探究解題策略 內化數學思想
——例談中考數學壓軸題的解題策略

王秋娟

(福建省三明市將樂縣水南中學,福建 三明 353300)

解題策略在中考數學中起著至關重要的作用,它不僅幫助學生有效解決具體的數學問題,更重要的是培養(yǎng)了學生的數學思維和邏輯推理能力[1-2].在全國各地中考數學試題中,最后一道題常常會是較難或綜合性較強的問題,這就是通常所說的“壓軸題”.這些題目不僅需要學生熟練掌握數學基本概念和基本技能,還需要學生靈活應用所學的知識,將數學思想內化為解題的基本策略,方能熟練應對中考數學壓軸題,從而更加深入地理解數學的本質,提高學生應用所學知識解決問題的能力,進而提高數學學習成效.

1 認真審題,加深理解

隨著新課程改革的不斷深入,中考數學試題的形式發(fā)生了較大變化,尤其是中考數學壓軸題的形式和內容都發(fā)生很大的變化.認真審題是理解問題本質的關鍵一步,審題的目的是全面理解題目中已知量與所求量之間的邏輯關系,確定下一步的解題思路,具體解題思路如圖1所示.在理清解題思路的基礎上,需結合問題特征選擇合適的數學方法和思維策略解決問題,提高解題效率和準確性[3].

圖1 解題思路模型圖

1.1 認真閱讀題目

認真反復閱讀題目,并注意題目中的每個細節(jié)、要求和關鍵點,這有助于學生整體理解數學問題,避免因遺漏信息而導致的錯誤解答.在閱讀過程中,要有意識地將“大”問題分解為“小”問題,這有助于幫助學生找到問題的關鍵點.

1.2 學會理解問題

在解決問題的過程中,要注意將數學問題分解為關鍵要素,包括已知條件、未知量和問題的核心要求.嘗試著從不同的角度和不同思維方式理解問題.也可以嘗試提出自己的問題,反問題目中的條件和要求,這有助于幫助學生深入思考問題,更全面地理解數學問題,并確定數學問題的解題方向.

1.3 弄清問題類型

在解決問題的過程中,要注意判斷問題是屬于哪一類數學問題,如代數、幾何、概率等,這樣可以為選擇合適的解題方法提供線索.同時,有些題目可能包含一些隱含的信息或假設,會提供一些模式或規(guī)律,通過觀察這些特征,可能可以推測出問題的解決思路,以擴展對問題的理解.

1.4 繪制圖表或示意圖

對于幾何問題或涉及復雜關系的數學問題,繪制圖表或示意圖可以幫助學生更好地理解題目本質,并找到解題的線索和關鍵點.

1.5 確定解題方法

在解決問題的過程中,根據題目的特點和要求,選擇合適的數學思想、公式或定理解決問題.這可能需要運用代數運算、幾何圖形的性質、概率與統(tǒng)計等數學基本技能.

2 探究解題策略,內化數學思想

中考數學壓軸題一般為代數與幾何的綜合題.在這類綜合題中,通常涉及較多的數學知識點,并且滲透多種數學思想方法.題目中往往涉及代數、幾何、概率、統(tǒng)計等多個數學領域的相關知識[4].將多個數學知識點結合起來,學生要靈活運用不同的數學思想方法解決問題,如分類討論、數形結合、推理推導等思想[5].這樣不僅能夠讓學生復習掌握各個領域的知識,還能夠鍛煉他們將知識點進行融會貫通的能力.因此,要掌握中考數學壓軸題的解題策略,這意味著學生需要在解題過程中綜合運用多個數學知識點和數學思想解決問題,需具備扎實的數學基礎知識和強大的理解能力.

2.1 試題呈現(xiàn)及分析

筆者以2023年福建省中考數學第25題為例,探究解決中考數學壓軸題的基本策略.通過問題的解決,說明靈活運用數學思想,可將復雜的問題簡單化,從而有效地解決中考數學壓軸題.

如圖2,在△ABC中,∠BAC= 90°,AB=AC,D是AB邊上不與A、B重合的一個定點.AO⊥BC于點O,交CD于點E.DF是由線段DC繞點D順時針旋轉90°得到的,FD,CA的延長線相交于點M.

圖2 壓軸題圖

(1)求證:△ADE∽△FMC;

(2)求∠ABF的度數;

(3)若N是AF的中點,如圖3,求證ND=NO.

圖3 問題(3)圖

分析本題主要考查三角形內角和定理、平行線的判定與性質、全等三角形的判定與性質、相似三角形的判定與性質、等腰三角形及直角三角形的判定與性質等基礎知識,考查推理能力、空間觀念、幾何直觀、運算能力、創(chuàng)新意識等,考查化歸與轉化思想、數形結合思想、函數與方程思想等.對于問題(1),學生需根據已知條件,善于用相似三角形判定定理去證明;對于問題(2),要求學生求∠ABF的度數,那么需要學生能夠找到相關聯(lián)的相似三角形,然后根據邊角關系,巧用轉換思想進行解答;對于問題(3),學生需構造輔助線,根據平行線的性質找到對應角的關系,然后運用全等三角形的判定、等腰三角形、直角三角形性質等知識解決問題.因此,解答本題需要有較強的綜合解題能力和靈活的數學思維.

2.2 善用相似三角形判定定理

對于問題(1),主要考查相似三角形的判定定理,即兩角分別相等的兩個三角形相似.

如圖2,因為DF是由線段DC繞點D順時針旋轉90°得到的,所以∠FDC=90°,FD=CD,∠DFC=45°.因為AB=AC,AO⊥BC,所以∠BAC=2∠BAO.因為∠BAC=90°,所以∠BAO=∠ABC=45°,所以∠BAO=∠DFC.因為∠EDA+∠ADM=90°,∠M+∠ADM=90°,所以∠EDA=∠M,所以△ADE∽△FMC.

2.3 巧用關系轉換思想

對于問題(2),題目主要考查相似三角形的性質,即相似三角形的對應角相等,對應邊成比例.解決此問題需巧用轉換思想,分別求出∠ABC和∠CBF的度數.具體求解過程如下:

圖4 問題(2)解答圖

2.4 妙用平面幾何思維

對于問題(3),一是考查全等三角形判定定理,即兩邊及其夾角對應相等的三角形是全等三角形,兩角及其夾邊對應相等的三角形全等;二是考查等腰三角形性質,即等腰三角形的頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高線互相重合;三是考查直角三角形性質,即直角三角形的兩個銳角互余,直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.具體證明過程如下:

圖5 問題(3)解答圖

3 結束語

在中考試題中,壓軸題承載著一定的選拔性功能,具有一定的難度,綜合性較強.為了幫助學生更好地解決中考數學壓軸題,在初中數學教學中,教師要引導學生掌握其解題策略.為此,學生需要先進行認真審題,深度理解題目中已知量與所求量之間的邏輯關系,只有這樣,才能在千變萬化的題目中靈活運用數學基礎知識和基本技能解決問題.數學思想方法在解決中考數學壓軸題時非常有效,在解決問題過程中,學生可結合已經學習過的數學概念、公式、定理等,靈活運用它們簡化問題,分析問題的解決思路.因此,掌握解題策略和內化數學思想對于解決中考數學壓軸題非常重要.通過合理應用這些策略,才能夠更系統(tǒng)、有條理地解決問題,充分發(fā)揮學生的數學思維能力和解題技巧.