例析直線與圓位置關(guān)系的創(chuàng)新應(yīng)用

羅興文

［摘 要］數(shù)學(xué)解題，貴在創(chuàng)新。在數(shù)學(xué)中，有許多問題都可以通過構(gòu)造直線與圓的位置關(guān)系這個(gè)“模型”來解決。文章結(jié)合幾則典例，從五個(gè)方面逐一進(jìn)行分析探討，旨在讓學(xué)生領(lǐng)會(huì)直線與圓的位置關(guān)系這個(gè)“模型”的應(yīng)用價(jià)值。

［關(guān)鍵詞］直線；圓；位置關(guān)系；創(chuàng)新

［中圖分類號(hào)］? ? G633.6? ? ? ? ［文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼］? ? A? ? ? ? ［文章編號(hào)］? ? 1674-6058（2023）29-0026-03

數(shù)學(xué)解題，貴在創(chuàng)新。創(chuàng)新源于對(duì)知識(shí)的融會(huì)貫通。面對(duì)代數(shù)題，可以聯(lián)想幾何法；面對(duì)幾何題，可以嘗試解析法。通過構(gòu)建熟悉的數(shù)學(xué)模型，破解看似陌生的數(shù)學(xué)問題。在學(xué)習(xí)了解析幾何中的直線與圓的位置關(guān)系后，我們發(fā)現(xiàn)在數(shù)學(xué)中有許多問題都可以通過構(gòu)造直線與圓的位置關(guān)系這個(gè)“模型”來解決。下面讓我們一起來探究！

一、函數(shù)值域或最值問題

對(duì)于某些函數(shù)的解析式，結(jié)合它的幾何意義，往往可以構(gòu)造直線與圓的位置關(guān)系這一“模型”，并通過數(shù)形結(jié)合加以求解。

點(diǎn)評(píng)：本例考查直線與圓的位置關(guān)系和點(diǎn)到直線的距離公式的靈活應(yīng)用，考查數(shù)形結(jié)合思想。

二、方程有解問題

方程與曲線密不可分，當(dāng)一個(gè)方程看成兩條曲線時(shí)，它們的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是方程的根。因此，對(duì)于某些方程問題，我們可以將其轉(zhuǎn)化為直線與圓的位置關(guān)系問題，并利用解析幾何的方法加以解決。

∵方程組有解，∴方程組可看作直線[a+b=2-c]與[a2+b2=2-c2]有交點(diǎn)，

點(diǎn)評(píng)：本例的兩小個(gè)題都體現(xiàn)了直線與圓的位置關(guān)系的創(chuàng)新應(yīng)用和數(shù)形結(jié)合思想的重要性。

三、不等式求參問題

與方程問題相類似，對(duì)于求含參數(shù)的不等式的解的問題，我們也可根據(jù)不等式的形式將問題轉(zhuǎn)化為熟悉的函數(shù)圖象的位置關(guān)系問題，并結(jié)合動(dòng)態(tài)討論求出參數(shù)滿足的要求。

解析：（1）由題意可得[4-x2≥0]，得[-2≤x≤2]，

表示上半圓[C]上任意一點(diǎn)到直線[l]的距離小于或等于[3]，且直線[l：kx-y-3=0]過定點(diǎn)（0，-3），如圖3所示，設(shè)圓心（原點(diǎn)[O]）到直線[l]的距離為[d]，由于上半圓[C]上的點(diǎn)到直線[l]的最大距

四、三角函數(shù)最值或范圍問題

［例4］（1）已知[cos（α+β）=cosα+cosβ]，則[cosα]的最大值為? ? ? ? ? ? ? ? ? ；

解析：（1）[cos（α+β）=cosα+cosβ?cosαcosβ-sinαsinβ-cosα-cosβ=0]，變形得[cosβ（cosα-1）-sinαsinβ-cosα=0]，設(shè)[P（cosβ，sinβ）]，直線[l：（cosα-1）x-ysinα-cosα=0]，

五、條件等式下的最值或范圍問題

雙元等式條件下的最值或范圍問題，是考試常考題型。在已知的等式與目標(biāo)函數(shù)中，通常一個(gè)為一次型，一個(gè)為二次型，或經(jīng)過換元后符合這個(gè)特征，這時(shí)我們不妨嘗試應(yīng)用直線與圓的位置關(guān)系這一“模型”加以解決。

［例5］（1）已知實(shí)數(shù)a、b滿足[a2+b2+1=2a+2b]，則（[3a+4b-1]）2的最小值是? ? ? ? ? ? ? ? ? ?；

要使直線與圓有公共點(diǎn)，[x∈4，20]。綜上，[x∈4，20?0]，故[x]的最大值為20。

數(shù)學(xué)能力的培養(yǎng)離不開數(shù)學(xué)知識(shí)的創(chuàng)新應(yīng)用。通過以上幾類問題的探究，我們不僅領(lǐng)略了直線與圓的位置關(guān)系解題模型的“風(fēng)采”，還感受到了數(shù)學(xué)的邏輯之美、和諧之美與創(chuàng)新之美。面對(duì)錯(cuò)綜復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題，我們只有廣開思路，激發(fā)靈感，善于構(gòu)造，才能讓創(chuàng)新思維飛得更高更遠(yuǎn)！