學(xué)習(xí)二次函數(shù)應(yīng)關(guān)注的三個(gè)方面

黃秀旺

二次函數(shù)是繼一次函數(shù)、反比例函數(shù)之后的又一個(gè)函數(shù)，是描述現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系的重要的數(shù)學(xué)模型。我們學(xué)習(xí)二次函數(shù)應(yīng)關(guān)注三個(gè)方面：

一、體現(xiàn)基本的數(shù)學(xué)思想

1.類比思想

首先，類比之前函數(shù)的研究思路（圖1）：在解決生活實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中引入了二次函數(shù)概念，再探索二次函數(shù)的性質(zhì)，落腳于用二次函數(shù)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題。

其次，我們?cè)趯W(xué)習(xí)具體內(nèi)容時(shí)，依然能感受到類比思想。比如，類比一次函數(shù)圖像和反比例函數(shù)圖像，探索二次函數(shù)圖像的畫(huà)法；類比一次函數(shù)與一次方程的關(guān)系，探索二次函數(shù)與二次方程的關(guān)系；類比研究一次函數(shù)時(shí)，分k＞0和k＜0兩種情況（反比例函數(shù)亦是如此），對(duì)于二次函數(shù)y=ax2，也分a＞0和a＜0兩種情況；等等。

再次，在研究不同二次函數(shù)時(shí)也體現(xiàn)了類比思想。比如，已討論了二次函數(shù)y=ax2（a＞0）的圖像與性質(zhì)，那么，我們就可以類比此情況討論二次函數(shù)y=ax2（a＜0）的圖像與性質(zhì)；再如，先討論了函數(shù)y=（x+3）2的圖像與函數(shù)y=x2的圖像之間的關(guān)系，就可以通過(guò)類比討論函數(shù)y=-（x+3）2的圖像與函數(shù)y=-x2的圖像之間的關(guān)系；等等。

2.歸納思想

從例子S=πr2、y=-x2+8x、y=240x2+180x+45中，我們歸納并抽象概括為二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a、b、c是常數(shù)，且a≠0）；觀察函數(shù)y=x2、y=-x2、y=[12]x2、y=2x2、y=[-12]x2、y=-2x2的圖像與性質(zhì)，歸納出函數(shù)y=ax2（a＞0）和y=ax2（a＜0）的圖像與性質(zhì)；在研究函數(shù)y=（x+1）2+2、y=-（x+1）2+2的性質(zhì)后，歸納出函數(shù)y=a（x+h）2+k的性質(zhì)；等等。

3.數(shù)形結(jié)合思想

數(shù)形結(jié)合思想貫穿二次函數(shù)學(xué)習(xí)的始終。對(duì)于最簡(jiǎn)單的二次函數(shù)y=x2、y=-x2的研究，我們就是從畫(huà)函數(shù)的圖像開(kāi)始的，然后通過(guò)圖像了解它們的性質(zhì)。在研究二次函數(shù)的最大值或最小值時(shí)，也是借助函數(shù)圖像的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)得到的；探索二次函數(shù)與二次方程的關(guān)系時(shí)，也是利用函數(shù)圖像與x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)來(lái)發(fā)現(xiàn)二次函數(shù)與二次方程的解（個(gè)數(shù)）之間的關(guān)系。

二、重視知識(shí)之間的聯(lián)系

本章主要研究二次函數(shù)的概念、二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)、二次函數(shù)與一元二次方程、用二次函數(shù)解決問(wèn)題等內(nèi)容。“用待定系數(shù)法確定二次函數(shù)表達(dá)式”與方程是密切相關(guān)的，而二次函數(shù)的圖像與橫軸的交點(diǎn)問(wèn)題，可以轉(zhuǎn)化為“二次函數(shù)的值為0，對(duì)應(yīng)的一元二次方程的根的情況”。因此，函數(shù)與方程是密不可分的，我們到高中學(xué)習(xí)函數(shù)也是如此。當(dāng)我們認(rèn)識(shí)到這一點(diǎn)時(shí)，便可以主動(dòng)地將函數(shù)與方程聯(lián)系起來(lái)，這樣既強(qiáng)化知識(shí)之間的聯(lián)系，也優(yōu)化研究函數(shù)的方法。

三、加強(qiáng)應(yīng)用，體現(xiàn)模型思想

之前我們?cè)趯W(xué)習(xí)一次函數(shù)時(shí)，體會(huì)到有些實(shí)際問(wèn)題中變量之間的關(guān)系可以用一次函數(shù)模型來(lái)刻畫(huà)，就可以利用一次函數(shù)的圖像和性質(zhì)來(lái)研究，從而解決了實(shí)際問(wèn)題。同樣，如果有些實(shí)際問(wèn)題中變量之間的關(guān)系可以用二次函數(shù)模型來(lái)刻畫(huà)，就可以利用二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)來(lái)研究，這一過(guò)程體現(xiàn)了模型思想。比如，教材中出現(xiàn)的“稻田收益最大”“魚(yú)塘總產(chǎn)量最大”“小兔活動(dòng)范圍最大”等有關(guān)問(wèn)題，可以歸結(jié)為求二次函數(shù)的最值問(wèn)題；又如，“拱橋的水面寬”“拋物線形護(hù)欄的不銹鋼管的長(zhǎng)度”等有關(guān)問(wèn)題，也可以建立直角坐標(biāo)系，利用二次函數(shù)解決?？傊覀?cè)趯W(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)時(shí)，應(yīng)加強(qiáng)與實(shí)際生活的聯(lián)系，學(xué)以致用，體會(huì)模型思想的應(yīng)用。

（作者單位：江蘇省南京市江寧區(qū)教學(xué)研究室）