精析結(jié)構(gòu) 多解探究 關(guān)注思維 尋根探源
——一道聯(lián)考?jí)狠S題的解法探究與背景探源

巨小鵬

(陜西省漢中市龍崗學(xué)校,陜西 漢中 723102)

解析幾何問(wèn)題中,幾何是思考的起點(diǎn)和終點(diǎn),也是問(wèn)題的緣起和歸宿,代數(shù)化和“幾何”特征是解決幾何問(wèn)題的工具.加深幾何特征和曲線與方程有關(guān)概念的理解,從不同角度分析其幾何結(jié)構(gòu),并尋求其思維方法根源,將解決問(wèn)題思維結(jié)構(gòu)化,以提升“猜想證明、化歸轉(zhuǎn)化、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、嚴(yán)謹(jǐn)邏輯推理和探索實(shí)踐應(yīng)用”等關(guān)鍵能力為目標(biāo),內(nèi)化數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)[1].

1 試題呈現(xiàn)

2 試題分析與解答

2.1 第(1)問(wèn)解析

在△OPF1中,根據(jù)余弦定理,得

即3c2=7a2.

解法3(中線定理+余弦定理視角) 根據(jù)解法1可知|PF2|=b,|OP|=a,|OF1|=c.

根據(jù)三角形中線定理,得

解法4(輔助線視角1) 根據(jù)解法1可知|PF2|=b,|OP|=a,|OF1|=c.

過(guò)點(diǎn)P作PH⊥F1F2于點(diǎn)H,則

在Rt△PHF1中,根據(jù)勾股定理,得

解法5(輔助線視角2) 根據(jù)解法1可知|PF2|=b,|OP|=a,|OF1|=c.

圖1 解法5示意圖

解法8(張角定理視角) 根據(jù)解法1可知|PF2|=b,|OP|=a,|OF1|=c.

根據(jù)張角定理,得

又因?yàn)镾△POF1=S△POF2,

所以|PF1|=2b.

根據(jù)正弦定理,得

2.2 第(2)問(wèn)解析

圖2 第(2)問(wèn)解析圖

代入b2x2-a2y2=0,化簡(jiǎn),得

所以-a2b2x2+2a2b2x0x-a4b2=0.

即x2-2x0x+a2=0.

所以x1x2=a2.

評(píng)注設(shè)出P(x1,y1),Q(x2,y2),破題關(guān)鍵要利用過(guò)雙曲線上一點(diǎn)的切線方程聯(lián)立漸近線方程,根據(jù)韋達(dá)定理求得x1x2=a2,進(jìn)而利用三角形面積解決問(wèn)題,當(dāng)然此題也可進(jìn)行仿射變換仿射成反比例函數(shù)解決,不再贅述.本題是一類特殊的中心三角形,即雙曲線的漸近線與切線圍成的三角形稱為漸切三角形.

3 試題背景探源

3.1 漸切三角形問(wèn)題

(1)切點(diǎn)M為P,Q中點(diǎn);

(2)△OPQ的面積為定值ab[2];

(b2-a2k2)x2-2kma2x-a2b2=0.

即切點(diǎn)M為P,Q中點(diǎn).

(2)當(dāng)切線斜率不存在時(shí),即x=±a,此時(shí)△OPQ的面積為定值ab;

當(dāng)切線斜率存在時(shí),證明參考2023屆T8聯(lián)考16題第二空解法.

3.2 高考試題背景探源

(1)求雙曲線E的離心率;

(2)如圖3,O為坐標(biāo)原點(diǎn),動(dòng)直線l分別交直線l1,l2于A,B兩點(diǎn)(A,B分別在第一,四象限),且△AOB的面積恒為8,試探究:是否存在總與直線l有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的雙曲線E?若存在,求出雙曲線E的方程;若不存在,說(shuō)明理由.

圖3 2014年高考福建理科19題圖

設(shè)直線l與x軸相交于點(diǎn)C.

當(dāng)l⊥x軸時(shí),若直線l與雙曲線E有且只有一個(gè)公共點(diǎn),則|OC|=a,|AB|=4a.

又因?yàn)椤鱋AB的面積為8,

即m2=4|4-k2|=4(k2-4).

(4-k2)x2-2kmx-m2-16=0.

因?yàn)?-k2<0,所以△=4k2m2+4(4-k2)(m2+16)=-16(4k2-m2-16).

又因?yàn)閙2=4(k2-4),所以△=0.

即l與雙曲線E有且只有一個(gè)公共點(diǎn).

4 結(jié)束語(yǔ)

本題考查了雙曲線的性質(zhì)、直線與雙曲線的位置關(guān)系和漸切三角形的面積表示,考查學(xué)生對(duì)基本概念和基本性質(zhì)的理解以及數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng).2015年湖北理科21題考查了橢圓中漸切三角形問(wèn)題,后期會(huì)繼續(xù)進(jìn)行探究.