考慮齒形誤差影響的擺線針輪承載特性分析

李天興,夏鑫博,吳 丹,姚 建,代 震,張 陽(yáng)

(1.河南科技大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院,河南 洛陽(yáng) 471003; 2.慈溪技師學(xué)院 機(jī)械工程系,浙江 寧波 315327)

0 引言

旋轉(zhuǎn)矢量(rotate vector,RV)減速器是工業(yè)機(jī)器人最核心的零部件[1-2],而擺線針輪副的承載特性決定了RV減速器的承載能力和傳動(dòng)精度[3-4]。受加工設(shè)備和生產(chǎn)工藝的限制,擺線輪的齒形誤差無(wú)法根除,因此探究擺線輪齒形誤差對(duì)擺線針輪副承載特性的影響十分重要。

許多學(xué)者在擺線輪齒形誤差及其承載嚙合特性方面進(jìn)行了研究。文獻(xiàn)[5]利用消隙法分析了擺線針輪副的承載特性,解決了傳統(tǒng)方法難以判別嚙合區(qū)間的不確定性問(wèn)題。文獻(xiàn)[6-7]綜合考慮了擺線輪的齒廓誤差,提出了RV擺線針輪副真實(shí)嚙合側(cè)隙和嚙合點(diǎn)的確定方法,解決了真實(shí)嚙合位置和理論嚙合點(diǎn)不一致的難題。文獻(xiàn)[8]依據(jù)嚙合原理對(duì)擺線輪真實(shí)齒面進(jìn)行了嚙合分析,獲得了考慮齒廓誤差的擺線針輪副真實(shí)傳動(dòng)誤差。文獻(xiàn)[9]同時(shí)考慮了擺線針輪的側(cè)隙和齒廓誤差,發(fā)現(xiàn)齒廓誤差會(huì)導(dǎo)致擺線針輪副的真實(shí)嚙合齒數(shù)減少,擺線針輪負(fù)載集中。文獻(xiàn)[10]考慮了擺線輪齒廓誤差,利用有限元構(gòu)建了擺線輪真實(shí)齒廓誤差模型,分析了齒形誤差和嚙合接觸力之間的關(guān)系。文獻(xiàn)[11-12]考慮了擺線輪齒廓誤差,分析了擺線針輪副的嚙合特性,空載傳動(dòng)誤差較理論狀態(tài)增加了近百倍。文獻(xiàn)[13-14]結(jié)合擺線輪的齒廓誤差與修形量,構(gòu)建了真實(shí)狀態(tài)下的擺線針輪嚙合模型,探究了齒形誤差與嚙合應(yīng)力和傳動(dòng)誤差的關(guān)系。文獻(xiàn)[15]考慮了擺線輪磨損狀態(tài)下的齒廓誤差,提出了擺線針輪真實(shí)傳動(dòng)誤差與扭轉(zhuǎn)剛度的計(jì)算方法。綜上所述,擺線針輪副的負(fù)載嚙合特性分析大多是在不考慮齒形誤差的理想情況下進(jìn)行的,與工程應(yīng)用中的實(shí)際狀況差異較大,而關(guān)于齒形誤差影響下的實(shí)際承載特性的研究相對(duì)不足。

鑒于此,本文綜合考慮了擺線輪的齒形誤差,提出了1種能夠反映實(shí)際嚙合狀態(tài)的擺線針輪副承載特性分析方法,探究了擺線輪齒形誤差對(duì)其承載特性的影響,期望為RV減速器承載性能的提升和預(yù)控提供有效的保證。

1 擺線針輪副誤差齒廓接觸分析

1.1 擺線輪誤差齒廓

為確定擺線輪的齒廓誤差,本文以擺線輪齒根點(diǎn)為測(cè)量起點(diǎn),根據(jù)離散點(diǎn)接觸跟蹤測(cè)量方法對(duì)擺線輪進(jìn)行單齒廓測(cè)量。擺線輪誤差齒廓模型如圖1所示,以設(shè)計(jì)齒廓R上P0點(diǎn)為例,過(guò)其法矢n,確定與P0對(duì)應(yīng)的實(shí)際齒廓R*上的點(diǎn)P*,兩點(diǎn)間的偏差為齒廓誤差δ′:

圖1 誤差齒廓模型

δ′=(R*-R)n。

(1)

(2)

其中:(xc(αi),yc(αi))為擺線輪設(shè)計(jì)齒廓坐標(biāo),nxc(αi),nyc(αi)為單位法矢量在x、y上的分量。

由式(2)得到的擺線輪齒面離散點(diǎn)無(wú)法表征擺線輪的連續(xù)齒廓,因此需要對(duì)離散點(diǎn)進(jìn)行擬合。三次非均勻B樣條曲線對(duì)擺線輪真實(shí)齒廓具有較高的擬合精度,故本文選用該方法重構(gòu)擺線輪實(shí)際齒廓。擺線輪的齒寬為常數(shù),故可忽略其齒寬誤差,將其簡(jiǎn)化為二維模型,此時(shí)擺線輪誤差齒廓方程為:

(3)

其中:n為控制頂點(diǎn)數(shù);Ni,3(u)為三次B樣條基函數(shù);Pi為控制頂點(diǎn)矢量;參變量u的取值為0≤u≤1。

1.2 擺線針輪齒面接觸分析

為直觀表述擺線針輪的嚙合形態(tài),在保證其嚙合特性不變的情況下,通過(guò)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換原理建立了擺線針輪嚙合坐標(biāo)系,如圖2所示:(xf,yf)為定坐標(biāo)系,Of為坐標(biāo)原點(diǎn);動(dòng)坐標(biāo)系(xp,yp)和(xc,yc)分別與針輪和擺線輪固連,Op、Oc為對(duì)應(yīng)坐標(biāo)系原點(diǎn);原點(diǎn)Of與Op重合,φ1和φ2分別為針輪和擺線輪的轉(zhuǎn)角;Op和Oc之間的距離為偏心距a;β是針齒參量角。

圖2 擺線針輪副嚙合坐標(biāo)系

根據(jù)輪齒嚙合原理可知,擺線輪和針輪在嚙合位置處的位置矢量和單位法矢分別相等,則E-TCA方程組可表示為:

(4)

方程組(4)中有3個(gè)非線性方程,4個(gè)未知量,無(wú)法求解。假定主動(dòng)輪轉(zhuǎn)角φ1初始值為φ10,以Δφ為增量,以初始嚙合點(diǎn)為起始點(diǎn),利用牛頓迭代法求解E-TCA方程,可得到一系列對(duì)應(yīng)的嚙合參數(shù),直至針齒脫離嚙合。

分析擺線針輪接觸模型要先明確初始嚙合點(diǎn)位置,齒形誤差導(dǎo)致使用節(jié)點(diǎn)確定擺線針輪初始嚙合點(diǎn)位置的常規(guī)方法不再適用,本文利用針輪轉(zhuǎn)角來(lái)確定其初始嚙合點(diǎn)。將擺線輪保持固定不動(dòng),依次滾動(dòng)所有針齒,直至接觸擺線輪,對(duì)比各針齒轉(zhuǎn)角,其中轉(zhuǎn)角最小的針齒與擺線輪的嚙合點(diǎn)即初始嚙合點(diǎn)位置。

由于擺線輪存在齒形誤差,傳統(tǒng)的嚙合間隙計(jì)算公式無(wú)法真實(shí)表達(dá)其嚙合間隙,文獻(xiàn)[16]給出了包含擺線輪齒形誤差的嚙合間隙di(i為針齒號(hào)):

(5)

其中:(xpi,ypi)為針齒中心坐標(biāo);(xci,yci)為擺線輪距針齒中心最近的齒廓坐標(biāo);rrp為針輪曲率半徑。

2 考慮齒形誤差的承載模型及分析策略

空載時(shí),擺線針輪副僅有1對(duì)齒嚙合,其他輪齒均存在不同的側(cè)隙。當(dāng)施加載荷后,擺線針輪會(huì)出現(xiàn)彈性變形,初始嚙合位置的彈性變形最大。將E-TCA模型得到的嚙合間隙和最大彈性變形量進(jìn)行對(duì)比,以此判斷擺線針輪的可能嚙合齒數(shù)與區(qū)間,結(jié)合能量最低原理確定其真實(shí)承載特性。

2.1 考慮齒形誤差的承載分析模型

盡管擺線輪存在齒形誤差,但在承載特性分析時(shí)仍滿足Hertz接觸理論、變形協(xié)調(diào)關(guān)系和力矩平衡原理?；诖?構(gòu)建包含齒廓誤差的擺線針輪承載分析模型。

擺線針輪副的接觸印痕在空載時(shí)是1條線段,但隨著施加載荷的增大會(huì)逐漸變形為矩形。擺線針輪接觸模型如圖3所示。

圖3 擺線針輪接觸模型

根據(jù)Hertz接觸理論[17],擺線針輪的接觸半寬ai與彈性變形量δi可表示為:

(6)

(7)

其中:ρi為擺線針輪綜合曲率半徑;Fi為接觸力;b為擺線輪齒寬;μ1和μ2分別為擺線輪與針輪的泊松比;E1和E2分別為擺線輪與針輪的彈性模量;δci和δpi分別為擺線輪與針輪的彈性變形量;ρci為擺線輪接觸點(diǎn)的曲率半徑;rrp是針輪曲率半徑。

擺線針輪副完成多齒同時(shí)嚙合的條件是嚙合點(diǎn)處的誤差轉(zhuǎn)角si滿足變形協(xié)調(diào)關(guān)系。轉(zhuǎn)角誤差si是由接觸力臂Li、變形量δi和嚙合間隙di共同導(dǎo)致,且處處相等,變形協(xié)調(diào)關(guān)系可表示為:

(8)

由力矩平衡原理可知:當(dāng)擺線傳動(dòng)系統(tǒng)達(dá)到平衡狀況時(shí),擺線輪所承載的全部力矩T之和為零。在不考慮力的正負(fù)號(hào)時(shí),力矩平衡方程可表示為:

(9)

其中:n為嚙合齒數(shù);Fi為接觸力;Li為接觸力臂。

江西省水資源的一個(gè)不利特點(diǎn)，是時(shí)空分布不均、水資源分布與需求不匹配。全年降雨量的60%左右集中在主汛期4—6月，而用水量的60%則集中在主汛期后的7—9月，由于控制性水利工程少，往往出現(xiàn)汛期洪水成災(zāi)、汛后無(wú)水可用的局面。水資源開(kāi)發(fā)利用能力不足，特別是水資源調(diào)蓄能力不足、供水保證率不高、水資源開(kāi)發(fā)利用率偏低等問(wèn)題仍然比較突出。一些水問(wèn)題逐漸顯現(xiàn)，甚至成為經(jīng)濟(jì)社會(huì)發(fā)展的制約因素。

2.2 能量最低原理及承載分析策略

由于擺線輪齒形誤差的存在,導(dǎo)致擺線針輪副的真實(shí)嚙合齒數(shù)及區(qū)間難以確定,但其滿足能量最低原理。依據(jù)能量最低原理可知,當(dāng)系統(tǒng)處于平穩(wěn)狀況時(shí)的總能量最低[18-19]。擺線針輪副的系統(tǒng)總能量NE是n個(gè)嚙合齒對(duì)的嚙合接觸力Fi與彈性變形量δi的乘積之和:

(10)

根據(jù)考慮擺線輪齒形誤差時(shí)的初始嚙合參數(shù)確定方法和承載接觸分析模型,結(jié)合能量最低原理,其承載特性分析流程如圖4所示。

圖4 擺線針輪副承載分析流程

(Ⅰ)利用E-TCA模型確定其初始嚙合點(diǎn)位置參數(shù)及各嚙合點(diǎn)間隙。

(Ⅱ)負(fù)載后,根據(jù)初始嚙合點(diǎn)處的接觸力和接觸半寬的非線性關(guān)系計(jì)算出最大彈性變形量。

(Ⅲ)對(duì)比各齒對(duì)嚙合間隙和初始嚙合點(diǎn)的最大彈性變形量,判斷可能的嚙合齒數(shù)及區(qū)間。

(Ⅳ)根據(jù)承載嚙合模型,分別計(jì)算不同嚙合齒數(shù)時(shí)各嚙合點(diǎn)處的接觸力和彈性變形量。

(Ⅴ)分析各可能嚙合狀況下的系統(tǒng)總能量,能量最低時(shí)的嚙合齒數(shù)與區(qū)間即真實(shí)嚙合狀態(tài)。

(Ⅵ)給定針輪初始轉(zhuǎn)角,利用牛頓迭代法計(jì)算E-TCA方程組,獲取各嚙合點(diǎn)的位置參數(shù),直至脫離嚙合。

(Ⅶ)根據(jù)擺線針輪嚙合參數(shù),確定承載下的接觸印痕;利用擺線針輪副的真實(shí)輸出轉(zhuǎn)角和理論輸出轉(zhuǎn)角之差確定承載傳動(dòng)誤差。

3 齒形誤差對(duì)承載特性的影響分析與驗(yàn)證

本文以RV-40E型減速器中的擺線針輪為例,其基本參數(shù)如表1所示。如圖5所示,利用JD45+測(cè)量機(jī)在擺線輪齒廓上測(cè)量了1 200個(gè)點(diǎn),獲取了如圖6所示的擺線輪齒形誤差,齒形誤差中存在1個(gè)突異點(diǎn)0.021 mm,為避免該突異點(diǎn)影響擺線輪齒廓重構(gòu),對(duì)齒形誤差進(jìn)行了均值濾波處理,此時(shí)擺線輪齒形誤差幅度為-0.013～0.011 mm。

表1 擺線針輪基本參數(shù)

圖5 擺線輪齒形誤差測(cè)量

圖6 擺線輪齒形誤差

利用三次非均勻B樣條曲線對(duì)擺線輪實(shí)際齒廓進(jìn)行重構(gòu),最大重構(gòu)偏差為8.6×10-10mm,滿足精度要求,因此可用擬合得到的數(shù)字化齒廓探究擺線輪齒形誤差對(duì)承載特性的影響。同樣以RV-40E型減速器中的擺線針輪副為例,對(duì)其施加T=50 N·m的轉(zhuǎn)矩進(jìn)行承載特性分析。

同時(shí)為了驗(yàn)證承載特性分析方法的正確性與可行性,進(jìn)行了有限元分析。根據(jù)表1中的擺線針輪基本參數(shù),結(jié)合擺線輪誤差數(shù)據(jù),在UG軟件中構(gòu)建了包含齒形誤差的擺線針輪三維模型,將其導(dǎo)入ABAQUS有限元分析軟件中。采用Free對(duì)擺線輪和針輪進(jìn)行網(wǎng)格劃分,并在接觸面上進(jìn)行網(wǎng)格加密,網(wǎng)格數(shù)分別為216 973和186 769個(gè)。將擺線針輪副定義為摩擦因數(shù)為0.05的面面接觸。在擺線輪上施加T=50 N·m順時(shí)針負(fù)載轉(zhuǎn)矩,在針輪上施加0.02 rad/s的逆時(shí)針轉(zhuǎn)速,施加完全約束來(lái)模擬擺線輪的偏心運(yùn)動(dòng)。

3.1 承載嚙合區(qū)間

根據(jù)式(5)計(jì)算出擺線針輪副的嚙合間隙分布趨勢(shì),如圖7所示。由圖7可知:2種情況下的第5號(hào)齒對(duì)處的嚙合間隙均為0,即二者的初始嚙合點(diǎn)均發(fā)生在第5對(duì)齒。2種情況下的嚙合間隙對(duì)比承載后,根據(jù)式(7)計(jì)算出2種情況下的初始嚙合點(diǎn)處的最大變形量,如圖7所示,紅色和黑色橫線分別表示考慮齒形誤差與不考慮齒形誤差的最大變形量。當(dāng)齒側(cè)間隙小于等于最大變形量時(shí),對(duì)應(yīng)齒對(duì)可能參與嚙合,則2種情況下的可能嚙合齒數(shù)為1～21。利用能量最低原理分析得出考慮齒形誤差和不考慮齒形誤差的系統(tǒng)最低總能量分別為289.5 J、307.6 J,二者對(duì)應(yīng)的嚙合區(qū)間分別為1～15齒和1～16齒,嚙合齒數(shù)減少了1對(duì)。

圖7 兩種情況下的嚙合間隙對(duì)比

有限元分析完成后,在可視化功能模塊查看擺線輪嚙合印痕,如圖8所示。藍(lán)色線段代表嚙合痕跡,嚙合區(qū)間為1～15齒,齒數(shù)為15,第5號(hào)針齒的嚙合印痕最寬,代表初始嚙合點(diǎn)發(fā)生在第5號(hào)針齒處,初始嚙合點(diǎn)、嚙合齒數(shù)和嚙合區(qū)間與理論結(jié)果完全一致。

圖8 擺線輪嚙合印痕

3.2 承載嚙合印痕

利用擺線針輪副的承載接觸模型,分別計(jì)算出2種情況的嚙合點(diǎn)位置αi與接觸半寬αi,如表2所示。為便于觀察,將其承載接觸印痕集中于同一齒面上,2種情況下的承載嚙合印痕如圖9所示。由圖9可知:二者嚙合印痕的最寬處與最大差值均在第5號(hào)齒對(duì),不考慮齒形誤差時(shí),嚙合印痕由0.144 mm增至0.492 mm,再逐漸減小至0.252 mm;考慮齒形誤差時(shí),嚙合印痕由0.139 mm增至0.518 mm,隨后減至0.247 mm。嚙合印痕峰值增大了0.026 mm,最大差值為5.2%,第4齒到第10齒的嚙合印痕寬度增大,其余齒的嚙合印痕寬度變小,導(dǎo)致受力更加集中。

表2 嚙合點(diǎn)位置及接觸半寬

圖9 擺線輪負(fù)載嚙合印痕

3.3 承載嚙合應(yīng)力

根據(jù)赫茲接觸理論可知接觸應(yīng)力σi的公式為[20]:

(11)

根據(jù)式(11)得到了2種情況下的嚙合應(yīng)力,如圖10所示。由圖10可知:二者變化趨勢(shì)均為隨針齒號(hào)增大先增至峰值,隨后逐漸減小。不考慮齒形誤差時(shí),最大應(yīng)力值494.37 MPa出現(xiàn)在第8號(hào)齒對(duì)處;存在齒形誤差時(shí),最大嚙合應(yīng)力值520.68 MPa出現(xiàn)在第9號(hào)齒對(duì)處,峰值應(yīng)力相差5.3%。這是因?yàn)閿[線輪齒形誤差導(dǎo)致嚙合點(diǎn)處的接觸力和綜合曲率半徑均發(fā)生了變化。

圖10 嚙合點(diǎn)處的接觸應(yīng)力

在有限元可視化模塊中導(dǎo)出擺線輪的嚙合應(yīng)力,如圖11所示。由圖11可知:最大嚙合應(yīng)力為509 MPa,與理論結(jié)果相差2.2%,均小于GCr15軸承鋼許用應(yīng)力,滿足其強(qiáng)度要求,且變化趨勢(shì)相同。

圖11 擺線輪的嚙合應(yīng)力云圖

3.4 承載傳動(dòng)誤差

傳動(dòng)誤差Δφe是指?jìng)鲃?dòng)裝置的實(shí)際輸出轉(zhuǎn)角與理論輸出轉(zhuǎn)角的差值[21]:

Δφe=Δφi/i-Δφo,

(12)

其中:i為傳動(dòng)比;Δφi為輸入轉(zhuǎn)角;Δφo為輸出轉(zhuǎn)角。

不斷改變針輪輸入轉(zhuǎn)角,求解得到對(duì)應(yīng)擺線輪輸出轉(zhuǎn)角,結(jié)合式(12)得到了2種情況下的加載傳動(dòng)誤差,如圖12所示。由圖12可知:二者呈周期性變化且趨勢(shì)一致。不考慮齒形誤差時(shí),隨針輪轉(zhuǎn)角增加,傳動(dòng)誤差先逐漸減至最小值-6.489′,再緩慢增至峰值-6.559′,隨后進(jìn)入到下個(gè)周期,傳動(dòng)誤差曲線的波動(dòng)幅度為0.07′。考慮齒形誤差時(shí),隨著針輪轉(zhuǎn)角的逐漸增加,承載傳動(dòng)誤差先不斷減小至最小值-6.617′,隨后增至最大值-6.691′,承載傳動(dòng)誤差波動(dòng)幅值為0.074′,但在進(jìn)入下個(gè)周期時(shí)有明顯跳動(dòng)?？紤]齒形誤差時(shí)的波動(dòng)幅度增大了5.7%,使得傳動(dòng)精度和平穩(wěn)性惡化。

圖12 承載傳動(dòng)誤差曲線

將有限元分析得到的擺線針輪副的輸入轉(zhuǎn)角和輸出轉(zhuǎn)角代入式(12),得到了擺線針輪副在旋轉(zhuǎn)1周內(nèi)的傳動(dòng)誤差,如圖13所示。與圖12中的包含齒形誤差的傳動(dòng)誤差曲線對(duì)比,二者均呈周期性變化,在同一周期內(nèi)均是先逐漸減小至最小值,再逐漸增大,趨勢(shì)基本一致,有限元分析的承載傳動(dòng)誤差幅值為0.071′,略小于理論結(jié)果。這是因?yàn)橛邢拊Y(jié)果受網(wǎng)格劃分精度、邊界約束、接觸對(duì)設(shè)置等因素的影響,但二者的誤差僅為4%,滿足精度要求。因此仿真分析驗(yàn)證了理論模型的可行性。

圖13 有限元承載傳動(dòng)誤差

4 結(jié)論

(1)本文綜合考慮了擺線輪的齒形誤差,采用三次非均勻B樣條擬合出擺線輪真實(shí)齒廓,基于此,建立了E-TCA分析模型,得知齒形誤差的存在導(dǎo)致實(shí)際嚙合間隙增大。

(2)建立了包含齒形誤差的承載接觸分析模型,利用能量最低原理確定了實(shí)際承載嚙合區(qū)間和負(fù)載狀況。

(3)利用有限元模型驗(yàn)證了理論模型的正確性。由于齒形誤差的影響,同時(shí)嚙合齒數(shù)減少了1對(duì),嚙合應(yīng)力和傳動(dòng)誤差增大了5.3%和5.7%。