關(guān)于恒等算符的一點思考

楊 易 鄔劭軼 郭天浩 楊曉旭 蘇 婕

(電子科技大學(xué)物理學(xué)院 四川 成都 611731)

1 恒等算符簡介

恒等算符是量子力學(xué)的基本概念,通常定義為作用于任意狀態(tài)Ψ都使其保持不變的算符,即

IΨ≡Ψ

(1)

可見恒等算符I其實是整個算符中最基本、最簡單的成員,它作用于任意狀態(tài)的結(jié)果都相當(dāng)于沒有作用.這點首先與算符作用于狀態(tài)后通常會使其發(fā)生改變(即FΨ=φ)不同,屬于最簡單的情形.其次,也與厄密算符的本征方程[1-2]

FΨ=λΨ

(2)

有所不同,因為本征方程雖然也體現(xiàn)了變化之中的不變這一辯證關(guān)系,但仍然需要乘以一個常數(shù)即對應(yīng)的本征值λ.而恒等算符相當(dāng)于這一常數(shù)恒為1,體現(xiàn)了大道至簡的法則.

但是恒等算符的神奇之處卻在于考慮具體表象F時,任意波函數(shù)Ψ可以按該表象的共同本征函數(shù)即基矢{|k〉}展開為[3]

(3)

由于|Ψ〉為任意狀態(tài),可以得到以投影算符完全求和表示的恒等算符

(4)

其中每個分量為相應(yīng)基矢的投影算符

pk=|k〉 〈k|

它使被作用的狀態(tài)投影到對應(yīng)基上

pk|Ψ〉 =|k〉 〈k|Ψ〉 =ak|k〉

(5)

由此可見,得益于狄拉克符號,恒等算符具有以投影算符完全求和的形式.

2 恒等算符在量子力學(xué)計算中的妙用

在量子力學(xué)計算中,可以在恰當(dāng)?shù)奈恢?通常是波函數(shù)與算符之間或者兩個算符之間)插入恒等算符,使恒等算符中的左矢和右矢分別與旁邊的狀態(tài)配成內(nèi)積形式,或與旁邊的力學(xué)量配成矩陣元的形式,從而使計算得以化簡并進(jìn)行下去.例如計算兩個任意態(tài)Ψ和φ關(guān)于兩個算符A和B乘積的矩陣元可表為在A和B之間、Ψ與A之間以及B與φ之間分別插入單位算符的形式

〈m|A|k〉 〈k|B|n〉 〈n|φ〉 =

(6)

其中am和bn分別是狀態(tài)Ψ和φ在F表象中矢量形式a和b的m和n分量.這樣就可以將看似復(fù)雜的積分化為兩個矩陣元與兩個系數(shù)的乘積對3個腳標(biāo)的求和,從而使計算得以進(jìn)行下去.

在量子力學(xué)中的矩陣力學(xué)部分,涉及的狀態(tài)和力學(xué)量算符的表象變換以及基本量子力學(xué)問題中的本征值問題、平均值問題和含時薛定諤方程都可以利用恒等算符非常簡捷地得到相應(yīng)的表達(dá)式.其中關(guān)鍵的步驟就是在恰當(dāng)?shù)奈恢貌迦牒愕人惴?使原本乘在一起的計算分開成同一個表象下不同基矢與狀態(tài)的內(nèi)積(由此得到相應(yīng)的分量系數(shù))或力學(xué)量算符矩陣元.因此,上述對于恒等算符的討論可以幫助學(xué)生理解這一概念,并在計算中靈活地加以應(yīng)用.

3 恒等算符的方法論思考

恒等算符在方法論上體現(xiàn)了思維方法的一個亮點,即辯證法中整體與局部的辯證關(guān)系.式(4)從左到右反映的是化整為零的方法和思路,歷史上著名的曹沖稱象即是這樣的例子.廣義來看,可以對應(yīng)于無法測量的整體(源頭)以投影的方式降維分散于可以認(rèn)知的三維空間的有限事物.

式(4)從右到左反映的是積零成整的方法.例如電動力學(xué)中計算無限大接地導(dǎo)電平板上方一個點電荷Q在空間產(chǎn)生的電勢分布時,如果基于導(dǎo)電平板上的感應(yīng)電荷來計算空間電勢分布顯然會很復(fù)雜,但若采用電像法就很簡單,即用與點電荷Q對稱位置處的點電荷ΔQ來等價替代導(dǎo)電平板上所有感應(yīng)電荷,這樣計算就會非常簡單.進(jìn)一步說,在常規(guī)層面(維度)解決問題通常都很復(fù)雜,甚至不可能實現(xiàn),但跳出常規(guī)層面(即投影)而直接進(jìn)入其源頭(投影源)的話,問題也許就會變得很簡單,甚至?xí)l(fā)現(xiàn)壓根就沒有問題,只不過是看錯的幻覺而已.

因此,自然辯證法中整體和局部的辯證關(guān)系可以用恒等算符的妙用充分地體現(xiàn)出來,為工作和學(xué)習(xí)帶來一定的便利.

4 恒等算符的哲學(xué)思考

在上述分析的基礎(chǔ)上可以對恒等算符進(jìn)行哲學(xué)層面的探討.下面從全息論和本體論的角度加以分析.

4.1 恒等算符的全息論探討

式(4)很直觀地反映了恒等算符具有全息的特征,或者說一即是一切,一切即是一,也可以說是局部與整體無二.這點在經(jīng)典力學(xué)角度顯然是不成立的,因為按照思想理智的邏輯,整體包含局部,局部屬于整體;一屬于一切,一切包含一.但這看似有悖于邏輯的現(xiàn)象恰恰是全息的神奇之處,此時局部與整體已然無法區(qū)分,一與一切無二無別,這正是邏輯思維的奇點,或是真正創(chuàng)新思維的門戶.與之類似的還有現(xiàn)代物理三大基石之一的混沌與分形中的分?jǐn)?shù)維現(xiàn)象,也帶給人們無限不可思議的遐想[4].

因此,從恒等算符的全息論層面可以進(jìn)一步理解整體與局部的辯證關(guān)系,特別是不再局限于自身的有限視角,而是從局部或哪怕一個微不足道的點頓見整體,例如從一滴水見到整個大海,從一粒沙見到整個宇宙.顯然,這里的見到不是指眼睛看到.

4.2 恒等算符的本體論探討

從上述恒等算符的性質(zhì)不難看出,它具有本體的性質(zhì),如無法測量性、超越時空性(恒等算符本身不需要涉及時空,因而超越邏輯,如不動,不生不滅)、無限延伸性(即全息性)等.這里權(quán)且將之比喻為不可測量、不可分析的無限本體,用以審視經(jīng)典力學(xué)(常規(guī)思維)的真實性.假設(shè)在時刻t,空間環(huán)境χ(r,t)中位置r處,觀察者(即主體)Ψ對被觀察對象(即客體)φ實施了測量(或操作)M(t).按照經(jīng)典語言邏輯,Ψ為主語,M為謂語(動詞),φ為賓語,χ(r)為)狀語,則上述語言的經(jīng)典力學(xué)解析為

〈Ψ(t)|M(t)|φ(t) 〉χ(r,t)

(7)

現(xiàn)在考察基于恒等算符的表述.如前所述,在Ψ與M之間和M與φ之間分別插入F表象角標(biāo)k和j的單位算符可以將上式化為

(8)

其中Mkj是力學(xué)量M在F表象中的矩陣元.需要說明是,上述表達(dá)中近似認(rèn)為空間環(huán)境與觀察者或被觀察對象之間不存在相互作用,即環(huán)境獨立于Ψ和φ以及M.

可見,上面表達(dá)式中的主體Ψ、客體φ和測量M都可以基于恒等算符表示為相應(yīng)的系數(shù)或矩陣元形式.也就是說,主客體實際上并不一定是真實存在的實體,而是恒等算符I投影出來的系數(shù)組合,或者說主客體都還是測量(或操作)M所測量出來的,其中并沒有測量者,也沒有被測量的對象,只有測量M本身.因此,經(jīng)典力學(xué)(或邏輯)所定義的主體和客體嚴(yán)格說應(yīng)該稱為偽主體和偽客體,它們只是從本不存在的虛幻參考點(基礎(chǔ)或立場)看出來的分立獨立錯覺.但事實上,這種看似分立并未真正發(fā)生,Ψ和φ以及χ(r,t)本就是整體不可分割的鐵板一塊,如同夢境中的夢我、夢他、夢環(huán)境等等就是不可分割的同一個整體,即夢境本身.

進(jìn)一步,M實際上也并非實實在在的測量,而只是由于測量者(主體)從自身立場出發(fā)的看似扭曲的操作下對該操作的一種定義,或者說恒等算符I在這種操作下看似發(fā)生了扭曲.不妨選取M自身表象(基矢設(shè)為{|α〉},本征值為λα),該操作只是如下的變形

(9)

顯然,當(dāng)M的本征值全為1時,自動退化為恒等算符.因此,本質(zhì)上就是恒等算符自己對自己的操作(或測量),因為偽主體本身并不真實存在,唯一能作用的主體當(dāng)然只有恒等算符本身.而經(jīng)典力學(xué)(或傳統(tǒng)邏輯)所謂的主體和客體其實都是I所測量出來的,并無實體可得.雖然從算符M角度看自己存在扭曲的情形,但恒等算符卻從來都只看到自己,根本無所謂扭曲不扭曲這樣的戲論,甚至也完全沒有必要定義自己為恒等算符.

再說一下空間環(huán)境和時間變量.本來恒等算符中并無時空,但卻蘊含一切時空的種子,所以作為狀語的空間函數(shù)(以及時間)本質(zhì)上也是恒等算符所變現(xiàn)出來的,并非如經(jīng)典力學(xué)所認(rèn)為的剛性實體框架.那么進(jìn)一步考察式(7)和式(8),可以基于恒等算符描述為:I在自己顯現(xiàn)的時空環(huán)境里,投影出偽主體Ψ,對投影出的偽客體φ,看似實施了測量M.最后需要指出的是,被觀測對象φ通常局域疊加態(tài)的性質(zhì),但觀測者意識的參與會導(dǎo)致退相干現(xiàn)象,即導(dǎo)致疊加態(tài)坍縮為某個確定狀態(tài)[5].雖然意識本質(zhì)上仍然體現(xiàn)了非局域化量子態(tài)的不確定性,但其追求確定性的運作方式(即以快照方式在無限不可分割的動態(tài)中進(jìn)行分割截取并將之固化)直接產(chǎn)生了因果邏輯乃至語言文字等.綜上所述,恒等算符可望搭建經(jīng)典力學(xué)語言與量子力學(xué)語言之間的橋梁,也為意識和思維以及語言的進(jìn)一步探索提供了一定的新思路.

5 結(jié)束語

本文簡要介紹了恒等算符的概念及其量子力學(xué)計算中的應(yīng)用,并探討了這一概念在方法論和哲學(xué)層面的一點啟示,揭示了這一概念與自然辯證法中一些重要原理具有相通之處.另外還說明,通過對恒等算符的理解有助于學(xué)生深刻把握量子力學(xué)以及現(xiàn)代物理中不同于經(jīng)典力學(xué)的獨特思想精華.