水平劃分視域下初中生幾何直觀能力的培養(yǎng)策略

王煥然

(福建省廈門市檳榔中學(xué),福建 廈門 361010)

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中,學(xué)生能力的培養(yǎng)離不開幾何直觀.幾何直觀能力不僅在“圖形與幾何”領(lǐng)域的學(xué)習(xí)中發(fā)揮著重要作用,而且也可以在“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域借助圖象的直觀來研究函數(shù)的有關(guān)性質(zhì);在“統(tǒng)計(jì)與概率”領(lǐng)域可以借助統(tǒng)計(jì)圖的可視化來解決實(shí)際問題;在“綜合與實(shí)踐”領(lǐng)域也可以通過數(shù)學(xué)化抽象出幾何模型解決地理、經(jīng)濟(jì)中的跨學(xué)科問題.

1 幾何直觀的內(nèi)涵及其形成的載體

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)》新增了“增加代數(shù)推理,加強(qiáng)幾何直觀”的要求[1],由此可以看出幾何直觀的重要性.幾何直觀是由“幾何”和“直觀”兩部分組成,而“幾何”最早在古希臘時(shí)期實(shí)際所指的就是“土地”與“測量”[2],顯然,幾何直觀與實(shí)際問題是息息相關(guān)、不可分割的.由此可見,培養(yǎng)學(xué)生幾何直觀能力,對于學(xué)生解決一些實(shí)際問題是有幫助的.反之,學(xué)生在實(shí)際問題的解決中也會(huì)進(jìn)一步加深對幾何直觀的理解.

2 基于水平劃分幾何直觀培養(yǎng)策略

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)》對每個(gè)核心素養(yǎng)的表現(xiàn)作了精確的界定.分別對其從“內(nèi)涵”和“表現(xiàn)”兩個(gè)方面作出描述.表現(xiàn)又分為關(guān)鍵能力、必備品格、價(jià)值觀念三個(gè)方面.學(xué)者喻平認(rèn)為,對于關(guān)鍵能力表述可以把數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)劃分為三級(jí)水平:知識(shí)理解(水平1)、知識(shí)遷移(水平2)、知識(shí)創(chuàng)新(水平3),得到了下表具體描述[3].

表1 何直觀能力的水平描述

基于以上劃分,結(jié)合教學(xué)實(shí)踐,可以提煉以下教學(xué)策略.

2.1 “看圖”索驥,明確組成要素

例1如圖1,四邊形OACB的四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(0,0),(0,6),(4,6),(4,0),對角線OC與AB交點(diǎn)D,則D的坐標(biāo)為____.

圖1 例1題圖

本題考查目標(biāo)屬于知識(shí)理解(水平1)層面,主要考查學(xué)生能否抓住關(guān)鍵條件解決問題,即在解決問題時(shí)要從四邊形OACB的邊入手.通過調(diào)查發(fā)現(xiàn),學(xué)生缺乏這種問題解決意識(shí),對坐標(biāo)的意義理解不足,無法把坐標(biāo)之間的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為點(diǎn)之間位置關(guān)系.兩者之間的轉(zhuǎn)化,可以幫助學(xué)生在空間中更直觀地理解和刻畫點(diǎn)之間的相對位置.

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中,教師要注重培養(yǎng)學(xué)生系統(tǒng)性思維的習(xí)慣,引導(dǎo)學(xué)生能夠?qū)栴}和信息放入一個(gè)整體框架中進(jìn)行思考,關(guān)注問題之間的相互關(guān)系和影響,能夠從整體和細(xì)節(jié)兩個(gè)層面來分析問題.對于圖形的初步認(rèn)識(shí),就是要先看到圖形的基本組成元素,即要判斷給定的圖形是平面圖形還是立體圖形,是直線形還是曲線形.若為直線形,有幾條邊,有幾個(gè)角.在教學(xué)中,教師要引導(dǎo)學(xué)生從整體和局部等不同角度去觀察圖形的特征、性質(zhì)以及組成要素等,明確元素之間的位置關(guān)系、大小關(guān)系,用發(fā)現(xiàn)的眼光看圖形,加強(qiáng)學(xué)生的觀察能力和判斷能力的鍛煉.最后,根據(jù)圖形特征對圖形進(jìn)行系統(tǒng)分類,有助于學(xué)生對圖形的認(rèn)識(shí)和理解.

2.2 “畫圖”分析,建立數(shù)形關(guān)系

例2已知點(diǎn)P(b,12-b)在第一象限內(nèi),且到x軸與y軸的距離相等,點(diǎn)B在y軸正半軸上,連接BP,過點(diǎn)P作BP⊥AP交x軸正半軸于點(diǎn)A,則OA+OB=．

本題考查目標(biāo)為知識(shí)遷移(水平2)層面,解決本題時(shí)需根據(jù)已知條件畫出符合要求的圖形,由“數(shù)”到“形”,根據(jù)已知條件求出點(diǎn)P的坐標(biāo),然后利用全等三角形性質(zhì)進(jìn)行線段的轉(zhuǎn)化與計(jì)算,最終求出OA+OB的長度.

畫圖是幾何直觀形成過程中必不可少的步驟之一. 在解決數(shù)學(xué)問題時(shí),通過畫圖,可以有效提取題干中的數(shù)學(xué)信息,進(jìn)而將文字信息加工成圖形信息,然后借助圖形處理、解決問題,這是培養(yǎng)學(xué)生幾何直觀的重要途徑.正確畫圖是學(xué)生薄弱技能,在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中,教師要引導(dǎo)學(xué)生仔細(xì)閱讀題目,確保對已知條件中的相關(guān)信息有清晰的認(rèn)識(shí),然后根據(jù)已知條件繪制基本圖形,添加細(xì)節(jié),要引導(dǎo)學(xué)生細(xì)致、準(zhǔn)確地繪制每個(gè)要素.最后進(jìn)行校驗(yàn)和調(diào)整,把錯(cuò)誤或不符合要求的地方,及時(shí)進(jìn)行調(diào)整和修正,以確保繪制的圖形與描述相符.

圖2 例3題圖

(1)求⊙O的半徑;

(2)當(dāng)n2=m2-2m+2時(shí),在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的過程中,點(diǎn)Q的位置會(huì)隨之變化,記Q1,Q2是其中任意兩個(gè)位置,探究直線Q1Q2與⊙O的位置關(guān)系．

本題主要考查知識(shí)遷移(水平2)層面,在問題(2)中探究點(diǎn)Q位置變化規(guī)律的思維過程有如下環(huán)節(jié):①發(fā)現(xiàn)“垂徑結(jié)構(gòu)”,從而得到等腰直角三角形△OEC的邊、角信息;②基于對等式n2=m2-2m+2 結(jié)構(gòu)特征的觀察,變形為n2=(m-1)2+1,再結(jié)合圖形中的線段數(shù)量,聯(lián)想勾股定理,找到Rt△OEP,從而發(fā)現(xiàn)OP=n=PQ;③發(fā)現(xiàn)“一線三直角模型”,并得到模型的性質(zhì);④觀察與點(diǎn)Q有聯(lián)系的線段長度或角度,發(fā)現(xiàn)QF=CF,從而發(fā)現(xiàn)點(diǎn)Q在定直線上.上述環(huán)節(jié)中,②④是探究過程的關(guān)鍵點(diǎn),也是難點(diǎn).同時(shí)也充分反映了“數(shù)”與“形”之間的聯(lián)系:觀察代數(shù)結(jié)構(gòu)特征,解釋幾何關(guān)系.

2.3 “用圖”解題,運(yùn)用圖形分離

例4 探究活動(dòng)

(1)知識(shí)回顧.如圖3,王芳把一塊三角形的玻璃打成三塊碎片,現(xiàn)要配出與原來一樣的玻璃,則應(yīng)攜帶的玻璃碎片編號(hào)是．

圖3 三角形碎片示意圖 圖4 四邊形碎片示意圖 圖5 全等四邊形示意圖

(2)直觀感知.如圖4,李明把一塊四邊形的玻璃打成四塊碎片,現(xiàn)要配出與原來一樣的玻璃,則應(yīng)攜帶的玻璃碎片編號(hào)是．

(3)問題探究.在平面幾何里,能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫全等三角形．類似的,我們把能夠完全重合的兩個(gè)四邊形叫全等四邊形．也就是說四條邊和四個(gè)角都分別相等的兩個(gè)四邊形全等．

已知:如圖5,在四邊形ABCD與四邊形A′B′C′D′中,AB=A′B′,BC=B′C′,CD=C′D′,DA=D′A′,∠ABC=∠A′B′C′．求證:四邊形ABCD與四邊形A′B′C′D′是全等四邊形．

本題考查目標(biāo)屬于知識(shí)創(chuàng)新(水平3)層面.首先,需深入了解實(shí)際情境,對問題的需求和限制要有清晰的認(rèn)識(shí);其次,分析圖形,建立數(shù)學(xué)模型,對于四邊形全等的問題,需利用類比思想方法將陌生問題轉(zhuǎn)化為熟悉的數(shù)學(xué)問題;最后,驗(yàn)證和解釋結(jié)果,建立實(shí)際情境和數(shù)學(xué)模型之間的關(guān)系.

在圖形之間相互轉(zhuǎn)化的過程中,要通過分析已知條件,重新繪制幾何圖形,感受圖形由單一的幾何圖形到多個(gè)圖形形成的組合圖形的生成過程,從而發(fā)現(xiàn)復(fù)雜圖形中的基本圖形,進(jìn)而找到組合圖形中單一圖形的性質(zhì)與規(guī)律.

3 結(jié)束語

幾何直觀能力的培養(yǎng)對于學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展、問題解決和創(chuàng)新能力的培養(yǎng)都具有重要的意義.水平劃分為教師提供了一個(gè)新的模式,對學(xué)生的學(xué)業(yè)成就進(jìn)行具體刻畫,也為單元作業(yè)設(shè)計(jì)、考試命題提供了可行性的方法.但是,在教學(xué)中要與具體教學(xué)內(nèi)容建立聯(lián)系,引導(dǎo)學(xué)生通過“看圖”索驥、“畫圖”分析、“用圖”解題等具有可操作性過程體會(huì)幾何直觀.