談?wù)剮щ娏Ｗ釉诖艌?chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的幾種證明方法*

余 超

(廣西柳州高級(jí)中學(xué) 廣西 柳州 545001)

1 引言

在當(dāng)前高中物理學(xué)習(xí)中,帶電粒子在橫向磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)是我們的基本認(rèn)知.但是無論是從高中教材或是大學(xué)物理教材中都可發(fā)現(xiàn),有關(guān)的論述都較為粗略,很多學(xué)生都知其然不知其所以然.基于此,筆者從深度學(xué)習(xí)的角度入手,從多角度分析出帶電粒子在電磁場(chǎng)中做的是勻速圓周運(yùn)動(dòng)并給出合理證明.

2 多角度證明

情境：如圖1所示,一質(zhì)量為m,電荷量為+q的粒子以初速度v0射入與速度方向垂直的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中,不計(jì)粒子重力,試證明粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng).

圖1 粒子在磁場(chǎng)中受力圖

2.1 曲率半徑的角度

如圖2所示,粒子所受洛倫茲力與初速度不共線,故粒子在磁場(chǎng)中做一般的曲線運(yùn)動(dòng)

圖2 作曲線上A點(diǎn)處的曲率圓

qv0B=ma

設(shè)粒子經(jīng)過某點(diǎn)時(shí)做曲線運(yùn)動(dòng)的曲率半徑為ρ

上式說明粒子做曲率半徑不變的曲線運(yùn)動(dòng),即勻速圓周運(yùn)動(dòng).

評(píng)析:該角度運(yùn)用了處理一般曲線運(yùn)動(dòng)時(shí)的常見思路,即引入曲率半徑.盡管這條未知曲線各個(gè)位置的彎曲程度可能不同,但在研究時(shí),我們將該曲線分割為許多小段,將A點(diǎn)的這小段看做曲率半徑為ρ的圓周運(yùn)動(dòng)的一部分,繼而證明軌跡為圓周.將研究問題的背景放在了學(xué)生已知的情景中,更為直觀,容易被學(xué)生接受,還加深了學(xué)生對(duì)曲線運(yùn)動(dòng)的認(rèn)識(shí).

2.2 動(dòng)量定理的角度

如圖3所示建立平面直角坐標(biāo)系,粒子從O點(diǎn)沿y軸正方向射入垂直紙面的勻強(qiáng)磁場(chǎng),經(jīng)一段時(shí)間運(yùn)動(dòng)到A(x,y)處,在這段運(yùn)動(dòng)過程中,對(duì)x方向列動(dòng)量定理方程

圖3 直角坐標(biāo)系中受力和速度分解圖

∑qBvyΔt=mvx-0

即

qBy=mvx

對(duì)y方向列動(dòng)量定理方程

-∑qBvxΔt=mvy-mv0

即

-qBx=mvy-mv0

因f⊥v,力做功Wf=0,則

評(píng)析:對(duì)大小和方向均變化的洛倫茲力分方向使用動(dòng)量定理,把整個(gè)研究過程分成許多微小的時(shí)間段,當(dāng)段數(shù)足夠多時(shí),在每一小段時(shí)間內(nèi),變力就可以近似看作恒力,通過求和得到整個(gè)過程中洛倫茲力的沖量,在避開了復(fù)雜的積分計(jì)算的情況下求得結(jié)論.近年高考中運(yùn)用“微元求和”求解物理量的習(xí)題頻繁出現(xiàn),該方法為訓(xùn)練學(xué)生對(duì)類似問題的處理提供了一個(gè)案例,在實(shí)際教學(xué)中可以加深學(xué)生對(duì)“微元與求和”思想方法的體會(huì)和理解.

2.3 矢量分析的角度

由牛頓第二定律

普洛斯，這家世界物流地產(chǎn)巨頭被萬科收購，一時(shí)間令無數(shù)物流人感到意外。本次收購案中，萬科及若干其他財(cái)團(tuán)成員為收購設(shè)立的聯(lián)接基金的總出資額約24.54億美元。普洛斯退市后，萬科成為普洛斯的單一最大持有人。

(1)

根據(jù)線速度和角速度的關(guān)系

v=ω×r

代入式(1)得

m[(α×r)+(ω×v)]

(2)

因粒子初速度與磁場(chǎng)方向垂直,故粒子所受洛倫茲力在垂直于磁場(chǎng)平面內(nèi),并與速度v垂直且共面(圖4),因此,粒子運(yùn)動(dòng)的角速度ω與線速度v垂直,角加速度α與由圓心指向粒子所在位置的矢量r垂直.再據(jù)角量與線量的關(guān)系v=ωr和aτ=αr,式(2)可寫為

(3)

圖4 各矢量方向圖

式(3)中en為指向圓心的法向單位矢量,eτ為沿切線方向單位矢量.

評(píng)析:該方法本質(zhì)上是將粒子的加速度分解成切向和法向兩個(gè)分量,運(yùn)用矢量運(yùn)算的法則,計(jì)算得到加速度切向分量為零,從而推導(dǎo)得出粒子角速度恒定,即粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng).為教師在高中物理教學(xué)中有效貫徹?cái)?shù)理思想提供一種方法和視角.

2.4 極坐標(biāo)下質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)的角度

如圖5所示建立極坐標(biāo)系,則粒子運(yùn)動(dòng)的加速度表達(dá)式為

圖5 在極坐標(biāo)系中描述速度

aθ=0

則

因f⊥v,故β必為零,則vr=0,a=ar,有

得

評(píng)析:運(yùn)用極坐標(biāo)系分析粒子的平面曲線運(yùn)動(dòng)是物理競(jìng)賽中的常用方法,將粒子的加速度分解為橫向和徑向分量,體會(huì)在不同坐標(biāo)系視角下對(duì)運(yùn)動(dòng)的描述.讓學(xué)生對(duì)運(yùn)動(dòng)的描述有了進(jìn)一步的理解,同時(shí),也給參加物理競(jìng)賽的學(xué)生在解決競(jìng)賽的相關(guān)問題時(shí)提供了思路.

2.5 微分方程的角度

如圖6建立直角坐標(biāo)系,對(duì)x、y方向分別列動(dòng)力學(xué)方程

(4)

圖6 帶電粒子受力和速度圖

(5)

聯(lián)立式(4)、(5)得

得

(6)

代入初始條件vy0=0,得φ1=0.

則

同理得

(7)

對(duì)式(6)、(7)兩邊積分,求軌跡方程

可得

(8)

(9)

消去t得

評(píng)析:本方法采用了大學(xué)物理和高等數(shù)學(xué)的知識(shí)進(jìn)行證明,以一種典型的處理質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)的常用思路,即在可以作積分的條件下,給出加速度隨時(shí)間的變化規(guī)律和初速度,便可求速度隨時(shí)間的變化,進(jìn)而求解質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程和軌跡方程.對(duì)深入研究物理問題和開闊教師視野提供參考.

3 結(jié)束語

本文從深度學(xué)習(xí)的角度,引導(dǎo)學(xué)生對(duì)物理問題進(jìn)行深入思考,5種證明方法由淺至深,從學(xué)生的角度看,適應(yīng)了不同知識(shí)水平學(xué)生的學(xué)習(xí)需求,有利于學(xué)生拓寬視野、培養(yǎng)科學(xué)思維、提升探究能力,讓物理學(xué)科素養(yǎng)得以落實(shí)[1-2].從中學(xué)物理教師的角度看,高站位、高觀點(diǎn)的視角下看待中學(xué)物理問題,在備課和教學(xué)中適當(dāng)運(yùn)用大學(xué)物理的理論、思想、方法剖析中學(xué)物理的相關(guān)內(nèi)容,有利于讓教師在把握中學(xué)物理學(xué)科本質(zhì)和關(guān)鍵的同時(shí)提升自身的專業(yè)素養(yǎng).