(x,t),(x,t)∈(xA,xB)×(0,T),

z(xA,t)=φ(t),z(xB,t)=Ψ(t);z(x,0)=f(x),

(5)

其中:δ=σ2exp(2αx-2x)/2,β=r-δ,且r>0

根據(jù)變量變換,得到分?jǐn)?shù)階CEV模型(5).其次,分別對(duì)該模型在時(shí)間上和空間上進(jìn)行離散.首先,在時(shí)間上采用Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)對(duì)式(5)在[0,T]內(nèi)進(jìn)行離散. 令0=t0

(6)

引理1[13]式 (6)中bl滿足以下關(guān)系

1)b0=1; 2)bl>0, 0≤l≤N; 3)bl-1>bl, 1≤l≤N.

上述采用了Caputo導(dǎo)數(shù)對(duì)時(shí)間離散,將構(gòu)造4階緊致差分格式對(duì)空間離散.

2 歐式未定權(quán)益的緊致差分格式

為求解方程(5),本文通過(guò)構(gòu)造一種緊致差分格式來(lái)近似該模型,并結(jié)合邊界條件和初始條件求解模型.本節(jié)借鑒文獻(xiàn)[4]中的思想,構(gòu)造緊致差分格式來(lái)對(duì)空間進(jìn)行離散.緊致差分格式具有高精度和穩(wěn)定性,且具有小的離散子域、處理邊界單元時(shí)無(wú)特殊困難.因此,在空間上采用該方法對(duì)式(5)在[xA,xB]進(jìn)行離散.

首先,令M={xA=x0

i=1,2,…,I-1,

(7)

i=1,2,…,I-1,

(8)

定理1 考慮下列微分方程

(9)

得到微分方程的4階緊致差分格式

i=1,2,…,I-1,

其中:

證明:結(jié)合式(7)、(8) ,則微分方程在x=xi處的差分形式有

(10)

其中:

分別對(duì) 式(9)求導(dǎo),進(jìn)一步逼近γ1中的z(3)(xi)和z(4)(xi),并代入到γ1中.在x=xi處,有

將式(7)、(8)代入到上式中,有

(11)

i=1,2,…,I-1,

證畢.

(12)

h(x,t)-y(x,t).

(13)

根據(jù)定理1, 其中a=-δ,b=-β,c=-r,則式 (13)在點(diǎn)(xi,tj)表示為

(14)

誤差項(xiàng)為R(xi,tj)=O(t2-α+Δx4).離散邊界條件和初始條件,得到如下形式

(15)

(16)

(17)

(18)

Q*Hj+Wj, 1≤j≤N,

(19)

其中:

分別對(duì)問(wèn)題(5)在時(shí)間和空間上離散,得到方案(16) .將對(duì)該方案進(jìn)行理論分析.

3 穩(wěn)定性和收斂性分析

通過(guò)上述的推導(dǎo)過(guò)程,得到問(wèn)題(5)的一種緊致差分格式,即得到方案(16),現(xiàn)對(duì)該方法進(jìn)行穩(wěn)定性和收斂性分析.

3.1 穩(wěn)定性分析

(20)

j=0,1,…,N

(21)

(22)

(23)

因此,式(22)可以簡(jiǎn)化為以下形式

上式兩邊同時(shí)取絕對(duì)后,因?yàn)棣>0,Δt>0和0<α<1,所以Γ(2-α)>0和d>0因此,有p1>0,p2>0,p3>0,p4>0,滿足下列不等式

(24)

進(jìn)而推出

(25)

定理2 針對(duì)問(wèn)題(5)所得到(16) 的數(shù)值格式是無(wú)條件穩(wěn)定的.

證明:首先證明|ξj|≤|ξ0|.假設(shè)當(dāng)j=1時(shí),式(25)有|ξ1|≤b0|ξ0|.由于b0=1,則可以得到|ξ1|≤|ξ0|.因此,當(dāng)j=1時(shí),|ξj|≤|ξ0| 成立.接下來(lái),假設(shè)|ξj|≤|ξ0|在j≤n-1時(shí)也成立,有|ξj|≤|ξ0|,j=1,2,…,n-1.當(dāng)j=n時(shí), 式(25)變?yōu)?/p>

其次,根據(jù)|ξj|≤|ξ0|,j=1,2,…,n-1,則上述不等式滿足

=b0|ξ0|.

由于b0=1,則上述方程可以簡(jiǎn)化為|ξn|≤|ξ0|因此, 當(dāng)j=n時(shí), |ξj|≤|ξ0|也是成立的.綜上所述, 通過(guò)數(shù)學(xué)歸納法,|ξj|≤|ξ0| 對(duì)于每一個(gè)j都是成立的, 即|ξj|≤|ξ0|,j≥1.最后,結(jié)合誤差范數(shù),即式(21),可以推出

即‖rj‖2≤‖r0‖2.綜上,針對(duì)問(wèn)題(5)所提出(16)的數(shù)值格式是無(wú)條件穩(wěn)定的.證畢.

3.2 收斂性分析

(26)

(27)

(28)

M1(Δt2-α+Δx4),j=1,2,…,N,

(29)

上述等式和式(27)中級(jí)數(shù)部分是收斂的.存在一個(gè)正常數(shù)M2,使得

|σj|≡|σj(k)|≤M2Δt|σ1|≡

M2Δt|σ1(k)|,j=0,1,…,N.

(30)

以上是陳述和證明了該方法主要部分的收斂性.

定理3 假設(shè)z(x,t)是問(wèn)題 (5)的精確解,則數(shù)值格式 (14)是l2收斂的,且解滿足

‖εj‖2≤M(Δt2-α+Δx4).

證明:將采用數(shù)學(xué)歸納法證明下列方程.

|μj|≤M2(1+Δt)j|σ1|,j=1,2,…,N.

(31)

在式 (28)中假設(shè)j=1,結(jié)合|(p1+ωp2)+(p3-ωp4)|-1≤1.有

|σ1|≤M2(1+Δt)|σ1|.

因此,式 (31)在j=1時(shí)成立.接下來(lái),假設(shè)式(31)在j≤n-1時(shí),也是成立的,有

|μj|≤M2(1+Δt)j|σ1|,j=1,2,…,n-1.

(32)

當(dāng)j=n時(shí),結(jié)合式 (24)且|(p1+ωp2)+(p3-ωp4)|-1≤1,得到

將式(32)、(30)代入到上述不等式中,可以得到

M2Δt|σ1|≤M2(1+Δt)n|σ1|.

因此,當(dāng)j=n時(shí),式(31)是成立的.綜上所述,通過(guò)數(shù)學(xué)歸納法,式(31)對(duì)于每一個(gè)j都是成立的.現(xiàn)在,結(jié)合式(27),(29) 和(31),可以得到

M2(1+Δt)j‖R1‖2≤M1M2ejΔt(Δt2-α+Δx4).

由于jΔt≤T,上述公式可以變?yōu)椤舑‖2≤M(Δt2-α+Δx4),M=M1M2eT.證畢.

4 數(shù)值實(shí)驗(yàn)

本節(jié)以歐式看漲期權(quán)期為例,研究所提出的方法對(duì)分?jǐn)?shù)階CEV模型下歐式看漲期權(quán)進(jìn)行定價(jià),通過(guò)變換參數(shù),分析對(duì)歐式看漲期權(quán)定價(jià)的影響,來(lái)證明緊致差分格式的實(shí)用性.運(yùn)用R軟件模擬,考慮以下模型

rC(S,τ)=0,(S,τ)∈(0.1,100)×(0,1)

設(shè)定初邊值條件分別為

C(S,T)=max{S-K,0};C(0.1,τ)=0,

C(100,τ)=100-Kexp(-r(1-τ)).

固定參數(shù)r=0.05,K=10和T=1 a.討論參數(shù)α和σ取不同值時(shí),期權(quán)定價(jià)的變化,見(jiàn)圖1、2.

圖1 不同α下的期權(quán)價(jià)格

圖1設(shè)定σ=0.25時(shí),根據(jù)分?jǐn)?shù)階參數(shù)α分別為0.5、0.7和0.9時(shí),繪制出資產(chǎn)價(jià)格與期權(quán)定價(jià)的變化圖.數(shù)值結(jié)果表明,在空間上期權(quán)價(jià)格隨著資產(chǎn)價(jià)格的增大而增大.其中,當(dāng)空間變量x=2時(shí),期權(quán)價(jià)格明顯增加.圖2設(shè)定α=0.5時(shí),根據(jù)參數(shù)σ分別為0.25、0.35和0.45時(shí),描繪出資產(chǎn)價(jià)格與期權(quán)定價(jià)的變化.同樣得到在空間上隨著資產(chǎn)價(jià)格的增大期權(quán)價(jià)格也增大,當(dāng)空間變量x=2時(shí),期權(quán)價(jià)格增長(zhǎng)迅速.

圖2 不同σ下的期權(quán)價(jià)格

圖3固定σ=0.25時(shí),根據(jù)分?jǐn)?shù)階參數(shù)α分別為0.5、0.7和0.9時(shí),描繪出資產(chǎn)價(jià)格與期權(quán)定價(jià)的變化圖.從圖中可以看出,在時(shí)間上期權(quán)價(jià)格隨著資產(chǎn)價(jià)格的增大而增大.其中,分?jǐn)?shù)階參數(shù)α越小時(shí),圖像越陡峭;反之分?jǐn)?shù)階參數(shù)α越大時(shí),圖像越平緩. 圖4固定α=0.5時(shí),根據(jù)參數(shù)α分別為0.25、0.35和0.45時(shí),描繪出資產(chǎn)價(jià)格與期權(quán)定價(jià)的變化圖.數(shù)值結(jié)果顯示,同樣的在時(shí)間上隨著資產(chǎn)價(jià)格的增大期權(quán)價(jià)格也增大.與分?jǐn)?shù)階參數(shù)α相比, 參數(shù)α的變化對(duì)期權(quán)價(jià)格的影響較小.

圖3 不同α下的期權(quán)價(jià)格

圖4 不同σ下的期權(quán)價(jià)格

5 結(jié) 語(yǔ)

本文提出一種關(guān)于求解分?jǐn)?shù)階CEV模型下未定權(quán)益的緊致差分格式,討論該格式是無(wú)條件穩(wěn)定的,也證明該格式是O(t2-α+Δx4)收斂.并且以歐式看漲期權(quán)為例,驗(yàn)證該緊致差分格式的實(shí)用性.結(jié)果顯示,期權(quán)價(jià)格明顯受分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)影響.