基于小波變換的全息圖壓縮編碼比較研究

付 泰，陳艾帥，胡 磊，桂進斌，吳佳雪，王曉詩，許路昕

（昆明理工大學(xué) 理學(xué)院，云南 昆明 650500）

引言

全息三維顯示作為一種真三維顯示技術(shù)，近年來成為三維顯示領(lǐng)域的研究熱點問題，被認為是未來最有前景的顯示技術(shù)，同時將促進全息通信技術(shù)的發(fā)展[1]。記錄三維場景的全息圖包含了龐大的數(shù)據(jù)信息，其對通信的帶寬及存儲要求更高，全息視頻圖像壓縮編碼是促進全息三維顯示及全息通信技術(shù)發(fā)展的必要工作[2]。由于全息圖像素間的無關(guān)性，使用傳統(tǒng)的二維圖像壓縮方法對全息圖進行壓縮，會導(dǎo)致全息圖的壓縮效率低和再現(xiàn)像失真，因此，全息數(shù)據(jù)壓縮很有必要。

許多學(xué)者對全息數(shù)據(jù)壓縮進行了研究[3-4]。近年來的國際研究[3]將全息壓縮編碼主要方法分為基于標準、基于量化、基于變換和其他特殊方式?；跇藴实膲嚎s方案中，XING Y 等[5]針對相移全息的問題，提出了一種基于JPEG2000[6]的自適應(yīng)矢量提升方案，該方法壓縮后的三維物體的重建質(zhì)量優(yōu)于傳統(tǒng)方法。JIAO S 等[7]將JPEG 結(jié)合深度學(xué)習(xí)對純相位全息圖進行壓縮，采用深度卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)來減少JPEG 壓縮全息圖中的偽影，該方法在減小原始全息圖數(shù)據(jù)量的同時保證了重構(gòu)圖像的質(zhì)量?；诹炕膲嚎s方案中，SHORTT 提出[8]了將k-means 聚類分析應(yīng)用到全息圖的非均勻量化技術(shù)上，將聚類中心定位到距離質(zhì)心最遠的數(shù)據(jù)向量來處理空簇，獲得了40 的高壓縮比?；谧儞Q的壓縮方案中，NAUGHTON 等[9]將離散余弦變換(DCT)用于全息圖壓縮，再量化將不同區(qū)間的系數(shù)，然后通過編碼進一步壓縮。CHEREMKHIN P A 和KURBATOVA E A[10]提出了一種利用Meyer 和反向的雙正交小波壓縮離軸數(shù)字全息圖的方法，通過閾值處理和量化對小波分解系數(shù)進行有損壓縮，采用實部/虛部和振幅/相位壓縮保證重建質(zhì)量同時提高壓縮比。HAJIHASHEMI V[11]提出了一種基于小波變換的數(shù)字全息系統(tǒng)(物面)HEVC 改進方法，利用小波變換減小復(fù)雜目標波場實部和虛部的大小，再結(jié)合最近鄰插值和小波在圖像大小調(diào)整中的不相似性來保持全息圖的細節(jié)，實現(xiàn)了保持且略微提高信號保證度的同時，降低了BD 比特率。近年來許多學(xué)者還提供了利用深度學(xué)習(xí)的壓縮全息圖方案，HOU S 等[12]提出了一種量子激勵神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中用于壓縮CGH（computer-generated holograms，計算機生成的全息圖）的優(yōu)化初始權(quán)重方案，采用量子激勵神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)+帶殘差學(xué)習(xí)深度卷積網(wǎng)絡(luò)并行對全息圖像進行壓縮，并且用優(yōu)化的初始權(quán)重生成策略來加速壓縮過程，該研究能夠有效地降低壓縮噪聲，提高壓縮CGH 的重建圖像質(zhì)量。KO H 等[13]提出了一種基于深度學(xué)習(xí)的純相位全息圖圖像壓縮網(wǎng)絡(luò)框架DeepHolo，該網(wǎng)絡(luò)通過數(shù)據(jù)增強技術(shù)以端到端的方式進行訓(xùn)練，并且以最小化輸入全息圖的熵為目標，BD(Bj?ntegaard-Delta rate)速率增益超過了最新壓縮標準視頻編碼39%。在上述全息圖壓縮研究中，使用小波變換獲得了不錯的壓縮比和再現(xiàn)質(zhì)量，通過小波變換多分辨率分析的特點，能夠?qū)⑷D的高頻和低頻信息分離，方便對其進行有效的頻域閾值，減少全息圖像冗余。在小波變換中有很多小波基，研究如何選擇小波基對全息圖進行壓縮編碼，具有指導(dǎo)意義。

本文基于離散小波變換和圖像壓縮理論，使用小波閾值和量化的方法有損壓縮全息圖，對比分析使用不同小波基閾值對全息圖再現(xiàn)像質(zhì)量和全息圖壓縮比的影響。分別對振幅型離軸數(shù)字全息圖和相息圖進行壓縮，通過仿真數(shù)據(jù)分析實驗使用不同小波基對全息圖的空域和頻域進行閾值壓縮處理，再進行數(shù)值全息重建。由于小波閾值只能改變?nèi)D系數(shù)矩陣的系數(shù)值大小，并不能減小數(shù)據(jù)量，因此對處理后的全息圖進行量化和用Huffman 編碼對數(shù)據(jù)進一步壓縮。

1 壓縮原理及步驟

1.1 振幅型數(shù)字全息圖及相息圖

為驗證方法的適用性，本文使用振幅型離軸數(shù)字全息圖和相息圖兩種全息圖進行測試。

離軸數(shù)字全息圖是使用與物光場有一定夾角的參考光記錄的數(shù)字全息圖[14-16]，如圖1 所示，激光照明位于 (x0,y0)平面的物體，物光波衍射到位于(x,y)全息記錄面上時復(fù)振幅分布為O(x,y)：

圖1 離軸數(shù)字全息圖記錄示意圖Fig.1 Schematic diagram of off-axis Fresnel digital hologram recording

與z軸負方向夾角為 θ的平面參考光R在全息圖記錄面相干涉，此時參考光的復(fù)振幅分布為R(x,y)：

全息記錄面上對應(yīng)的光強分布I(x,y)表示為

式中：2πay和 ?0表示參考光波和物光波在全息圖平面的相位分布，參考光沿y軸方向空間頻率a=(sinθ)/λ。最后在CCD 接收面上記錄數(shù)字全息圖。

相息圖因其光軸方向只有單個重建像、衍射效率高受到高度關(guān)注，在三維顯示及光場調(diào)控中獲得廣泛應(yīng)用。本文使用Gerchberg-Saxton(GS)算法生成相息圖[17-18]，利用空域和頻域之間正反傅里葉變換與空域和頻域的約束條件，反復(fù)迭代30 次，最后生成本文使用的相息圖。

GS 算法具體步驟如下文。首先對n-1 次迭代的結(jié)果進行傅里葉變換，并保持得到的頻域相位不變，振幅歸一化：

其次對歸一化頻域分布進行逆傅里葉變換：

最后保留逆傅里葉變換后的相位信息，將振幅分布替換原圖像振幅g0(x,y)，并將所得結(jié)果代入上一步驟，即對更新的值進行傅里葉變換：

1.2 基于小波變換壓縮原理

小波變換[19]是將一個信號分解成由基小波φ(t)經(jīng)過移位和縮放后的一系列小波。由于連續(xù)小波變換，尺度和平移系數(shù)會連續(xù)取值，產(chǎn)生巨大計算量，且圖像為系數(shù)矩陣，因此本文使用離散小波變換，對信號f(t)進行離散小波變換的表達式如式（7）：

式中：〈〉表示內(nèi)積；φj,k(t)表示離散小波函數(shù)。如圖2所示，從濾波的角度來看，小波分解是根據(jù)小波基函數(shù)及以對應(yīng)的尺度函數(shù)得到相應(yīng)的高低通濾波器（小波系數(shù)矩陣），將小波基對應(yīng)的高通和低通濾波器在時域與圖像進行卷積，得到高頻系數(shù)HL、LH、HH 和低頻系數(shù)LL，再對低頻系數(shù)LL 多次小波分解，得到如圖2(b)所示的金字塔式結(jié)構(gòu)，其中高頻系數(shù)描述了原始圖像的細節(jié)信息，低頻系數(shù)則描述了圖像的基本信息。使用不同的小波基進行小波分解得到的系數(shù)，在表示圖像的基本和細節(jié)信息時會存在差別，本文所涉及的全息圖壓縮是對各尺度上的信息進行處理，因此需要找到合適的小波基對目標全息圖進行表示。

圖2 二維小波分解Fig.2 Two-dimensional wavelet decomposition

目前4 種常用的不同類型的小波分別是：Haar、Daubechies、Symlet 和Biorthogonal 小波系[20-22]。

Haar 小波是最簡單的具有緊支撐的正交小波，因為它只有一階消失矩，所以不太合適逼近光滑信號?；瘮?shù)的定義如（8）式：

而Daubechies 小波是實的緊支正交小波基。在任意給定的消失矩p下，滿足F0(ejω)，并通過小波函數(shù)如式(9)所示，求出低通濾波器h={h0,h1,···,h2p-1}，從而構(gòu)建出Daubechies 小波。由于Daubechies 小波不具有對稱性(非線性相位)，所以對圖像分解和重構(gòu)時會產(chǎn)生一定的失真。

Symlet 小波是雙正交小波，為通過對Daubechies 小波中F0(ejω)做選擇優(yōu)化而得到的具有近似對稱的小波，在一定程度上減少了對圖像進行分解和重構(gòu)時的相位失真，其具有p階消失矩和支撐長度[-p+1，p]。

為了解決對稱性和對圖像分解產(chǎn)生的失真問題，引入了雙正交Biorthogonal 小波，它使用兩個對偶的小波分別用于圖像信號的分解和重構(gòu)。在JPEG2000 壓縮標準中，默認的無損圖像壓縮使用的小波濾波器為(5-3)小波濾波器，即bior2.2 小波基，而有損圖像壓縮默認的小波濾波器為(9-7)小波濾波器，即bior4.4 小波基。

本文采用對全息圖小波閾值壓縮的方式壓縮全息圖數(shù)據(jù)，即對分解后的金字塔式系數(shù)矩陣選取合適的閾值，小于該閾值的系數(shù)全部歸零，從而增加系數(shù)中零的個數(shù)，達到信息量減少的目的，實現(xiàn)壓縮全息圖像數(shù)據(jù)。

1.3 全息圖的壓縮步驟

本文基于二維小波變換對全息圖進行壓縮，采用小波閾值、均勻量化和Huffman 編碼3 個步驟對全息圖進行壓縮編碼。

1）首先分別對全息圖空域數(shù)據(jù)和全息圖頻域數(shù)據(jù)進行小波分解，并對小波系數(shù)賦予閾值。分別對全息圖空域數(shù)據(jù)和全息圖頻域數(shù)據(jù)進行3 層小波變換，通過設(shè)定閾值方式，將小波系數(shù)中小于閾值的系數(shù)取值為零，大于閾值的系數(shù)保留。其中，小波閾值方法有全局閾值和分層閾值，這里選擇全局閾值，即所有系數(shù)使用同一個閾值進行系數(shù)處理。由于硬閾值處理能更多地保留真實信號的峰值特征，閾值處理時采用硬閾值方式，具體表達式如下：

2）其次對全息圖數(shù)據(jù)進行量化處理。對全息圖系數(shù)矩陣進行均勻量化處理，首先得到系數(shù)矩陣內(nèi)值的取值范圍 [xmin,xmax]，然后依據(jù)取值范圍劃分為M=2N個區(qū)間，將系數(shù)矩陣分別量化為量化系數(shù)4、8、16、32 的全息圖數(shù)據(jù)，其中量化間隔為 Δ，如公式(11)所示。將系數(shù)矩陣中在相應(yīng)量化間隔內(nèi)的系數(shù)取為固定值，雖然會導(dǎo)致信息丟失，但是數(shù)據(jù)復(fù)雜度降低，量化方式簡單利于實現(xiàn)，且方便進行下一步Huffman 編碼。

3）最后對有損壓縮后的系數(shù)進行熵編碼。使用無損數(shù)據(jù)壓縮的熵編碼（Huffman 編碼），對上一步處理后的全息數(shù)據(jù)進行編碼，每種不同的像素值對應(yīng)一種碼字，并將對應(yīng)關(guān)系記錄在碼表中，最后全息數(shù)據(jù)全部被碼字所代替形成字符串。

壓縮方法的示意圖如圖3 所示。

圖3 全息圖壓縮流程圖Fig.3 Flow chart of hologram compression

2 仿真實驗

本文的測試圖像是反射式振幅型離軸數(shù)字模擬全息圖和計算機迭代30 次生成的相息圖。一般二維圖像的壓縮是針對圖像的空域進行有損壓縮處理的，由于全息圖的空域像素間相干性特點，全息圖頻譜中的高頻和低頻信息包含了原物場的大部分信息，使用小波變換對全息圖的頻譜進行閾值有損壓縮，與空域處理的結(jié)果作為對比。

采用的光源光波波長為632.8 nm，物到全息記錄面的距離為0.5 m，CCD 面陣尺寸為5 mm，參考光角度為0.78。模擬生成的離軸數(shù)字全息圖的具體步驟如下：

1）調(diào)入輸入圖像，將圖像的大小調(diào)整為512×512像素；

2）采用模擬物光場，并與一定角度的參考光相互干涉得到全息圖；

3）通過再現(xiàn)模擬算法得到全息再現(xiàn)像；

高職院校是軍隊優(yōu)質(zhì)兵員的戰(zhàn)略儲備基地，有義務(wù)、有責(zé)任做好大學(xué)生應(yīng)征入伍工作，退役復(fù)學(xué)高職生就是學(xué)校征兵工作的最佳代言人。退役復(fù)學(xué)高職生參與學(xué)校征兵宣傳工作、入伍咨詢工作、軍營生活解讀工作、軍事訓(xùn)練展示工作，具有明顯的優(yōu)勢[3]。他們熟悉軍營，熟悉軍事訓(xùn)練，能帶動更多的有志青年投筆從戎，為保衛(wèi)祖國盡一份力，為部隊改善兵員素質(zhì)、提高兵員質(zhì)量做出應(yīng)有的貢獻。

4）有損壓縮編碼后的全息圖，再重復(fù)步驟3）可得壓縮后再現(xiàn)像。

相息圖的具體生成步驟如下：

1）調(diào)入圖像作為振幅信息，大小為624×678像素；

2）計算機生成隨機相位矩陣作為相位信息，大小為 624×678像素；

3）使用GS 迭代算法迭代30 次，得到原始相息圖；

4）傅里葉逆變換相位得到相息圖再現(xiàn)像；

5）有損壓縮編碼后的相息圖，使用步驟4）可得壓縮后再現(xiàn)像。

反射式的振幅型離軸數(shù)字與相息圖模擬生成的圖像如圖4 所示。

圖4 全息圖模擬Fig.4 Holographic simulation

比較壓縮后的全息圖再現(xiàn)像與原始全息圖再現(xiàn)像的峰值信噪比(PSNR)，原始全息圖的存儲字節(jié)大小與Huffman 編碼后數(shù)據(jù)流存儲大小比值為壓縮比。

2.1 離軸數(shù)字全息圖壓縮對比分析

本文對振幅型離軸數(shù)字全息圖的空域、頻域的實部和虛部以及頻域的振幅和相位分別進行閾值壓縮后編碼處理。為了測試不同樣式的離軸數(shù)字全息圖壓縮效果，本文分別對簡單圖像（“光”字）和復(fù)雜圖像（“京劇猴臉”圖）進行壓縮測試。

小波基閾值有損壓縮處理簡單圖像離軸數(shù)字全息圖如圖5 所示，可以看出壓縮后的離軸數(shù)字全息圖仍然保留干涉條紋信息。

圖5 離軸數(shù)字全息圖壓縮Fig.5 Compression of off-axis digital hologram

表1 展示了分別使用不同小波基壓縮離軸數(shù)字全息圖空域和頻域后得到的再現(xiàn)像PSNR 和全息圖的壓縮比。由于每種小波基都對全息圖的空域和頻域分別進行了小波閾值和4 個等級均勻量化，將各量化等級中每種小波系中最高的PSNR 和最高壓縮比C展現(xiàn)出來。

表1 離軸數(shù)字全息圖不同小波基閾值再現(xiàn)像PSNR 和壓縮比Table 1 PSNR and compression ratio of reconstructed image with different wavelet basis thresholds in off-axis digital hologram

從表1 中可以看出，壓縮后的離軸數(shù)字全息圖再現(xiàn)像質(zhì)量會隨著量化等級的提高而提高，其中對頻域的實部和虛部進行壓縮得到的再現(xiàn)像質(zhì)量最高，在均勻量化等級為32 時，PSNR 達到了26 dB以上，對離軸數(shù)字全息圖的空域壓縮中，在同種小波系中，haar 和db2 小波基能夠得到較好的再現(xiàn)像質(zhì)量，其中使用db2 得到的再現(xiàn)像質(zhì)量最好，量化等級為32 時，其PSNR 達到了25.80 dB；對離軸數(shù)字全息圖頻域的振幅和相位進行壓縮時，在同種小波系中，haar 和db3 小波基能夠得到較好的再現(xiàn)像質(zhì)量，其中使用db3 得到的再現(xiàn)像質(zhì)量最好，量化等級為32 時，其PSNR 達到了25.86 dB。

在保證較高再現(xiàn)像質(zhì)量的同時，研究小波基對壓縮比影響。隨著量化等級的增加，壓縮比隨之降低，其中對全息圖頻域的實部和虛部壓縮時，得到的壓縮比高于對全息圖的空域或者頻域振幅和相位進行壓縮。對全息圖進行壓縮時，使用Biorthogonal 小波得到的壓縮比最高，能夠得到更高的壓縮比，如：bior2.2、bior3.9 和bior4.4 小波基。其中在全息圖的實部和虛部進行量化等級為4 的壓縮時，使用bior3.9 小波基，壓縮比達到了6.81。

各類小波基閾值有損壓縮處理簡單圖像離軸數(shù)字全息圖的最高壓縮比再現(xiàn)像和最高PSNR 圖像如圖6 所示。

圖6 簡單圖像離軸數(shù)字全息圖壓縮前后再現(xiàn)像Fig.6 Reconstructed images before and after off-axis digital holography compression of simple images

由圖6(b)和圖6 (c1)可看出，在空域小波閾值有損壓縮時，Daubechies 小波處理后的全息圖再現(xiàn)像會出現(xiàn)缺失，而Haar 小波能保證重建圖像完整，Haar 小波更適合用于空域閾值處理。

由以上測試結(jié)果可以得到如何選擇使用不同小波基壓縮簡單圖像離軸數(shù)字全息圖。為了更好地在不同壓縮全息圖情況下選擇合適的小波基，本文測試了小波基閾值有損壓縮處理復(fù)雜圖像離軸數(shù)字全息圖所得的再現(xiàn)像。如圖7，對于復(fù)雜圖像同樣有著較好的壓縮效率和較高的重建質(zhì)量。

圖7 復(fù)雜圖像離軸數(shù)字全息圖壓縮前后再現(xiàn)像Fig.7 Reconstructed images before and after off-axis digital holography compression of complex images

2.2 迭代相息圖壓縮對比分析

由于迭代相息圖只將光波的相位信息編碼到全息圖中，以相位信息表示圖像的振幅信息。相息圖的特點完全不同于離軸數(shù)字全息圖，對相息圖的壓縮更加困難，壓縮比和重建圖像質(zhì)量會非常低，本文對相息圖進行了初步測試。對迭代相息圖的空域和頻域進行了與離軸數(shù)字全息圖相同的小波閾值有損壓縮和量化編碼測試操作。

由于相息圖的特殊性，本文只選用各類小波最常用的小波基處理相息圖。相息圖通過小波閾值和量化編碼處理后，得到的再現(xiàn)像PSNR 和壓縮比情況如表2 所示，各類小波閾值處理后量化系數(shù)為8 的再現(xiàn)像如圖8 所示。

表2 相息圖不同小波基閾值再現(xiàn)像PSNR 和壓縮比Table 2 PSNR and compression ratio of reconstructed images with different wavelet basis thresholds in phase hologram

圖8 小波閾值后相息圖再現(xiàn)像(其中1、2、3、4 分別為使用sym4、haar、db1 和bior3.1 小波基)Fig.8 Reconstructed images of phase hologram after wavelet threshold (1,2,3 and 4 uses sym4,haar,db1 and bior3.1 wavelet bases respectively)

通過對相息圖的頻域的實部和虛部進行壓縮，得到的再現(xiàn)像質(zhì)量相對相息圖空域壓縮或者頻域的振幅和相位壓縮得到的再現(xiàn)像質(zhì)量高。如表2 所示，對相息圖的空域進行壓縮時，Symlet 和Daubechies 小波能夠得到較好的再現(xiàn)像，當(dāng)量化等級為32 時PSNR 達到28.197 9 dB 和29.768 4 dB；對相息圖的頻域?qū)嵅亢吞摬窟M行壓縮時，Haar 和Daubechies 小波得到的再現(xiàn)像質(zhì)量較好，當(dāng)量化等級為32 時，其PSNR 達到了32.320 7 dB；對相息圖的頻域振幅和相位進行壓縮時，Symlet 和Daubechies 小波得到的再現(xiàn)像質(zhì)量較好，其中Daubechies 小波得到了最好質(zhì)量的再現(xiàn)像，當(dāng)量化等級為32 時，其PSNR 達到了27.253 4 dB 和28.067 7 dB。

相息圖的壓縮比情況如表2 所示，對相息圖的實部和虛部進行壓縮編碼，得到的壓縮比高于對空域或者頻域振幅和相位壓縮編碼得到的壓縮比，并且使用Biorthogonal 小波得到的壓縮比存在明顯優(yōu)勢，在量化等級為4 時，壓縮比達到了4.471 8，量化等級為8 時達到了3.105 0。

圖8 展示了相息圖小波閾值和量化前后的再現(xiàn)像。經(jīng)過壓縮后的相息圖再現(xiàn)像出現(xiàn)了噪聲，其中對相息圖的振幅和相位壓縮得到的再現(xiàn)像噪聲較少，再現(xiàn)像質(zhì)量最優(yōu)，而對相息圖的實部和虛部進行壓縮得到的再現(xiàn)像質(zhì)量最差，噪聲較多。

3 結(jié)論

本文基于離散小波變換和圖像壓縮理論，使用小波閾值和量化的方法有損壓縮全息圖，對比分析使用不同小波基閾值對全息圖再現(xiàn)像質(zhì)量和全息圖壓縮比的影響。分別對振幅型離軸數(shù)字全息圖和相息圖進行壓縮，通過仿真數(shù)據(jù)分析實驗使用不同小波基對全息圖的空域和頻域進行閾值壓縮處理，再進行數(shù)值全息重建。經(jīng)過測試分析，對離軸數(shù)字全息圖小波閾值有損壓縮后，Haar 和db5 小波基得到的再現(xiàn)像質(zhì)量最高，其PSNR 達到了26.38 dB，使用sym2 和db2 小波得到的壓縮比最高，達到了6.68。對迭代相息圖小波閾值有損壓縮后，Haar 和Daubechies 小波得到的再現(xiàn)像質(zhì)量最高，其PSNR 達到了32.32 dB，使用Biorthogonal小波得到的壓縮比最高，達到了4.47。經(jīng)過對不同小波基壓縮全息圖分析后，為全息圖小波壓縮編碼中小波基的選擇提供新的思路，為小波變換壓縮全息圖用于顯示和成像提供參考。