曲徑通幽 彰顯本質
——解密二次函數(shù)圖像的變換規(guī)律

文／仲偉東

二次函數(shù)圖像的平移、翻折和旋轉是眾多命題者青睞的方向，也被不少同學視為數(shù)學學習中的障礙。要突破這個學習難點，我們需要回歸知識本位去思考不同的解題策略，進而發(fā)現(xiàn)隱藏于題目之中的數(shù)學本質，解密二次函數(shù)圖像的變換規(guī)律。

一、二次函數(shù)圖像的平移

問題1 把二次函數(shù)y=x2-2x-3 的圖像向上平移2 個單位，所得圖像的函數(shù)表達式是什么？

【方法提示】方法1：在拋物線y=x2-2x-3 上任取三點，如（0，-3）、（-1，0）、（-2，5），然后確定這三點向上平移2 個單位后的新點坐標為（0，-1）、（-1，2）、（-2，7），最后用待定系數(shù)法求解。

方法2：我們根據(jù)平移性質發(fā)現(xiàn)，在自變量x不變的前提下，對應的函數(shù)值均增加2，直接得到平移后的表達式為y=x2-2x-3+2。

【密碼破譯】二次函數(shù)圖像的平移問題本質是利用平移的性質確定平移后對應點的坐標，對于規(guī)律的運用要分清楚點的平移規(guī)律和圖像平移規(guī)律的不同之處。

變式1 把二次函數(shù)y=x2-2x-3 的圖像向左平移2 個單位，所得圖像的函數(shù)表達式是什么？

【方法提示】方法1 要注意點的左右平移和上下平移的區(qū)別；方法2 要注意是函數(shù)值y不變，自變量x變化。

變式2 把二次函數(shù)y=x2-2x-3 的圖像沿直線y=x方向向上平移2個單位，所得圖像的函數(shù)表達式是什么？

【方法提示】此題的關鍵在于將“沿直線y=3x方向向上平移2 個單位”進行解密，它的正確譯文應是“先向右平移1個單位，再向上平移3 個單位”。

二、二次函數(shù)圖像的翻折

問題2 把二次函數(shù)y=x2-2x-3 的圖像沿x軸翻折，所得圖像的函數(shù)表達式是什么？

【方法提示】方法1：同問題1 的“方法1”一樣，任取三點，然后用待定系數(shù)法求解。

方法2：我們根據(jù)軸對稱性質發(fā)現(xiàn)，在自變量x不變的前提下，對應的函數(shù)值均取相反數(shù)，得到翻折后的表達式為-y=x2-2x-3。

【密碼破譯】二次函數(shù)圖像的翻折問題的本質是利用軸對稱性質，確定翻折后的對應點坐標。

變式1 把二次函數(shù)y=x2-2x-3 的圖像沿y軸翻折，所得圖像的函數(shù)表達式是什么？

【方法提示】方法1 要注意點關于y軸對稱和關于x軸對稱的區(qū)別；方法2要發(fā)現(xiàn)其翻折的規(guī)律是在函數(shù)值y不變的前提下，對應的自變量x均取相反數(shù)。

變式2 把二次函數(shù)y=x2-2x-3 的圖像沿直線y=1 翻折，所得圖像的函數(shù)表達式是什么？

【方法提示】此題的關鍵在于將“沿直線y=1 翻折”進行解密，它的正確譯文應是“翻折前后，對應點到直線y=1 距離相等”。

三、二次函數(shù)圖像的旋轉

問題3 把二次函數(shù)y=x2-2x-3 的圖像繞頂點旋轉180°，所得圖像的函數(shù)表達式是什么？

【方法提示】方法1：同問題1 的“方法1”一樣，任取三點，然后用待定系數(shù)法求解。

方法2：在拋物線y=x2-2x-3 上取頂點（1，-4）和非頂點的任意點（0，-3），然后確定這兩點繞頂點旋轉180°所得的新點坐標為（1，-4）、（2，-5），最后用待定系數(shù)法設頂點式求解。

【密碼破譯】二次函數(shù)圖像旋轉問題的本質是利用中點坐標公式確定旋轉后的對應點坐標。

變式1 把二次函數(shù)y=x2-2x-3 的圖像繞其與y軸交點旋轉180°，所得圖像的函數(shù)表達式是什么？

【方法提示】破譯旋轉類問題要學會取特殊點降低解題難度。如本題可取頂點和與y軸交點變換后的對應點進行求解。

變式2 把二次函數(shù)y=x2-2x-3 的圖像繞點（2，1）旋轉180°，所得圖像的函數(shù)表達式是什么？

【方法提示】對于旋轉中心為一般點的情況，我們要學會合理建立全等三角形模型，正確求出變換后圖像上的對應點坐標。