流體阻力和拋射高度對(duì)拋射體運(yùn)動(dòng)規(guī)律的影響研究*

易 婉 周 琪

(湖南科技大學(xué)物理與電子科學(xué)學(xué)院 湖南 湘潭 411201)

陸振煙

(湖南科技大學(xué)物理與電子科學(xué)學(xué)院 湖南 湘潭 411201;智能傳感器與新型傳感材料湖南省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 湖南 湘潭 411201)

麻志君 周海霞

(湖南科技大學(xué)物理與電子科學(xué)學(xué)院 湖南 湘潭 411201)

在物理學(xué)中,拋體運(yùn)動(dòng)的相關(guān)研究是極為重要的內(nèi)容,其中最簡(jiǎn)單也是最常見的模型為:不考慮流體阻力的影響,且拋出點(diǎn)與落地點(diǎn)處在同一水平線上,此時(shí)的拋體運(yùn)動(dòng)的軌跡是一條關(guān)于通過最高點(diǎn)的垂線左右對(duì)稱的拋物線,最佳拋射角為45°[1],且該角度與拋體初速度和質(zhì)量均無關(guān).但當(dāng)拋射點(diǎn)與落地點(diǎn)不在同一條水平線上時(shí),拋體的最佳拋射角會(huì)隨著拋射高度的增加而減小.在忽略空氣阻力的前提下,文獻(xiàn)[2]研究了運(yùn)動(dòng)員身高和手臂長(zhǎng)度對(duì)鉛球運(yùn)動(dòng)成績(jī)的影響,結(jié)果表明運(yùn)動(dòng)員肩膀高度的差異對(duì)拋射速度的影響非常小,但對(duì)最大射程有一定影響,差別約為幾十厘米,且肩膀高度越高,最佳拋射角越小而最大射程越大.在將理論計(jì)算結(jié)果與國(guó)內(nèi)著名鉛球運(yùn)動(dòng)員的比賽數(shù)據(jù)進(jìn)行比較后,發(fā)現(xiàn)假若運(yùn)動(dòng)員的實(shí)際拋射角越接近理論預(yù)測(cè)的最佳拋射角,則射程越遠(yuǎn),反之則射程越近.這表明理論計(jì)算結(jié)果的可信賴程度高.

自然界和軍事活動(dòng)中,常常能見到高速飛行的物體.而當(dāng)流體密度比較大或飛行物體速度很大時(shí),流體阻力對(duì)飛行物體的影響將變得不可忽略[3].在文獻(xiàn)[4]中,考慮空氣阻力與速度成正比的條件下,利用拉格朗日乘子法推導(dǎo)和研究了斜面上拋射物體運(yùn)動(dòng)規(guī)律,而文獻(xiàn)[5-6]則考慮了空氣阻力與速度的平方成正比情形下,通過 Matlab 數(shù)值求解其常微分方程,分析了射程、射高和飛行時(shí)間與初始角度之間的關(guān)系.但這些討論僅局限于斜面拋體或拋出點(diǎn)和落地點(diǎn)在同一水平線上的情形,而且并沒有將阻力、初速度、拋射高度對(duì)拋體運(yùn)動(dòng)的影響進(jìn)行綜合考慮.因此,本研究將從拋體動(dòng)力學(xué)方程出發(fā),推導(dǎo)一般情形下拋體運(yùn)動(dòng)軌跡方程,并進(jìn)行數(shù)值計(jì)算和作圖,從理論上探究阻力、初速度和拋射高度對(duì)拋體運(yùn)動(dòng)最佳拋射角的影響.

1 考慮阻力的拋體運(yùn)動(dòng)模型

我們假設(shè)拋體的質(zhì)量為m,拋射速度為v0,拋射高度為L(zhǎng).如圖1所示,建立直角坐標(biāo)系xOy,質(zhì)量為m的物體從原點(diǎn)O正上方L處以大小為v0的初速度拋出,初速度與x軸方向的夾角為θ,運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t時(shí)的速度為v.當(dāng)拋體軌跡與直線y=0相交時(shí),交點(diǎn)與原點(diǎn)的水平距離即為拋體的射程,記為X.

在流體中運(yùn)動(dòng)的物體,其所受阻力通常與運(yùn)動(dòng)速度的冪次相關(guān)[7].為了簡(jiǎn)單起見,我們考慮阻力大小與拋體速度成正比關(guān)系[8-9],即

f=-kv

(1)

對(duì)于拋體運(yùn)動(dòng),我們可以將運(yùn)動(dòng)分解為沿著x和y軸方向的變速直線運(yùn)動(dòng).根據(jù)牛頓第二定律,考慮阻力的x和y方向的動(dòng)力學(xué)方程為

(2)

當(dāng)t=0時(shí),有初始條件x=0,y=0,vx=v0cosθ,vy=v0sinθ.對(duì)式(2)進(jìn)行分離變量,并結(jié)合初始條件積分得到拋體運(yùn)動(dòng)在x和y方向的速度大小為

(3)

進(jìn)一步對(duì)式(3)進(jìn)行積分,可得到物體在x和y兩個(gè)方向的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為

(4)

再利用消元法消去時(shí)間t可求得拋體運(yùn)動(dòng)的軌跡方程為

(5)

假設(shè)物體落到水平地面的射程為X,由式(5)可知拋體射程X滿足如下超越方程

(6)

很顯然,無法從上述超越方程中直接反解出拋體射程的顯式表達(dá)式.與文獻(xiàn)[8]中采用近似法求解超越方程的解不一樣,我們利用數(shù)學(xué)軟件編寫代碼對(duì)其數(shù)值求解,并最終通過作圖軟件進(jìn)行繪圖,更加詳細(xì)及直觀展示阻力及拋射高度對(duì)拋體最佳拋射角的影響,具體數(shù)值計(jì)算結(jié)果將在下面進(jìn)行詳細(xì)展示和討論.

2 數(shù)值計(jì)算結(jié)果及分析

圖2 拋體運(yùn)動(dòng)軌跡與流體阻力的關(guān)系

2.1 阻力及初速度對(duì)拋體最佳拋射角的影響

圖3 拋射高度L=2 m時(shí),最佳拋射角隨初速度的變化關(guān)系

圖4 拋射高度L=10 m時(shí),最佳拋射角隨阻力系數(shù)的變化關(guān)系

2.2 流體阻力、初速度及拋射高度對(duì)拋體最佳拋射角的影響

為了從多方面展示最佳拋射角隨阻力系數(shù)的變化關(guān)系,我們?cè)趫D5中描繪了初速度v0=100 m/s以及拋射高度L=2 m、5 m、10 m、20 m、50 m、100 m、200 m的條件下所得到的最佳拋射角與阻力系數(shù)的變化曲線.這幾條單調(diào)下降的曲線表明最佳拋射角隨空氣阻力系數(shù)的增大而減小:當(dāng)拋射高度較小時(shí),其對(duì)應(yīng)的最佳拋射角較大,并且曲線的下降相對(duì)而言也較為平緩;而當(dāng)拋射高度較大時(shí),曲線下降的速度更大一些,其中對(duì)應(yīng)于L=100 m、200 m的兩條曲線甚至幾乎呈直線型下降.但無論拋射高度是大還是小,在拋射高度與初速度確定的情況下,最佳拋射角都是隨著空氣阻力系數(shù)的增大而減小,且變化趨勢(shì)逐漸變得平穩(wěn),最后趨于一個(gè)穩(wěn)定的值.

圖5 初速度v0=100 m/s時(shí),最佳拋射角隨阻力系數(shù)的變化關(guān)系

圖6 阻力系數(shù)時(shí),最佳拋射角隨初速度的變化關(guān)系

圖7 初速度v0=100 m/s時(shí),最佳拋射角隨拋射高度的變化關(guān)系

3 結(jié)論

流體阻力對(duì)高速飛行物體的影響通常不可忽略.本文從拋體的動(dòng)力學(xué)方程出發(fā),推導(dǎo)考慮阻力和拋射高度影響下拋體運(yùn)動(dòng)的軌跡方程,借助數(shù)學(xué)軟件進(jìn)行數(shù)值計(jì)算和繪圖,定量研究了阻力和拋射高度對(duì)拋體運(yùn)動(dòng)規(guī)律的影響,得出以下結(jié)論.