初中數(shù)學(xué)教科書中“幾何直觀”的設(shè)計(jì)類型、原則及應(yīng)用

丁鵬

【摘要】教科書是初中數(shù)學(xué)學(xué)科體系建設(shè)和實(shí)施的重要依據(jù)，肩負(fù)著教育、傳播、創(chuàng)新的重要責(zé)任.幾何直觀是學(xué)生學(xué)習(xí)知識、認(rèn)識世界不可缺少的方法，文章從“幾何直觀”的教學(xué)價值入手，分析教科書中“幾何直觀”的設(shè)計(jì)類型，如直觀表征、直觀分析、直觀解釋、直觀發(fā)現(xiàn)；結(jié)合教學(xué)實(shí)踐進(jìn)一步探索初中數(shù)學(xué)教科書中“幾何直觀”的設(shè)計(jì)原則，如準(zhǔn)確性、整體性、漸進(jìn)性；從數(shù)形結(jié)合、建立模型、生活實(shí)踐、持續(xù)創(chuàng)新四個方面探究了初中數(shù)學(xué)教科書中“幾何直觀”的應(yīng)用策略，力求為推動相關(guān)領(lǐng)域發(fā)展進(jìn)行有益的嘗試及探索.

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué)；教科書；幾何直觀；類型；原則；應(yīng)用

引 言

“幾何直觀”是數(shù)學(xué)課程體系建設(shè)中的核心概念，教育工作者應(yīng)將其納入學(xué)科核心素養(yǎng)體系之中，明確其在初中數(shù)學(xué)教育中的重要地位.“幾何直觀”是指運(yùn)用圖表描述和分析問題的意識與習(xí)慣，利用“幾何直觀”能夠使復(fù)雜問題簡單化、簡單問題直觀化、直觀問題效率化.目前，對“幾何直觀”研究的理論與實(shí)踐成果相對較多，大多與教師、學(xué)生教學(xué)實(shí)踐密切相關(guān)，而從教科書視角進(jìn)行研究的相對較少，但教科書作為教學(xué)活動組織實(shí)施的重要依據(jù)，能夠?yàn)榻虒W(xué)發(fā)展提供重要指引，幫助教學(xué)關(guān)聯(lián)群體樹立正確的價值觀.基于此，對初中數(shù)學(xué)教科書中“幾何直觀”的設(shè)計(jì)類型、原則及應(yīng)用進(jìn)行研究，對于推動理論與實(shí)踐發(fā)展有著極為重要的意義.

一、初中數(shù)學(xué)教科書中“幾何直觀”的教學(xué)實(shí)踐價值解析

“幾何直觀”的最大優(yōu)勢在于“直觀”，能夠更好地幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)幾何圖形，在教學(xué)過程中發(fā)揮應(yīng)有作用，而圖形類型也是極為廣泛的，如立體圖、平面圖、框架圖、坐標(biāo)系、表格及其他直觀素材等.下面，筆者從其教學(xué)實(shí)踐價值進(jìn)行解析：

（一）“幾何直觀”為教學(xué)提供認(rèn)識世界的工具

初中數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容大多具有雙重屬性，即包括“數(shù)”與“形”的特征，而上述特征是數(shù)學(xué)“認(rèn)識世界的雙眼”，只有真正認(rèn)識到其在實(shí)踐應(yīng)用中的價值，才能夠更好地認(rèn)識、理解、掌握和使用它們.從實(shí)踐視角分析，“幾何直觀”不僅是認(rèn)識世界的基礎(chǔ)，也為認(rèn)識世界提供支持工具，能夠幫助學(xué)生更好地理解數(shù)字和拓展思維；幫助學(xué)生依托圖形構(gòu)建數(shù)形關(guān)系，掌握圖形轉(zhuǎn)化規(guī)律，提升知識綜合應(yīng)用能力；能夠?yàn)閷W(xué)習(xí)帶來極大的益處，將抽象問題簡單化、直觀化、關(guān)聯(lián)化，既是提出問題也是解釋問題.

（二）“幾何直觀”是創(chuàng)造性思維的培養(yǎng)基礎(chǔ)

思維是學(xué)生認(rèn)識世界和改造世界的意識能力，可分為形象思維和邏輯思維兩類，而形象思維是“幾何直觀”的認(rèn)知之眼，邏輯思維則是其改造之眼，只有兩者兼具才是形象思維發(fā)展的高級階段，在形象思維領(lǐng)域中，“幾何直觀”能夠?qū)⒊橄髥栴}直觀化，更好地建立起具備創(chuàng)造屬性的思維體系.數(shù)學(xué)最大的魅力在于創(chuàng)新，而創(chuàng)新是人類社會發(fā)展的基石，所有數(shù)學(xué)先驅(qū)者都認(rèn)為自己的探索永遠(yuǎn)都是初級階段，因?yàn)閿?shù)字本身更符合洋蔥理論，無論站在哪個層級都是下一階段的發(fā)展基礎(chǔ).所以，“幾何直觀”能夠有效提升學(xué)習(xí)者的創(chuàng)造性思維.

（三）“幾何直觀”是認(rèn)識、解決問題的方法體系

“幾何直觀”本身就是極為重要的方法論，為學(xué)生認(rèn)識和改造世界提供載體或工具，能夠幫助學(xué)生更好地認(rèn)識、發(fā)現(xiàn)和解決問題，充分調(diào)動學(xué)生的主觀能動性.相關(guān)理論概述認(rèn)為“幾何直觀是思維的重要表現(xiàn)形態(tài)，是對客觀事物及其運(yùn)行規(guī)律、內(nèi)在聯(lián)系的猜想或直接識別的心理認(rèn)知狀態(tài)”；“幾何直觀主要是依托認(rèn)識工具猜想或見到圖形數(shù)量關(guān)系、圖形關(guān)系的直接感知”.從方法論視角分析，“幾何直觀”既是意識，也是能力，具備強(qiáng)大的思維發(fā)現(xiàn)功能，能夠幫助學(xué)生更好地構(gòu)建認(rèn)知體系，掌握認(rèn)識、解決問題的方法.

二、初中數(shù)學(xué)教科書中“幾何直觀”的類型分析

（一）直觀表征

直觀表征是指數(shù)學(xué)領(lǐng)域依托圖形進(jìn)行“形”的描述與表達(dá)，是教科書教學(xué)內(nèi)容和對象的直觀呈現(xiàn)，主要包括以下內(nèi)容：一是依托圖形對形成素材進(jìn)行直觀呈現(xiàn)；二是依托圖形對素材進(jìn)行直觀表征.實(shí)踐分析發(fā)現(xiàn)，初中數(shù)學(xué)教科書中的部分概念是現(xiàn)實(shí)模型的解構(gòu)與投影，同時兼具“數(shù)”“形”雙重特征，能夠在生活中找到大量可視化素材，讓學(xué)生能夠通過視覺去認(rèn)識和感知.如初中數(shù)學(xué)教科書中利用溫度計(jì)解析數(shù)與數(shù)軸的關(guān)系，利用原點(diǎn)到點(diǎn)的距離導(dǎo)入絕對值概念等.

（二）直觀分析

分析是學(xué)習(xí)對象根據(jù)邏輯思維對事物的本質(zhì)和內(nèi)在規(guī)律進(jìn)行探索的過程.直觀分析是指借助圖形進(jìn)行數(shù)字問題解析的過程.某些問題由于數(shù)量關(guān)系相對復(fù)雜，無效表述可能會影響和干擾信息表達(dá)，因此需要選擇更加直觀的方式“去偽存真”，通過建立模型直觀表達(dá)數(shù)量關(guān)系，而圖表則是最有效的表達(dá)工具，能夠?qū)?fù)雜的語言轉(zhuǎn)化為圖形，有助于提升分析效率.直觀分析能夠優(yōu)化解題思路，體現(xiàn)出知識結(jié)構(gòu)與認(rèn)知體系的有機(jī)結(jié)合，更具直觀性、邏輯性和靈活性.

（三）直觀解釋

直觀解釋是指利用圖形及各要素內(nèi)在關(guān)系對問題結(jié)果或結(jié)論進(jìn)行重點(diǎn)描述，根據(jù)已知結(jié)果進(jìn)行“形”塑，加深學(xué)生對數(shù)學(xué)的想象力.從代數(shù)思維視角出發(fā)，通過代數(shù)運(yùn)算得到相應(yīng)的公式，選擇圖形方式進(jìn)行解釋，可以讓代數(shù)公式變得更加直觀生動且具有形象性，便于學(xué)生理解與記憶，促進(jìn)數(shù)學(xué)理論和技巧的多樣化融合.對于學(xué)生而言，圖形遠(yuǎn)比文字更具辨識度，只有把其中的直觀內(nèi)涵和證法思路弄清楚，才能夠更好地進(jìn)行解析.

（四）直觀發(fā)現(xiàn)

直觀發(fā)現(xiàn)是指利用圖形直觀地解析研究對象并且找到結(jié)論.從教科書視角分析，獲取結(jié)論不是創(chuàng)造或創(chuàng)新過程，而是一個發(fā)現(xiàn)過程，所以直觀發(fā)現(xiàn)在教科書中的表達(dá)更具實(shí)效性.可區(qū)分兩類情況：一是根據(jù)需求構(gòu)建問題模型，直接找到問題答案，提升問題解析的空間想象力和建構(gòu)屬性.二是利用直觀圖形和逆向思維模式發(fā)現(xiàn)結(jié)論.

由上述分析可知，直觀表征、直觀分析、直觀解釋、直觀發(fā)現(xiàn)四位一體，彼此不是獨(dú)立的，其中直觀表征是基礎(chǔ)，相同數(shù)學(xué)問題呈現(xiàn)和要求不盡相同，但直觀類型的側(cè)重大同小異.

三、初中數(shù)學(xué)教科書中“幾何直觀”的設(shè)計(jì)原則

數(shù)學(xué)教科書設(shè)計(jì)符合邏輯思維習(xí)慣，一般分為明暗兩條線表述，以期能夠更加清晰地進(jìn)行表達(dá).其中，明線是指通過閱讀目錄可直接獲取的教學(xué)內(nèi)容，而暗線大多需要通過明線間的內(nèi)在邏輯關(guān)系找到“隱藏的表達(dá)”，只有明暗雙線共同印證才能夠發(fā)現(xiàn)結(jié)論.暗線一般體現(xiàn)的是方法論，能夠幫助學(xué)生更好地掌握數(shù)學(xué)要素間的邏輯關(guān)系，通過分析相互轉(zhuǎn)換關(guān)系達(dá)到解決問題的目的.需要遵循如下原則：

（一）準(zhǔn)確性

邏輯思維關(guān)系是構(gòu)成數(shù)學(xué)直觀表達(dá)的基礎(chǔ)，要求所有要素間必須做到關(guān)聯(lián)、精準(zhǔn)、直觀，因而“準(zhǔn)確”才是唯一要求，只有做到精準(zhǔn)才能夠表達(dá)正確.對于數(shù)學(xué)而言，“幾何直觀”既是認(rèn)識數(shù)學(xué)和挖掘內(nèi)在規(guī)律的工具，也是學(xué)生綜合能力素質(zhì)的表現(xiàn).從教科書內(nèi)容設(shè)計(jì)來看，幾何直觀有著普遍的應(yīng)用.如借助圖形分析性質(zhì)、依托數(shù)軸理解運(yùn)算、應(yīng)用線形圖區(qū)分關(guān)系等，要讓學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中將其轉(zhuǎn)化為自主意識.事實(shí)上，教科書內(nèi)容大多脫胎于“幾何直觀”，如函數(shù)性質(zhì)借助圖形探索、絕對值概念源于兩點(diǎn)間距離等.為了讓學(xué)生更好地掌握教科書中的“幾何直觀”內(nèi)容，教科書設(shè)計(jì)必須做到精準(zhǔn)性，以此提升學(xué)生理解效率.

（二）整體性

“幾何直觀”是一種方法論，不僅僅包括直觀表征、直觀解釋、直觀分析、直觀發(fā)現(xiàn)等類型，還有概念生成、問題探究和問題解決等活動.教科書在構(gòu)建內(nèi)容體系時，大多會從整體視角出發(fā)，即所有問題具有遞進(jìn)性，環(huán)環(huán)可扣，構(gòu)建成立體的閉環(huán)；同時，所有內(nèi)容具有內(nèi)在關(guān)聯(lián)性，互為支撐，能夠從多個視角切入分析和解決問題；教科書設(shè)計(jì)能夠幫助學(xué)生更好地直觀發(fā)現(xiàn)，對問題有深刻的領(lǐng)悟，從而形成更加高效的數(shù)學(xué)直觀.從整體性視角分析，幾何直觀能夠確保內(nèi)容類型和分布不出現(xiàn)偏差，除注重概念本身外，更注重其內(nèi)在邏輯和關(guān)聯(lián)性，通過保證其邏輯關(guān)系的靈活性，更好地將所有的知識點(diǎn)凝結(jié)成一個整體.

（三）漸進(jìn)性

教科書內(nèi)容按照漸進(jìn)關(guān)系進(jìn)行設(shè)計(jì)，能夠快速幫助學(xué)生形成邏輯思維，更好地認(rèn)識和理解幾何直觀.從成長視角分析，幾何直觀不會憑空產(chǎn)生，而是需要學(xué)生在實(shí)踐中不斷積累經(jīng)驗(yàn)，從基本圖形入手，按照層層遞進(jìn)規(guī)律進(jìn)行積淀，逐漸形成符合自己的“幾何直觀”.如一些簡單的圖形表達(dá)能夠引發(fā)相應(yīng)的聯(lián)想，看到a（b+c）時，學(xué)生就會聯(lián)想到長方形的面積；看到 a2+b2后，學(xué)生就會聯(lián)想到直角三角形直角邊的平方和；看到|a-b|后，學(xué)生就能夠聯(lián)想到數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離，而這種認(rèn)知是需要長期的培養(yǎng)和鍛煉才能夠形成的.因此，在進(jìn)行教科書中的“幾何直觀”設(shè)計(jì)時，從圖形明晰度和問題表述類型等方面進(jìn)行設(shè)計(jì)可以保證學(xué)生的學(xué)習(xí)漸進(jìn)效果.

四、初中數(shù)學(xué)教科書中“幾何直觀”的應(yīng)用策略

初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，學(xué)生需要經(jīng)歷從感性到理性、從一般到特殊的過程，才能形成“幾何直觀”，加深對理論和技巧的理解應(yīng)用，從而提升整體學(xué)習(xí)效率.

（一）數(shù)形結(jié)合，優(yōu)化直觀解析策略

將“幾何直觀”融于學(xué)生思維，首先進(jìn)行圖形轉(zhuǎn)化，將“內(nèi)在邏輯關(guān)系”轉(zhuǎn)換為“圖形關(guān)系”，而后將問題轉(zhuǎn)化為“圖形的數(shù)量和位置關(guān)系”，最后通過圖形觀察和思考解決問題.華羅庚說過：“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微”.數(shù)形結(jié)合才是解決數(shù)學(xué)難題的根本，才能夠讓學(xué)生產(chǎn)生良好的空間想象力，能夠隨時隨地構(gòu)建“幾何直觀”，幫助學(xué)生掌握更多的方法、技巧，提升其分析問題和解決問題的效率.

（二）建立模型，強(qiáng)化直觀明理思維

初中生一般不懂得什么是模型，但實(shí)際上“幾何直觀”的形成過程就是模型構(gòu)建過程，學(xué)生通過思維加工將問題場景化，在此場景中不僅有試題背景，還有各類計(jì)算因子的內(nèi)在邏輯關(guān)系，“幾何直觀”就是計(jì)算模型搭建.對于學(xué)生而言，不同的“幾何直觀”思維會產(chǎn)生不同的模型，即相同題目可能會有無數(shù)道“門”，無論從哪個門進(jìn)入都會到達(dá)同一個終點(diǎn).所以，“幾何直觀”能夠持續(xù)強(qiáng)化明理思維，讓學(xué)生掌握更多自我成長的方法.意識是行為的先導(dǎo)，學(xué)生首先要樹立“幾何直觀”意識，而后才能夠在行為中得到實(shí)踐.

（三）生活實(shí)踐，增強(qiáng)問題解析效果

幾何直觀應(yīng)建立在生活經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)上，學(xué)生在解析題目時，必須從生活中提取關(guān)聯(lián)要素，利用生活中常見的人、事、物去搭建場景，從而更好地思考和解決問題.從教科書內(nèi)容設(shè)計(jì)來看，幾乎所有的例子都是以生活中的場景為依據(jù)的，很容易讓學(xué)生產(chǎn)生聯(lián)想，幾乎所有的問題都能夠在生活中找到原型，有意識地進(jìn)行解析，幫助學(xué)生強(qiáng)化“幾何直觀”素養(yǎng)和能力.所以，生活才是數(shù)學(xué)發(fā)展的源動力，因?yàn)榇蠖鄶?shù)學(xué)知識都能在生活中找到“原版”，大多數(shù)學(xué)規(guī)律都能夠在生活中使用和完善.

（四）持續(xù)創(chuàng)新，強(qiáng)調(diào)學(xué)生參與體驗(yàn)

隨著大數(shù)據(jù)、物聯(lián)網(wǎng)、智能AI的不斷融合滲透，初中數(shù)學(xué)教學(xué)時會有大量的載體輔助教師完成教學(xué)，如教學(xué)PPT、教學(xué)動漫、視頻、語音及在線互動等.所以，教科書也可以從數(shù)據(jù)發(fā)展視角進(jìn)行創(chuàng)新，在教科書相應(yīng)章節(jié)設(shè)計(jì)隱藏“彩蛋”，通過讀取設(shè)備檢索二維碼，能夠進(jìn)入相應(yīng)的教學(xué)場景，讓學(xué)生有更好的學(xué)習(xí)體驗(yàn)；學(xué)生在下載軟件后，可以在家進(jìn)行操作，增強(qiáng)學(xué)習(xí)興趣.數(shù)學(xué)“幾何直觀”絕對不是呆板的，而是在實(shí)踐探索中不斷總結(jié)、逐步完善的，在發(fā)展過程中會逐漸融合越來越多的創(chuàng)新理論和技能.

結(jié) 語

未來，隨著教育領(lǐng)域?qū)嵺`探索不斷深化，“幾何直觀”將會有更多的創(chuàng)新與發(fā)展，教科書在國內(nèi)有著不可替代的作用，但隨著在線教育不斷升級，教科書可以轉(zhuǎn)化為無數(shù)的研究方向，教師應(yīng)對教科書中“幾何直觀”的設(shè)計(jì)類型進(jìn)行研究與實(shí)踐，幫助學(xué)生更好地挖掘自身的成長優(yōu)勢，堅(jiān)持從小培養(yǎng)、從專業(yè)培養(yǎng)，讓每名學(xué)生都找到適合自己的領(lǐng)域，為國家和社會培養(yǎng)出更多的實(shí)踐型、創(chuàng)新型人才.

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