等腰三角形的存在性問題探究
——以2017年貴州省安順市中考數(shù)學第26題為例

郎春林

(北京新東方揚州外國語學校,江蘇 揚州 225006)

存在性問題是指根據(jù)數(shù)學問題所給定的已知條件,探究是否存在符合要求的結(jié)論.存在性問題是探索型數(shù)學問題中一種非常典型的問題,其探索的方向是明確的,探索的結(jié)論有兩種,即存在或不存在．與等腰三角形有關(guān)的存在性問題倍受命題者的青睞,等腰三角形與拋物線相結(jié)合的存在性問題在中考試題中經(jīng)常出現(xiàn),其具有一定的難度,“兩圓一線定位置,邊角相等分類列”是解決這類問題的基本思路與方法.本文以2017年貴州省安順市中考的拋物線試題為例,呈現(xiàn)這類問題的求解思路,以期提高學生的解題能力.

1 問題呈現(xiàn)

(2017年貴州省安順市中考數(shù)學第26題)如圖1,直線y=-x+3與x軸、y軸分別交于B,C兩點,經(jīng)過B,C兩點的拋物線y=x2+bx+c與x軸的另一個交點為A,頂點為P.

圖1 中考題圖

(1)求該拋物線的解析式.(2)在該拋物線的對稱軸上是否存在點M,使以C,P,M為頂點的三角形為等腰三角形?若存在,請直接寫出所有符合條件的點M的坐標;若不存在,請說明理由.(3)當0

2 探究實驗

對于問題(2),如圖2所示,拖動點M,觀察△PCM三邊長度的變化,是否存在等腰三角形的情形? 有幾種情況?

圖2 問題(2)實驗探究圖 圖3 問題(3)實驗探究圖

對于問題(3),如圖3所示,拖動點E,觀察△CBE的面積S和點E的橫坐標xE變化關(guān)系的圖象,猜測S是xE的什么函數(shù).

3 思路分析

對于問題(1),求出直線y=-x+3與x軸、y軸交點B,C的坐標,用待定系數(shù)法確定二次函數(shù)的解析式.

對于問題(2),可用兩種不同方法求解.

方法1(幾何法):由題意知,PC長度確定,PM,CM長度是變化的,并未說明PC是腰或底,因此需分MC=MP,CM=CP,PM=PC三種情況討論.動點M在對稱軸直線x=2上. 用“兩圓一線”法確定點M的位置,即作出線段PC的垂直平分線,或分別以點C,P為圓心,PC長為半徑作圓,與拋物線對稱軸交于點M1,M2,M3,M4,如圖4所示,所以滿足條件的點M只有4個,再結(jié)合條件求出點M的坐標.

圖4 等腰三角形的三種情形

方法2(代數(shù)法):設(shè)M(2,m),根據(jù)勾股定理,可利用含m的代數(shù)式表示出三角形三邊的長,需分MC=MP,CM=CP,PM=PC三種情況列方程,可求得M點的坐標.

對于問題(3),過點E作x軸的垂線FE,交直線BC于點F,設(shè)點F(x,-x+3),E(x,x2-4x+3),用“寬高公式”表示出△CBE的面積,然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出面積的最大值.

4 解法探究

根據(jù)以上思路,可給出問題的具體求解過程.

(1)解因為直線y=-x+3與x軸、y軸分別交于點B,C,易知B(3,0),C(0,3).從而易求得該拋物線的解析式為y=x2-4x+3.

(2)解法1 (幾何法)存在點M.因為y=x2-4x+3=(x-2)2-1,所以該拋物線對稱軸為直線x=2,頂點為P(2,-1).

圖5 當MC=MP時 圖6 當PM=PC時

③如圖7所示,當MC=PC時,過點C作CF⊥PM4于點F,過點P作PE⊥y軸于點E,所以四邊形CEPF是矩形,則PF=CE=4,易求得M4(2,7).

圖7 當MC=PC時 圖8 當CM1=PM1時

解法2 (幾何法)存在點M.

①如圖8所示,作PC的垂直平分線交PC于點D,交拋物線的對稱軸于點M1,則CM1=PM1,所以△PCM1是等腰三角形,所以點M1為所求.過點D作y軸的平行線,過點C作x軸的平行線,兩直線相交于點E,過點M1作y軸的垂線交ED于點F.

②如圖9所示,以P為圓心,PC長為半徑作⊙P,交拋物線的對稱軸于點M2,M3,連接CM2,CM3,則PC=PM2=PM3,所以△PCM2,△PCM3都是等腰三角形.

圖9 當PC=PM2=PM3時 圖10 當PC=CM4時

③如圖10所示,以C為圓心,PC長為半徑作⊙C,交拋物線的對稱軸于點M4,連接CM4,則PC=CM4.延長PC交⊙C于點D,連接DM4,則△PCM4是等腰三角形.易知M4(2,7).

解法 3(代數(shù)法): 因為y=x2-4x+3=(x-2)2-1,所以拋物線對稱軸為直線x=2,頂點為P(2,-1).設(shè)M(2,m),又C(0,3),所以MC2=22+(m-3)2=m2-6m+13,MP2=(m+1)2,PC2=22+(-1-3)2=20,因為△CPM為等腰三角形,因此分三種情況討論:

①當MC=MP時,則有m2-6m+13=(m+1)2,解得m=1.5,此時M(2,1.5);

②當MC=PC時,有m2-6m+13=20,解得m=-1(與P點重合,舍去) 或m=7,此時M(2,7);

圖11 問題(3)附圖

5 結(jié)束語

對于等腰三角形與拋物線相結(jié)合的存在性問題,可以把解題方法總結(jié)為“兩圓一線定位置,邊角相等分類列”.這里的“兩圓一線”法是已知等腰三角形一邊長度確定(這邊的端點至少有一個是定點),可以根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)作兩個輔助圓,或已知邊上的垂直平分線確定點的大致位置或解的個數(shù),借助代數(shù)法求解,或利用定長線段所在直徑所對的圓周角是直角構(gòu)造“一線三等角”相似模型的求解方法.

通過探究這類問題的求解方法,能有效提高學生分析問題和解決問題的能力.