“一題多變”突破解三角形的解題障礙

陳鵬林

(福建省永春第一中學(xué),福建 泉州 362601)

“解三角形”是高中數(shù)學(xué)人教A版(新課標(biāo))必修第二冊第六章第四節(jié)的知識,具有較強(qiáng)的應(yīng)用性,也是平面向量和三角函數(shù)在求解三角形問題中的綜合應(yīng)用,其本身不僅僅與日常生產(chǎn)生活問題有著緊密的聯(lián)系,同時,也是高考一個重要且必考的考點.在近幾年的高考中,經(jīng)?？疾榈浇馊切蔚姆秶鷨栴},但難度適中,屬中檔題型,學(xué)生是可以在這道題上爭取拿高分的.因此,在選擇訓(xùn)練題上應(yīng)注重如下這三點:第一,在基礎(chǔ)題型上,要強(qiáng)化基礎(chǔ),抓綱務(wù)本,落實通法;第二,在難點題型上,要立足教材,突出方法,分級達(dá)標(biāo);第三,在易錯題型上,要變式呈現(xiàn),舉一反三,強(qiáng)化提升.

1 考題再現(xiàn),發(fā)現(xiàn)障礙

(1)求cosB;

(2)若a+c=6,△ABC的面積為2,求b．

命題意圖本題考查了三角形的內(nèi)角和定理、誘導(dǎo)公式、二倍角公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系(平方關(guān)系)、余弦定理以及三角形的面積公式等基礎(chǔ)知識,意在考查學(xué)生的運算求解能力及方程思想,屬于中檔題[1].

所以sinB=4(1-cosB).

因為sin2B+cos2B=1,

所以16(1-cosB)2+cos2B=1.

所以(17cosB-15)(cosB-1)=0.

利用余弦定理得

=(a+c)2-2ac-15=4.

所以b=2.

解決該題時,雖然學(xué)生已經(jīng)掌握了相關(guān)的一些知識,但是對于如何準(zhǔn)確使用正、余弦定理來求解三角形還存在障礙,許多學(xué)生對于求解三角形中的邊角關(guān)系和周長面積以及最值(范圍)問題產(chǎn)生畏懼心理.下面,通過該題的多道變式題,可以高效地幫助學(xué)生突破這一障礙.

2 變式延伸,揭示規(guī)律

(1)求cosB;

(2)若a+c=6,△ABC的面積為2,求△ABC的周長．

分析該題是將第(2)小題改為求周長問題．本題只要在第(2)小題求出b=2后,再利用周長公式l=a+b+c即可求出周長為8．

(1)求cosB;

(2)若a+c=6,△ABC的面積為2,求b．

(1)求cosB;

(2)若a+c=6,求△ABC的面積.

分析該題是把第(2)小題的條件和結(jié)論對換．

(2)利用余弦定理,得

(1)求cosB;

(2)若b=2,求△ABC的面積的最大值．

分析該題是在第(2)小題中刪除了一個已知條件:“a+c=6”,使所研究的三角形不確定,從而可求面積的最值問題．

故△ABC的面積的最大值為4.

(1)求cosB;

(2)若b=2,求△ABC的周長l的取值范圍．

分析該題與變式4一樣,也是在第(2)小題中刪除了一個已知條件:“a+c=6”,使所研究的三角形不確定,從而可求周長的取值范圍．

(1)求cosB;

(2)若b=2,求△ABC的周長l的取值范圍．

分析該題是在變式5的基礎(chǔ)上,增加了一個條件:銳角三角形.這樣,角A的范圍發(fā)生了改變,從而三角形的周長范圍也跟著改變了.

幾個變式題的設(shè)計都是稍微改變了條件,并難度逐步遞進(jìn),激發(fā)了對知識的渴望,因此我們可以更好地總結(jié)解決此類問題的方法,并了解如何正確選擇正弦和余弦定理來解決三角形中的周長、面積和最大值問題.達(dá)到突出重點和解決難點的目的.

對于變式4和變式5,可以采用均值不等式,但變式5只能夠確定“a+c”右側(cè)的范圍,對于另外一側(cè)的范圍,多數(shù)學(xué)生忽略了“兩邊之和大于第三邊”這一隱藏條件,從而漏解.通過變式6進(jìn)一步深入探討和研究,發(fā)現(xiàn)用正弦定理就可以解決這一問題.我們還可創(chuàng)設(shè)一個新的問題: “求“a-c”的范圍”讓學(xué)生思考.由此可見,解決三角形中的(范圍)問題的通法是正弦定理.當(dāng)然,應(yīng)該還會有一些學(xué)生由于沒有觀察到角的范圍,導(dǎo)致解錯.

3 結(jié)束語

解三角形是高中數(shù)學(xué)中一個非常重要的知識點和考點,需要在掌握基礎(chǔ)題型的前提下,逐步拓展到難點題型和易錯題型.通過針對性的訓(xùn)練和提升自己的解題能力,就可以在高考中取得優(yōu)異的成績.因此,在總復(fù)習(xí)中,建議學(xué)生應(yīng)該對解三角形問題進(jìn)行題型選擇并總結(jié)歸納,具體解題過程中需要根據(jù)題目類型和已知條件靈活應(yīng)用和調(diào)整解題步驟與方法,同時也可以參考高考數(shù)學(xué)熱門考點清單等資料,來更好地掌握相關(guān)題型的學(xué)習(xí)方法和解題技巧.總之,要在高考總復(fù)習(xí)中提高解決問題的能力,需要注重解題思路的分析和解題技巧的掌握.本文從一道解三角形綜合問題入手,通過一題多變的形式,達(dá)到擴(kuò)展發(fā)散思維,通過問題的辨析與探究,真正體會選擇正弦定理、余弦定理在求解三角形的最值(范圍)中的運用.同時,避免深陷“會而不對、對而不全以及全而不準(zhǔn)”的尷尬境地,真正實現(xiàn)由一題多變突破解三角形的解題障礙的最終目標(biāo).