第三方再制造供應(yīng)鏈生產(chǎn)及減排決策

王 娜,張玉林

(1.東南大學(xué) 經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院,江蘇 南京 211189;2.西藏民族大學(xué) 信息工程學(xué)院,陜西 咸陽 712082)

0 引言

科技的發(fā)展加速了產(chǎn)品更新?lián)Q代,同時(shí)也造成廢舊產(chǎn)品日益增加,由此引發(fā)的資源浪費(fèi)和環(huán)境污染備受世界各國重視。再制造憑借其環(huán)保和節(jié)能優(yōu)勢,受到社會(huì)各界廣泛關(guān)注[1-2]。卡特彼勒、施樂等知名企業(yè)通過再制造獲得了巨大的經(jīng)濟(jì)和環(huán)境效益[3]。然而,出于品牌、技術(shù)等因素,很多企業(yè)選擇將再制造業(yè)務(wù)外包或授權(quán)給第三方[4]。外包模式下,制造商支付外包費(fèi),再制造商向制造商提供再制造產(chǎn)品,雙方進(jìn)行合作,如卡特彼勒負(fù)責(zé)路虎公司的再制造業(yè)務(wù),而路虎僅負(fù)責(zé)銷售;授權(quán)模式下,制造商收取授權(quán)費(fèi),由再制造商負(fù)責(zé)再制造產(chǎn)品的生產(chǎn)與銷售,雙方既合作又競爭,如蘋果公司將對(duì)中國地區(qū)的廢舊iPhone手機(jī)再制造所有權(quán)交給富士康。

另一方面,為控制碳排放,各國紛紛實(shí)行碳稅、碳交易等政策。低碳政策下,制造商通常進(jìn)行減排投資。正向供應(yīng)鏈中,制造商減排的技術(shù)溢出有利于供應(yīng)鏈總利潤增加[5]。閉環(huán)供應(yīng)鏈中,成員關(guān)系更為復(fù)雜,而再制造具有一定減排效果,那么,制造商減排對(duì)再制造商和供應(yīng)鏈總利潤有何影響?綜合考慮經(jīng)濟(jì)和環(huán)境效益,外包和授權(quán)哪種模式更優(yōu)?針對(duì)減排的技術(shù)溢出和分散決策的效率損失,如何設(shè)計(jì)契約進(jìn)行協(xié)調(diào)?這些問題的探討具有較強(qiáng)的現(xiàn)實(shí)意義。

關(guān)于第三方再制造,熊中楷等[6]率先研究了專利保護(hù)下閉環(huán)供應(yīng)鏈的定價(jià)決策;ZOU等[7]比較了外包再制造和授權(quán)再制造的最優(yōu)決策;夏西強(qiáng)等[8]在外包模式下研究了再制造設(shè)計(jì)對(duì)制造和再制造決策的影響;朱賓欣等[9]探討了專利保護(hù)對(duì)再制造供應(yīng)鏈創(chuàng)新的影響。近年來,一些學(xué)者將低碳政策納入再制造運(yùn)營管理,YENIPAZARLI[10]研究了碳稅政策下制造商自行再制造的策略;CHANG等[11]考慮制造商自行再制造,分析了碳交易政策對(duì)制造/再制造決策的影響;CHEN等[12]發(fā)現(xiàn)碳管制不僅可有效降低碳排放,還可以促進(jìn)再制造;CHAI等[13]認(rèn)為碳交易能促進(jìn)再制造,長遠(yuǎn)來看制造商應(yīng)進(jìn)行減排投資;ALEGOZ等[14]對(duì)比分析了碳稅政策下純制造和混合制造/再制造系統(tǒng)的決策,發(fā)現(xiàn)制造商自行再制造的產(chǎn)量總是低于第三方再制造。

在供應(yīng)鏈減排協(xié)調(diào)方面,成本分擔(dān)與收益共享兩種契約被廣泛應(yīng)用。GHOSH等[15]發(fā)現(xiàn)制造商總能從成本分擔(dān)中獲益;WANG等[16]研究了不同權(quán)力結(jié)構(gòu)的供應(yīng)鏈減排決策,發(fā)現(xiàn)成本分擔(dān)契約能夠?qū)崿F(xiàn)帕累托改進(jìn);YENIPAZARLI[17]研究了綠色供應(yīng)鏈合作創(chuàng)新,對(duì)比分析了成本分擔(dān)和收益共享兩種契約,發(fā)現(xiàn)后者更適合于供應(yīng)鏈合作創(chuàng)新;YANG等[18]發(fā)現(xiàn)收益共享契約能促進(jìn)制造商放棄橫向合作,實(shí)現(xiàn)經(jīng)濟(jì)和環(huán)境績效雙贏;LIU[19]研究了低碳供應(yīng)鏈定價(jià)及減排策略,利用收益共享契約實(shí)現(xiàn)了供應(yīng)鏈協(xié)調(diào);YU等[20]對(duì)比分析了成本分擔(dān)和收益共享契約下的均衡減排和定價(jià)策略,發(fā)現(xiàn)制造商和整個(gè)供應(yīng)鏈更傾向于收益共享契約。

綜上所述,學(xué)者們對(duì)再制造及供應(yīng)鏈減排協(xié)調(diào)分別進(jìn)行了較深入的研究。然而,以往再制造的研究主要基于成本節(jié)約進(jìn)行生產(chǎn)決策;而碳減排的研究主要集中于正向供應(yīng)鏈和制造商自行再制造的情形。鑒于此,本文在第三方再制造情形下,探討制造商減排對(duì)再制造商和供應(yīng)鏈系統(tǒng)的影響。主要貢獻(xiàn)在于:①基于再制造碳排放水平進(jìn)行制造/再制造決策,使生產(chǎn)策略的邊界更加簡潔直觀;②通過對(duì)比外包模式、授權(quán)模式和集中決策下的減排率、產(chǎn)量、利潤和碳排放,為再制造模式的選擇提供參考;③設(shè)計(jì)制造商與再制造商間的協(xié)調(diào)契約,為制造商減排及雙方合作提供決策依據(jù)。

1 問題描述與假設(shè)

考慮由一個(gè)制造商和一個(gè)再制造商構(gòu)成的供應(yīng)鏈系統(tǒng),制造商為領(lǐng)導(dǎo)者,再制造商為跟隨者。外包模式下,制造商生產(chǎn)新產(chǎn)品,再制造商收取外包費(fèi)并進(jìn)行回收再制造,最后由制造商負(fù)責(zé)將新產(chǎn)品和再制造產(chǎn)品銷售給消費(fèi)者。授權(quán)模式下,制造商負(fù)責(zé)生產(chǎn)銷售新產(chǎn)品,再制造商支付授權(quán)費(fèi)并進(jìn)行再制造產(chǎn)品的生產(chǎn)及銷售。低碳背景下,政府對(duì)生產(chǎn)過程中的碳排放征收碳稅。為控制碳排放,制造商進(jìn)行減排投資。文中涉及到的符號(hào)及含義如表1所示。

表1 符號(hào)說明

上標(biāo)AN,BN,A,B,C,CA,CB分別表示外包不減排、授權(quán)不減排、外包減排、授權(quán)減排、集中減排、外包協(xié)調(diào)和授權(quán)協(xié)調(diào)決策。

本文主要作如下假設(shè):

假設(shè)3參照文獻(xiàn)[23],當(dāng)產(chǎn)品處于生命周期的成熟階段時(shí),其價(jià)格和產(chǎn)量都相對(duì)穩(wěn)定,故本文采用單周期模型。

假設(shè)4新產(chǎn)品和再制造產(chǎn)品質(zhì)量功能相同,但消費(fèi)者對(duì)兩種產(chǎn)品的支付意愿不同,分別為V和βV,其中0<β<1,V服從[0,Q]均勻分布[24]。消費(fèi)者購買兩種產(chǎn)品所獲得的效用分別為:Un=-pn,Ur=βV-pr,逆需求函數(shù)為:pn=Q-qn-βqr,pr=β(Q-qn-qr)。

2 模型構(gòu)建與求解

為考察制造商減排對(duì)供應(yīng)鏈決策的影響,首先在不減排情形下,基于再制造碳排放水平,探討第三方再制造供應(yīng)鏈的生產(chǎn)決策。

2.1 第三方再制造供應(yīng)鏈生產(chǎn)決策

2.1.1 外包再制造

外包模式下,制造商與再制造商的博弈順序?yàn)?①制造商確定新產(chǎn)品產(chǎn)量和外包費(fèi);②再制造商確定再制造產(chǎn)品產(chǎn)量。雙方的利潤函數(shù)分別為:

(1)

(2)

qr≤τqn。

(3)

再制造產(chǎn)品的數(shù)量受限于前期新產(chǎn)品的數(shù)量,涉及不等式約束的優(yōu)化問題,本文采用庫恩塔克條件進(jìn)行求解。

命題1外包模式下,再制造碳排放比率存在兩個(gè)閾值:

再制造商根據(jù)再制造碳排放水平可選擇3種不同的再制造策略:不再制造、部分再制造和完全再制造。

命題1證明見附錄。

外包模式下,當(dāng)λ≥λA1時(shí),再制造的減排效果較弱,再制造商不進(jìn)行再制造;當(dāng)λA2≤λ<λA1時(shí),再制造具有一定低碳優(yōu)勢,再制造商將回收的舊產(chǎn)品部分進(jìn)行再制造;當(dāng)0<λ<λA2時(shí),再制造低碳優(yōu)勢明顯,獲利能力較強(qiáng),再制造商將回收的舊產(chǎn)品全部再制造。

2.1.2 授權(quán)再制造

授權(quán)模式下的博弈過程為:①制造商確定新產(chǎn)品產(chǎn)量和單位授權(quán)費(fèi);②再制造商確定再制造產(chǎn)品產(chǎn)量。雙方的利潤函數(shù)分別為

(4)

(5)

qr≤τqn。

(6)

命題2授權(quán)模式下,再制造碳排放比率存在兩個(gè)閾值:

再制造商根據(jù)再制造碳排放水平可選擇不再制造、部分再制造和完全再制造3種不同的再制造策略。

命題2證明與命題1類似,略。

推論1部分再制造情形下,外包和授權(quán)再制造的條件相同;完全再制造情形下,外包再制造的門檻低于授權(quán)再制造。

若再制造減排效果一般,制造商不會(huì)重視和干預(yù)再制造產(chǎn)品的市場地位,因此,兩種模式下再制造的條件相同。若再制造減排效果顯著,再制造商會(huì)將回收的全部舊產(chǎn)品用于再制造;外包模式下,再制造商既回收制造商前期生產(chǎn)的新產(chǎn)品,又為制造商提供再制造產(chǎn)品,雙方利益基本一致;授權(quán)模式下,再制造商一方面回收制造商前期生產(chǎn)的新產(chǎn)品,但另一方面,其生產(chǎn)的再制造產(chǎn)品與制造商生產(chǎn)的新產(chǎn)品相競爭,雙方存在利益沖突。因此,授權(quán)模式下,制造商為保護(hù)其自身收益,會(huì)提高再制造門檻,限制第三方再制造。

對(duì)多數(shù)企業(yè)而言,再制造的低碳優(yōu)勢并非足夠顯著;加之新產(chǎn)品和再制造產(chǎn)品的競爭,再制造商很難將廢舊產(chǎn)品全部進(jìn)行再制造。因此,在碳減排分析中,本文僅考慮再制造減排效果適中,再制造商部分再制造的情形,即qr<τqn。此時(shí),外包再制造供應(yīng)鏈的最優(yōu)決策為:

授權(quán)再制造供應(yīng)鏈的最優(yōu)決策為:

2.2 第三方再制造供應(yīng)鏈減排決策

2.2.1 外包再制造

減排是企業(yè)的一項(xiàng)長期決策,制造商減排,雙方的博弈過程可分為3個(gè)階段:①制造商確定減排率;②制造商確定新產(chǎn)品產(chǎn)量和外包費(fèi);③再制造商確定再制造產(chǎn)品產(chǎn)量。雙方的利潤函數(shù)分別為:

(7)

(8)

采用逆向求解,得到外包再制造供應(yīng)鏈減排的均衡解,如表2所示。

表2 第三方再制造供應(yīng)鏈減排最優(yōu)決策

命題3證明見附錄。

外包模式下,制造商的收益源于銷售新產(chǎn)品和再制造產(chǎn)品,且制造商可通過外包費(fèi)調(diào)整自身收益。制造商減排使新產(chǎn)品產(chǎn)量增加,而減排所負(fù)擔(dān)的高額成本使其支付給再制造商的外包費(fèi)降低,因此,減排后制造商利潤增加。當(dāng)β>λ時(shí),再制造產(chǎn)品的接受度較高,而再制造的減排效果較好,但外包費(fèi)的降低抑制了再制造,因此,再制造產(chǎn)品產(chǎn)量減少,再制造商利潤降低。相反,當(dāng)β<λ時(shí),再制造產(chǎn)品的接受度不高,而再制造的減排效果不理想;若制造商減排,再制造產(chǎn)品碳排放隨之減少,碳排放成本降低使得再制造產(chǎn)品產(chǎn)量增加,再制造利潤增加。

2.2.2 授權(quán)再制造

制造商減排,授權(quán)模式下的博弈過程為:①制造商確定減排率;②制造商確定新產(chǎn)品產(chǎn)量和授權(quán)費(fèi);③再制造商確定再制造產(chǎn)品產(chǎn)量。雙方利潤函數(shù)分別為:

(9)

(10)

采用逆向求解,得到授權(quán)再制造供應(yīng)鏈減排的均衡解,如表2所示。

命題4證明與命題3類似,略。

授權(quán)再制造模式下,市場中新產(chǎn)品數(shù)量由制造商決定。制造商收益源于新產(chǎn)品銷售和再制造授權(quán),且可以通過授權(quán)費(fèi)調(diào)整自身收益。制造商減排使新產(chǎn)品產(chǎn)量增加,減排所負(fù)擔(dān)的高額成本使其收取的授權(quán)費(fèi)增加,因此,減排后制造商利潤增加。與外包情形類似,當(dāng)β>λ時(shí),盡管再制造產(chǎn)品接受度較高,再制造減排效果較好,但授權(quán)費(fèi)的增加抑制了再制造,因此,再制造產(chǎn)品產(chǎn)量減少,再制造商利潤降低。反之,再制造利潤增加。

正向供應(yīng)鏈中,上游企業(yè)投資減排,使其利潤增加,而減排的溢出效應(yīng)也使下游企業(yè)利潤增加。然而,第三方再制造模式下,減排對(duì)再制造商利潤的影響取決于β與λ的關(guān)系:當(dāng)β>λ時(shí),減排使再制造商利潤減少;當(dāng)β<λ時(shí),減排使再制造商利潤增加。

2.2.3 集中決策

集中決策下,制造商與再制造商共同決定減排率及產(chǎn)量,以使供應(yīng)鏈系統(tǒng)最優(yōu),此時(shí)決策問題可表示為:

(11)

命題5證明見附錄。

其中:X=k(Q-cn-fe0)+2β(Q-cn-fe0-βQ+cr+λfe0),X′=k(Q-cn-fe0)+β(Q-cn-fe0-βQ+cr+λfe0),X″=(β+k)(Q-cn-fe0)+β(Q-cn-fe0-βQ+cr+λfe0);Y=βcn+βfe0-λfe0-cr;

命題6證明見附錄。

命題6表明若再制造產(chǎn)品減排效果明顯,或再制造產(chǎn)品接受度較高,集中決策下將重點(diǎn)銷售再制造產(chǎn)品,新產(chǎn)品產(chǎn)量減少,企業(yè)面臨的碳減排壓力減小,所付出的減排努力水平降低;若再制造減排效果不理想,或再制造產(chǎn)品接受度較低,集中決策下將重點(diǎn)銷售新產(chǎn)品,新產(chǎn)品產(chǎn)量增加,需要付出更高的減排努力水平,因此,集中決策的減排率提高。

外包模式下,制造商可通過外包費(fèi)調(diào)控再制造產(chǎn)品產(chǎn)量;授權(quán)模式下,制造商可通過授權(quán)費(fèi)控制再制造產(chǎn)品產(chǎn)量。但授權(quán)模式下,再制造商與制造商競爭,制造商會(huì)進(jìn)一步提高授權(quán)費(fèi)以限制再制造,成本增加使再制造產(chǎn)品產(chǎn)量降低;同一市場中,新產(chǎn)品和再制造產(chǎn)品相競爭,二者產(chǎn)量此消彼長,因此,授權(quán)模式下新產(chǎn)品產(chǎn)量高于外包模式。

命題7證明見附錄。

命題7表明外包模式下供應(yīng)鏈總利潤高于授權(quán)模式,這是因?yàn)橥獍Ｊ较?制造商控制新產(chǎn)品和再制造產(chǎn)品的供給,整個(gè)市場利潤增加;授權(quán)模式下,新產(chǎn)品和再制造產(chǎn)品競爭,導(dǎo)致整個(gè)市場利潤下降。當(dāng)消費(fèi)者對(duì)再制造認(rèn)可度較高,而再制造減排效果較顯著時(shí),外包模式的總碳排放低于授權(quán)模式;可見,綜合經(jīng)濟(jì)和環(huán)境效益,外包模式優(yōu)于授權(quán)模式?，F(xiàn)實(shí)中,外包通常是制造商主動(dòng)尋求合作,而授權(quán)則是再制造商主動(dòng)尋求合作;因此,對(duì)制造商而言,外包模式總是優(yōu)于授權(quán)。然而,無論外包,還是授權(quán),集中決策下供應(yīng)鏈總利潤會(huì)進(jìn)一步增加;一定條件下,集中決策能夠?qū)崿F(xiàn)供應(yīng)鏈總利潤最大的同時(shí)總碳排放最低。因此,制造商和再制造商均有動(dòng)機(jī)對(duì)供應(yīng)鏈進(jìn)行協(xié)調(diào)。

3 利潤共享契約協(xié)調(diào)

3.1 外包再制造供應(yīng)鏈協(xié)調(diào)

制造商減排使外包費(fèi)降低,再制造商利潤不一定增加。作為一種事后契約,利潤共享契約可用于供應(yīng)鏈的協(xié)調(diào)。制造商為再制造商提供契約(pa,φ),即制造商支付適當(dāng)?shù)耐獍M(fèi),同時(shí)分享再制造商部分利潤。此時(shí),雙方利潤函數(shù)分別為:

(12)

(13)

(14)

命題8證明見附錄。

3.2 授權(quán)再制造供應(yīng)鏈協(xié)調(diào)

(15)

(16)

(17)

命題9證明與命題8類似,略。

4 數(shù)值仿真

參照文獻(xiàn)[3]的設(shè)定,并結(jié)合相關(guān)條件,參數(shù)賦值如下:Q=1 000,cn=600,cr=300,e0=5,k=10,h=100 000,f=20。

4.1 基于再制造減排效果的再制造決策

取β=0.6,其他參數(shù)賦值同上,碳稅政策下外包和授權(quán)再制造策略如圖1所示,再制造商根據(jù)再制造碳排放水平可選擇不同的再制造策略。部分再制造情形下,外包和授權(quán)再制造門檻相同;完全再制造情形下,外包再制造門檻低于授權(quán)模式。本文的減排決策分析僅針對(duì)部分再制造情形。

圖1 基于再制造減排效果的再制造策略

4.2 不同模式下的減排及生產(chǎn)決策

當(dāng)β>λ時(shí),再制造產(chǎn)品的接受度較高,集中決策下企業(yè)重點(diǎn)銷售再制造產(chǎn)品,新產(chǎn)品產(chǎn)量減少,碳減排壓力減小,所需付出的減排努力程度降低,因此,集中決策的減排率低于分散決策,如圖2所示。隨再制造產(chǎn)品接受度提升,制造商最優(yōu)減排率減低;隨再制造產(chǎn)品碳排放降低,制造商最優(yōu)減排率降低。

圖2 減排率

由圖3和圖4可以看出:新產(chǎn)品和再制造產(chǎn)品的產(chǎn)量是此消彼長的關(guān)系。集中決策下的再制造產(chǎn)品產(chǎn)量高于外包模式,而外包模式下的再制造產(chǎn)品產(chǎn)量高于授權(quán)模式;相反,集中決策下的新產(chǎn)品產(chǎn)量低于外包模式,而外包模式下的新產(chǎn)品產(chǎn)量低于授權(quán)模式。

圖3 新產(chǎn)品產(chǎn)量

4.3 不同模式下的總利潤和碳排放

不同模式下供應(yīng)鏈的總利潤及碳排放如圖5和圖6所示,外包再制造供應(yīng)鏈總利潤高于授權(quán)模式,集中決策下供應(yīng)鏈總利潤進(jìn)一步增加;外包模式下總碳排放低于授權(quán)模式,當(dāng)β>λ時(shí),集中決策下供應(yīng)鏈的總碳排最低。可見,當(dāng)β>λ時(shí),集中決策能夠?qū)崿F(xiàn)供應(yīng)鏈總利潤最大的同時(shí),總碳排放最低。

圖5 閉環(huán)供應(yīng)鏈總利潤

圖6 閉環(huán)供應(yīng)鏈總碳排放

4.4 利潤共享契約協(xié)調(diào)

取β=0.7,λ=0.6,求得外包模式下利潤共享比例φ1=0.489 8,φ2=0.739 6;授權(quán)模式下利潤共享比例θ1=0.522 5,θ2=0.771 9。不同決策情形下第三方再制造供應(yīng)鏈的均衡結(jié)果如表3所示,協(xié)調(diào)后再制造外包費(fèi)增加,授權(quán)費(fèi)降低,再制造產(chǎn)品數(shù)量高于協(xié)調(diào)前;隨共享比例增加,制造商利潤增加,再制造商利潤減少,但均高于分散決策;此處β>λ,故集中決策下總碳排放降低;通過契約協(xié)調(diào),供應(yīng)鏈系統(tǒng)的經(jīng)濟(jì)和環(huán)境效益均得到改善。

表3 不同情形下的決策結(jié)果

5 結(jié)束語

本文考慮碳稅政策和消費(fèi)者異質(zhì)需求,探討了制造商減排對(duì)第三方再制造商及供應(yīng)鏈決策的影響,并設(shè)計(jì)契約進(jìn)行協(xié)調(diào)。主要結(jié)論如下:

(1)根據(jù)再制造碳排放水平,再制造商可選擇不同的生產(chǎn)策略;部分再制造情形下,外包和授權(quán)再制造的門檻相同;完全再制造情形下,外包再制造的門檻低于授權(quán)模式。

(2)制造商減排使其自身和供應(yīng)鏈利潤增加,但再制造商利潤未必增加,減排對(duì)再制造商的影響取決于再制造碳排放水平與再制造產(chǎn)品接受度的關(guān)系;綜合考慮經(jīng)濟(jì)和環(huán)境效益,外包模式通常優(yōu)于授權(quán)模式。

(3)當(dāng)再制造減排效果較強(qiáng),而消費(fèi)者對(duì)再制造產(chǎn)品較為認(rèn)可時(shí),集中決策能夠?qū)崿F(xiàn)供應(yīng)鏈總利潤增加的同時(shí)總碳排降低。

(4)制造商提高再制造外包費(fèi)(降低授權(quán)費(fèi)),同時(shí)分享再制造商部分利潤,能夠?qū)崿F(xiàn)外包(授權(quán))再制造供應(yīng)鏈的協(xié)調(diào)。

制造商減排不一定使再制造商利潤增加,但供應(yīng)鏈總利潤增加;在契約協(xié)調(diào)下,再制造商利潤亦能得到改善;再制造商可借助利潤分配比例增強(qiáng)制造商的減排動(dòng)力,實(shí)現(xiàn)在不改變供應(yīng)鏈整體利潤的前提下有效減排。碳稅能在一定程度上促進(jìn)再制造、推動(dòng)碳減排,然而,當(dāng)前再制造產(chǎn)品市場需求不高,而減排需大量資金投入,因此,政府一方面需制訂相關(guān)政策法規(guī)促進(jìn)再制造產(chǎn)品市場發(fā)展,另一方面可對(duì)再制造、碳減排進(jìn)行適當(dāng)補(bǔ)貼。

不足與展望:①廢舊產(chǎn)品的質(zhì)量具有不確定性,導(dǎo)致再制造的工藝和成本不盡相同,因此,考慮回收產(chǎn)品質(zhì)量差異及再制造成本差異更具有現(xiàn)實(shí)意義;②本文僅考慮部分再制造情形下制造商進(jìn)行碳減排,完全再制造情形下的碳減排決策有待進(jìn)一步探討;③本文將利潤共享比例視為外生參數(shù),也可考慮將其作為決策變量;④不同于普通消費(fèi)者的異質(zhì)需求,綠色消費(fèi)者偏好再制造產(chǎn)品,未來可考慮存在綠色消費(fèi)者時(shí)閉環(huán)供應(yīng)鏈的減排問題。

附錄

1命題1證明

構(gòu)建制造商利潤的拉格朗日函數(shù):L(qn,pa)=(pn-cn-fe0)qn+(pr-pa)qr+μ(pa-cr-λfe0)+χ(cr+λfe0+kτqn-pa),其K-T條件為:

μ(pa-cr-λfe0)=0,

χ(cr+λfe0+kτqn-pa)=0。

具有經(jīng)濟(jì)意義的情況有以下3種:

(3)μ=0,χ>0,再制造商完全再制造,

證畢。

2命題3證明

證畢。

3命題5證明

證畢。

4命題6證明

證畢。

5命題7證明

其中:S′>0;

其中:S″>0;因此,當(dāng)β>λ時(shí),EB*>EA*>EC*。

證畢。

6命題8證明

證畢。