求解耦合非線性Schr?dinger-Boussinesq方程的三角標(biāo)量輔助變量方法

郭姣姣 莊清渠

摘要： 采用三角標(biāo)量輔助變量（TSAV）方法，構(gòu)造求解耦合非線性Schr?dinger-Boussinesq方程初邊值問題的高效數(shù)值格式?；诜匠谭蔷€性勢(shì)能的三角函數(shù)形式，提出求解方程的TSAV格式；對(duì)方程在時(shí)間和空間上分別采用二階Crank-Nicolson格式和傅里葉譜方法進(jìn)行離散，并證明時(shí)間半離散格式的修正能量守恒律。最后，通過數(shù)值算例對(duì)文中格式進(jìn)行驗(yàn)證。結(jié)果表明：文中格式具有有效性，修正能量具有守恒性。

關(guān)鍵詞： 耦合非線性Schr?dinger-Boussinesq方程； 三角標(biāo)量輔助變量方法； 修正能量； 守恒律

中圖分類號(hào)： O 241.8文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A?? 文章編號(hào)： 1000-5013（2024）01-0098-10

Trigonometric Scalar Auxiliary Variable Method for Coupled Nonlinear Schr?dinger-Boussinesq Equation

GUO Jiaojiao， ZHUANG Qingqu

（School of Mathematical Sciences， Huaqiao University， Quanzhou 362021， China）

Abstract： Based on the trigonometric scalar auxiliary variable （TSAV） method， an efficient numerical scheme is constructed to solve the initial boundary value problem of the coupled nonlinear Schr?dinger-Boussinesq equation. Firstly， based on the trigonometric function form of the nonlinear potential energy equation， the TSAV scheme of the considered equation is proposed. Then， the equation is discretized in temporal and spatial by using the second-order Crank-Nicolson scheme and Fourier spectral method respectively， and the modified energy conservation law of time semi-discrete scheme is proved. Finally， the proposed scheme is verified by numerical examples. The results show that the proposed scheme is effective and the modified energy is conserved.

Keywords：coupled nonlinear Schr?dinger-Boussinesq equation； trigonometric scalar auxiliary variable method； modified energy； conservation law

Schr?dinger方程和Boussinesq方程是應(yīng)用數(shù)學(xué)和物理學(xué)中的重要方程，前人對(duì)這兩類方程展開了廣泛的研究［1-2］。耦合非線性Schr?dinger-Boussinesq（CNSB）方程是一類用于描述激光和等離子體領(lǐng)域各種物理過程的重要的波動(dòng)方程［3］。文獻(xiàn)［4-5］對(duì)方程解析解的存在性、全局光滑解及適定性進(jìn)行了研究。由于直接求解CNSB方程的困難較大，所以數(shù)值求解CNSB方程得到了廣泛的關(guān)注。例如，Yang等［6］設(shè)計(jì)了求解CNSB方程的BDF2-Galerkin有限元格式。Tian等［7］設(shè)計(jì)了基于Galerkin有限元框架的時(shí)間兩網(wǎng)格格式。 Oruc［8］提出一種用于求解CNSB方程的徑向基函數(shù)結(jié)合有限差分的無網(wǎng)

格逼近方法。Cai等［9］針對(duì)CNSB方程構(gòu)造了一種保持質(zhì)量和能量守恒的快速求解器。文獻(xiàn)［10-11］對(duì)一維和二維CNSB方程構(gòu)造一類保能量和質(zhì)量守恒的有限差分方法。關(guān)于求解CNSB方程的一系列線性和非線性的緊致有限差分格式及其穩(wěn)定性、收斂性等理論分析可參考文獻(xiàn)［12-13］。二次B樣條有限元方法［14］、基于時(shí)間分裂的傅里葉譜方法［15］及標(biāo)量輔助變量（SAV）方法［16］等均可用于高效求解CNSB方程。

SAV方法首先由Shen等［17］提出，之后出現(xiàn)了基于SAV方法的各類擴(kuò)展形式，如拉格朗日乘數(shù)法、指數(shù)標(biāo)量輔助變量方法等，這些方法因計(jì)算的高效性和簡(jiǎn)便性受到了廣泛的應(yīng)用［18］。Yang等［19］提出一種基于非線性勢(shì)能泛函的三角函數(shù)形式，即三角標(biāo)量輔助變量（TSAV）方法，并驗(yàn)證該方法可以成功應(yīng)用于一大類梯度流模型。該方法繼承了傳統(tǒng)SAV方法所有優(yōu)點(diǎn)的同時(shí)，還彌補(bǔ)了其不足，它對(duì)于任意非線性勢(shì)能泛函，均可通過添加一個(gè)大于1的常數(shù)c0，使新引入的標(biāo)量輔助變量具有常正性。將標(biāo)量輔助變量作用于方程的非線性部分，可以使方程完全解耦，簡(jiǎn)便計(jì)算。文獻(xiàn)［20-21］基于正弦函數(shù)型標(biāo)量輔助變量，分別構(gòu)建了四階非線性波動(dòng)方程和廣義分?jǐn)?shù)階Schr?dinger方程的高階TSAV保能格式。目前，針對(duì)CNSB方程的高階TSAV保能格式的研究仍較少?；诖?，本文基于余弦函數(shù)型標(biāo)量輔助變量，提出一種求解耦合非線性Schr?dinger-Boussinesq方程的高效能量穩(wěn)定方法。

1 問題與TSAV格式

考慮帶周期邊界條件的CNSB方程的數(shù)值求解格式，即

式（1）中：i2=-1；Ω=［a，b］d，d=1，2；ε表示電子數(shù)與離子數(shù)質(zhì)量比的參數(shù)，ε>0；γ，ξ，α，θ，ω均為正實(shí)數(shù)；f（v）為一個(gè)滿足f（0）=0的充分光滑函數(shù)；u（x，t）為朗繆爾振蕩電場(chǎng)的復(fù)值函數(shù)；v（x，t）為描述低頻密度攝動(dòng)的實(shí)值函數(shù)。

式（1）的初始條件為u（x，0）=u0（x），v（x，0）=v0（x），vt（x，0）=v1（x），x∈Ω。

式（1）滿足電荷（Q）守恒律和能量（E）守恒律［15］，有

將式（1）中的第1個(gè)方程與u作內(nèi)積，取虛部，可證明電荷守恒律。將式（1）中的第1個(gè)方程與-ut作內(nèi)積，取實(shí)部，再將式（1）中的第2個(gè)方程與-vt作內(nèi)積，結(jié)合上述內(nèi)積結(jié)果和vt=Δφ，可證明能量守恒律。

采用TSAV方法對(duì)式（1）進(jìn)行求解，首先，引入vt=Δφ，將式（1）降階為關(guān)于時(shí)間一階導(dǎo)的等價(jià)形式，有

此時(shí)，式（2）的初始條件和邊界條件可分別表示為

u（x，0）=u0（x）， v（x，0）=v0（x）， φ（x，0）=φ0（x），? x∈Ω，

u（a，t）=u（b，t）， v（a，t）=v（b，t）， φ（a，t）=φ（b，t），? t∈（0，T］。

其次，對(duì)于任意網(wǎng)格函數(shù)u1，u2∈L2（Ω），定義內(nèi)積（·，·）和范數(shù)·的表達(dá)式為

然后，基于方程的非線性勢(shì)能引入三角標(biāo)量輔助變量，有

式中：c0是一個(gè)恒大于1的常數(shù)，則有

基于此，可構(gòu)建式（2）的TSAV格式，有

其中有

定理1 式（3）滿足修正能量守恒律，有

將式（3）中第2，3個(gè)方程分別與vt，-φt作內(nèi)積并相加，可得

將上述兩個(gè)內(nèi)積結(jié)果相加，并結(jié)合式（3）中最后一個(gè)方程，可得

即可證得式（4）。證明完畢。

2 時(shí)間半離散格式

對(duì)于n=1，2，…，N-1，為了求解un+1，vn+1，φn+1，Rn+1，通過二階Crank-Nicolson格式構(gòu)建CNSB方程的時(shí)間半離散格式，有

此外，式（5）的實(shí)現(xiàn)需要第1層的值u1，v1，φ1，R1和初始條件。初始條件是已知的，則當(dāng)n=0時(shí)，第1層的值可通過隱式Crank-Nicolson格式求解，有

定理2 時(shí)間半離散格式（5），（6）滿足修正能量守恒律，有

在式（5）第2，3個(gè)方程的兩端分別乘以（vn+1-vn），-（φn+1-φn），然后，在Ω上積分，再將結(jié)果相加，整理可得

將以上兩個(gè)等式相加，并利用式（5）中最后一個(gè)方程，可得

下面考慮式（5），（6）的求解。首先，考慮將式（5）的前3個(gè)方程分別改寫為

最后，將求得的un+1，vn+1代入式（5）中最后一個(gè)方程，可得

值得注意的是，余弦函數(shù)的定義域?yàn)槿w實(shí)數(shù)，且通過計(jì)算可知Γ的值恒為實(shí)數(shù)，所以Rn+1是始終可解的。

此外，初始值u1，v1，φ1，R1可通過式（6）采用預(yù)估校正法進(jìn)行類似的求解。簡(jiǎn)言之，TSAV格式（5），（6）可以通過以下4個(gè)步驟快速求解：

1） 通過式（6）解得第1層的值u1，v1，φ1，R1；

2） 計(jì)算b1，b2，b3；

3） 依次從式（7），（10），（11）求解un+1，vn+1，φn+1；

4） 由式（12）解得Rn+1。

3 數(shù)值算例

為了方便求解，對(duì)所有數(shù)值實(shí)驗(yàn)均采用快速傅里葉變換（FFT）和傅里葉逆變換（IFFT）進(jìn)行空間離散，以驗(yàn)證文中格式在時(shí)間方向上具有二階精度，在空間方向上具有譜精度，有效保持修正能量E的守恒性，并模擬CNSB方程二維孤立波的演化行為。在此之前，先定義enj（g）=gnj-g（xj，tn），則對(duì)應(yīng)的L∞誤差和L2誤差可分別表示為

式中：任意網(wǎng)格函數(shù)g可分別表示u，v，φ。

L∞誤差和L2誤差對(duì)應(yīng)的收斂階Rate的計(jì)算公式分別為

當(dāng)t=0時(shí)，式（13）可作為CNSB方程的初始條件，取常數(shù)c0=2.0。

檢驗(yàn)文中格式的時(shí)間精度和空間精度。選擇計(jì)算區(qū)域Ω=［-20，20］，T=1。固定空間剖分M=512。

不同時(shí)間步長(zhǎng)下u，v，φ的時(shí)間L∞ 誤差及收斂階，時(shí)間L２ 誤差及收斂階，分別如表1，2所示。

表1，2中：Rate∞，u，Rate∞，v，Rate∞，φ分別為Err∞（u），Err∞（v），Err∞（φ）的收斂階；

Rate2，u，Rate2，v，Rate2，φ分別為Err2（u），Err2（v），Err2（φ）的收斂階。

由表1，2可知：文中格式在時(shí)間方向上具有二階精度。

固定時(shí)間步長(zhǎng)τ=0.000 1，u，v，φ在不同空間剖分下的空間L∞誤差和L2誤差，分別如圖1所示。由圖1可知：文中格式在空間方向上呈現(xiàn)指數(shù)收斂，具有譜精度。

選取計(jì)算區(qū)域Ω=［-20，140］，T=100，固定空間剖分M=512，時(shí)間步長(zhǎng)τ=0.01。u，v，φ的精確解與數(shù)值解，如圖2所示。

由圖2可知：不同時(shí)刻下的數(shù)值解與精確解都能很好地吻合，故文中提出的TSAV格式是穩(wěn)定的。

驗(yàn)證CNSB方程的守恒律，基于上述計(jì)算區(qū)域和網(wǎng)格設(shè)計(jì)，修正能量（E）和修正能量誤差（enE）隨著時(shí)間的變化情況，如圖3所示。

由圖3可知：TSAV格式能很好地保持修正能量守恒，這與節(jié)2的能量守恒定理一致。

在不同時(shí)間步長(zhǎng)τ=1/100，1/200，1/400下，電荷誤差（enQ）和能量誤差（enE）隨著時(shí)間的變化情況，如圖4所示。由圖4可知：電荷誤差和能量誤差均隨著時(shí)間步長(zhǎng)的減小而減小。

算例2 考慮CNSB方程二維孤立波的演化行為，選擇初始條件，有［7，15］

計(jì)算區(qū)域取Ω=［-20，20］2，固定空間剖分和時(shí)間步長(zhǎng)分別為M=512，τ=0.01，取常數(shù)c0=2.0。

CNSB方程在情況1下的數(shù)值解u，v，φ不同時(shí)間的曲面圖，如圖5所示。

由圖5可知：u的數(shù)值解隨著時(shí)間的推移，由一個(gè)波峰變成多個(gè)波峰；v，φ的數(shù)值解逐漸呈現(xiàn)下陷趨勢(shì)，且逐漸產(chǎn)生少量余波。

CNSB方程在情況2下可以簡(jiǎn)化為Zakharov系統(tǒng)，它是CNSB方程的一種特殊形式。二維Zakharov系統(tǒng)的數(shù)值解u，v，φ不同時(shí)間的曲面圖，如圖6所示。

由圖6可知：u的數(shù)值解隨著時(shí)間的演化過程與情況1類似；v的數(shù)值解也隨著時(shí)間推移出現(xiàn)下陷趨勢(shì)，但形態(tài)與情況1不同；φ隨著時(shí)間的推移并未出現(xiàn)下陷趨勢(shì)，也無余波產(chǎn)生。這與文獻(xiàn)［7］中算例4.3的研究結(jié)果一致。

綜上可知，文中TSAV格式可推廣至方程高維問題的求解。

4 結(jié)束語(yǔ)

利用TSAV方法構(gòu)造耦合非線性Schr?dinger-Boussinesq方程的能量穩(wěn)定數(shù)值求解格式，理論證明了時(shí)間半離散格式的修正能量守恒性。通過數(shù)值實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了格式的穩(wěn)定性和有效性，并模擬了方程二維的動(dòng)力學(xué)過程。

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