考慮波紋度激勵(lì)的齒輪系統(tǒng)動態(tài)特性研究

孫宇夢，陳長征，張 磊，常錫振

（1.沈陽工業(yè)大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，遼寧 沈陽 110870；2.遼寧科技學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院，遼寧 本溪 117004；3.新鄉(xiāng)航空工業(yè)有限公司，河南 新鄉(xiāng) 453049）

1 引言

隨著地球資源逐漸減少，作為可再生能源的風(fēng)能逐漸占領(lǐng)著我們的工作和生活。我們生活和工作中最為常見的風(fēng)能利用大部分都來自風(fēng)力發(fā)電機(jī)。

齒輪箱傳動部分則是風(fēng)力發(fā)電機(jī)的核心部分，其內(nèi)部結(jié)構(gòu)錯(cuò)綜復(fù)雜，工作環(huán)境多變不穩(wěn)定。因此，我們有必要對齒輪傳動這一部分展開研究。

近年來，國內(nèi)外學(xué)者對齒輪軸承系統(tǒng)的動態(tài)特性做了大量的實(shí)驗(yàn)，并取得了許多有借鑒意義的研究成果。文獻(xiàn)［1］考慮齒輪彎曲和扭轉(zhuǎn)作用，建立了包含齒輪偏心和滾動軸承非線性的不平衡齒輪轉(zhuǎn)子滾動軸承彎扭耦合動力學(xué)方程，詳細(xì)分析了系統(tǒng)轉(zhuǎn)速、齒輪偏心量以及軸承游隙等參數(shù)對系統(tǒng)動態(tài)特性的影響。文獻(xiàn)［2］對考慮時(shí)變扭矩和傳遞誤差等因素的風(fēng)力機(jī)齒輪箱高速級斜齒輪部分的動力學(xué)特性進(jìn)行了分析。文獻(xiàn)［3］通過考慮滾動軸承有限數(shù)目滾動體和轉(zhuǎn)子不平衡力等因素，以單頻對比雙頻，得出雙頻參數(shù)系統(tǒng)的響應(yīng)與頻率分布特征。文獻(xiàn)［4］利用有限元法建立了一種適應(yīng)于復(fù)雜載荷的齒輪滾動軸承柔性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的非線性動力學(xué)模型，采用Newton-Raphson 方法對動力學(xué)方程進(jìn)行求解并分析轉(zhuǎn)速、齒側(cè)間隙、轉(zhuǎn)軸剛度以及軸承徑向間隙等參數(shù)對系統(tǒng)動力學(xué)行為的影響。文獻(xiàn)［5］通過考慮齒側(cè)間隙和內(nèi)外激勵(lì)的作用，建立齒輪轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的非線性動力學(xué)模型，采用混沌時(shí)間序列分析方法來計(jì)算系統(tǒng)高維方程的最大Lyapunov指數(shù)，繼而判斷系統(tǒng)是否為混沌狀態(tài)。由此可見，目前諸多學(xué)者已經(jīng)對齒輪軸承耦合系統(tǒng)中的齒輪部分進(jìn)行了詳細(xì)的研究，系統(tǒng)中軸承部分的問題也可導(dǎo)致系統(tǒng)出現(xiàn)故障，這也是長期以來大家所重視的問題。

文獻(xiàn)［6］提出了一個(gè)可以計(jì)算多個(gè)軸承支撐的轉(zhuǎn)子位移非線性模型，分析由滾動軸承波紋度激勵(lì)引起的彈性撓度和非線性接觸力等。文獻(xiàn)［7］提出一種表示角接觸球軸承剛度的擴(kuò)展Jones-Harris剛度模型，詳細(xì)討論了不平衡力、軸承載荷以及阻尼對剛性轉(zhuǎn)子軸承系統(tǒng)不穩(wěn)定性區(qū)域的影響。文獻(xiàn)［8］在航空航天機(jī)械研究的大背景下，利用二狀態(tài)模型建立軸承徑向間隙模型，提出了一種同時(shí)考慮齒輪動態(tài)齒側(cè)間隙和動態(tài)嚙合力的多間隙耦合齒輪轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動力學(xué)建模新方法，研究系統(tǒng)振動特性隨轉(zhuǎn)速和間隙變化的規(guī)律。文獻(xiàn)［9］考慮軸承波紋度、有限數(shù)目滾動體以及轉(zhuǎn)子不平衡力的因素，建立系統(tǒng)動力學(xué)模型方程，其波紋度幅值取值為2μm，詳細(xì)討論了轉(zhuǎn)子偏心、相位角以及軸承預(yù)緊力等因素對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響。文獻(xiàn)［10］考慮波紋度激勵(lì)，建立滾動軸承剛性轉(zhuǎn)子模型，得出頻譜中某些特定頻率成分與波紋度存在的規(guī)律性聯(lián)系。因此，研究考慮波紋度影響下的系統(tǒng)動態(tài)特性具有重要意義。

目前齒輪系統(tǒng)動力學(xué)研究的內(nèi)容中，同時(shí)考慮齒輪激勵(lì)和支承軸承非線性激勵(lì)的模型相對較少，因此這里基于前人研究基礎(chǔ)，采用集中參數(shù)法建立考慮波紋度激勵(lì)的多自由度齒輪軸承耦合系統(tǒng)的動力學(xué)模型，通過Runge-Kutta算法對系統(tǒng)動力學(xué)方程進(jìn)行求解處理，分析波紋度激勵(lì)對風(fēng)電系統(tǒng)齒輪傳動部分振動特性的影響。

2 波紋度激勵(lì)的分析

軸承部件表面存在一種微米級缺陷稱為波紋度，雖然微小卻可以產(chǎn)生顯著的振動。滾動軸承的一個(gè)重要振動源就是波紋度，軸承波紋度示意圖，如圖1所示。波紋度為軸承內(nèi)外圈上具有不同振幅的缺陷，波紋度的幅值遠(yuǎn)大于滾動體與滾道之間的赫茲接觸面積，波紋度缺陷變化的大小取決于缺陷的幅值以及相位角，由于接觸載荷的變化，軸承中的振動發(fā)生改變，不同幅值以及不同波數(shù)的變化會引起不同頻率的振動，每種振動模式都有其各自的特征，由此，滾動軸承表現(xiàn)出很強(qiáng)的非線性特征。當(dāng)滾動體滾動時(shí)，波紋隨著滾動體與接觸面的不斷變化而變化，從而改變系統(tǒng)中齒輪嚙合的變形位移，假設(shè)不存在滑移條件，即滾動體始終與內(nèi)外圈穩(wěn)定接觸，并假定內(nèi)外圈具有軸向不均勻性，將內(nèi)外圈看成可變半徑的圓，由于它是一條閉合曲線，描述波紋度的函數(shù)具有周期性，就像傅里葉級數(shù)一樣，文獻(xiàn)［8］提出波紋度為調(diào)和函數(shù)的疊加，設(shè)l為滾動體的排列個(gè)數(shù)，則內(nèi)圈與第l個(gè)滾動體接觸時(shí)的波紋度表示為：

圖1 軸承波紋度示意圖Fig.1 Sketch Map of Bearing Waviness

式中：Nb—滾動體個(gè)數(shù)，個(gè)；Pil—內(nèi)圈與第l個(gè)滾動體接觸的波紋度振幅，m；ζil—內(nèi)圈與第l個(gè)滾動體接觸的波紋度初始相位角，rad；ωi—滾動體與內(nèi)圈接觸點(diǎn)角速度，rad·s-1；保持架角速度ωc（rad·s-1）表示為：

式中：ω1—齒輪轉(zhuǎn)動角速度，rad·s-1；r、R—軸承內(nèi)外圈基圓半徑，m。

同理，外圈與第l個(gè)滾動體接觸的波紋度表示為：

式中：Pol—外圈與第l個(gè)滾動體接觸的波紋度振幅，m；ζol—外圈與第l個(gè)滾動體接觸的波紋度初始相位角，rad；wo—滾動體與外圈接觸點(diǎn)角速度，rad·s-1，這里外圈固定于軸承座，內(nèi)圈固定于軸上且與軸剛性連接，則wo=0。

則由波紋度激勵(lì)而產(chǎn)生的變形量為：

系統(tǒng)主從動軸承在x、y、z方向的變形量分別為：

式中：x1、y1、z1、x2、y2、z2—主從動齒輪在x、y、z方向上的相對位移，m；α—滾動軸承初始相位角，rad；yl—第l個(gè)滾動體在t時(shí)刻的轉(zhuǎn)動角度，rad，表示為：

3 齒輪軸承系統(tǒng)平移扭轉(zhuǎn)動力學(xué)方程

8自度斜齒輪角接觸球軸承耦合系統(tǒng)動力學(xué)模型，如圖2所示。圖中O1、O2為主、從動齒輪旋轉(zhuǎn)中心，m1、m2為主、從動齒輪的當(dāng)量質(zhì)量，T1、T2為主、從動齒輪轉(zhuǎn)動慣量，r1、r2為主、從動齒輪的基圓半徑，J1、J2為輸入、輸出端的轉(zhuǎn)動慣量，T1、T2為輸入、輸出端的扭矩。

圖2 齒輪軸承傳動系統(tǒng)的動態(tài)模型Fig.2 Dynamic Model of Gear Bearing Drive System

根據(jù)粘彈性理論，x、y、z方向上軸承力為：

式中：Kbr1、Kba1—主動軸承徑向、軸向的支承剛度，N?m-1；Kbr2、Kba2—從動軸承徑向、軸向的支承剛度，N ?m-1；H(δ)—Heaviside函數(shù)，當(dāng)變形量δ≥0時(shí)，H(δ)=1；當(dāng)變形量δ<0時(shí)，H(δ)=0；c1、c2—軸承阻尼，N?s?m-1。

系統(tǒng)主從動齒輪綜合變形位移表示為：

式中：b—斜齒輪螺旋角，rad；e（t）—齒輪嚙合綜合傳遞誤差，通過簡諧函數(shù)形式表示為：

式中：em—綜合傳遞誤差平均值，m；er—綜合傳遞誤差幅值，m；ω—嚙合頻率，ω=n1z1/60，rad/s；n1—主動齒輪轉(zhuǎn)速，m/s；z1—主動齒輪齒數(shù)；φt—綜合傳遞誤差初始相位角，rad。

嚙合時(shí)變剛度以傅里葉級數(shù)展開并略去高階項(xiàng)的形式表示為：

式中：Km0—嚙合剛度均值，N?m-1；Kma—嚙合剛度幅值，N?m-1；φ—嚙合剛度初始相位角，rad。

在系統(tǒng)中，齒側(cè)間隙以分段函數(shù)形式表示為［11］：

式中：b—齒側(cè)間隙，m?；谡硰椥岳碚摚瑒討B(tài)嚙合力Fm表示為：

式中：cm—齒輪副等效嚙合阻尼，N?s?m-1。

系統(tǒng)中的軸簡化為剛性軸，系統(tǒng)微分方程表示為：

式中：θ1、θ2—主從動齒輪扭轉(zhuǎn)角位移，rad；α1—斜齒輪壓力角，rad；β—斜齒輪螺旋角，rad；βb—斜齒輪基圓螺旋角，rad；g—重力加速度，m·s-2。

4 齒輪系統(tǒng)動態(tài)特性的分析

為了詳細(xì)說明波紋度激勵(lì)對齒輪—軸承系統(tǒng)傳動時(shí)振動特性的影響，使用數(shù)值積分方法對考慮波紋度和忽略波紋度這兩種情況下的模型進(jìn)行求解處理。系統(tǒng)各部分參數(shù)，如表1所示。

表1 系統(tǒng)參數(shù)Tab.1 System Parameter

在忽略波紋度和考慮波紋度這兩種情況下，主動輪沿y方向的幅—頻響應(yīng)曲線，如圖3所示。兩條曲線均在轉(zhuǎn)速n≈300r?min-1處振動幅值達(dá)到共振峰的最高值，在轉(zhuǎn)速n≈460r?min-1和n≈635r?min-1處均出現(xiàn)非線性跳躍，其中第一次跳躍的幅值比第二次跳躍的幅值高，在第二次跳躍之前，兩種情況的系統(tǒng)幅頻響應(yīng)基本相同，隨著轉(zhuǎn)速的增大，兩種模型系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)出現(xiàn)顯著的差異，當(dāng)轉(zhuǎn)速逐漸增大至1200r?min-1時(shí)，波紋度的存在使y方向的振動幅值雖減小，卻停留在20μm左右?？梢钥闯?，波紋度激勵(lì)對于低轉(zhuǎn)速部分影響小，但轉(zhuǎn)速較高時(shí)，兩種情況下的動態(tài)響應(yīng)具有明顯差異。

圖3 主動輪y方向幅-頻響應(yīng)曲線Fig.3 The y-Direction Amplitude-Frequency Response of Driving Gear

在忽略波紋度和考慮波紋度這兩種情況下，主動輪沿y方向響應(yīng)瀑布圖，如圖4、圖5所示。當(dāng)n≈100r?min-1時(shí)，兩種情況下系統(tǒng)的頻率成分一致，主動軸承滾動體通過頻率fb1以及嚙合頻率fm的振動幅值相同；當(dāng)n≈635r?min-1時(shí)，兩種情況下系統(tǒng)的頻率成分不變，嚙合頻率倍頻成分0.5fm、嚙合頻率fm、其他倍頻成分1.5fm、2fm的振動幅值均不變；可以看出，系統(tǒng)出現(xiàn)跳躍前，兩種情況下系統(tǒng)響應(yīng)的頻率成分相同，隨著轉(zhuǎn)速的增大，n≈1500r?min-1時(shí)，從動軸承保持架轉(zhuǎn)動頻率的振動幅值明顯高于嚙合頻率的振動幅值，這主要是受到軸承非線性特性的影響。

圖4 無波紋度時(shí)，主動輪y方向瀑布圖Fig.4 The y-Direction Waterfall Plot of Driving Gear without Waviness

圖5 有波紋度時(shí)，主動輪y方向瀑布圖Fig.5 The y-Direction Waterfall Plot of Driving Gear with Waviness

為了進(jìn)一步詳細(xì)研究并驗(yàn)證瀑布圖的結(jié)論，選取轉(zhuǎn)速70r?min-1、670r?min-1和1570r?min-1，在忽略波紋度和考慮波紋度兩種情況下，對系統(tǒng)主動齒輪沿y方向的動態(tài)響應(yīng)進(jìn)行進(jìn)一步分析不同轉(zhuǎn)速下，主動輪沿y方向變化的時(shí)域圖及其相應(yīng)的頻譜，如圖6所示。

圖6 轉(zhuǎn)速70r?min-1、670r?min-1、1570r?min-1，主動齒輪在y方向上無波紋度時(shí)和有波紋度時(shí)響應(yīng)Fig.6 The y-Direction Response of the Driving Gear without and with Waviness at 70r?min-1、670r?min-1、1570r?min-1

轉(zhuǎn)速為70r?min-1時(shí)，如圖6（a）、圖6（b）所示。主動齒輪沿y方向上考慮波紋度和忽略波紋度時(shí)的時(shí)域響應(yīng)曲線基本重合，均具有明顯的周期性和幅值調(diào)制現(xiàn)象。此時(shí)，波紋度的存在未使系統(tǒng)主要頻率成分發(fā)生顯著改變，依舊為主動齒輪支承軸承滾動體通過頻率fb1（7.02Hz）以及嚙合頻率fm（116.67Hz），同時(shí)還可分辨出明顯的主動齒輪支承軸承滾動體通過頻率的諧波頻率成分。結(jié)果表明，低轉(zhuǎn)速時(shí)，波紋度激勵(lì)的存在對于系統(tǒng)動態(tài)特性的影響較微弱。

轉(zhuǎn)速為670r?min-1時(shí)，如圖6（c）、圖6（d）所示，兩種情況下主動齒輪沿y方向上的響應(yīng)均具有明顯的周期性和幅值調(diào)制現(xiàn)象，此時(shí)波紋度的存在使主動齒輪y方向響應(yīng)振蕩明顯，對應(yīng)的頻譜表明，此時(shí)系統(tǒng)的主要頻率成分均為0.5fm（558.34Hz），同時(shí)存在明顯的主動齒輪支承軸承滾動體通過頻率fb1（67.02Hz）、嚙合頻率fm（1116.67Hz）及其倍頻成分1.5fm（1675Hz），其中還可分辨出微弱的嚙合頻率其他倍頻成分2fm（2233.34Hz）。結(jié)果表明，隨著轉(zhuǎn)速的增大，波紋度激勵(lì)帶來的影響在逐漸加強(qiáng)。

轉(zhuǎn)速為1570r?min-1時(shí)，如圖6（e）、圖6（f）所示，波紋度使主動齒輪沿y方向上的響應(yīng)波形發(fā)生明顯改變，此時(shí)y方向產(chǎn)生劇烈振動，兩種模型均無明顯的周期性，但與其他兩個(gè)轉(zhuǎn)速相同，該轉(zhuǎn)速下時(shí)域響應(yīng)存在較明顯的幅值調(diào)制現(xiàn)象。同時(shí)，波紋度使系統(tǒng)頻率成分發(fā)生明顯改變，其對應(yīng)的頻譜表明，忽略波紋度時(shí)，響應(yīng)主要頻率成分為主動齒輪支承軸承滾動體通過頻率fb1（157.02Hz）以及齒輪嚙合頻率fm（2616.67Hz）；波紋度的存在使從動軸承保持架的轉(zhuǎn)動頻率fw2（42Hz）成為系統(tǒng)響應(yīng)的主要頻率，此現(xiàn)象與文獻(xiàn)［10］中的研究結(jié)論相近，同時(shí)還可分辨出明顯的主動齒輪支承軸承滾動體通過頻率fb1（157.02Hz）以及嚙合頻率fm（2616.67Hz），并且波紋度使該轉(zhuǎn)速下沿y方向響應(yīng)的頻譜中出現(xiàn)了微弱的連續(xù)譜，進(jìn)而影響系統(tǒng)的動力學(xué)特征，結(jié)果表明，波紋度的存在對主動齒輪y方向上的動態(tài)響應(yīng)具有加強(qiáng)作用，轉(zhuǎn)速越高，波紋度激勵(lì)的影響越明顯，主動齒輪支承主軸承滾動體通過頻率和嚙合頻率變成了從動軸承保持架轉(zhuǎn)動頻率。且這里所得到的振動響應(yīng)規(guī)律與文獻(xiàn)［12-13］結(jié)果基本一致，進(jìn)一步驗(yàn)證了所得結(jié)論的正確性。

5 結(jié)論

基于集中參數(shù)法建立了包含滾動軸承波紋度激勵(lì)的齒輪-軸承增速傳動系統(tǒng)的動力學(xué)模型，使用Runge-Kutta算法進(jìn)行數(shù)值仿真，仿真結(jié)果與忽略波紋度的動力學(xué)模型仿真結(jié)果對比表明：

（1）低轉(zhuǎn)速時(shí)，系統(tǒng)的主要特征頻率為主動齒輪支承軸承滾動體通過頻率和齒輪嚙和頻率及其諧波頻率，系統(tǒng)響應(yīng)具有明顯的周期性和幅值調(diào)制現(xiàn)象，此時(shí)波紋度對系統(tǒng)響應(yīng)無明顯影響；

（2）隨著轉(zhuǎn)速增大，兩種模型響應(yīng)同樣具有明顯的周期性和幅值調(diào)制現(xiàn)象，且均會出現(xiàn)嚙合頻率分頻共振現(xiàn)象，1/2嚙合頻率為系統(tǒng)響應(yīng)特征頻率；

（3）隨著轉(zhuǎn)速的進(jìn)一步增大，這里所提出模型的響應(yīng)與忽略波紋度激勵(lì)的模型響應(yīng)相比，其頻譜中在從動軸承保持架轉(zhuǎn)動頻率處出現(xiàn)明顯的峰值，系統(tǒng)的主要頻率成分變?yōu)閺膭虞S承保持架轉(zhuǎn)動頻率成分，軸承振動劇烈，波紋度對高轉(zhuǎn)速下齒輪-軸承系統(tǒng)具有顯著的影響。

因此通過前文的分析，可以解釋實(shí)際齒輪軸承系統(tǒng)響應(yīng)中的頻率成分，為了提高實(shí)際操作的準(zhǔn)確性，在加工軸承技術(shù)中，應(yīng)提高軸承內(nèi)外圈表面的加工精度，減小軸承波紋度，在高速系統(tǒng)中應(yīng)選用波紋度較小的軸承，由于波紋度的數(shù)量級較小，這里結(jié)果通過與已有文獻(xiàn)進(jìn)行對比結(jié)果一致，進(jìn)一步加強(qiáng)了研究結(jié)論的準(zhǔn)確度。