幾種運(yùn)動(dòng)周期的分析探討*

駱書院

(重慶市清華中學(xué)校 重慶 400054)

胡 南

(重慶理工大學(xué) 重慶 400054)

蔡柳東

(重慶市育才中學(xué)校 重慶 400050)

1 引言

我們?cè)诮虒W(xué)中發(fā)現(xiàn)有一些看似毫無關(guān)聯(lián)的運(yùn)動(dòng),例如近地衛(wèi)星的環(huán)繞運(yùn)動(dòng),小球在地球內(nèi)部的光滑直隧道中做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng),無限擺長(zhǎng)的小角度單擺運(yùn)動(dòng)等,它們的周期居然相同.這種看似偶然的巧合,也許有著必然的聯(lián)系[1].下面我們從物體所受的萬有引力入手,對(duì)上述幾種運(yùn)動(dòng)周期進(jìn)行推證.

2 幾種運(yùn)動(dòng)周期的推證

2.1 近地衛(wèi)星運(yùn)行周期

若地球是一個(gè)半徑為R,密度為ρ的均勻球體,質(zhì)量為m的近地衛(wèi)星繞其表面做勻速圓周運(yùn)動(dòng).

地球的質(zhì)量

(1)

衛(wèi)星的萬有引力提供向心力

(2)

由式(1)、(2)得

(3)

將萬有引力常量G=6.67×10-11N·m2/kg2,地球密度ρ=5.5×103kg/m3代入式(3),可得T≈84 min.

2.2 小球在地球內(nèi)部光滑直隧道中運(yùn)動(dòng)的周期

若地球是一個(gè)半徑為R,密度為ρ的均勻球體.如圖1所示,現(xiàn)沿著地球直徑挖一條光滑隧道(不計(jì)地球自轉(zhuǎn)),將質(zhì)量為m的小球從隧道口靜止釋放開始運(yùn)動(dòng).

圖1 小球在沿地球直徑光滑隧道內(nèi)運(yùn)動(dòng)

當(dāng)小球運(yùn)動(dòng)到距地心x處時(shí),虛線球體的質(zhì)量

(4)

小球所受萬有引力為(地球殼對(duì)小球的引力為零)

(5)

由式(4)、(5)得

由簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)周期公式

(6)

(7)

如果不沿著地球的直徑挖隧道,而是沿著地球的任意一條弦挖光滑隧道(不計(jì)地球自轉(zhuǎn)),將質(zhì)量為m的小球從隧道口靜止釋放開始運(yùn)動(dòng).如圖2所示,當(dāng)小球運(yùn)動(dòng)到距弦中心x處時(shí),虛線球體的半徑為r,地球殼對(duì)小球的引力為零,小球受到地球的萬有引力F萬.把F萬分解為沿著隧道并指向隧道中心的力F1和垂直于隧道的力F2,F2與隧道給小球的支持力FN平衡.

圖2 小球在沿地球任意弦方向光滑隧道內(nèi)運(yùn)動(dòng)

由題意得

(8)

其中

(9)

由式(8)、(9)可得

(10)

2.3 無限擺長(zhǎng)小角度單擺的周期

如圖3所示,設(shè)想有一個(gè)擺長(zhǎng)L遠(yuǎn)大于地球半徑R的單擺在地球表面附近做小角度擺動(dòng),不考慮空氣阻力和地球自轉(zhuǎn).地球是一個(gè)密度為ρ的均勻球體,小球所受的萬有引力F萬時(shí)刻指向地心[2].

圖3 擺長(zhǎng)L遠(yuǎn)大于地球半徑R的單擺

小球回復(fù)力大小

(11)

因?yàn)棣梁挺露紭O小

(12)

由式(1)、(11)、(12)可得

其中

所以周期

(13)

當(dāng)L?R時(shí),由式(13)知

(14)

這樣無限擺長(zhǎng)的單擺周期又是熟悉的84 min了.

3 結(jié)束語(yǔ)

在求解上述周期類題目時(shí),命題者往往會(huì)給出地球半徑R,重力加速度g等常見量數(shù)據(jù),給人造成了周期是與R、g等物理量有關(guān)的錯(cuò)覺.其實(shí)從式(3)、(7)、(10)、(14)可知,這幾種物體的運(yùn)動(dòng)周期都是一個(gè)只與地球密度有關(guān)的必然結(jié)果,并非偶然巧合.

從運(yùn)動(dòng)學(xué)的角度看,做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物體在其直徑上的投影點(diǎn)恰好在做振幅為R的簡(jiǎn)諧振動(dòng),它是勻速圓周運(yùn)動(dòng)的一個(gè)分運(yùn)動(dòng),兩者具有等時(shí)性.如圖4所示,把在直徑AB上做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的物體投影到圓的任意一條弦AC上,投影點(diǎn)也恰好做振幅為Rcosα的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng),它又是直徑上做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的一個(gè)分運(yùn)動(dòng),也具有等時(shí)性.在無限擺長(zhǎng)且擺角極小的單擺中,擺球的運(yùn)動(dòng)軌跡可以看作近地表面地球的一條超短弦(如圖3中的弦MN),它的運(yùn)動(dòng)與小球在光滑直隧道MN中的運(yùn)動(dòng)相同,兩者還是具有等時(shí)性.這樣看來幾種運(yùn)動(dòng)都得到相同的周期且約為84 min也就在情理之中了.

圖4 直徑上做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的物體在弦上投影