分光計測棱鏡玻璃折射率實(shí)驗的譜線形狀函數(shù)

蘇海濤

分光計測棱鏡玻璃折射率實(shí)驗的譜線形狀函數(shù)

蘇海濤

（長江大學(xué) 物理與光電工程學(xué)院，湖北 荊州 434023）

分光計測棱鏡玻璃折射率實(shí)驗的色散譜線因折射定律而成為曲線．長期以來，由于數(shù)學(xué)分析與計算的難度，解出該曲線的數(shù)學(xué)表達(dá)式——譜線形狀函數(shù)成為數(shù)學(xué)上的一個難題．通過深入分析三棱鏡對單色光折射的光路結(jié)構(gòu)，確定了出射光的方位角，由此解出正交條件下譜線的形狀函數(shù)，再通過坐標(biāo)轉(zhuǎn)換，導(dǎo)出一般情況下譜線的形狀函數(shù)，解決了這一難題．譜線形狀函數(shù)的圖像與對應(yīng)的實(shí)際譜線比較，兩者一致．

分光計；三棱鏡；折射光路結(jié)構(gòu)；譜線形狀函數(shù)

用分光計測棱鏡玻璃折射率是一個包含豐富的光學(xué)與幾何學(xué)知識的實(shí)驗，這些知識貫穿在其調(diào)節(jié)與測量的嚴(yán)格性、精密性與巧妙性之中，充分體現(xiàn)了光學(xué)的魅力，使其成為重要的大學(xué)物理實(shí)驗[1-4]．分光計測棱鏡玻璃折射率實(shí)驗中，三棱鏡對入射單色平行光束的折射引起了色散譜線的彎曲，故譜線為曲線．但由于數(shù)學(xué)分析與計算的難度，至今為止，對譜線彎曲的數(shù)學(xué)解釋都是近似的解釋[5-10]，嚴(yán)格的數(shù)學(xué)解釋——譜線形狀函數(shù)一直無人給出，這成了數(shù)學(xué)上的一個難題．

導(dǎo)出譜線形狀函數(shù)的數(shù)學(xué)過程有兩個關(guān)鍵點(diǎn)：（1）本文在深入分析了三棱鏡對單色光折射的光路結(jié)構(gòu)后，計算出了出射光的方位角，這是整個推導(dǎo)的基礎(chǔ)；（2）在此基礎(chǔ)上，根據(jù)調(diào)節(jié)好的實(shí)驗系統(tǒng)所滿足的條件，先導(dǎo)出正交條件下譜線的形狀函數(shù)，再通過坐標(biāo)轉(zhuǎn)換，導(dǎo)出一般情況下譜線的形狀函數(shù)，也就是本實(shí)驗的譜線形狀函數(shù)，由此就可以解決這一數(shù)學(xué)難題．

1 三棱鏡對單色光折射的光路結(jié)構(gòu)

1.1 平行光管出射光的特性

在調(diào)節(jié)好的分光計測量系統(tǒng)中，平行光管狹縫（線光源）的出射光經(jīng)平行光管物鏡后形成方向不同的平行光束，其方向由狹縫上一點(diǎn)指向物鏡的光心，該方向射線處在平行光管主光軸與狹縫所構(gòu)成的平面內(nèi)，且關(guān)于平行光管主光軸呈縱向?qū)ΨQ分布．

1.2 三棱鏡對單色平行光束折射的光路

圖1 三棱鏡對單色光折射的光路結(jié)構(gòu)

1.3 解析折射光路的光路結(jié)構(gòu)

以上是完整解析的折射光路結(jié)構(gòu)．

2 譜線形狀函數(shù)

運(yùn)用以上關(guān)系再解三角形可得

2.2 譜線形狀函數(shù)

2.2.1 正交條件下的譜線形狀函數(shù) 為求出一般情況下的譜線形狀函數(shù)，須先求出正交條件下的譜線形狀函數(shù)，然后再通過坐標(biāo)轉(zhuǎn)換，求出一般情況下的譜線形狀函數(shù)．

圖2 出射光會聚點(diǎn)位置及相互關(guān)系

2.2.2 一般情況下的譜線形狀函數(shù) 一般情況下，當(dāng)在望遠(yuǎn)鏡中看到譜線時，都不是正交狀態(tài)，此時望遠(yuǎn)

將式（6）（7）代入式（5）整理得

3 譜線形狀函數(shù)的圖像

3.1 最小偏向時譜線的函數(shù)圖像

由式（6）（7）解得

3.2 具有代表性曲度的譜線的函數(shù)圖像

從圖像上看，譜線是連續(xù)光滑的對稱曲線，中點(diǎn)是其對稱中心．由式（8）可以證明譜線的中點(diǎn)曲率最大，所以譜線中點(diǎn)的曲率代表了譜線的彎曲度．因為譜線中點(diǎn)定位于坐標(biāo)原點(diǎn)（0，0），所以由式（8）算得的譜線中點(diǎn)的曲率為

圖3 最小偏向時與為，，時的函數(shù)圖像

4 函數(shù)圖像與實(shí)際譜線的對比

4.1 實(shí)際譜線的圖像

圖4 最小偏向時的實(shí)際譜線

圖5 時的實(shí)際譜線

圖6 時的實(shí)際譜線

圖7 時的實(shí)際譜線

汞燈綠光譜線為雙線，左側(cè)線對應(yīng)于波長546.1 nm，是實(shí)驗的測量線，也是對比線．最小偏向時的綠雙線間距很小，故照片中的綠雙線有點(diǎn)分辨不清，照片拉大后則清晰可辨．

譜線寬度均勻一致，輪廓清晰，譜線形狀可由輪廓線清晰顯示．

譜線具有一定的寬度，是因為單色平行光束從一種介質(zhì)經(jīng)過交界面進(jìn)入另一種介質(zhì)時除發(fā)生折射外還產(chǎn)生散射．折射光不可能是理論上單一方向的平行光，折射光方向圍繞理論折射方向在一定角度內(nèi)變化，從而使譜線產(chǎn)生一定的寬度．

折射光散射角的大小與折射角的大小成正相關(guān)的關(guān)系，且單色平行光束從光密入光疏時的散射比從光疏入光密時的散射要大許多，所以在本實(shí)驗中看到，譜線隨出射角的增大而變寬明顯，出射角越大，變寬率也越大．

4.2 函數(shù)圖像與實(shí)際譜線的對比

譜線形狀函數(shù)的圖像與拍攝的實(shí)際譜線的圖像比較，兩者一致.

表1 為，，時的測量值與函數(shù)值

5 結(jié)語

分光計測棱鏡玻璃折射率的實(shí)驗系統(tǒng)就是棱鏡光譜儀，其色散譜線就是棱鏡光譜儀的色散譜線．作為三大光譜儀之一的棱鏡光譜儀是最早問世的光譜儀，自1859年誕生起，其色散譜線為曲線這一現(xiàn)象就隨即被觀察到．棱鏡光譜儀色散譜線的彎曲是因為折射定律，自從人們關(guān)注、研究這一現(xiàn)象并試圖給出這一著名光路以數(shù)學(xué)解釋起，由于數(shù)學(xué)分析與計算的難度（盡管所涉及的都是初等數(shù)學(xué)），這一數(shù)學(xué)解釋一直沒能成功給出，本文成功解決了這樣一個數(shù)學(xué)難題，可以看成是一個數(shù)學(xué)上的范例．

[1] 楊長銘，田永紅，王陽恩．大學(xué)物理實(shí)驗教程[M]．武漢：武漢大學(xué)出版社，2012：140-151．

[2] 李心婧，宋新兵．分光計調(diào)整對三棱鏡頂角和最小偏向角測量的影響[J]．大學(xué)物理，2021，40（8）：75-79．

[3] 劉安平，孫子杰，楊東俠，等．分光計實(shí)驗中豎向偏角對測量結(jié)果的影響[J]．物理與工程，2022，32（5）：127-132．

[4] 寧土榮，古迪，賴國霞，等．大學(xué)物理設(shè)計性實(shí)驗教學(xué)分析：以“不同方法測量三棱鏡的折射率并擬合其色散曲線”為例[J]．實(shí)驗室研究與探索，2023，42（4）：242-245．

[5] 隋吉東，李天和．用三棱鏡測光譜時譜線彎曲的分析[J]．黑龍江八一農(nóng)墾大學(xué)學(xué)報，1986（2）：97-105．

[6] 盧杰，張瑛．棱鏡光譜線彎曲的分析[J]．物理實(shí)驗，1999，19（4）：43，34．

[7] 王雁冰．對實(shí)驗中棱鏡折射形成的光譜線彎曲現(xiàn)象和彎曲方向的淺析[J]．科學(xué)時代，2010（11）：224-225．

[8] 陳杰，劉國營，李文勝，等．用分光計測量三棱鏡折射率實(shí)驗中的光譜彎曲現(xiàn)象[J]．大學(xué)物理，2013，32（12）：21-23， 36．

[9] 李鎮(zhèn)業(yè)，李培哲，周怡然，等．大口徑分光計中棱鏡色散光譜線彎曲的測定[J]．物理實(shí)驗，2016，36（5）：29-33．

[10] 劉經(jīng)佑．棱鏡色散譜線幾何彎曲偏離的計算[J]．淮陰師范學(xué)院學(xué)報，2022（3）：34-37．

Shape function of spectral line in experiment of measuring refractive index of prism glass with spectrometer

SU Haitao

（School of Physics and Opto-electronic Engineering，Yangtze University，Jingzhou 434023，China）

The dispersion spectral line of the experiment of measuring refractive index of prism glass with spectrometer becomes a curve due to the law of refraction．Because of the difficulty of mathematical analysis and calculation， figuring out the mathematical expression of this curve，the shape function of spectral line，has become a long-standing difficult problem in mathematics．The azimuth of emergent ray was calculated by analysing in depth the light path structure of monochromatic light refracted by prism．From this，the shape function of spectral line in orthogonal condition was figured out．And then，by coordinate transformation，the shape function of spectral line in general case was derived，thus solving the difficult problem．Compared the image of the shape function to the corresponding actual spectral line，they are consistent．

spectrometer；prism；structure of refracted light path；shape function of spectral line

O435.1

A

10.3969/j.issn.1007-9831.2024.01.012

1007-9831（2024）01-0065-07

2023-08-20

蘇海濤（1966-），男，上海人，講師，從事物理基本理論與實(shí)驗研究．E-mail：1782934306@qq.com