橫向沙丘表面與上方矩形截面柱復(fù)合電磁散射的FDTD 研究

楊能勛，任新成，王玉清，朱小敏，董子宇

（延安大學(xué) 物理與電子信息學(xué)院，陜西 延安 716000）

0 引言

大地與海洋環(huán)境的背景與目標(biāo)復(fù)合電磁散射理論在地、海目標(biāo)探測(cè)及民用遙感等領(lǐng)域有廣泛的運(yùn)用[1-5]，如地表、海面環(huán)境上方靜止或運(yùn)動(dòng)目標(biāo)的監(jiān)測(cè)，半埋土壤中的目標(biāo)或漂浮在海面上目標(biāo)的識(shí)別，海面下方或者埋藏地表以下的目標(biāo)的探測(cè)，導(dǎo)彈的制導(dǎo)與攔截等。因此，國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)粗糙面與目標(biāo)的復(fù)合電磁散射以不同的方法做了不同程度的研究。

在以往對(duì)于粗糙面與目標(biāo)的復(fù)合電磁散射的研究，大多體現(xiàn)在海面與艦船等目標(biāo)的復(fù)合電磁散射[6-7]，而地面環(huán)境與目標(biāo)的復(fù)合散射則相對(duì)較少，并且這其中大多數(shù)都是以研究土壤、草地、雪地、煤層、道路等環(huán)境或者隨機(jī)粗糙面與上方或下方目標(biāo)的復(fù)合電磁散射特性為主[8-11]，例如文獻(xiàn)[12]采用有限元-邊界積分方法研究了介質(zhì)粗糙面上方涂覆目標(biāo)的復(fù)合電磁散射特性；文獻(xiàn)[13]結(jié)合VRT 和SBR-PO 方法計(jì)算含草地粗糙面與上方導(dǎo)彈目標(biāo)的復(fù)合散射；文獻(xiàn)[14]將時(shí)域有限元法（TDFEM）擴(kuò)展到研究粗糙表面以上多個(gè)目標(biāo)的二維瞬態(tài)電磁散射。而對(duì)于沙漠或者沙丘等風(fēng)沙環(huán)境的研究則相對(duì)較少[15-16]，但是由于目前沙漠化進(jìn)程加快，沙漠環(huán)境并不少見，而沙漠中最為常見的自然地貌又是沙丘，橫向沙丘又是沙丘中最為常見的一種，因此有必要對(duì)橫向沙丘進(jìn)行一系列的研究，并且對(duì)橫向沙丘表面與其上方目標(biāo)的復(fù)合電磁散射的研究可為沙漠或者沙丘等風(fēng)沙環(huán)境中目標(biāo)的探測(cè)與識(shí)別提供一定的理論基礎(chǔ)。

本文采用高斯型和指數(shù)型分布來模擬橫向沙丘表面的高度起伏，運(yùn)用蒙特卡羅方法模擬沙丘，選取Herkelrath 提出的通用式計(jì)算沙土的介電常數(shù)[5]，采用FDTD 數(shù)值計(jì)算方法計(jì)算橫向沙丘表面與上方目標(biāo)的復(fù)合電磁散射。

1 散射模型的建立

圖1 為沙漠橫向沙丘表面與其上方矩形截面目標(biāo)的復(fù)合電磁散射示意圖。沙土表面上方的區(qū)域?yàn)樽杂煽臻g，沙土表面下方區(qū)域?yàn)闊o限延伸的各向同性均勻土壤介質(zhì)。圖2 為橫向沙丘表面與上方矩形截面目標(biāo)復(fù)合電磁散射計(jì)算的FDTD 模型示意圖。圖2 中的AB為連接邊界，AB邊界以下為總場(chǎng)區(qū)，上方為散射場(chǎng)區(qū)，在散射場(chǎng)區(qū)設(shè)置厚度為10 個(gè)網(wǎng)格大小的輸出邊界CD和UPML 吸收邊界（在FDTD 計(jì)算區(qū)域外部）。

圖1 沙漠橫向沙丘表面與其上方目標(biāo)復(fù)合電磁散射示意圖

圖2 沙漠橫向沙丘表面與其上方目標(biāo)復(fù)合電磁散射的FDTD 計(jì)算模型

為描述土壤介電常數(shù)與含水量的關(guān)系，學(xué)者們已經(jīng)提出了多種關(guān)系模型，而目前運(yùn)用較多的有Wang 半經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ汀obson 半經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ?、Topp 經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ偷?。本文運(yùn)用文獻(xiàn)[17]根據(jù)土壤含水量在一定范圍內(nèi)時(shí)，給出的含水量與介電常數(shù)的平方根呈線性相關(guān)關(guān)系的通用式，再結(jié)合國(guó)內(nèi)其他學(xué)者的相關(guān)深入研究得出的相關(guān)數(shù)據(jù)[18]，最后計(jì)算得到沙土的介電常數(shù)。

2 FDTD 方法

根據(jù)FDTD 數(shù)值計(jì)算方法理論，電磁場(chǎng)的二維問題TM 波差分方程可表示為：

式中：m為方程左邊場(chǎng)分量FDTD 網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)位置；Δx、Δy為網(wǎng)格的x、y方向的寬度；CA(m)、CB(m)、CP(m)、CQ(m)為系數(shù)，可通過計(jì)算得到。

吸收邊界采用各向異性介質(zhì)完全匹配層（UPML）來實(shí)現(xiàn)。以TM 波為例，此介質(zhì)Maxwell 旋度方程可表示為：

式中：sx和sy為x、y方向上的單軸參數(shù)，，κx和σx可以表示為：

式中：一般m取4 為最佳；κmax取值范圍[19]為5～11。

FDTD 數(shù)值計(jì)算達(dá)到穩(wěn)定后，記錄輸出邊界上近場(chǎng)計(jì)算的數(shù)據(jù)結(jié)果，根據(jù)等效原理，利用時(shí)諧場(chǎng)外推法可以得到遠(yuǎn)區(qū)散射場(chǎng)的值。通過計(jì)算可得到歸一化雷達(dá)散射截面（NRCS）為：

由歸一化雷達(dá)散射截面計(jì)算得出散射系數(shù)：

3 計(jì)算結(jié)果與分析

本節(jié)采用FDTD 方法計(jì)算沙漠橫向沙丘表面與其上方矩形截面目標(biāo)的復(fù)合電磁散射特性。在進(jìn)行計(jì)算時(shí)，入射波頻率f=2.4 GHz，橫向沙丘的個(gè)數(shù)選取為8個(gè)，橫向沙丘的高度取h=6λ，計(jì)算區(qū)域的長(zhǎng)度L=320λ，網(wǎng)格劃分大小dx=0.05λ，相關(guān)長(zhǎng)度為l=3λ，粗糙表面的高度起伏均方根δ=0.15λ，背風(fēng)坡坡底到坡頂?shù)乃骄嚯x為cd=9.6λ，迎風(fēng)坡坡底到坡頂?shù)乃骄嚯x為ab=20λ，目標(biāo)為單個(gè)矩形截面，位于整個(gè)橫向沙丘模型中心的正上方，目標(biāo)中心到粗糙表面的垂直距離oh=8λ，目標(biāo)的長(zhǎng)度為ab=3λ，目標(biāo)的寬度為bc=2λ，入射角角度為θi=20°。

3.1 高度起伏均方根對(duì)散射系數(shù)的影響

圖3 表示了沙丘高度起伏均方根的變化對(duì)散射系數(shù)的影響，其中圖3a）為指數(shù)型分布粗糙面，圖3b）為高斯型分布粗糙面。由圖3 分析可得出，δ=0.05λ時(shí)的散射系數(shù)的曲線相較于δ=0.15λ和δ=0.3λ具有較大的起伏，在大部分范圍粗糙面高度起伏均方根越大，散射系數(shù)就越大，在小范圍內(nèi)影響較為復(fù)雜。對(duì)比圖3a）和圖3b）發(fā)現(xiàn)，曲線在θs=68°小范圍內(nèi)高斯型粗糙面比指數(shù)型粗糙面起伏程度更為明顯；在θs＜-50°范圍內(nèi)圖3b）比圖3a）上升更快；并且當(dāng)δ=0.15λ時(shí)，在θs＜-45°范圍內(nèi)圖3a）比圖3b）起伏程度更為明顯，而在其他范圍內(nèi)無明顯不同。

圖3 沙丘高度起伏均方根對(duì)散射系數(shù)的影響

3.2 入射角度對(duì)散射系數(shù)的影響

圖4 計(jì)算了入射波角度分別為θi=10°，θi=20°和θi=40°時(shí)的散射系數(shù)的角分布曲線。

圖4 入射波角度對(duì)散射系數(shù)的影響

對(duì)比圖4a）和圖4b）分析可知，無論是指數(shù)型粗糙面還是高斯型粗糙面的散射系數(shù)都在θs＜-30°范圍內(nèi)隨入射角的增大而減小，并且都在與入射角相對(duì)應(yīng)的散射角處取得最大值；對(duì)于入射角為θi=20°的情況，圖4b）中鏡像處的最大值比圖4a）中鏡像處的最大值要小一些；當(dāng)θi=10°時(shí)，圖4b）中大散射角范圍內(nèi)曲線的起伏程度比圖4a）中的更大；在θs＜-30°范圍內(nèi)，圖4b）的散射系數(shù)要小于圖4a），入射角度越大，差值就越明顯，并且圖4a）中曲線起伏程度較圖4b）中更明顯（下同，不再贅述）。

3.3 目標(biāo)長(zhǎng)度對(duì)散射系數(shù)的影響

圖5 為目標(biāo)長(zhǎng)度對(duì)散射系數(shù)的影響，目標(biāo)長(zhǎng)度分別為ab=10λ，ab=20λ和ab=40λ。從圖5a）可以看出，在-50° ＜θs＜15°和θs＞75°范圍內(nèi)，散射系數(shù)隨目標(biāo)長(zhǎng)度的增大而減小，但是在鏡像方向影響則較為復(fù)雜，無明顯規(guī)律，而其他范圍則基本無影響。對(duì)于圖5b），當(dāng)-85° ＜θs＜-60°時(shí)和在θs=20°小范圍內(nèi)時(shí)，散射系數(shù)隨目標(biāo)長(zhǎng)度的增大而增大，除了當(dāng)-65° ＜θs＜-32°無明顯影響外，其他大部分區(qū)域都是散射系數(shù)隨目標(biāo)長(zhǎng)度的增大而減小。

圖5 目標(biāo)長(zhǎng)度對(duì)散射系數(shù)的影響

3.4 目標(biāo)寬度對(duì)散射系數(shù)的影響

圖6 為改變目標(biāo)寬度時(shí)散射系數(shù)的角分布曲線，目標(biāo)寬度分別為bc=2λ，bc=4λ和bc=6λ。對(duì)比圖6a）和圖6b）發(fā)現(xiàn)，無論是指數(shù)型粗糙面還是高斯型粗糙面，在鏡像處目標(biāo)寬度越大，散射系數(shù)越大，而目標(biāo)寬度的變化對(duì)散射系數(shù)的影響不大。但是在θs=65°小范圍內(nèi)，圖6b）中的散射系數(shù)相比圖6a）明顯取得一個(gè)峰值且值更大；當(dāng)θs＞20°時(shí)，圖6b）中的三條曲線的起伏程度也比圖6a）中的三條曲線更明顯。

圖6 目標(biāo)寬度對(duì)散射系數(shù)的影響

3.5 目標(biāo)高度對(duì)散射系數(shù)的影響

圖7 為目標(biāo)高度的變化對(duì)散射系數(shù)的影響，其中目標(biāo)高度的定義為目標(biāo)中心到粗糙面的距離（模型中為目標(biāo)到橫向沙丘最低處的距離，如圖1 所示）。對(duì)比圖7a）和圖7b）發(fā)現(xiàn)，同樣是在θs=65°范圍內(nèi)，圖7b）中計(jì)算得到的峰值要比圖7a）的大，且起伏程度也更明顯；當(dāng)θs＜-60°時(shí)，目標(biāo)高度越低，散射系數(shù)越小，只不過圖7b）比圖7a）更為明顯。但不管是指數(shù)型粗糙面還是高斯型粗糙面，散射系數(shù)都在鏡像方向隨目標(biāo)高度的增高而增大。

圖7 目標(biāo)高度對(duì)散射系數(shù)的影響

3.6 橫向沙丘高度對(duì)散射系數(shù)的影響

圖8 計(jì)算了不同高度的橫向沙丘與上方矩形截面目標(biāo)的復(fù)合電磁散射特性，橫向沙丘高度分別為h=5.2λ，h=6λ和h=6.8λ。由圖8a）和圖8b）比較分析發(fā)現(xiàn)，θs＜-35°時(shí)，橫向沙丘高度越高，散射系數(shù)就越大；在鏡像處，圖8a）中計(jì)算得到的散射系數(shù)要比圖8b）中的大；當(dāng)45° ＜θs，θs＜-70°時(shí)，高斯型粗糙面得到的曲線要比指數(shù)型粗糙面的更為復(fù)雜；在其他范圍內(nèi)圖8a）和圖8b）中的散射系數(shù)基本不隨橫向沙丘高度的變化而變化。

圖8 橫向沙丘高度對(duì)散射系數(shù)的影響

3.7 橫向沙丘迎風(fēng)坡坡底到坡頂?shù)乃骄嚯x對(duì)散射系數(shù)的影響

圖9 為橫向沙丘迎風(fēng)坡坡底到坡頂?shù)乃骄嚯x（以下簡(jiǎn)稱：平距）的變化對(duì)散射系數(shù)的影響，分別取lws=20λ，lws=24λ和lws=28λ進(jìn)行計(jì)算。

圖9 橫向沙丘迎風(fēng)坡坡底到坡頂?shù)钠骄鄬?duì)散射系數(shù)的影響

對(duì)比圖9a）和圖9b）發(fā)現(xiàn)，無論是指數(shù)型粗糙面還是高斯型粗糙面，散射系數(shù)都在鏡像處取得最大值，且圖9a）中的峰值比圖9b）中的更大。而圖9a）和圖9b）兩者的散射系數(shù)都在θs＜-30°范圍內(nèi)隨橫向沙丘平距的增大而減小；當(dāng)-30° ＜θs＜0°時(shí)，橫向沙丘的平距越小，散射系數(shù)就越小；在25° ＜θs＜45°范圍內(nèi)，散射系數(shù)同樣隨橫向沙丘平距的增大而減小。

4 結(jié)論

本文運(yùn)用FDTD 方法研究了橫向沙丘表面與上方矩形截面目標(biāo)的散射系數(shù)隨橫向沙丘高度起伏均方根、入射波的角度、目標(biāo)的長(zhǎng)寬高尺度、橫向沙丘的高度和迎風(fēng)坡坡底到坡頂?shù)乃骄嚯x的變化規(guī)律。采用的FDTD 方法與其他計(jì)算方法相比更具應(yīng)用性，可以計(jì)算各類形狀大小的目標(biāo)或者粗糙面，并且相較于一些近似方法可以很好地將粗糙面與目標(biāo)相結(jié)合進(jìn)行分析計(jì)算，從而得到散射系數(shù)，節(jié)約大量的內(nèi)存空間。本文在理論上是對(duì)單純粗糙面電磁散射研究的進(jìn)一步推廣，由于加入了對(duì)目標(biāo)的分析，因此本文也為生活或軍事上的一些實(shí)際情況提供了一定的理論基礎(chǔ)和研究?jī)r(jià)值，尤其是對(duì)沙漠地區(qū)中目標(biāo)的探測(cè)。目前本文的討論僅限于一維橫向沙丘表面的情況，對(duì)于二維粗糙表面甚至是更復(fù)雜目標(biāo)的情況還有待于今后進(jìn)一步研究。

注：本文通訊作者為任新成。