初中幾何性質(zhì)與判定定理教學(xué)順序探析

? 云南師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 趙 潔 孔德宏

圖形與幾何是義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)課程內(nèi)容的四個(gè)領(lǐng)域之一,初中階段圖形與幾何領(lǐng)域包括“圖形的性質(zhì)”“圖形的變化”和“圖形與坐標(biāo)”三個(gè)主題.“圖形的性質(zhì)”強(qiáng)調(diào)通過(guò)實(shí)驗(yàn)探究、直觀發(fā)現(xiàn)、推理論證來(lái)研究圖形,在用幾何直觀理解基本事實(shí)的基礎(chǔ)上,從基本事實(shí)出發(fā)推導(dǎo)圖形的幾何性質(zhì)和定理[1].筆者在設(shè)計(jì)“相交線與平行線”單元教學(xué)的過(guò)程中,查閱不同版本的初中數(shù)學(xué)教材發(fā)現(xiàn),就平行線的判定與性質(zhì)而言,人教版、浙教版、冀教版、滬教版、滬科版、北師大版平行線的教學(xué)是先判定后性質(zhì),而湘教版是先性質(zhì)后判定.那么,自然會(huì)產(chǎn)生一個(gè)問(wèn)題,在命題課教學(xué)中是先判定還是先性質(zhì)?為什么這樣編排?判定與性質(zhì)的順序能否對(duì)調(diào)?引發(fā)筆者思考.

1 初中幾何性質(zhì)與判定教學(xué)順序?qū)Ρ?/h2>

平行線的判定與性質(zhì)是學(xué)生初學(xué)幾何時(shí)遇到的重要定理,它們的條件和結(jié)論相似,在具體運(yùn)用時(shí)容易混淆.筆者對(duì)人教版、浙教版、冀教版、滬教版、滬科版、北師大版、湘教版等七個(gè)版本中七年級(jí)下冊(cè)平行線的判定及其性質(zhì)進(jìn)行研究[2],發(fā)現(xiàn)除了湘教版的編排順序是先性質(zhì)后判定,其余六個(gè)版本都是先判定后性質(zhì),如表1所示.

表1 七個(gè)版本平行線的判定與性質(zhì)教材編排順序

下面對(duì)人教版和湘教版初中數(shù)學(xué)平面幾何判定與性質(zhì)的教學(xué)順序進(jìn)行研究.人教版與湘教版初中數(shù)學(xué)平面幾何教材編排順序如表2所示.

表2 人教版與湘教版初中數(shù)學(xué)平面幾何教材編排順序

2 幾何性質(zhì)與判定教學(xué)順序分析

2.1 平行線的判定與性質(zhì)教學(xué)順序

平行線的判定與性質(zhì)中人教版和湘教版的教學(xué)順序相反,湘教版“圖形與幾何”部分用變換的觀點(diǎn)來(lái)研究圖形的性質(zhì),考慮到初一是學(xué)生從形象思維逐步向抽象思維轉(zhuǎn)變的過(guò)渡階段,學(xué)生很難接受?chē)?yán)格的演繹證明,而先學(xué)習(xí)平行線的性質(zhì),在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步證明這些性質(zhì),這對(duì)學(xué)生來(lái)講直觀、形象,又易于理解接受.先性質(zhì)后判定的正向思維將幾何的直觀性和思維的嚴(yán)謹(jǐn)性有機(jī)結(jié)合起來(lái),用變換的觀點(diǎn)來(lái)研究圖形的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系,由此可循序漸進(jìn)地培養(yǎng)學(xué)生的推理能力[3].

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的最終目的是為了解決實(shí)際問(wèn)題,而解題思維的訓(xùn)練正是為了更好地解決實(shí)際問(wèn)題.通過(guò)“性質(zhì)”分析解題的過(guò)程是數(shù)學(xué)思維當(dāng)中的正向思維,一般先性質(zhì)后判定,因?yàn)檫@樣的順序是循序漸進(jìn)的,以免學(xué)生在剛剛接觸到判定就感覺(jué)很復(fù)雜.“平行線的判定”和“平行線的性質(zhì)”,是學(xué)生很容易混淆的兩個(gè)知識(shí)點(diǎn).平行線的判定是由角的“數(shù)量關(guān)系”來(lái)判斷兩直線的“位置關(guān)系”,而平行線的性質(zhì)則是由兩直線的“位置關(guān)系”來(lái)確定角的“數(shù)量關(guān)系”,平行線的判定與性質(zhì)正好因果倒置.對(duì)于平行線的判定,兩直線平行是結(jié)論;而對(duì)于平行線的性質(zhì),兩直線平行卻是條件.

因?yàn)榕卸ㄏ喈?dāng)于性質(zhì)的逆運(yùn)用,所以數(shù)學(xué)定理通常都是順用容易逆用難.就人教版而言,平行線的判定及其性質(zhì)是先判定后性質(zhì).對(duì)兩版教材對(duì)應(yīng)內(nèi)容進(jìn)行分析、比較后發(fā)現(xiàn),該內(nèi)容在兩版教材中都是通過(guò)動(dòng)手操作、猜想、驗(yàn)證的過(guò)程來(lái)掌握平行線的判定和性質(zhì).通過(guò)這樣的訓(xùn)練,可培養(yǎng)學(xué)生言之有據(jù)的思考習(xí)慣,所以筆者認(rèn)為平行線的判定和性質(zhì)的教學(xué)順序是可以對(duì)調(diào)的.

2.2 全等三角形、勾股定理、平行四邊形的判定與性質(zhì)教學(xué)順序

人教版和湘教版中全等三角形、勾股定理、平行四邊形的判定與性質(zhì)的教學(xué)順序都是先性質(zhì)后判定.“全等三角形”這一章中,首先學(xué)習(xí)全等三角形的性質(zhì)——對(duì)應(yīng)邊相等,對(duì)應(yīng)角相等,進(jìn)而利用全等三角形的性質(zhì)研究全等三角形的判定方法.值得注意的是,在其全等的六個(gè)判定條件中,有些條件是相關(guān)的.對(duì)于這一部分知識(shí)的學(xué)習(xí),倘若先學(xué)習(xí)判定再研究性質(zhì)的話,會(huì)顯得格外復(fù)雜且無(wú)據(jù)可尋.

圖1

在“直角三角形”的教學(xué)中,首先通過(guò)探究特殊直角三角形三邊所具有的數(shù)量關(guān)系,猜想一般的直角三角形的三邊(如圖1)也具有如此數(shù)量關(guān)系,并進(jìn)行推理與證明(歸納推理),從而得出直角三角形的性質(zhì)(勾股定理)：a2+b2=c2.而后再通過(guò)直角三角形的這一性質(zhì)來(lái)判定一個(gè)三角形是否是直角三角形,即直角三角形的判定定理：如果三角形的三邊長(zhǎng)a,b,c滿足a2+b2=c2,那么這個(gè)三角形就是直角三角形.

該內(nèi)容對(duì)應(yīng)于湘教版八年級(jí)下冊(cè)“1.2直角三角形的性質(zhì)和判定(Ⅱ)”,先通過(guò)動(dòng)手操作得到直角三角形的性質(zhì)定理,也就是勾股定理,再通過(guò)探究得到直角三角形的判定定理,也就是勾股定理的逆定理.

兩組對(duì)邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形,這是平行四邊形的定義(既是性質(zhì)也是判定).根據(jù)定義探究得到平行四邊形的其他性質(zhì)：對(duì)邊相等,對(duì)角相等,對(duì)角線互相平分.要判定一個(gè)四邊形是平行四邊形就要先借助平行四邊形的性質(zhì)來(lái)證明平行四邊形的判定定理,不能根據(jù)平行四邊形的定義證明判定定理,因此在這里性質(zhì)與判定的教學(xué)順序不能對(duì)調(diào).

2.3 相似三角形的判定與性質(zhì)教學(xué)順序

人教版和湘教版中相似三角形的判定與性質(zhì)的順序都是先判定后性質(zhì).相似三角形的定義(既是判定又是性質(zhì))是對(duì)應(yīng)邊成比例、對(duì)應(yīng)角相等的三角形是相似三角形.但是判定條件能不能少一點(diǎn)呢?當(dāng)然能,平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交,所構(gòu)成的三角形與原三角形相似;三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似;兩邊成比例且?jiàn)A角相等的兩個(gè)三角形相似;兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似.而相似三角形的性質(zhì)有對(duì)應(yīng)高的比、對(duì)應(yīng)中線的比、對(duì)應(yīng)角平分線的比都等于相似比.要證明相似三角形的性質(zhì),實(shí)際上是要先用相似三角形的判定的條件,直接用相似三角形的定義就證明不出來(lái),在這里就必須要先學(xué)判定后學(xué)性質(zhì).該內(nèi)容教學(xué)順序就不能對(duì)調(diào).

在以上典型例子的分析中,對(duì)于教材內(nèi)容的編排,性質(zhì)與判定定理編寫(xiě)順序不一的初衷是為了便于教師更好地傳授知識(shí)和學(xué)生更好地理解與應(yīng)用知識(shí).如平行線的判定與性質(zhì),人教版和湘教版教學(xué)順序不一,但筆者認(rèn)為先性質(zhì)后判定的教學(xué)順序更加符合學(xué)生的認(rèn)知.而相似三角形的判定與性質(zhì),不能隨便對(duì)調(diào)教學(xué)順序,因?yàn)橄嗨迫切涡再|(zhì)的證明中運(yùn)用到了判定中的相似比這一概念.

3 小結(jié)

筆者通過(guò)對(duì)初中學(xué)生認(rèn)知思維、不同教材版本以及知識(shí)本身內(nèi)在聯(lián)系進(jìn)行探究分析后,從兩個(gè)角度對(duì)初中平面幾何性質(zhì)與判定定理的教學(xué)順序做出選擇.由于平面幾何的直觀性,導(dǎo)致研究者思考的角度產(chǎn)生差異,因此有的平面幾何知識(shí)是先判定后再研究性質(zhì).根據(jù)皮亞杰認(rèn)知發(fā)展階段理論,初中學(xué)生處于形式運(yùn)算階段,在認(rèn)知思維和已有的認(rèn)知水平上,其思維在形象理解層面已經(jīng)開(kāi)始逐步以抽象邏輯思維為主導(dǎo)方式.在學(xué)習(xí)平面幾何的性質(zhì)與判定定理時(shí),學(xué)生的認(rèn)知已不再局限于該幾何圖形是什么,有什么特征,而是會(huì)思考當(dāng)已知哪些條件時(shí)能夠判斷該幾何圖形有什么結(jié)論.因此,對(duì)于有些幾何知識(shí)的學(xué)習(xí),在契合學(xué)生這種逆向思維的情況下,教與學(xué)就變得相對(duì)簡(jiǎn)單有效,所以有的幾何知識(shí)宜先學(xué)判定定理,而后再學(xué)性質(zhì).