暢游數(shù)學(xué)海洋，探索圓的奧秘
——《圓的周長》教學(xué)設(shè)計(jì)

佟金霖 山東省淄博市張店區(qū)齊德學(xué)校

●創(chuàng)新整合點(diǎn)

①Excel表格在線編輯功能可幫助教師及時(shí)收集學(xué)生課堂測量的數(shù)據(jù)。利用表格公式，拖拽下拉，快速生成大量數(shù)據(jù)，便于學(xué)生通過分析數(shù)據(jù)直觀發(fā)現(xiàn)周長都是直徑的3倍多。在此過程中引導(dǎo)學(xué)生初步發(fā)現(xiàn)倍數(shù)關(guān)系。

②借助幾何畫板，讓數(shù)據(jù)變得更加方便精準(zhǔn)。學(xué)生不僅能多次實(shí)驗(yàn)操作，還能在動(dòng)態(tài)變化的過程中產(chǎn)生更加深刻的體驗(yàn)。通過觀察數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)周長除以直徑的商是固定的數(shù)。此環(huán)節(jié)給學(xué)生創(chuàng)設(shè)了更為適切的方法體驗(yàn)，清晰、準(zhǔn)確地輔助學(xué)生認(rèn)識(shí)圓周長與直徑的關(guān)系。同時(shí)，在利用Excel表格、幾何畫板分析數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上，引出圓周率的定義。整個(gè)探索過程使學(xué)生于無形中親身經(jīng)歷圓周率發(fā)展過程，理解圓周率的意義，從而突破教學(xué)難點(diǎn)，豐富學(xué)生的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，發(fā)展其推理意識(shí)。

●教材分析

《圓的周長》選自青島版小學(xué)《數(shù)學(xué)》五年級(jí)下冊(cè)第一單元“圓”信息窗2的學(xué)習(xí)內(nèi)容。本單元是在學(xué)生系統(tǒng)學(xué)習(xí)了長方形、正方形等平面圖形以及它們的周長、面積計(jì)算之后展開教學(xué)的。本課是學(xué)生第一次學(xué)習(xí)曲線圖形的周長，是對(duì)前面“圓的認(rèn)識(shí)”的深化。教材通過一系列操作活動(dòng)，讓學(xué)生在觀察、分析、歸納中理解圓的周長含義，經(jīng)歷圓周率的形成過程，推導(dǎo)出圓的周長計(jì)算公式，從而為后面學(xué)習(xí)“圓的面積”，以及圓柱、圓錐等知識(shí)打好基礎(chǔ)。因此，它起著承前啟后的作用，是小學(xué)幾何初步認(rèn)識(shí)教學(xué)中的一項(xiàng)重要內(nèi)容。

●學(xué)情分析

圓是小學(xué)階段“圖形與幾何”領(lǐng)域中出現(xiàn)的最后一個(gè)平面圖形，是學(xué)生第一次比較深入地認(rèn)識(shí)圓。學(xué)生在一年級(jí)已經(jīng)能直觀認(rèn)識(shí)圓，在三年級(jí)學(xué)習(xí)周長時(shí)，能用繞繩、滾動(dòng)等方法測量不規(guī)則物體的周長。學(xué)生接觸過用“轉(zhuǎn)化思想”計(jì)算多邊形的面積，積累了轉(zhuǎn)化經(jīng)驗(yàn)，并能綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)方法解決實(shí)際問題，進(jìn)行初步的合理推理，能比較直觀地表達(dá)自己的想法。

學(xué)生在多媒體技術(shù)支持的交互式課堂中能更主動(dòng)地參與學(xué)習(xí)，在小組合作中積極完成任務(wù)。此外，信息技術(shù)的應(yīng)用能讓學(xué)生在動(dòng)手操作的過程中產(chǎn)生更加深刻的學(xué)習(xí)體驗(yàn)。學(xué)生初步學(xué)會(huì)利用幾何畫板、在線表格等服務(wù)于學(xué)習(xí)，體驗(yàn)學(xué)習(xí)帶來的樂趣和成就感。

●教學(xué)目標(biāo)

知識(shí)與技能目標(biāo)：理解圓周率的意義，理解和掌握求圓周長的計(jì)算公式，并能用公式解決實(shí)際問題。

過程與方法目標(biāo)：經(jīng)歷探究圓的周長公式的過程，體驗(yàn)化曲為直的數(shù)學(xué)思想，發(fā)展轉(zhuǎn)化策略和推理能力。

情感態(tài)度與價(jià)值觀目標(biāo)：在解決問題中感悟數(shù)學(xué)與生活的密切聯(lián)系，培養(yǎng)應(yīng)用意識(shí)。感受數(shù)學(xué)的魅力，增強(qiáng)民族自豪感。

●教學(xué)環(huán)境與準(zhǔn)備

教學(xué)環(huán)境：寬帶網(wǎng)絡(luò)、希沃一體機(jī)、GeoGebra軟件。

學(xué)生熟練掌握用繞繩、滾動(dòng)法測量物體的周長，初步掌握用幾何畫板進(jìn)行操作。

●教學(xué)過程

1.課前交流，播放視頻

教師播放視頻《圓》。

師：圓，沒有棱角，親切敦厚，低調(diào)內(nèi)斂，包羅萬象。圓與我們的生活息息相關(guān)，在數(shù)學(xué)中也蘊(yùn)含著和圓有關(guān)的許多奧秘。今天這節(jié)課，就讓我們一起“暢游數(shù)學(xué)海洋，探索圓的奧秘”。

設(shè)計(jì)意圖：視頻能夠激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，建立數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系，感悟生活美。

2.復(fù)習(xí)導(dǎo)入，回顧舊知

師：現(xiàn)在請(qǐng)大家伸出小手一起和老師畫個(gè)圓吧。（用希沃白板尺規(guī)功能帶領(lǐng)學(xué)生畫圓）

關(guān)于圓你了解哪些知識(shí)呢？

教師根據(jù)學(xué)生回答出示圓的特征的相應(yīng)動(dòng)畫。

師：同學(xué)們還想學(xué)習(xí)什么？

生：周長、面積。

師：我們?cè)谘芯科渌麍D形時(shí)也是從它們的特征入手，再學(xué)習(xí)周長和面積。今天這節(jié)課我們就來一起研究“圓的周長”。

設(shè)計(jì)意圖：采用復(fù)習(xí)導(dǎo)入的形式，通過回顧知識(shí)，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行本節(jié)課的學(xué)習(xí)，整個(gè)過程做到承前啟后。

3.合作學(xué)習(xí)，探究新知

（1）觀察對(duì)比，提出猜想

師：什么是圓的周長？誰能上來指著說一說？

學(xué)生上臺(tái)指圖說明。（圍成圓一周的曲線的長度就是圓的周長）

師：如何測量圓的周長呢？你有什么好的方法嗎？

學(xué)生舉例說明測量方法。

教師根據(jù)學(xué)生回答播放繞繩、滾動(dòng)法的視頻，帶領(lǐng)學(xué)生回顧測量方法。

師：除了通過繞繩、滾動(dòng)等測量的方法知道圓的周長，你還有其他的方法也能知道圓的周長嗎？

學(xué)生分享其他方法。

師：你的意思是用公式的方法。老師要接著考考你，長方形、正方形的周長和邊有關(guān)，你覺得圓的周長可能和什么有關(guān)系？

生：直徑、半徑。

師：圓的周長與直徑存在關(guān)系只是我們的猜想，還需要進(jìn)一步的驗(yàn)證。大家想如何驗(yàn)證？

生：測量出圓的周長與直徑，看看它們的關(guān)系。

師：也就是要知道周長、直徑之間的數(shù)據(jù)的關(guān)系。那周長與直徑數(shù)據(jù)之間存在怎樣的秘密呢？讓我們根據(jù)你的思路，一起在動(dòng)手操作中找答案吧。

設(shè)計(jì)意圖：利用正多邊形周長的知識(shí)進(jìn)行遷移，引發(fā)學(xué)生大膽猜測—圓的周長與直徑有關(guān)。從“有關(guān)系”到“有怎樣的關(guān)系”，一步一步將學(xué)生的思維引向深入。而這只是一個(gè)猜想，必須對(duì)這個(gè)猜想進(jìn)一步驗(yàn)證才能得出科學(xué)結(jié)論，進(jìn)而提出下一步要探究的任務(wù)。

（2）動(dòng)手操作，驗(yàn)證猜想

出示合作要求。

師：在課前發(fā)的學(xué)具包中，老師準(zhǔn)備了直徑分別是4、5、6厘米的三種不同規(guī)格的圓片、細(xì)繩和直尺。請(qǐng)大家合理分工進(jìn)行測量，注意測量結(jié)果要盡可能準(zhǔn)確。（學(xué)生開始測量）老師收集了大家測量的數(shù)據(jù)，收集數(shù)據(jù)是第一步，分析數(shù)據(jù)才是關(guān)鍵。按照這位同學(xué)的思路，你們想研究周長與直徑的什么關(guān)系呢？

教師根據(jù)課堂生成，利用表格分別研究周長與直徑的和、差、倍、積關(guān)系。

師：一個(gè)個(gè)計(jì)算數(shù)據(jù)太麻煩了，我們借助公式來算算看。看到這些數(shù)據(jù)（如下表），你有什么發(fā)現(xiàn)？

生：直徑越來越長，周長與直徑的和、差、積也越來越大，但是周長除以直徑都是三點(diǎn)幾。

師：你的發(fā)現(xiàn)太有價(jià)值了。周長與直徑的商都穩(wěn)定在3倍多，讓我們具體來分析分析這些數(shù)據(jù)。（隱藏和、差、積三列數(shù)據(jù)）直徑是4厘米的圓，周長是直徑的3倍多；直徑是5厘米的圓，周長也是直徑的3倍多；直徑是6厘米的圓，周長還是直徑的3倍多。現(xiàn)在請(qǐng)你們大膽猜想，直徑是7厘米的圓，周長可能是直徑的—3倍多；直徑是30厘米的圓，周長可能還是直徑的—3倍多！到底是3倍多多少呢？想知道嗎？下面我們借助幾何畫板，一起再來看看更精確的數(shù)據(jù)。

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生在小組合作中測出直徑不同的圓的周長。為提高收集數(shù)據(jù)的效率，通過在線表格及時(shí)記錄數(shù)據(jù)。為解決“圓的周長與直徑存在什么關(guān)系”這一問題，利用表格分別研究周長與直徑的和、差、倍、積關(guān)系。借助表格，輸入公式并拖拽下拉，直接生成數(shù)據(jù)。

（3）畫板操作，得出結(jié)論

師：如果是直徑2.5厘米的圓，根據(jù)剛才的發(fā)現(xiàn)，你覺得周長會(huì)是多少？

學(xué)生回答。

師：怎么算的？

生：周長是直徑的3倍多，2.5×3=7.5，所以周長比7.5多一點(diǎn)。

師：讓我們看看結(jié)果是不是這樣。

教師利用幾何畫板操作，通過滾動(dòng)記錄數(shù)據(jù)。

師：直徑是7.1厘米呢？（根據(jù)學(xué)生回答重復(fù)上述操作過程）

師：誰想上來試試？

學(xué)生上臺(tái)操作。

師：現(xiàn)在請(qǐng)大家觀察表格中周長除以直徑這一列，又發(fā)現(xiàn)了什么？

生：都是3.1415926。

師：我們借助幾何畫板只是僅僅將數(shù)據(jù)保留到了小數(shù)點(diǎn)后6位。實(shí)際上，任何一個(gè)圓的周長÷直徑的商都是一個(gè)固定的數(shù)，這叫做圓周率，用字母π表示。π是一個(gè)無限不循環(huán)小數(shù)，現(xiàn)在已經(jīng)探索到小數(shù)點(diǎn)后62.8萬億位了！在計(jì)算時(shí)，一般保留兩位小數(shù)，取它的近似值3.14。

現(xiàn)在給你一個(gè)任意直徑的圓，能求出它的周長了嗎？直徑是3？3.5？10？

生：周長=3π，3.5π，10π。

師：看來都難不倒大家，老師接著考考你們，你能快速列式計(jì)算地球的赤道周長嗎？

教師運(yùn)用白板工具—星球，出示百科信息。

生：12756π。

師：你能夠從這么多的信息中快速找到赤道直徑這一信息，并解決問題，為你點(diǎn)贊！現(xiàn)在誰能用一句話總結(jié)怎樣計(jì)算周長？

生：周長=直徑×圓周率。

師：如果用C表示周長，d表示直徑，你能說出圓周長的計(jì)算公式嗎？

生：C=π·d。

設(shè)計(jì)意圖：利用幾何畫板幫助學(xué)生清晰直觀地發(fā)現(xiàn)任何直徑的圓，周長除以直徑的商都是固定的數(shù)，從而引出圓周率π，幫助學(xué)生理解圓周率的意義，突破教學(xué)難點(diǎn)。

（4）借助情境，探索公式

師：有了圓的計(jì)算公式，你能解決下面的問題嗎？“長征”系列火箭是我國運(yùn)載火箭中的“國家隊(duì)”，為中國航天的飛速發(fā)展立下了汗馬功勞。不同型號(hào)的火箭規(guī)格和運(yùn)載能力也各不相同。其中，長征-2E助推器半徑為1.125米，長征五號(hào)助推器半徑為1.675米。這兩種型號(hào)的助推器的周長各是多少？

教師展示學(xué)生做法。

師：你是怎么做的？

生：題目中給的是半徑的信息，根據(jù)直徑=2倍半徑的關(guān)系，所以要先用半徑×2，再乘π。

師：分析得真準(zhǔn)確。你能說說已知半徑，計(jì)算圓周長的公式嗎？

生：C=2π·r。

師：現(xiàn)在我們已經(jīng)得到了圓周長的兩個(gè)計(jì)算公式?；叵胍幌拢何覀兪窃趺囱芯繄A周率的？

生：一開始，通過觀察提出猜想—圓的周長與直徑有關(guān)；接著實(shí)際測量得到周長是直徑的3倍多，發(fā)現(xiàn)周長與直徑存在倍數(shù)關(guān)系，驗(yàn)證了猜想；最后借助幾何畫板的演示得出了結(jié)論，圓的周長是直徑的π倍。

設(shè)計(jì)意圖：通過前面的研究，學(xué)生明確了圓周長與直徑的關(guān)系，進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生推導(dǎo)圓的周長半徑計(jì)算公式，水到渠成，深化學(xué)生的思維。

（5）巧借文化，優(yōu)化體驗(yàn)

師：人們對(duì)圓周率的研究，從古至今從未停下腳步。讓我們看一個(gè)短片。

學(xué)生觀看視頻。

師：看了視頻，你有什么感受？

學(xué)生談感受。

師：是的，古人的智慧是無窮的。我們都應(yīng)該為自己是一個(gè)中國人而感到驕傲和自豪。

設(shè)計(jì)意圖：通過了解古代數(shù)學(xué)家對(duì)圓周率的研究過程，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)研究的嚴(yán)謹(jǐn)，同時(shí)也讓學(xué)生感受古代數(shù)學(xué)家勇于探索的科學(xué)精神，對(duì)學(xué)生滲透愛國主義教育。

4.運(yùn)用新知，解決問題

師：這節(jié)課學(xué)了這么多知識(shí)，你能解決下面這道題目嗎？（教師帶領(lǐng)學(xué)生讀題）求誰走的路遠(yuǎn)也就是求什么？

生：大圓周長與小圓周長的和，誰長誰短的關(guān)系。

師：現(xiàn)在我們用C甲表示螞蟻甲走的路程，用C乙表示螞蟻乙走的路程。你能表示它們的周長嗎？在練習(xí)單上寫一寫。

學(xué)生匯報(bào)。

師：所以它們的周長是相同的。因?yàn)樾A直徑之和等于大圓直徑，這也進(jìn)一步印證了圓的周長與直徑有關(guān)。

師：結(jié)合上面的分析，你能說說下面圖形中大圓與小圓的周長關(guān)系嗎？

生：大圓周長與小圓周長之和相等。

師：不管圓內(nèi)有幾個(gè)小圓，只要直徑之和相同，周長就相等。

設(shè)計(jì)意圖：拓展練習(xí)通過動(dòng)畫演示，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步感受圓的周長與直徑有關(guān)，培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)與推理意識(shí)。

5.回顧總結(jié)，暢談收獲

師：同學(xué)們，剛才我們探索了大圓與小圓的周長問題，這節(jié)課你有什么收獲呢？

學(xué)生發(fā)言，談收獲。

師：這節(jié)課，我們還經(jīng)歷了提出猜想—?jiǎng)邮烛?yàn)證—得出結(jié)論的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程。其實(shí)關(guān)于圓的學(xué)習(xí)，我們的探索還遠(yuǎn)遠(yuǎn)沒有結(jié)束。相信大家在今后的學(xué)習(xí)中會(huì)有更多的收獲與體驗(yàn)！

設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生對(duì)圓周長的探索過程進(jìn)行回顧與總結(jié)，梳理脈絡(luò)，整體建構(gòu)，為后續(xù)學(xué)習(xí)圓的其他知識(shí)奠定基礎(chǔ)。

●教學(xué)反思

課堂上以層層遞進(jìn)的問題引領(lǐng)，建構(gòu)自主學(xué)習(xí)，指導(dǎo)并促進(jìn)學(xué)生思考；精心選擇練習(xí)素材，在利用公式解決問題的同時(shí)，注重學(xué)生學(xué)科德育精神的滲透。

在本節(jié)課上，表格公式的使用、幾何畫板的演示、學(xué)科工具的合理運(yùn)用都加深了學(xué)生對(duì)“圓周率”的理解。通過借助信息技術(shù)讓學(xué)生活起來，實(shí)現(xiàn)“樂學(xué)”；通過小組合作、動(dòng)手操作測量圓片的周長，讓學(xué)生動(dòng)起來，實(shí)現(xiàn)“會(huì)學(xué)”；通過在分層練習(xí)中學(xué)以致用，實(shí)現(xiàn)“學(xué)會(huì)”。總之，本節(jié)課實(shí)現(xiàn)了“將學(xué)生放在課堂正中央”的教學(xué)理念。