函數(shù)零點不等問題變形策略

洪昌強

(浙江省臺州市第一中學,浙江 臺州 318000)

在解決函數(shù)零點相關不等式問題時,若函數(shù)選擇不好、方程處理不當,往往會導致運算繁瑣,或無法從方程中分離出所需要的零點數(shù)量關系式.如何對函數(shù)式和結(jié)論進行合理變形,得到一個有助于問題解決的函數(shù)呢?

1 同質(zhì)變形化歸為簡單的函數(shù)

函數(shù)零點不等問題與函數(shù)值變化密切相關,通常將零點不等問題化歸為函數(shù)單調(diào)性問題進行處理,為了方便研究函數(shù)的性質(zhì),需要對函數(shù)或結(jié)論進行適當?shù)耐|(zhì)變形.

例1 已知函數(shù)f(x)=xa-ax(a>0,a≠1),當x>0時,若f(x)恰有兩個互異零點m,n(m>n>0),求證:mn>e2.

當x>e時,h′(x)>0,

則h(x)在[e,+∞)上單調(diào)遞增.

因為h(e)=0,

所以h(x)>h(e)=0.

即mn>e2.

評注本題條件所給的函數(shù)涉及指數(shù)函數(shù)和冪函數(shù),f(x)的導函數(shù)比較復雜,需要對已知的函數(shù)、等式和不等式進行變形,然后重構(gòu)函數(shù)促使函數(shù)“瘦身”,并保持函數(shù)零點不變.讓函數(shù)式變成能用、好用,讓要證的不等式變成易得、易證.本題的處理方法充分利用 “f(m)=f(n)” 的等式關系,將含有兩個零點問題轉(zhuǎn)化為單個零點問題,然后通過函數(shù)的單調(diào)性將自變量比較大小問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)值比較大小問題.在利用單調(diào)性處理不等式問題時,需要考慮“兩個點”是否同屬一個單調(diào)區(qū)間.

2 換元變形化歸為新變元的函數(shù)

結(jié)論中所要研究的“兩個點”不在一個單調(diào)區(qū)間上,或者關于零點不等問題難以轉(zhuǎn)化為以零點為變元的函數(shù)值問題.此時可以引入新變元,將要證的結(jié)論轉(zhuǎn)化為關于新變元為變量的函數(shù)問題[1].

分析x1,x2是F(x)的導函數(shù)F′(x)=ex-ax+a的兩個零點,即

ex1-ax1+a=0,

①

ex2-ax2+a=0.

②

因為從①式和②式中無法求出x1=f1(a),x2=f2(a),所以要從3x1-x2≤2直接求出a的取值范圍有一定的難度.

由于3x1-x2≤2不含a,因此,從①式和②式中先消去a,得

③

e(t-1)(x1-1)=t.

利用導數(shù)知識不難得出

評注本題抓住了關于零點等式的特征,通過引進參數(shù),整體代換,不僅把x1用t進行表達,并且從條件3x1-x2≤2中得出t≥3,將條件和結(jié)論發(fā)揮到淋漓盡致.在適當?shù)臅r機,適合的情境中,通過整體換元,以新變元為變量重建新的函數(shù),為問題解決起到化難為易,柳暗花明又一村的作用.

3 放縮變形化歸為熟悉的函數(shù)

因函數(shù)式結(jié)構(gòu)較繁,或結(jié)論比較復雜,等式運算時化簡困難,條件與結(jié)論之間關系又找不到連接點,零點問題很難轉(zhuǎn)化為函數(shù)值進行處理.因此,需要對等式進行適當?shù)姆趴s變形,或者根據(jù)零點的變化范圍對零點進行適切放縮變形,為優(yōu)化函數(shù)創(chuàng)設好的環(huán)境[2].

x2lnx=a.

如何得出x2-x1<(e+1)a+1?先將結(jié)論變形為x2-x1-ea.

評注通過放縮變形,將原來的函數(shù)轉(zhuǎn)化為兩個一次函數(shù),起到化生為熟、化曲為直的功效.放縮處理關鍵做好以下三點:放縮點位的確定,放縮尺度的把控,放縮時機的選擇[3].

4 分離變形重建單變量的函數(shù)

例4(2021年浙江高考第22題)設a,b為實數(shù),且a>1,函數(shù)f(x)=ax-bx+e2(x∈R).

(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;

(2)若對任意b>2e2,函數(shù)f(x)有兩個不同零點,求a的取值范圍;

分析若直接研究函數(shù)f(x),利用導數(shù)知識可求f(x)的極小值點為lnb.設x1lnb或x2>4,結(jié)論的證明還是比較困難.

若使用分離法,由ex-bx+e2=0,得

易求g1(x)的極小值點為2,極小值為e2,并在(0,2)上單調(diào)遞減,在(2,+∞)上單調(diào)遞增.

這樣不僅得出x1<2,x2>2,而且根據(jù)條件b>e4,還可得到0lnb.

5 隨機應變靈活選擇合適的函數(shù)

分析由blna-alnb=a-b,得

設x2>x1,則0

即得x2,2-x1∈(1,e) ,e-x1∈(e-1,e).

方法1同質(zhì)變形, 因為f(x)在(0,1]上單調(diào)遞增,在[1,+∞)上是單調(diào)遞減,所以要證x1+x2>2,只需證g1(x)=f(x)-f(2-x)<0在(0,1]上恒成立.

利用導數(shù)知識易證g1(x)在(0,1]上單調(diào)遞增,且g1(1)=0. 要證x1+x20在(0,1]上恒成立.

利用導數(shù)知識知g2(x)在(0,x0)上單調(diào)遞增,在[x0, 1]上單調(diào)遞減.

又g2(1)=1-(e-1)[1-ln(e-1)]

所以g2(x)>0在(0,1]上恒成立.

所以g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減.

方法3放縮變形,因為0

所以x1(1-lnx1)=x2(1-lnx2)>x1.

則x1+x2<2x2-x2lnx2.

又因為10.

評注在證明x1+x2>2的過程中,方法1抓住了函數(shù)極大值點1與結(jié)論中“2”的特殊數(shù)量關系,推理過程較為簡潔.使用方法2證明x1+x22,推理過程比較繁瑣.方法3充分利用了條件“0

6 結(jié)束語

學生在平時解題時,要重視題型的總結(jié)歸類,一題多解,一法多用,才能做到觸類旁通.