基于ADE-PML方法的快速計(jì)算目標(biāo)電磁場(chǎng)分布研究

葉文娟

摘? 要：在電磁場(chǎng)分布計(jì)算領(lǐng)域，目標(biāo)的電磁分布計(jì)算是一個(gè)重要且復(fù)雜的問題。目前，常用的計(jì)算方法有有限元法、有限差分法、時(shí)域積分方程法等。這些方法都有各自的優(yōu)缺點(diǎn)，但是無論哪種方法都需要進(jìn)行離散化、求解和后處理等，存在計(jì)算量大、計(jì)算時(shí)間長(zhǎng)、計(jì)算精度低等問題。為了解決這些問題，一些新的計(jì)算方法被提出，如自適應(yīng)離散化誤差修正技術(shù)，自適應(yīng)邊界條件技術(shù)等。這些技術(shù)能夠有效地提高計(jì)算精度和計(jì)算效率，但是在具體工程應(yīng)用中，仍然存在一些問題，例如處理復(fù)雜目標(biāo)的電磁場(chǎng)分布計(jì)算難度仍然較大、計(jì)算時(shí)間較長(zhǎng)等。通過基于ADE-PML方法研究快速計(jì)算復(fù)雜目標(biāo)的電磁場(chǎng)分布，進(jìn)一步提高電磁場(chǎng)分布計(jì)算效率，有助于復(fù)雜目標(biāo)電磁分布工程應(yīng)用分析。

關(guān)鍵詞：ADE-PML；快速；電磁場(chǎng)；分布；計(jì)算效率

中圖分類號(hào)：TM412? ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A? ? ? ? ? 文章編號(hào)：2095-2945（2024）05-0012-04

Abstract： In the field of electromagnetic field distribution calculation， the calculation of the electromagnetic distribution of targets is an important and complex problem. Currently， commonly used calculation methods include finite element method， finite difference method， and time-domain integral equation method， among others. These methods have their own advantages and disadvantages， but all require discretization， solving， and post-processing， thus resulting in large computational workload， long computation time， and low computational accuracy. In order to solve these problems， new calculation methods have been proposed， such as adaptive discretization error correction techniques and adaptive boundary condition techniques. These techniques can effectively improve computational accuracy and efficiency. However， in practical engineering applications， there exist some challenges， such as the difficulty in handling the electromagnetic field distribution calculation of complex targets and long computation time. By studying the fast calculation of electromagnetic field distribution of complex targets based on the ADE-PML method， it is possible to further improve the efficiency of electromagnetic field distribution calculation for complex target engineering applications.

Keywords： ADE-PML; fast; electromagnetic field; distribution; computational efficiency

電磁場(chǎng)分布計(jì)算是電磁學(xué)領(lǐng)域中一個(gè)非常重要的問題，涉及電磁場(chǎng)的產(chǎn)生、傳播和相互作用等方面。電磁場(chǎng)分布計(jì)算方法發(fā)展主要分為解析階段、數(shù)值階段、混合階段和近似階段。解析階段通常只能計(jì)算簡(jiǎn)單目標(biāo)和邊界條件；數(shù)值階段可以對(duì)結(jié)構(gòu)和材料近場(chǎng)進(jìn)行計(jì)算，但是計(jì)算精度和計(jì)算效率往往是其矛盾的2個(gè)方面；混合階段適用于局部復(fù)雜性的問題，并一定程度上能夠提高計(jì)算精度和計(jì)算效率；近似階段往往可以計(jì)算復(fù)雜目標(biāo)的幾何結(jié)構(gòu)和邊界條件，但是其計(jì)算精確的電磁場(chǎng)分布一般比較困難。

結(jié)合近似階段各種方法的優(yōu)點(diǎn)，一定程度上克服計(jì)算精度的不足，研究ADE-PML計(jì)算方法能夠快速準(zhǔn)確地計(jì)算目標(biāo)的電磁場(chǎng)分布。此方法可用于各種不同的應(yīng)用領(lǐng)域，例如電力系統(tǒng)、電機(jī)設(shè)計(jì)、暗室設(shè)計(jì)等，有效分析電磁場(chǎng)的分布和特性并優(yōu)化設(shè)計(jì)方案，進(jìn)一步提高產(chǎn)品性能。

1? 電磁場(chǎng)分布計(jì)算的常用方法

在電磁場(chǎng)分布計(jì)算中，常用的方法包括有限元法、有限差分法、邊界元法和有限積分法等。

有限元法（Finite Element Method，F(xiàn)EM）是一種常用的數(shù)值計(jì)算方法，其將求解區(qū)域劃分為許多小的有限元單元之間的關(guān)系，利用數(shù)學(xué)模型和適當(dāng)?shù)倪吔鐥l件，通過求解線性或非線性方程組來獲得電磁場(chǎng)分布。有限元法適用于各種復(fù)雜的電磁場(chǎng)問題，如靜電場(chǎng)、靜磁場(chǎng)、電磁波轉(zhuǎn)播等。

有限差分法（Finite Difference Method，F(xiàn)DM）是一種基于差分逼近的數(shù)值計(jì)算網(wǎng)格，其將求解區(qū)域劃分為網(wǎng)格，將偏微分方程中的導(dǎo)數(shù)用差分近似代替，建立差分方程組，通過迭代求解來得到電磁場(chǎng)分布。有限差分法適用于各種電磁場(chǎng)問題，如靜電場(chǎng)、靜磁場(chǎng)、電磁波傳播等。

邊界元法（Boundary Element Method，BEM）是一種基于邊界積分方程的數(shù)值計(jì)算方法，其將求解區(qū)域劃分為邊界和內(nèi)部2個(gè)部分，通過在邊界上建立邊界積分方程，將未知量從內(nèi)部轉(zhuǎn)移到邊界上，通過求解邊界積分方程組來獲得電磁場(chǎng)分布。邊界元法適用于具有邊界條件的電磁場(chǎng)問題，如靜電場(chǎng)、靜磁場(chǎng)。

有限積分法（Finit Integration Technique，F(xiàn)IT）是一種基于有限差分和有限元的方法，其將求解區(qū)域劃分為網(wǎng)格，通過在每個(gè)網(wǎng)格中應(yīng)用電磁場(chǎng)的積分形式，建立離散的方程組，通過求解方程組來得到電磁場(chǎng)分布。有限積分法適用于各種電磁場(chǎng)問題，如靜電場(chǎng)、靜磁場(chǎng)、電磁波傳播等。

除了上述幾種方法，還有模態(tài)分析法、時(shí)域有限差分法、時(shí)域積分方程法等，在不同應(yīng)用領(lǐng)域和問題上有著不同的優(yōu)勢(shì)和適用性。

2? ADE-PML計(jì)算原理

ADE-PML是一種用于求解時(shí)域麥克斯韋（Maxwell）方程組的數(shù)值方法，其中ADE是交替方向顯式（Alternating Drection）方法，PML代表完美匹配層（Perfectly Matched Layer）。該方法主要用于模擬電磁波在復(fù)雜介質(zhì)中的傳播和散射現(xiàn)象，例如雷達(dá)、天線、光纖通信等領(lǐng)域。ADE-PML的主要思路是將麥克斯韋方程組分解為3個(gè)方向的單一維度問題，然后采用交替方向顯式法進(jìn)行求解。同時(shí)，為了避免邊界反射和波導(dǎo)效應(yīng)，采用完美匹配層技術(shù)對(duì)邊界進(jìn)行處理，使得邊界處的電磁波能夠被吸收，從而得到更準(zhǔn)確的解。ADE-PML方法具有計(jì)算精度高、計(jì)算速度快、適用于復(fù)雜介質(zhì)等優(yōu)點(diǎn)，被廣泛應(yīng)用于電磁場(chǎng)計(jì)算、天線 、光纖通信等領(lǐng)域。利用ADE-PML法快速計(jì)算目標(biāo)電磁場(chǎng)主要包括5個(gè)步驟，具體如圖1所示。

2.1? 建立數(shù)值計(jì)算模型

建立目標(biāo)的電磁計(jì)算模型，包括目標(biāo)的幾何形狀、材料參數(shù)、邊界條件。其中，幾何形狀是明確計(jì)算目標(biāo)的物理形狀和尺寸以建立計(jì)算模型的實(shí)體；材料參數(shù)是明確計(jì)算模型的傳輸特性，主要是模型的材料電磁參數(shù)，包括介電常數(shù)、磁導(dǎo)率和電導(dǎo)率；邊界條件是一種能夠有效吸收入射波的邊界條件，需要設(shè)置合適的吸收層參數(shù)，如吸收層的厚度、吸收層的介電常數(shù)和磁導(dǎo)率等。

2.2? 目標(biāo)離散化處理

將計(jì)算區(qū)域劃分為若干小區(qū)域，每個(gè)小區(qū)域稱為一個(gè)網(wǎng)格。在劃分網(wǎng)格后，采用自適應(yīng)離散化誤差修正技術(shù)對(duì)模型進(jìn)行離散化處理，然后采用時(shí)間域有限差分法并根據(jù)時(shí)間步長(zhǎng)進(jìn)行時(shí)間域上的離散化處理后計(jì)算，得到離散化的計(jì)算模型。

基于輔助微分方程方法的PML公式及時(shí)域有限差分法（FDTD）計(jì)算域的電磁特性，在用于截?cái)鄰V義介質(zhì)FDTD計(jì)算域的三維PML區(qū)域，麥克斯韋方程組中的2個(gè)旋度方程在頻域的表達(dá)式為

式（1）、式（2）中，電位移矢量D與電場(chǎng)強(qiáng)度E、磁通量密度B與磁場(chǎng)強(qiáng)度H之間的本構(gòu)關(guān)系為

式中：εr（ω）和μr（ω）分別是FDTD計(jì)算域介質(zhì)的相對(duì)介電常數(shù)和相對(duì)磁導(dǎo)率系數(shù)，操作符▽s定義為

式中：Sη（η=x，y，z）是坐標(biāo)拉伸變量，定義為

在三維笛卡爾坐標(biāo)系中，式（1）和式（2）的分量形式為

基于輔助微分方程方法的PML算法如下，利用上述部分計(jì)算公式展開，由式（6）可以將S轉(zhuǎn)化為

將式（9）代入式（7）中，得出

式中：2個(gè)輔助變量分別定義為

式（11）和式（12）可以改寫為

利用傅里葉變換關(guān)系jω??/?t，可以將式（10）、式（13）、式（14）由頻域變換到時(shí)域，即

采用標(biāo)準(zhǔn)的FDTD算法，在空間和時(shí)間上均使用中心差分格式，可以將式（15）—式（17）離散為

式（18）—式（20）中，

2.3? 定義邊界條件

在計(jì)算區(qū)域的邊界上定義吸收邊界條件為PML。

2.4利用ADE-PML方法計(jì)算電磁場(chǎng)

利用ADE-PML方法計(jì)算電磁場(chǎng)在每個(gè)時(shí)間步長(zhǎng)和空間單元的數(shù)值。第一步是確定計(jì)算區(qū)域的網(wǎng)格大小和時(shí)間步長(zhǎng)，網(wǎng)格大小需同時(shí)兼顧計(jì)算精度和計(jì)算量；時(shí)間步長(zhǎng)必須小于空間步長(zhǎng)除以介質(zhì)中電磁波的最大傳播速度。第二步是初始化電磁場(chǎng)，根據(jù)第一步的條件初始化電場(chǎng)和磁場(chǎng)。第三步是根據(jù)麥克斯韋方程通過差分分別計(jì)算出電磁和磁場(chǎng)在下一個(gè)時(shí)間步長(zhǎng)的數(shù)值；第四步是重復(fù)以上步驟直到求解收斂，即電磁場(chǎng)的計(jì)算誤差達(dá)到預(yù)設(shè)的精度要求。

2.5? 計(jì)算結(jié)果顯示分析

根據(jù)計(jì)算結(jié)果進(jìn)行后，得到目標(biāo)的電磁場(chǎng)分布圖像或數(shù)據(jù)。

3仿真計(jì)算結(jié)果分析

為了驗(yàn)證本研究動(dòng)態(tài)顯示算法的有效性，利用上述理論基礎(chǔ)編寫仿真計(jì)算程序，并通過實(shí)際計(jì)算電磁波在自由空間中傳播的場(chǎng)分布。激勵(lì)源設(shè)置如圖2所示，邊界設(shè)置如圖3所示，計(jì)算結(jié)果如圖4所示。

通過圖4可以看出，在計(jì)算時(shí)間為10 s左右時(shí)x方向上的電場(chǎng)分布可以非常直觀地呈現(xiàn)。這將虛無縹緲的電磁場(chǎng)分布用等位線圖直觀地展示出來，供技術(shù)人員分析。

4? 結(jié)論

本文介紹了采用ADE-PML方法計(jì)算電磁場(chǎng)并直觀顯示。通過分析ADE-PML的基本原理和實(shí)現(xiàn)方法，綜合精度計(jì)算要求，闡述了目標(biāo)電磁場(chǎng)分布計(jì)算的直觀顯示過程，并通過實(shí)驗(yàn)仿真驗(yàn)證了該方法的可行性和有效性，該方法可在通信、雷達(dá)、微波、天線等領(lǐng)域?yàn)楣こ處熖峁┍憬?、高效的?jì)算和分析方法。

參考文獻(xiàn)：

[1] TAFLOVE A， HAGNESS S C. Computational Electrodynamics： The Finite-Difference Time-Domain Method 3nd[M]. Norwood， MA： Artech House，2005.

[2] TAFLOVE A. Advances in Computational Electrodynamics： The Finite-Difference Time-Domain[M].Boston： Artech House，1998.

[3] NAMIKI T. A new FDTD algorithm based on alternating-direction implicit method[J].IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques，1999， 47（10）：2003-2007.

[4] NAMIKI T. 3-D ADI-FDTD method unconditionally stable time-domain algorithm for solving full vector Maxwell's equations[J]. IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques，2000， 48（10）：1743-1748.

[5] SHIBAYAMA J， MURAKI M， YAMAUCHI J， et al. Efficient implicit FDTD algorithm based on locally onedimensional scheme[J].Electronics Letters，2005，41（19）：1046-1047.

[6] BERENGER J P. A perfectly matched layer for the absorption of electromagnetic waves[J].Journal of Computational Physics，1994，114（2）：185-200.

[7] BERENGER J P. Three-dimensional perfectly matched layer for the absorption of electromagnetic waves[J].Journal of Computational Physics，1996，127（2）：363-379.

[8] AHMED I， KHOO E H， LI E P. Development of the CPML for three-dimensional unconditionally stable LODFDTD method[J].IEEE Transactions on Antennas and Propagation，2010，58（3）：832-837.

[9] RAMADAN O. Second-order split-step envelope PML algorithm for 2D FDTD simulations[J].Electronics Letters，2007， 43（15）：792-793.

[10] RAMADAN O. Complex envelope six-stages split-step PML algorithm for open region electromagnetic problems[J].IEEE microwave and wireless components letters，2008，18（11）： 713-715.

[11] LI J X， JIANG H L. Effective CNAD- and ADE-based CFS-PML formulations for truncating the dispersive FDTD domains[J].IEEE Antennas and Wireless Propagation Letters.2015，14：1267-1270.

[12] LI J， SHI X， JIANG H. 2-D unconditionally stable CFS-PML based on CNDG for truncating unmagnetized plasma media[J].IEEE Microwave and Wireless Components Letters，2017，27（4）：323-325.

[13] LI J， WU P， JIANG H. Implementation of higher order CNAD CFS-PML for truncating unmagnetised plasma[J].IET Microwaves， Antennas & Propagation，2019，13（6）：756-760.

[14] JIANG H L， ZHANG J F， JIANG W X， et al. Unconditionally stable CN-PML algorithm for frequency-dispersive left-handed materials[J].IEEE Antennas and Wireless Propagation Letters，2017，16：2006-2009.