用伸縮變換突破高考難題

李昌成

(新疆烏魯木齊市第八中學(xué),新疆 烏魯木齊 830002)

圓錐曲線是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一,所有學(xué)生在這一內(nèi)容上都投入了很大的精力.每年高考的圓錐曲線解答題運(yùn)算量都很大,考生普遍得分率很低.對(duì)這一現(xiàn)象,我們都在思考是否有解決的辦法.我們可否將教材上的圓、橢圓、坐標(biāo)變換這三個(gè)內(nèi)容整合在一起,以坐標(biāo)變換為紐帶將圓的特有性質(zhì)應(yīng)用于有關(guān)橢圓的考題中?坐標(biāo)變換(這里主要研究伸縮變換)是仿射幾何的范疇,為了解題需要,高中數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)達(dá)到什么程度?或者說(shuō),應(yīng)補(bǔ)充哪些理論知識(shí)?

1 理論準(zhǔn)備

我們通過(guò)教學(xué)實(shí)踐研究發(fā)現(xiàn),在教材現(xiàn)有知識(shí)的基礎(chǔ)上稍微拓展一下理論就可以應(yīng)用伸縮變換解題,尤其是突破一些高考的難題,大有裨益.

引理1 伸縮變換前后,共線點(diǎn)依然共線.

引理2 伸縮變換前后,平行線依然平行,相交線依然相交,直線和曲線的位置關(guān)系不變.

引理3 伸縮變換前后,共線(平行)的線段長(zhǎng)度比不變.

引理5伸縮變換前后,封閉圖形的面積滿(mǎn)足S=abS′.

2 應(yīng)用伸縮變換解題

題型1 證明直線過(guò)定點(diǎn)(三點(diǎn)共線).

(1)求E的方程;

下面應(yīng)用伸縮變換解答(2).

圖1 例1解析示意圖

設(shè)M′N(xiāo)′與A′B′相交于點(diǎn)Q′,連接A′P′,A′N(xiāo)′,O′P′,O′B′.過(guò)點(diǎn)O′作O′D′⊥M′N(xiāo)′于點(diǎn)D′,連接A′D′,由兩點(diǎn)間距離公式易得

|A′B′|=|OA′|=|OB′|=1.

所以ΔO′A′B′是正三角形.

結(jié)合圖1,猜想N′,H′,A′共線,也就是N′H′過(guò)定點(diǎn)A′.下面證明猜想.

要證明N′,H′,A′共線,只需證明

①

而M′T′∥x軸,因此A′P′∥M′T′.

②

③

因?yàn)锳′P′是圓O′的切線,

④

⑤

因?yàn)锳′P′⊥O′A′,O′D′⊥M′N(xiāo)′,

所以O(shè)′,A′,P′,D′四點(diǎn)共圓.

于是∠O′D′A′=∠O′P′A′=60°.

而∠A′D′P′=90°-∠O′D′A′=30°,

∠Q′A′P′=90°-∠O′A′B′=30°,

所以∠A′D′P′=∠Q′A′P′.

因此ΔA′D′P′∽ΔQ′A′P′.

⑥

⑦

結(jié)合投影和垂徑定理,⑦成立.

所以猜想成立.

因此,直線H′N(xiāo)′過(guò)定點(diǎn)(0,-1).

由引理1得,直線HN過(guò)定點(diǎn)(0,-2).

評(píng)注用傳統(tǒng)方法解答此題運(yùn)算量非常大,有興趣的同仁可以試做一下,在高考有限的時(shí)間內(nèi)考生難以完成.伸縮變換解法幾乎沒(méi)有運(yùn)算,全程只有邏輯推理,思路清晰,解題耗時(shí)較少,正確率也高.

題型2 證明存在性問(wèn)題

圖2 例2解析示意圖

記直線l在伸縮變換前后的斜率分別為k,k′.則直線l′的點(diǎn)斜式方程為y′=k′(x′-1)+1.

由引理2知,四邊形O′A′P′B′是平行四邊形,進(jìn)而結(jié)合圓的性質(zhì)可判斷其為菱形.

所以△O′A′P′是邊長(zhǎng)為1的正三角形.

所以O(shè)′M′⊥A′B′.

將y′=k′(x′-1)+1變形為k′x′-y′-k′+1=0,

評(píng)注本例通過(guò)伸縮變換后得到的四邊形非常特殊,這為后續(xù)計(jì)算提供了方便.如果按照常規(guī)辦法求解,一定不可避開(kāi)大量的字母運(yùn)算,甚至解題思路受阻,不知如何應(yīng)用平行四邊形這個(gè)條件.

題型3 證明垂直.

(1)求C的方程,并說(shuō)明C是什么曲線;

(2)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交C于P,Q兩點(diǎn),點(diǎn)P在第一象限,PE⊥x軸,垂足為點(diǎn)E,連接QE并延長(zhǎng)交C于點(diǎn)G.證明△PQG是直角三角形[2].

下面應(yīng)用伸縮變換解答(2).

圖3 例3解析示意圖

設(shè)P′(s,t),由引理1結(jié)合單位圓性質(zhì)知Q′(-s,-t),E′(s,0).

在圓O′中,PQ是直徑,所以P′G′⊥Q′G′.

于是PQ⊥PG.

所以ΔPQG是直角三角形.

評(píng)注本題通過(guò)伸縮變換后,借助直徑所對(duì)圓周角為直角巧妙地證明了問(wèn)題,省去了判斷直角頂點(diǎn)的麻煩,可謂一箭雙雕.事實(shí)上,用傳統(tǒng)辦法證明不僅運(yùn)算量大,而且很難一次性找準(zhǔn)直角頂點(diǎn).

題型4 求(最)值.

(1)求M的方程;

(2)C,D為M上的兩點(diǎn),若四邊形ACBD的對(duì)角線CD⊥AB,求四邊形ACBD面積的最大值.

下面應(yīng)用伸縮變換解答(2).

圖4 例4解析示意圖

根據(jù)已知,可設(shè)直線CD的方程為x-y+t=0,

所以直線A′B′的傾斜角為π-α.

設(shè)A′B′,C′D′與x軸分別交于P′,Q′,A′B′與C′D′交于點(diǎn)T′,那么∠T′Q′P′=∠T′P′Q′=α.

在圓O′中,由垂徑定理易得

評(píng)注通過(guò)伸縮變換得到的四邊形內(nèi)包含的等腰三角形為構(gòu)造面積函數(shù)作了鋪墊,圓的特性使面積函數(shù)關(guān)系簡(jiǎn)單,這樣處理最值問(wèn)題非常方便.在推理中夾雜著少量運(yùn)算,這種解題充滿(mǎn)著思辨性.

3 結(jié)束語(yǔ)

利用伸縮變換,結(jié)合單位圓的特性解題非常方便.我們?cè)诮虒W(xué)中可以利用大單元教學(xué)理論對(duì)教材知識(shí)進(jìn)行合理整合,根據(jù)解題需要對(duì)相關(guān)知識(shí)進(jìn)行適當(dāng)拓展,這樣不僅可以?xún)?yōu)化學(xué)生的知識(shí)結(jié)構(gòu),還可以拓廣學(xué)生的解題思維,增加解題方法,提高解題準(zhǔn)確率.