基于馬爾科夫鏈在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

孟憲亮

(樂清市芙蓉中學(xué),浙江 溫州 325600)

如果一個物體以一種隨機(jī)的方式運(yùn)動,并且它的運(yùn)動是無記憶的,那么這個物體就具有馬爾科夫性質(zhì).舉一個例子:一個足球被很多運(yùn)動員踢來踢去,接下來的足球可以左右移動也可以上下移動,可以在任何狀態(tài)下進(jìn)行,它的運(yùn)動只取決于當(dāng)前的狀態(tài).馬爾科夫鏈通常用來建模排隊(duì)原理和統(tǒng)計學(xué)中的建模,還可作為信號模擬用于算法編碼,在實(shí)際生活中應(yīng)用比較廣泛.通過學(xué)習(xí)馬爾科夫鏈這一數(shù)學(xué)模型,增加學(xué)生將實(shí)際生活問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型的能力.

1 馬爾科夫鏈的性質(zhì)

馬爾科夫鏈具有狀態(tài)空間、無記憶性、轉(zhuǎn)移概率(轉(zhuǎn)移矩陣)等三個要素.馬爾科夫鏈?zhǔn)菑囊粋€狀態(tài)到另一個狀態(tài)轉(zhuǎn)化的隨機(jī)過程,每個狀態(tài)稱為狀態(tài)空間.無記憶性是下一狀態(tài)的概率分布,只能由當(dāng)前狀態(tài)決定,在時間序列中它前面的事件均與之無關(guān).這種特定類型的“無記憶性”稱作馬爾科夫性.在馬爾科夫鏈的每一步,根據(jù)概率分布,可以從一個狀態(tài)變到另外一個狀態(tài),也可以保持當(dāng)前狀態(tài).狀態(tài)的改變叫做轉(zhuǎn)移,與不同狀態(tài)改變相關(guān)的概率叫做轉(zhuǎn)移概率.

對于隨機(jī)變量序列Xn,已知第n小時的狀態(tài)Xn,如果Xn+1的隨機(jī)變化規(guī)律與前面的各項(xiàng)X1,X2,…,Xn-1的取值都沒有關(guān)系,那么稱隨機(jī)變量序列Xn具有馬爾科夫性.稱具有馬爾科夫性的隨機(jī)變量序列 {Xn} 為馬爾科夫鏈.

2 馬爾科夫鏈一維模型

經(jīng)典的一維隨機(jī)游走模型,即設(shè)數(shù)軸上一個點(diǎn),它的位置只能位于整點(diǎn)處,在時刻t=0時,位于點(diǎn)X=i(i∈N+)一個時刻,它將以概率α或者β(α∈(0,1),α+β=1)向左或者向右平移一個單位. 若記狀態(tài)Xt=i表示:在時刻t該點(diǎn)位于位置X=i(i∈N+),那么由全概率公式可得:

P(Xt+1=i)=P(Xt=i-1)·P(Xt+1=i|Xt=i-1)+P(Xt=i+1)·P(Xt+1=i|Xt=i+1).

另一方面,由于P(Xt+1=i|Xt=i-1)=β,P(Xt+1=i|Xt=i+1)=α,

代入上式可得Pi=α·Pi+1+β·Pi-1.

進(jìn)一步,我們假設(shè)在x=0與x=m(m>0,m∈N+)處各有一個吸收壁,當(dāng)點(diǎn)到達(dá)吸收壁時被吸收,不再游走.于是P0=0,Pm=1.隨機(jī)游走模型是一個典型的馬爾科夫過程.

進(jìn)一步,若點(diǎn)在某個位置后有三種情況:向左平移一個單位,其概率為a,原地不動,其概率為b,向右平移一個單位,其概率為c,那么根據(jù)全概率公式可得Pi=aPi-1+bPi+cPi+1.

3 馬爾科夫鏈概率模型

例1某工廠的一臺自動加工機(jī)有兩種工作狀態(tài):正常狀態(tài)和故障狀態(tài).在每個整數(shù)鐘點(diǎn)的起始時刻檢查機(jī)器的工作情況,若機(jī)器處于正常狀態(tài),則讓它繼續(xù)工作;若機(jī)器處于故障狀態(tài),則對它進(jìn)行檢修.假設(shè)處于正常狀態(tài)的機(jī)器,在1小時后發(fā)生故障的概率為0.05;處于故障狀態(tài)的機(jī)器,在1小時后排除故障的概率為0.6.用Xn表示機(jī)器在開始工作后n小時的工作狀態(tài).判斷{Xn}是一個馬爾科夫鏈嗎?如果是,請求出n+1小時后機(jī)器處于正常狀態(tài)的概率.

解析任意時刻機(jī)器只能處于正常狀態(tài)和故障狀態(tài),記這兩種狀態(tài)分別為1和0,則X0=1或X0=0.Xn+1的概率分布規(guī)律僅與Xn的取值有關(guān),與前面狀態(tài)均無關(guān)系.所以是一個馬爾科夫鏈.

設(shè)機(jī)器在第n小時處于正常狀態(tài),則第n+1個小時為正常狀態(tài)的概率為:

P(xn+1=1)=P(xn=1)·P(xn+1=1|xn=1)+P(xn=0)·P(xn+1=1|xn=0)

=0.95P(xn=1)+0.6(1-P(xn=1))

=0.35P(xn=1)+0.6.

還可以得出第n+1個小時為故障狀態(tài)的概率為1-P(xn+1=1).

本題目運(yùn)用了條件概率、全概率公式等概率知識點(diǎn),推出了機(jī)器在第n+1個小時正常狀態(tài)的概率與第n個小時正常狀態(tài)概率之間的關(guān)系式.如果把第n個小時正常狀態(tài)概率看成自變量,第n+1個小時正常狀態(tài)的概率看成因變量,則它們之間成一次函數(shù)關(guān)系式.由關(guān)系式可知1小時后排除故障對維持工廠正常生產(chǎn)的重要性[1].

例2甲、乙兩人進(jìn)行拋擲骰子游戲,兩人輪流拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子．規(guī)定:先擲出點(diǎn)數(shù)6的獲勝,游戲結(jié)束．

(1)記兩人拋擲骰子的總次數(shù)為X,若每人最多拋擲兩次骰子,求比賽結(jié)束時,X的分布列和數(shù)學(xué)期望;

(2)已知甲先擲,求甲恰好拋擲n次骰子并獲得勝利的概率．

表1 隨機(jī)變量X的分布列

例3現(xiàn)有甲、乙兩個盒子,盒子中都有大小、形狀、質(zhì)地相同的2個紅球和1個黑球.從兩個盒子中各任取一個球交換,重復(fù)進(jìn)行n(n∈N+)次操作后,記甲盒子中黑球個數(shù)為Xn,甲盒中恰有1個黑球的概率為an,恰有2個黑球的概率為bn.

(1)求X1的分布列;

(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;

(3)求Xn的期望.

解析(1)由題可知,X1的可能取值為0,1,2.由相互獨(dú)立事件概率乘法公式可知:

故X1的分布列見表2:

表2 隨機(jī)變量X1的分布列

(2)由全概率公式可知:

(3)由全概率公式可得:

所以E(Xn)=an+2bn=1.

本例題考查了馬爾科夫鏈與概率遞推等方法,該知識點(diǎn)相對抽象,需要學(xué)生具備較強(qiáng)的數(shù)學(xué)和邏輯思維能力,建模的過程比較復(fù)雜.由第2問的結(jié)論可以得出隨著n的增大,an趨向于定值3/5,由此可知在馬爾科夫鏈下的問題趨向于穩(wěn)定,蘊(yùn)含著深刻的數(shù)學(xué)思想,知識的理解重在具體問題情境中進(jìn)行運(yùn)用[2].

4 結(jié)束語

通過以上實(shí)例,對高中階段學(xué)生在具備邏輯思維的前提下將生活中的實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題,實(shí)現(xiàn)在實(shí)踐過程中不斷探索培育學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力的新途徑,激發(fā)學(xué)生的自主探究熱情與積極性,切實(shí)提高學(xué)生的綜合能力與素養(yǎng),為學(xué)生的全面發(fā)展提供更加優(yōu)質(zhì)的數(shù)學(xué)教學(xué)服務(wù).