巧用構(gòu)造法解答數(shù)學難題

馬沁芳

(福建省龍巖初級中學,福建 龍巖 364000)

構(gòu)造法指的是當采用常規(guī)方法、按照定向思維無法處理某些數(shù)學問題時,可基于已知條件與所求結(jié)論的特殊性,從新角度出發(fā),運用新觀點去觀察、分析與理解問題,把握已知條件和所求結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系,運用問題的數(shù)據(jù)、外形、坐標等特征,構(gòu)造新數(shù)學對象,由此達到解題的目的.在初中數(shù)學解題訓練中,針對一些難題,學生運用常規(guī)方法和定向思維很難解決,教師可指引學生巧用構(gòu)造法,結(jié)合題設(shè)條件和結(jié)論構(gòu)造新對象,最終解答數(shù)學難題[1].

1 巧妙構(gòu)造方程,解答數(shù)學難題

方程是學生從小學時期就開始學習的一類數(shù)學知識,步入初中階段以后,學生需學習更多有關(guān)方程的內(nèi)容.除一元一次方程以外,還涉及一元二次方程、方程組、分式方程等知識,屬于初中數(shù)學教學的一項重要內(nèi)容,在解題中有著廣泛應用.在初中數(shù)學解題訓練中,有的題目難度較大,教師可指引學生結(jié)合題干中提供的條件和數(shù)量關(guān)系構(gòu)造新方程,獲得全新的解題思路,讓學生結(jié)合方程知識轉(zhuǎn)化問題,難題就迎刃而解[2].

例1 已知x,y,z是三個互不相等的實數(shù),且x>y>z,滿足x+y+z=1,x2+y2+z2=1,那么x+y的范圍是什么?

分析題目中給出的方程關(guān)系較為特殊,是三元一次方程與三元二次方程形式,學生采用常規(guī)方法很難進行解題.此時,教師可指導學生運用構(gòu)造方程的方法,將已知條件與所求結(jié)論聯(lián)系到一起,利用方程知識求得結(jié)果.

例2 已知實數(shù)x,y,z滿足x+y=3,z2=xy+y-4,求x+3y+2z的值.

分析這是一道比較特殊的代數(shù)式求值類問題.教師可要求學生先對題目中的條件展開變形,把原式轉(zhuǎn)變成兩個式子的求解問題,再觀察兩個已知式子的形式,通過變形以后構(gòu)造新方程,然后讓學生結(jié)合方程的相關(guān)知識求解.

解析根據(jù)題意可得(x+1)+y=4,(x+1)y=z2+4,通過觀察易發(fā)現(xiàn),x+1,y是一元二次方程t2-4t+z2+4=0的兩個實數(shù)根,然后結(jié)合一元二次方程根的判別式確定方程根的情況即可解決問題,求解過程從略.

2 巧構(gòu)造不等式,解答數(shù)學難題

不等式是用“>,<,≥,≤,≠”等符號表示大小關(guān)系的式子,學生在小學階段也有所接觸.在初中數(shù)學學習中,學生學習的不等式知識難度更大,深度也有所提升,涉及一元一次不等式、一元一次不等式組等內(nèi)容,不少問題中都會用到不等式相關(guān)知識.在初中數(shù)學解題教學中,當遇到部分難題時,教師需提示學生注意題目中“最大”“最小”“不低于”“不高于”等關(guān)鍵詞,引導其嘗試構(gòu)造不等式模型,然后利用不等式知識解答難題[3].

例3 已知某工廠存儲有甲、乙兩種原料,質(zhì)量分別為360 kg和290 kg,現(xiàn)在準備利用這兩種原料生產(chǎn)A、B兩種商品共計50件,其中生產(chǎn)一件A商品需要甲、乙兩種原料分別為9 kg、3 kg,利潤是700元,生產(chǎn)一件B商品需要甲、乙兩種原料分別為4 kg、10 kg,利潤是1 200元.

(1)根據(jù)條件和要求生產(chǎn)A、B兩種商品一共有多少種方案?

(2)設(shè)生產(chǎn)A、B兩種商品獲得的總利潤是y(元),生產(chǎn)A商品x件,請寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式,且利用函數(shù)的性質(zhì)說明哪種生產(chǎn)方案能夠獲得最大利潤?最大利潤為多少?

分析先把題目中的文字語言轉(zhuǎn)變成規(guī)范的數(shù)學語言,根據(jù)已知條件利用構(gòu)造法建立一個不等式組,再結(jié)合不等式知識處理函數(shù)問題,然后根據(jù)實際生產(chǎn)情況確定方案.

(2)根據(jù)題意可得y=700x+1 200(50-x)=-500x+60 000,根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)可知,該函數(shù)中y隨x的增大而減小,所以當x=30時有最大利潤,即生產(chǎn)A商品30件、B商品20件獲得的利潤最大,此時y=-500×30+60 000=45 000,最大利潤為45 000元.y與x之間的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=-500x+60 000,由此可知,(1)中的方案1獲得的利潤最大,最大利潤是45 000元.

3 巧妙構(gòu)造函數(shù),解答數(shù)學難題

函數(shù)在初高中數(shù)學課程體系中占據(jù)著重要地位,學好函數(shù)知識能夠為數(shù)學學習帶來諸多便利.原因在于不少題目都能夠借助構(gòu)造函數(shù)的方法解決,即使無法直接求解,也能夠打開解題思路[4].

圖1 籃球的運行路線圖

(1)籃球在空中運行的最大高度是多少?

(2)假如該籃球運動員在跳投時,籃球出手距離地面的高度是2.25 m,那么他距離籃筐中心的水平距離是多少?

分析對于問題(1),應該把整個函數(shù)圖象構(gòu)造出來,求出籃球在空中運行過程中距地面的最高點;對于問題(2),要構(gòu)造平面直角坐標系,結(jié)合二次函數(shù)知識與圖象的性質(zhì)等求解問題,從而求出運動員與籃筐中心之間的水平距離.

(2)建立如圖1所示的平面直角坐標系,審題后可以發(fā)現(xiàn)求出該運動員位置的橫坐標就是問題的答案,籃筐處的高度是y=3.05 m,由此可知x=1.5 m;再根據(jù)該籃球運動員的出手高度y=2.25 m,此時x=-2.5(x≤0),則運動員距籃筐中心的水平距離是4 m.

分析因為本題中的分式恒有意義,這說明分母x2-6x+m的值永遠不會是0.可據(jù)此構(gòu)建一個二次函數(shù)y=x2-6x+m,把分式問題轉(zhuǎn)變?yōu)橐粋€二次函數(shù)取值問題進行研究,結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)來解題,找出y≠0的情況,以此確定m的取值范圍.

解令y=x2-6x+m,根據(jù)題意可知,y的值永遠都不等于0,由于該拋物線的開口方向是向上的,所以該二次函數(shù)的圖像不會與x軸相交,則Δ=36-4m<0,解之得m<9,即為m的取值范圍是m<9.

4 巧妙構(gòu)造圖形,解答數(shù)學難題

初中數(shù)學課程主要分為代數(shù)與幾何兩大方面的內(nèi)容.用構(gòu)造法解答數(shù)學難題時,不僅可以根據(jù)題意構(gòu)造代數(shù)方面的式子,還能夠構(gòu)造出相應的幾何圖形,利用數(shù)形結(jié)合思想解題.在初中解題教學中,將“數(shù)”和“形”結(jié)合起來,不少難題就易于解答.

例6 如圖2所示,在四邊形ABCD中,對角線AC,BD相交于點O,而且AC與BD的長度相等,點E,F分別為對角線AB與CD的中點,EF分別同BD,AC相交于點G,H.求證:OG=OH.

圖2 例6題圖

分析在幾何圖形中出現(xiàn)多個中點,大多數(shù)情況下都要利用中位線的性質(zhì)進行解題,所以本題可以先取BC的中點M,連接ME,MF,因為E,F,M分別是AB,CD,BC的中點,由此可構(gòu)造中位線EM,MF,然后結(jié)合三角形中位線定理解題.先證明△EMF是等腰三角形,根據(jù)“等邊對等角”,即可證明∠MEF=∠MFE,利用平行線的性質(zhì)證明∠OGH=∠OHG,最后根據(jù)“等角對等邊”即可解決問題.

解如圖2所示,取BC的中點M,連接ME,MF.因為M,F分別是BC,CD的中點,則MF∥BD,MF=BD.同理可得ME∥AC,ME=AC.因為AC=BD,所以ME=MF,∠MEF=∠MFE.又因為MF∥BD,所以∠MFE=∠OGH.同理可得∠MEF=∠OHG,所以∠OGH=∠OHG,所以O(shè)G=OH.

5 結(jié)束語

在初中數(shù)學解題教學中,有的題目難度比較大,采用常規(guī)方法和思路很難解答.面對這些難題,教師可引導學生巧妙運用構(gòu)造法,重新處理題目中給出的條件和結(jié)論.把問題與熟悉的理論知識聯(lián)系起來,通過構(gòu)造方程、不等式、函數(shù)、幾何圖形等數(shù)學模型把問題實質(zhì)清楚地反映出來,架構(gòu)起結(jié)論和條件之間的橋梁,讓學生從中尋求解題問題的切入點,確定合適的解題方案,繼而準確解答數(shù)學難題.