輸入量化下航天器位姿一體化預(yù)設(shè)時(shí)間控制

張洪珠，葉東，孫兆偉

哈爾濱工業(yè)大學(xué) 衛(wèi)星技術(shù)研究所，哈爾濱 150001

近年，軌道快車、“棱鏡”雙星（Prototype Research Instruments and Space Mission Technology Advancement，PRISMA）和蜂鳥一號(hào)（HummerSat-1）等空間任務(wù)取得了巨大成功。為保障任務(wù)航天器“健康”以長(zhǎng)期遂行目標(biāo)任務(wù)，在軌對(duì)其進(jìn)行故障搶修和常規(guī)維護(hù)是必要的。實(shí)施救援和維護(hù)過程中，往往要求主動(dòng)航天器（維護(hù)航天器）必須能夠以期望的狀態(tài)快速準(zhǔn)確地到達(dá)維護(hù)接口，并相對(duì)目標(biāo)航天器（故障航天器）保持懸停和姿態(tài)同步從而順利實(shí)施維護(hù)操作［1］。因此，航天器姿態(tài)軌道快速高精度控制問題成為航天工程領(lǐng)域研究的熱點(diǎn)［2］。

有限時(shí)間控制由于可突破收斂的漸近性，同時(shí)具有更好的控制性能和出色的魯棒性，因而廣泛應(yīng)用于航天器姿態(tài)控制領(lǐng)域［3-4］，如基于終端滑模方法［5-6］、加冪積分技術(shù)［7］和齊次性理論［8］等設(shè)計(jì)的有代表性的有限時(shí)間控制方案。值得注意的是，有限時(shí)間控制策略狀態(tài)收斂時(shí)間的估計(jì)依賴于系統(tǒng)的初始狀態(tài)，但對(duì)于某些空間任務(wù)而言，航天器的初始狀態(tài)難以預(yù)先準(zhǔn)確獲知［2］，從而將導(dǎo)致系統(tǒng)收斂時(shí)間難以確定和分析［9］。因此有限時(shí)間控制在實(shí)際應(yīng)用中受到較大限制。為解決有限時(shí)間方法對(duì)系統(tǒng)初值的依賴問題，學(xué)者們提出了固定時(shí)間控制方法［10］。該方法不僅能夠使得被控系統(tǒng)在有限時(shí)間內(nèi)獲得良好的動(dòng)態(tài)性能，而且系統(tǒng)的收斂時(shí)間也不受初始狀態(tài)的影響。作為有限時(shí)間概念的改進(jìn)，固定時(shí)間方法在航天器控制領(lǐng)域也與滑?？刂?、冪積分、極限齊次等技術(shù)結(jié)合，取得了豐碩的研究成果［11-15］。但是，面向?qū)嶋H應(yīng)用，該方法仍顯不足。工程上，系統(tǒng)收斂時(shí)間和收斂精度等指標(biāo)一般根據(jù)任務(wù)的工程目標(biāo)首先確定，然后在指標(biāo)范圍內(nèi)設(shè)計(jì)滿足要求的控制算法。如：對(duì)于推力矢量航天器，在維護(hù)機(jī)動(dòng)過程中，航天器姿態(tài)需在指定時(shí)間內(nèi)以足夠的精度匹配特定方向，進(jìn)而，推力器可在期望方向上施加脈沖推力，以在指定時(shí)間內(nèi)跟蹤目標(biāo)航天器的位置和速度，完成交會(huì)［16］。然而，如文獻(xiàn)［17-18］指出，固定時(shí)間技術(shù)的系統(tǒng)收斂時(shí)間與控制參數(shù)之間關(guān)系復(fù)雜，不能直接表示為系統(tǒng)的某個(gè)可調(diào)參數(shù)。因此限定系統(tǒng)收斂時(shí)間的條件下，該方法不易選擇控制參數(shù)，不利于實(shí)際應(yīng)用［19］。為解決固定時(shí)間方法的局限性，預(yù)設(shè)時(shí)間穩(wěn)定概念受到關(guān)注［20］，其收斂時(shí)間去除了對(duì)系統(tǒng)初值的依賴、且僅由一個(gè)特定的控制參數(shù)顯式?jīng)Q定。該概念良好的理論性質(zhì)獲得了學(xué)者們的青睞［21-24］。文獻(xiàn)［21］針對(duì)一類“歐拉-拉格朗日”型非線性系統(tǒng)，提出了一種新穎的實(shí)際預(yù)設(shè)時(shí)間控制方法。該方法引入坐標(biāo)變換思想，使得存在和不存在狀態(tài)約束時(shí)，誤差變量皆可在預(yù)設(shè)時(shí)間內(nèi)收斂到指定區(qū)間，且對(duì)系統(tǒng)不確定性具有良好的魯棒性。然而，該方法巧妙的處理思路使得設(shè)計(jì)過程變得復(fù)雜。文獻(xiàn)［22-24］采用了不同的設(shè)計(jì)思路，通過控制器設(shè)計(jì)使得系統(tǒng)李雅普諾夫函數(shù)的變化率滿足特定的預(yù)設(shè)時(shí)間收斂形式，解決了不確定性估計(jì)和航天器控制問題。然而，上述研究?jī)H面向航天器姿態(tài)控制問題，而未考慮航天器的軌道控制問題。

在軌維護(hù)等空間近距任務(wù)的航天器控制中，既需進(jìn)行姿態(tài)控制也需進(jìn)行軌道控制，且二者相互耦合。傳統(tǒng)上，一般對(duì)姿態(tài)和軌道運(yùn)動(dòng)進(jìn)行分別建模、獨(dú)立控制，控制實(shí)施時(shí)，也常采用姿軌交替的控制方式。但是，此種模式往往因忽略姿軌耦合效應(yīng)而降低模型精度，盡管控制器中加入修正項(xiàng)可在一定程度上補(bǔ)償耦合影響，但可能仍無(wú)法滿足高精度的任務(wù)要求［25］；此外，位姿分控方式，一方面難以實(shí)現(xiàn)姿態(tài)軌道同時(shí)到達(dá)期望狀態(tài)的控制目標(biāo)，同時(shí)也將導(dǎo)致整體機(jī)動(dòng)時(shí)間變長(zhǎng)，致使快速位姿機(jī)動(dòng)受到掣肘。可見，航天器姿軌耦合快速機(jī)動(dòng)控制問題研究具有重要意義。

預(yù)設(shè)時(shí)間概念解決具有收斂時(shí)間約束的非線性控制問題優(yōu)勢(shì)顯著，但是，該方法用于解決帶有時(shí)間約束的姿軌耦合控制問題，尚較鮮見。航天器控制領(lǐng)域，為解決獨(dú)立建模方式存在的不足、提高控制性能，李群SE（3）框架下的航天器運(yùn)動(dòng)描述成為姿軌耦合建模的主要方式之一。本質(zhì)上，空間近距離姿軌耦合控制問題可抽象為空間六自由度相對(duì)運(yùn)動(dòng)控制問題，SE（3）指數(shù)坐標(biāo)下六自由度相對(duì)運(yùn)動(dòng)描述能夠融合位姿耦合特性［5］，具有一些良好性質(zhì)，是位姿一體化控制研究的熱點(diǎn)。然而，指數(shù)坐標(biāo)下，系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)皆是耦合的，其非線性更強(qiáng)，動(dòng)態(tài)更復(fù)雜?；陬A(yù)設(shè)時(shí)間方法［21-22］進(jìn)行位姿跟蹤控制，首先限定了其收斂時(shí)間，而收斂時(shí)間的約束也將對(duì)系統(tǒng)其他性能產(chǎn)生較大影響。因而，指數(shù)坐標(biāo)下，其復(fù)雜的系統(tǒng)動(dòng)態(tài)，將使得預(yù)設(shè)時(shí)間控制器的設(shè)計(jì)更具挑戰(zhàn)。

對(duì)于執(zhí)行維護(hù)操作的微小型航天器，平臺(tái)配備的通信設(shè)備的功率和信道帶寬有限，而其控制與執(zhí)行機(jī)構(gòu)分系統(tǒng)之間又通常采用無(wú)線方式，因此，微小型航天器系統(tǒng)的通信能力受到較大限制［26］?？紤]這一問題，微小航天器的控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)需滿足快速機(jī)動(dòng)目標(biāo)，還需考慮其通信能力受限問題。目前，處理通信約束問題的主要思想包括量化控制和事件驅(qū)動(dòng)控制。相比于后者，前者在降低系統(tǒng)通信頻率的同時(shí)，也能夠減小單次通信中傳輸信號(hào)的數(shù)據(jù)量，是航天器控制策略研究的一個(gè)重要方面。輸入量化是量化技術(shù)的具體實(shí)現(xiàn)。該技術(shù)將連續(xù)信號(hào)變換為分段恒定輸入信號(hào)，并在恒定時(shí)段內(nèi)暫停通信從而降低控制器和執(zhí)行機(jī)構(gòu)間的通信頻率。然而，在位姿一體化系統(tǒng)下考慮量化控制，由于輸入力和力矩對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)軌跡的影響是耦合的，且二者往往具有量級(jí)差異，因此，如果粗略地對(duì)輸入信號(hào)進(jìn)行量化將產(chǎn)生較大輸入偏差，可能導(dǎo)致系統(tǒng)性能的嚴(yán)重下降，抑或無(wú)法滿足實(shí)時(shí)性較高的任務(wù)要求，甚至可能導(dǎo)致系統(tǒng)不穩(wěn)定［27］。綜上所述，考慮輸入量化問題的快速位姿一體化控制具有顯著的必要性和工程意義［28-29］，也更為復(fù)雜。

面向小型航天器執(zhí)行在軌維護(hù)任務(wù)中具有時(shí)間約束的高精度位姿控制問題，本文利用李群SE（3）框架描述融合姿軌耦合效應(yīng)的航天器六自由度空間運(yùn)動(dòng)，采用新型的誤差有界量化器對(duì)系統(tǒng)輸入進(jìn)行量化，并引入偏差補(bǔ)償策略，接引量化參數(shù)抑制其對(duì)控制性能的不利影響，進(jìn)而在預(yù)設(shè)時(shí)間穩(wěn)定概念下設(shè)計(jì)一體化位姿跟蹤控制算法。主要工作和貢獻(xiàn)如下：

1）運(yùn)用李群SE（3）上指數(shù)坐標(biāo)表示的航天器姿軌耦合誤差動(dòng)力學(xué)模型，在慣性參數(shù)未知、外部干擾以及力和力矩信號(hào)量化的條件下，解決了具有時(shí)間約束的快速位姿跟蹤控制問題。

2）引入誤差有界復(fù)合量化器減小控制器到執(zhí)行機(jī)構(gòu)的通信量，保證系統(tǒng)穩(wěn)定性的前提下，有效降低了系統(tǒng)通信負(fù)載；并利用量化參數(shù)設(shè)計(jì)偏差補(bǔ)償結(jié)構(gòu)，對(duì)量化誤差進(jìn)行對(duì)應(yīng)通道補(bǔ)償。

3）推導(dǎo)了實(shí)際預(yù)設(shè)時(shí)間穩(wěn)定引理，并基于反步法設(shè)計(jì)位姿一體化非奇異控制算法。該算法在擾動(dòng)信息未知和不依賴系統(tǒng)初始狀態(tài)的情況下，實(shí)現(xiàn)了指定時(shí)間內(nèi)高精度位姿跟蹤，且系統(tǒng)的穩(wěn)定時(shí)間上界可由一個(gè)控制增益預(yù)先設(shè)定。

1 姿軌一體化模型及問題描述

群是由集合及定義在集合上的二元運(yùn)算組成的代數(shù)結(jié)構(gòu)，李群是一類具有光滑性質(zhì)的群結(jié)構(gòu)，特殊歐幾里德群SE(3)是一類特殊的李群，它可以表示剛體的一般空間構(gòu)型。剛性航天器作為一種特殊的剛體，其空間運(yùn)動(dòng)可以由SE(3)的齊次坐標(biāo)及相應(yīng)的李代數(shù)se(3)描述［30-31］。

1.1 剛體航天器運(yùn)動(dòng)模型

慣性空間中，航天器的位置和姿態(tài)構(gòu)型可由SE(3)上的元素表示，即

式中：C∈SO(3)為航天器從本體坐標(biāo)系到慣性坐標(biāo)系的方向余弦矩陣；R=[R1R2R3]Τ∈R3為慣性系下航天器質(zhì)心的位置矢量，其原點(diǎn)位于地心。

為一體化描述航天器運(yùn)動(dòng)，定義航天器廣義速度為

式中：ω和υ分別為本體坐標(biāo)系下航天器的角速度和平移速度。

SE（3）上航天器運(yùn)動(dòng)學(xué)方程可以一體化地表示為［31］

根據(jù)文獻(xiàn)［31］，航天器姿軌耦合一體化動(dòng)力學(xué)方程可表示為

式中：Ξ=diag(J，mI3)∈R6×6為航天器慣性參數(shù)矩陣，其中J和m分別為航天器的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和質(zhì)量，Ij為j階單位陣，j為正整數(shù)；=(?v)T為廣義速度的反伴隨矩陣，其中，?v為廣義速度的伴隨矩陣，定義為為地球引力相關(guān)輸入向量，Mg=，分別為作用在航天器上的重力梯度力矩、重力和J2攝動(dòng)力，這里Rb=CTR為航天器質(zhì)心位置向量在本體系下的表示，μ=3.986×1014m3/s2、J2=1.082 63×10-3和R⊕=6 378 km 分別代表地球引力常數(shù)、地球扁率攝動(dòng)和地球平均半徑為控制輸入向量，其中Mc和Fc分別為輸入力矩和輸入力；為作用在航天器上的環(huán)境干擾向量，其中Md和Fd分別為干擾力矩和干擾力。

1.2 航天器姿軌一體化相對(duì)運(yùn)動(dòng)模型

考慮一個(gè)由目標(biāo)航天器和主動(dòng)航天器構(gòu)成的兩航天器系統(tǒng)。假定兩航天器（其中目標(biāo)既可以是真實(shí)航天器也可為虛擬的）的空間構(gòu)型分別為go和g，則該系統(tǒng)的相對(duì)位姿構(gòu)型可表示為。設(shè)主動(dòng)航天器的期望位姿構(gòu)型表示為gd，該期望構(gòu)型一般可通過目標(biāo)航天器構(gòu)型通過gd=goχd給定，其中χd為根據(jù)空間任務(wù)指定的系統(tǒng)的期望相對(duì)位姿構(gòu)型，通常為一個(gè)常量。

基于上述定義，主動(dòng)航天器相對(duì)于目標(biāo)航天器的位姿構(gòu)型跟蹤誤差為。進(jìn)而可得誤差運(yùn)動(dòng)學(xué)為

為簡(jiǎn)化控制器設(shè)計(jì)，引入李代數(shù)的指數(shù)坐標(biāo)表示位姿跟蹤誤差［30］。記，其中Ce為姿態(tài)跟蹤誤差方向余弦矩陣，Re為位置跟蹤誤差。定義η=[θTβT]T∈R6表示位姿跟蹤誤差的指數(shù)坐標(biāo)，其中θ和β分別為指數(shù)坐標(biāo)下的姿態(tài)跟蹤誤差和位置跟蹤誤差。指數(shù)坐標(biāo)可由李群和李代數(shù)間的對(duì)數(shù)映射得到，即

式中：(·)∨為(·)∧的逆變換。

通過課外實(shí)驗(yàn)，讓學(xué)生在自主創(chuàng)造和自己動(dòng)手中體會(huì)學(xué)習(xí)物理知識(shí)的樂趣，并在學(xué)習(xí)中加深對(duì)知識(shí)的理解。在教材中，很多生活化的實(shí)驗(yàn)都可以讓學(xué)生借助生活材料學(xué)習(xí)，并在課下自主探索。

logSE(3)(χe)的計(jì)算結(jié)果為

其中：tr(·)為矩陣(·)的跡。

于是，得到指數(shù)坐標(biāo)形式的誤差運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為［31］

式中：G(η)為分塊三角矩陣，定義為

不失一般性地，假定兩航天器系統(tǒng)的期望相對(duì)速度為零。對(duì)廣義速度跟蹤誤差ve求導(dǎo)，得到兩航天器位姿跟蹤誤差的相對(duì)動(dòng)力學(xué)方程為［31］

考慮實(shí)際任務(wù)中航天器慣性參數(shù)并非精確可知，因此，設(shè)航天器慣性參數(shù)矩陣及其逆分別表示為，其中，Ξ0為慣性參數(shù)矩陣的標(biāo)稱部分，ΔΞ為不確定部分，為慣性參數(shù)矩陣逆的不確定部分。進(jìn)而，位姿跟蹤誤差動(dòng)力學(xué)方程式（10）可表示為

1.3 輸入量化

假定u=[u1，u2，…，u6]∈R6為待量化的控制力矩和力，uc=Q(u)=[Q1(u1)，Q2(u2)，…，Q6(u6)]為u的量化值，Qi(·)為基于對(duì)數(shù)量化算法和均勻量化算法的復(fù)合量化器。根據(jù)文獻(xiàn)［27，32］，該量化器可定義為

對(duì)數(shù)量化器定義為

式中：ui，j=(ρi)1-jui，min；δi=(1 -ρi)(1 +ρi)(j=1，2，…，n)，其中n為正整數(shù)，0 ＜ρi＜1 表征對(duì)數(shù)量化器的量化密度；ui，min＞0 為待設(shè)計(jì)量化死區(qū)。當(dāng)控制輸入幅值大于閾值時(shí)，量化器切換為式（14）定義的非對(duì)稱均勻量化器：

至此，定義復(fù)合量化器的量化誤差為

根據(jù)對(duì)數(shù)量化器和均勻量化器的性質(zhì)，可得復(fù)合量化器的量化誤差有界，且滿足：

基于式（15）的定義，量化后的系統(tǒng)輸入可表示為uc=Q(u)=u+Δq，其中Δq為六通道量化誤差。

2 預(yù)設(shè)時(shí)間位姿一體化控制器設(shè)計(jì)

本節(jié)首先給出本文的控制目標(biāo)和常用假設(shè)及相關(guān)引理；接著推導(dǎo)滿足一般條件的實(shí)際預(yù)設(shè)時(shí)間穩(wěn)定引理；最后，利用該結(jié)果設(shè)計(jì)輸入量化條件下的位姿一體控制策略。

2.1 控制目標(biāo)

基于第1 節(jié)的定義，本文的控制目標(biāo)可描述為：對(duì)于考慮輸入量化的航天器相對(duì)運(yùn)動(dòng)誤差系統(tǒng)式（8）和式（11），設(shè)計(jì)一個(gè)非奇異的一體化控制律，使得位姿跟蹤誤差在任意初始條件下，皆可在預(yù)設(shè)時(shí)間內(nèi)收斂到原點(diǎn)的有界鄰域。即對(duì)于η(0)∈R6，當(dāng)t＞T時(shí)，η(t)∈L∞成立。

2.2 假設(shè)及引理

假設(shè)1目標(biāo)航天器的廣義速度和廣義加速度有界，即為正常數(shù)。

假設(shè)2［30，33］主動(dòng)航天器受到的環(huán)境輸入干擾和總干擾有界，即，dd和d為未知正常數(shù)。

引理1［23］對(duì)于任意xj＞0 (j=1，2，…，n)，下面的不等式成立：

引理2［34］對(duì)于x，y∈R 和常數(shù)τ1＞0，τ2＞0，q＞0，下面的不等式成立：

引理3［34］對(duì)于實(shí)數(shù)x，y，w∈R，滿足x≥y和w＞1，則下面的不等式成立：

引理4對(duì)于系統(tǒng)=f(x，t，d)，其中，x∈Rn，d∈Rn分別為系統(tǒng)狀態(tài)和外部擾動(dòng)，如果存在一個(gè)連續(xù)正定函數(shù)L(x)，對(duì)于系統(tǒng)任意解x(t，x0)和標(biāo)量參數(shù)0 ＜p＜1、預(yù)定義時(shí)間常數(shù)使得式（17）成立：

則系統(tǒng)的解軌跡是實(shí)際預(yù)設(shè)時(shí)間穩(wěn)定的，L在時(shí)間[ T ]內(nèi)到達(dá)包含平衡點(diǎn)的區(qū)域內(nèi)，其中min{·}表示集合{·}的最小元素，表示系統(tǒng)的收斂時(shí)間，滿足≤T。

證明受文獻(xiàn)［35］證明思路啟發(fā)，式（17）可以表示為

將式（19）代入式（20）得到：

進(jìn)一步變形，式（21）可表示為

注釋1對(duì)于系統(tǒng)=f(x，d，t)，文獻(xiàn)［36］在干擾有界且部分信息可知的條件下給出了預(yù)設(shè)時(shí)間穩(wěn)定定理穩(wěn)定時(shí)間上界為T。文獻(xiàn)［23］則在干擾有界但信息未知的條件下，給出了實(shí)際預(yù)設(shè)時(shí)間穩(wěn)定定理，并在特定情形下給出系統(tǒng)的預(yù)設(shè)收斂時(shí)間為。注意到，當(dāng)L＞1 時(shí)，在L收斂中起主要作用，當(dāng)L＜1 時(shí)，在L收斂中起主要作用。本文引理4 在文獻(xiàn)［23］定理的基礎(chǔ)上進(jìn)一步引入了可調(diào)參數(shù)?，即，該形式改變了文獻(xiàn)［23］中高低冪次項(xiàng)前的最小系數(shù)，增加了低冪次項(xiàng)前的權(quán)重，減小了高冪次項(xiàng)前的權(quán)重。系統(tǒng)存在有界擾動(dòng)時(shí)，該引理可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)狀態(tài)在預(yù)設(shè)時(shí)間T內(nèi)收斂。相比文獻(xiàn)［23］，引理4 在一般的情形下，得到系統(tǒng)收斂時(shí)間的估計(jì)更?。淮送?，在系統(tǒng)初始狀態(tài)遠(yuǎn)離平衡點(diǎn)時(shí)，能夠降低系統(tǒng)狀態(tài)的最小下降速度。因此，引理4 給出系統(tǒng)收斂時(shí)間的估計(jì)更具一般性；此外，該引理用于控制器設(shè)計(jì)時(shí)，有助于減小系統(tǒng)狀態(tài)較大時(shí)的控制輸入。對(duì)于位姿一體化誤差系統(tǒng)，其相對(duì)位置誤差可以很大，因此，基于該引理設(shè)計(jì)位姿控制器有利于降低系統(tǒng)的最大控制力，具有一定實(shí)際意義。

2.3 反步控制器設(shè)計(jì)

為滿足后文應(yīng)用，首先給出關(guān)于矩陣G(η)的性質(zhì)。

命題1對(duì)于狀態(tài)空間中的任意狀態(tài)向量η∈R6，式（9）定義的矩陣G(η)是可逆的。

證明由式（9）的表達(dá)式可知，G(η)為狀態(tài)相關(guān)的時(shí)變分塊下三角矩陣。證明采用反證法、分為兩種情況進(jìn)行。

情況1η≠0

如果A(θ)存在0 特征值，則存在非零向量∈R3使得，A(θ)=0，因而有：

根據(jù)A(θ)的定義，可得

考慮到θ×θ×=-θTθ·I3+θθT，式（26）可表示

再由θ=‖θ‖，可得A(θ)＞0，此結(jié)果與式（25）矛盾。因此，0 不是A(θ)的特征值。

情況2η=0

由G(η)的定義，利用洛必達(dá)法則容易驗(yàn)證：

綜上所述，G(η)為特征值非零的下三角分塊矩陣。因此，對(duì)于任意η∈R6，矩陣G(η)可逆。命題1 證明完畢。

觀察式（8）和式（11），該系統(tǒng)為典型的二階級(jí)聯(lián)系統(tǒng)，基于系統(tǒng)特征和性質(zhì)，采用反步法［37］設(shè)計(jì)位姿一體化控制器。

步驟1虛擬控制律設(shè)計(jì)

定義中間誤差變量z1=[z11，z12，…，z16]=η和，其中，為待設(shè)計(jì)的虛擬控制律，K1=diag(k11，k12，…，k16)為正定對(duì)角矩陣。易得中間變量z1的微分方程為

設(shè)計(jì)虛擬控制律為

當(dāng)|z1i|＞ε1i，式（31）代入式（30）中，推導(dǎo)得到：

應(yīng)用引理1 和楊氏不等式，式（32）可放大為

式中：λK2為矩陣K2的最小特征值；k為任意正常數(shù)；Λm=min{Λ1，Λ2，…，Λ6}，其中，Λm按引理4參數(shù)? 的條件取值。選取式（34）：

式（33）可簡(jiǎn)化為

步驟2實(shí)際控制律設(shè)計(jì)

首先對(duì)中間變量z2求導(dǎo)，得到：

由式（31）和式（37）易知，虛擬控制律ωˉ及其導(dǎo)數(shù)皆是非奇異的。

注釋2對(duì)系統(tǒng)式（8）和式（11），采用反步法設(shè)計(jì)控制器時(shí)，中間誤差變量一般可設(shè)計(jì)為z2=ve-。本文設(shè)計(jì)的中間變量與之不同，其中包含了矩陣G(z1)，這將使得系統(tǒng)在動(dòng)態(tài)響應(yīng)階段，能夠利用位姿跟蹤誤差信息調(diào)節(jié)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)；同時(shí)，在穩(wěn)態(tài)階段，由于G(z1)→I6，可保證虛擬控制律跟蹤系統(tǒng)廣義誤差速度的反步設(shè)計(jì)初衷。

由1.3 節(jié)定義可知，量化器式（12）具有有界性質(zhì)。定義?i＞0 表示量化誤差的界，即|Δqi|≤?i。根據(jù)式（16），可知?i=max{σi，δi|ui，s|+ui，min}，其中max{·}表示集合{·}的最大元素。于是可得

將Q(u)代入到式（36）中得到

為推導(dǎo)變量z2的有界性，對(duì)式（39），定義正定標(biāo)量函數(shù)，以之增廣Vz1得到系統(tǒng)李雅普諾夫函數(shù)V為V=+。對(duì)其求導(dǎo)并代入式（39），得到：

定義um=u-u1，考慮命題1，設(shè)計(jì)控制指令：

式中：K3=diag(k31，k32，…，k36)為正定對(duì)角陣。

將u1代入式（40）得到：

式（42）中，量化誤差和不確定性是設(shè)計(jì)控制指令um需進(jìn)一步考慮的問題。為處理輸入量化誤差對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性帶來(lái)的不利影響，在控制器中，采用補(bǔ)償策略，引入量化器參數(shù)信息抑制量化誤差。定義u3=um-u2，設(shè)計(jì)誤差補(bǔ)償結(jié)構(gòu)為

注釋3本文考慮到位姿控制力和力矩一般為不同量級(jí)的實(shí)際，對(duì)力和力矩通道實(shí)施不同水平量化，并基于復(fù)合量化器誤差有界性，利用量化參數(shù)設(shè)計(jì)誤差補(bǔ)償項(xiàng)，降低系統(tǒng)通信負(fù)載的同時(shí)保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

對(duì)于系統(tǒng)式（39），系統(tǒng)不確定性也將影響控制性能，為處理該消極影響，設(shè)計(jì)如下更新律對(duì)系統(tǒng)干擾進(jìn)行自適應(yīng)估計(jì)

設(shè)計(jì)控制指令

注釋4文獻(xiàn)［39］在假定環(huán)境干擾有界且界已知的條件下，給出了預(yù)設(shè)時(shí)間和指定收斂范圍的姿態(tài)跟蹤控制器。然而，當(dāng)考慮系統(tǒng)總擾動(dòng)時(shí)，由于其界難以預(yù)先獲得，因此其方法存在一定的局限性。針對(duì)此問題，本文設(shè)計(jì)了擾動(dòng)自適應(yīng)律式（44）估計(jì)擾動(dòng)上界的平方，其第一項(xiàng)可提高系統(tǒng)魯棒性的同時(shí)減輕抖振現(xiàn)象，后兩項(xiàng)則使得整體系統(tǒng)具有預(yù)設(shè)時(shí)間收斂的性質(zhì)。

基于步驟1 和步驟2 的設(shè)計(jì)，得到考慮不確定性和輸入量化的整體預(yù)設(shè)時(shí)間位姿一體跟蹤控制器為

基于上述分析和設(shè)計(jì)過程，本節(jié)最后給出如下定理。

定理1考慮式（8）和式（11）構(gòu)成的兩航天器相對(duì)運(yùn)動(dòng)誤差系統(tǒng)，在假設(shè)1 和假設(shè)2 滿足并考慮輸入量化的條件下，如果選擇參數(shù)滿足條件式（34）和式（59），虛擬控制律式（31）、實(shí)際控制律式（47）、量化補(bǔ)償項(xiàng)式（43）和自適應(yīng)律式（44）能夠使得位姿跟蹤誤差在預(yù)設(shè)定的時(shí)間T內(nèi)收斂到包含原點(diǎn)的小的鄰域內(nèi)，即主動(dòng)航天器能夠在任務(wù)設(shè)定時(shí)間內(nèi)，以足夠的精度跟蹤目標(biāo)航天器。

2.4 穩(wěn)定性分析

為使求解過程完整，本節(jié)在Lyapunov 穩(wěn)定性理論框架下，給出定理1 的證明。

證明選擇式（45）得到的V為整體系統(tǒng)李雅普諾夫函數(shù)，對(duì)其沿閉環(huán)系統(tǒng)軌跡求導(dǎo)得到：

代入式（43）和式（44），更新式（49）為

將式（46）和式（35）代入式（50），得到V的不等式并放大可得

考慮到對(duì)于任意x∈R、q＞0，雙曲正切函數(shù)有的性質(zhì)，且ζ＞?，因此式（51）可簡(jiǎn)化為

將式（54）代入到式（53），并應(yīng)用二次型不等式，可得

應(yīng)用上面不等式關(guān)系，式（56）可變化為

式（57）整理化簡(jiǎn)可得到式（58）：

選擇參數(shù)滿足式（59）所示條件：

考慮前文參數(shù)關(guān)系式（34），則根據(jù)引理1，可得系統(tǒng)李雅普諾夫函數(shù)導(dǎo)數(shù)滿足式（60）：

至此，根據(jù)引理4 可知V有界，且可在預(yù)定時(shí)間T內(nèi)收斂于下式所示的包含原點(diǎn)的區(qū)域內(nèi)

進(jìn)而可得，中間誤差變量z1、z2和自適應(yīng)誤差有界，且位姿跟蹤誤差范數(shù)‖η‖在時(shí)間T內(nèi)收斂到區(qū)域內(nèi)，其中λK1為矩陣K1的最小特征值。此外，由狀態(tài)的有界性可知有界，由z2的定義可知有界，由此可得廣義誤差速度ve有界。定理1 證明完畢。

3 數(shù)值仿真分析

本節(jié)以空間在軌維護(hù)任務(wù)為應(yīng)用場(chǎng)景，驗(yàn)證本文提出的輸入量化下位姿一體化預(yù)設(shè)時(shí)間控制策略的有效性及跟蹤性能。

3.1 任務(wù)描述及仿真結(jié)果

假設(shè)被維護(hù)航天器為對(duì)地監(jiān)測(cè)微小衛(wèi)星組網(wǎng)系統(tǒng)的一顆突發(fā)故障衛(wèi)星，為及時(shí)修復(fù)故障以保障組網(wǎng)衛(wèi)星系統(tǒng)的對(duì)地服務(wù)能力，需要調(diào)配其他航天器（稱為維護(hù)航天器）對(duì)其實(shí)施搶修和維護(hù)。因此，維護(hù)航天器需要快速到達(dá)維護(hù)位置、建立維護(hù)姿態(tài)，并且在維護(hù)過程中保持對(duì)故障航天器的運(yùn)動(dòng)跟蹤，以便操作機(jī)構(gòu)實(shí)施維護(hù)動(dòng)作。兩航天器運(yùn)動(dòng)的初始狀態(tài)與文獻(xiàn)［33］相同。目標(biāo)航天器運(yùn)行在高度為400 km、傾角為45°的圓軌道上，其體坐標(biāo)軸與慣性主軸重合，發(fā)生故障時(shí)，初始位姿構(gòu)型和速度在其本體系下分別為

故障航天器的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量矩陣和質(zhì)量分別為Jo=[25，0，0；0，22，0；0，0，23] kg·m2和mo=100 kg，且不考慮轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和質(zhì)量的不確定性。維護(hù)航天器的初始姿態(tài)按目標(biāo)航天器體坐標(biāo)系的zyx軸相繼旋轉(zhuǎn)[80.26°，30.00°，-35.26°]得到，初始位置在目標(biāo)航天器體坐標(biāo)系下[15，-10，-20]Tm處；角速度和平移速度在其體坐標(biāo)系下分別為ω=[0.043 487，0.042 570，0.017 761]T（°）/s 和υ=[7 256.5，-1 537.1，1 712.5]Tm/s。為便于后文對(duì)比說明，記該初始位姿構(gòu)型和速度為初態(tài)1。維護(hù)航天器的標(biāo)稱轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J=[25，1，0.5；1，22，1.2；0.5，1.2，23] kg·m2，標(biāo)稱質(zhì)量為m=105 kg，考慮其不確定部分分別為ΔJ=0.12J和Δm=0.03m。不失一般性地，假定維護(hù)航天器的期望維護(hù)姿態(tài)與故障航天器相同，維護(hù)操作點(diǎn)在故障航天器體坐標(biāo)系下x軸負(fù)方向5 m 位置。仿真中不考慮故障航天器受到的空間干擾，考慮維護(hù)航天器受到的干擾與文獻(xiàn)［13］形式相同，并增大了干擾頻率，設(shè)定為ud=0.005·[sin(0.2t)，cos(0.1t)，-sin(0.3t)，sin(0.2t)，cos(0.1t)，-sin(0.3t) ]T，干擾力矩量綱為N·m，干擾力量綱為N。任務(wù)設(shè)定維護(hù)航天器需在120 s內(nèi)到達(dá)維護(hù)狀態(tài)?？紤]到執(zhí)行機(jī)構(gòu)輸出能力是實(shí)際受限的，與文獻(xiàn)［19，24］的處理方式相同，仿真中限定三軸控制力為[-5，5] N，三軸力矩為[-0.5，0.5] N·m。自適應(yīng)參數(shù)初值(0)=0.000 1。控制及量化參數(shù)設(shè)置見表1。

表1 控制器和量化器參數(shù)Table 1 Parameters of controller and quantizer

仿真結(jié)果如圖1～圖6 所示。圖1 和圖2 分別為姿態(tài)和位置跟蹤誤差，圖3 和圖4 為角速度和速度跟蹤誤差。

圖1 姿態(tài)跟蹤誤差Fig.1 Tracking error of attitude

圖2 位置跟蹤誤差Fig.2 Tracking error of position

圖3 角速度跟蹤誤差Fig.3 Tracking error of angular velocity

圖4 速度跟蹤誤差Fig.4 Tracking error of translational velocity

由圖1 和圖2 可見，姿態(tài)誤差和位置誤差的收斂時(shí)間約為75.8 s 和90.5 s。進(jìn)入穩(wěn)定區(qū)間后，姿態(tài)誤差下降到|θi|≤3.72×10-3（°）（i=x，y，z，下同），位置誤差下降到|βi|≤3.28×10-5m。相應(yīng)地，如圖3 和圖4 所示，角速度和速度誤差分別在約76.2 s 和90 s 進(jìn)入穩(wěn)定區(qū)間，并收斂到|ωi|≤1.60×10-3（°）/s 和|υi|≤1.02×10-5m/s范圍。由以上結(jié)果可知，機(jī)動(dòng)中，姿態(tài)和位置誤差及廣義速度誤差皆在120 s 內(nèi)收斂，誤差收斂范圍在10-3～10-5量級(jí)之間。

圖5 和圖6 分別為量化的控制力矩和控制力曲線?？梢?，系統(tǒng)的指令輸入經(jīng)量化后轉(zhuǎn)化為不連續(xù)的實(shí)際控制力矩和控制力，信號(hào)量化有效。需要指出的是，量化輸入在ui，s之內(nèi)出現(xiàn)了較高頻率的切換，該現(xiàn)象是由于量化誤差處于2 個(gè)量化級(jí)之間的臨界切換點(diǎn)產(chǎn)生的，將對(duì)數(shù)量化器替換為遲滯量化器可降低該切換頻率。

圖5 量化的控制力矩Fig.5 Quantized control torque

圖6 量化的控制力Fig.6 Quantized control force

圖7 為系統(tǒng)總擾動(dòng)上界平方的自適應(yīng)估計(jì)曲線，由圖可見，估計(jì)值經(jīng)過快速超調(diào)后迅速下降，并在系統(tǒng)狀態(tài)收斂前穩(wěn)定。

圖7 總擾動(dòng)上界自適應(yīng)估計(jì)Fig.7 Adaptive estimation of bound of disturbance

為說明輸入量化機(jī)制降低系統(tǒng)通信負(fù)載的能力，對(duì)量化后控制力矩和控制力信號(hào)的駐留時(shí)間進(jìn)行了計(jì)算，結(jié)果分別如圖8 和圖9 所示。

圖8 量化控制器力矩的駐留時(shí)間Fig.8 Dwell time of quantized control torque

圖9 量化控制器力的駐留時(shí)間Fig.9 Dwell time of quantized control force

可見，動(dòng)態(tài)響應(yīng)階段，量化控制力矩的最大駐留時(shí)間接近7 s，量化控制力的最大駐留時(shí)間約為10 s；收斂到穩(wěn)定區(qū)間后，駐留時(shí)間同樣多大于系統(tǒng)控制周期。由圖9 可見，在指令信號(hào)較大的動(dòng)態(tài)階段，量化明顯粗略，更有利于降低通信頻率?？紤]控制頻率為8 Hz，則六通道無(wú)量化情況下信號(hào)傳輸頻次為9 600 次，而量化后的信號(hào)傳輸頻次約為2 863 次，通信量可減少70%以上。結(jié)果說明，考慮控制力矩和控制力信號(hào)量化能夠顯著降低信號(hào)傳輸頻次，極大減輕耦合系統(tǒng)的通信負(fù)擔(dān)。

上述結(jié)果表明，本文給出的位姿一體化控制器是有效的，即可在輸入量化的情況下，實(shí)現(xiàn)維護(hù)航天器在預(yù)設(shè)定時(shí)間內(nèi)到達(dá)并保持在期望的維護(hù)狀態(tài)，且控制精度較高，滿足在軌維護(hù)任務(wù)要求。此外，采用具有誤差有界的復(fù)合量化器，且力和力矩通道采用不同量化參數(shù)，能夠更好的平衡減小通信量和保持系統(tǒng)控制性能之間的矛盾，適合位姿一體化控制。

此外，為表明本文控制算法對(duì)運(yùn)行周期的要求，圖10 給出了200 s 仿真中每個(gè)控制周期計(jì)算控制指令的單次時(shí)間消耗和平均時(shí)間消耗。仿真計(jì)算機(jī)為辦公筆記本，處理器為Intel（R）Core（TM）i5-8250U，CPU 主頻為1.60 GHz，內(nèi)存8 GB，Win10 操作系統(tǒng)，仿真軟件為MATLAB 2021a 版本?？梢姡?jì)算一次指令的最大時(shí)長(zhǎng)約為0.002 5 s，1 600 次計(jì)算的平均耗時(shí)約為0.001 1 s，均遠(yuǎn)小于控制周期。因此，該控制算法具有較高的計(jì)算效率，滿足工程應(yīng)用要求。

圖10 控制指令計(jì)算時(shí)間Fig.10 Time cost of calculating control command

3.2 控制律性能仿真分析

1）預(yù)設(shè)時(shí)間收斂性分析

為進(jìn)一步說明控制器式（47）中預(yù)設(shè)時(shí)間參數(shù)對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)間的影響，考慮了另外3 組仿真：預(yù)設(shè)時(shí)間參數(shù)T分別取值為140、100 和80 s，兩航天器的初始條件和其他控制參數(shù)與3.1 節(jié)相同。3 種情況的位姿跟蹤誤差范數(shù)如圖11 所示。

圖11 預(yù)設(shè)時(shí)間參數(shù)T=140，100，80 s 時(shí)位姿跟蹤誤差范數(shù)Fig.11 Norm of pose tracking errors with control parameter T=140，100，80 s

由圖11（a）可見，當(dāng)T=140 s 時(shí)，位姿誤差實(shí)際穩(wěn)定跟蹤時(shí)間約為94.5 s；由圖11（b）可見，T=100 s 時(shí)約為82.8 s；由圖11（c）可見，T=80 s時(shí)約為75.6 s。根據(jù)該結(jié)果可知，預(yù)先設(shè)定時(shí)間參數(shù)直接影響系統(tǒng)收斂時(shí)間，且3 組條件下，系統(tǒng)實(shí)際收斂時(shí)間均小于相應(yīng)的預(yù)設(shè)時(shí)間參數(shù)，改變參數(shù)T可調(diào)節(jié)系統(tǒng)的收斂時(shí)間。上述結(jié)果驗(yàn)證了預(yù)設(shè)時(shí)間控制的良好性質(zhì)?；谠撔再|(zhì)，可利用預(yù)設(shè)時(shí)間參數(shù)約定系統(tǒng)的收斂時(shí)間上界，相對(duì)于有限時(shí)間控制和固定時(shí)間控制，預(yù)設(shè)時(shí)間方法提高系統(tǒng)收斂時(shí)間調(diào)節(jié)的便捷性，更有工程應(yīng)用優(yōu)勢(shì)。此外，誤差變量的實(shí)際收斂時(shí)間與設(shè)定的收斂時(shí)間具有一定的保守性，其主要原因可從兩個(gè)方面考慮：一方面，理論收斂時(shí)間是在初始誤差趨近于無(wú)窮的情況下給出的收斂時(shí)間上界，而系統(tǒng)的實(shí)際收斂時(shí)間是與系統(tǒng)初態(tài)和輸入相關(guān)的，在確定的初態(tài)下，其實(shí)際收斂時(shí)間一般不會(huì)達(dá)到其理論上界；另一方面，控制器設(shè)計(jì)中的不等式放大也帶來(lái)了系統(tǒng)收斂時(shí)間的保守性?？紤]到，預(yù)設(shè)時(shí)間引理中的參數(shù)? 與收斂速度正相關(guān)，參數(shù)p與收斂速度的相關(guān)性隨狀態(tài)不同而不確定。因此，可通過減小參數(shù)Λ以及精細(xì)的不等式放縮減小保守性。

2）與有限時(shí)間終端快速滑模位姿跟蹤控制器［33］（下稱有限時(shí)間滑?？刂破?Finite Time Sliding Mode Control，F(xiàn)TSMC）對(duì)比分析

為說明本文設(shè)計(jì)的位姿跟蹤控制器（下稱反步預(yù)時(shí)控制器/Backing-stepping Pre-defined Time Control，BsPdTC）的控制性能，下文將該控制器與有限時(shí)間滑?？刂破髟谳斎肓炕瘲l件下進(jìn)行對(duì)比。為保證可對(duì)比性，2 種控制器的參數(shù)按以下條件選擇：首先，考慮姿軌耦合效應(yīng)，以航天器位置和速度的最大穩(wěn)定收斂時(shí)間作為系統(tǒng)的收斂時(shí)間，且初態(tài)1 下2 種控制器分別形成閉環(huán)系統(tǒng)的收斂時(shí)間皆在任務(wù)指定時(shí)間（120 s）內(nèi)；初態(tài)1 下，反步預(yù)時(shí)控制器采用表1 控制參數(shù)；最后，有限時(shí)間滑?？刂破骺刂茀?shù)可使得系統(tǒng)收斂時(shí)間不大于反步預(yù)時(shí)控制器?；谏鲜鰲l件，有限時(shí)間滑?？刂破鲄?shù)選擇列于表2。

表2 有限時(shí)間滑?？刂破鲄?shù)Table 2 Parameters of finite-time sliding mode controller

2 種控制器在控制參數(shù)不變、4 組不同初態(tài)下進(jìn)行仿真。4 組初態(tài)通過保持故障航天器運(yùn)動(dòng)狀態(tài)不變、改變維護(hù)航天器狀態(tài)的方式設(shè)定。維護(hù)航天器的初態(tài)2：姿態(tài)按目標(biāo)航天器體坐標(biāo)系的zyx軸相繼旋轉(zhuǎn)[119.00°，68.910°，-44.01°]得到，位置在目標(biāo)航天器體坐標(biāo)系下[20，-15，-25]Tm處，角速度和平移速度分別為ω=[0.056 550，0.019 537，-0.020 798]T（°）/s 和υ=[1 398.9，-6 962.0，-2 743.1]Tm/s；初態(tài)3：姿態(tài)按目標(biāo)航天器體坐標(biāo)系的zyx軸相繼旋轉(zhuǎn)[-19.11°，48.59°，139.11°]得到，位置在目標(biāo)航天器體坐標(biāo)系下[25，-20，-30]Tm 處，角速度為ω=[0.043 602，-0.014 725，-0.043 602]T（°）/s，速度為υ=[3 053.3，-5 081.2，4 775.9]Tm/s；初態(tài)4：姿態(tài)按目標(biāo)航天器體坐標(biāo)系的zyx軸相繼旋轉(zhuǎn)[0.49°，3.84°，165.49°]得到，位置在目標(biāo)航天器體坐標(biāo)系下[30，-25，-35]Tm 處，角速度和速度分別為ω=[0.012 204，-0.010 485，-0.061 306]T（°）/s 和υ=[7 256.4，-1 537.1，1 712.5]Tm/s。

出于簡(jiǎn)明，4 組初態(tài)下兩控制器的仿真結(jié)果以表和主要變量仿真圖形式給出，詳見表3 和圖12。表3 為兩位姿跟蹤控制器4 組初態(tài)下跟蹤性能對(duì)比。由表3 可見，初態(tài)1 和表2 的控制參數(shù)下，有限時(shí)間滑?？刂破鞯南到y(tǒng)收斂時(shí)間約為89.7 s，反步預(yù)時(shí)控制器的系統(tǒng)收斂時(shí)間約為90.5 s，前者和后者基本相同且不大于后者。初態(tài)1 時(shí)，有限時(shí)間滑模控制器下姿態(tài)、角速度、位置和速度誤差收斂后誤差范圍可下降到|θi|≤4.77×10-3（°），|ωi|≤1.61×10-2（°）/s，|βi|=5.58×10-5m 和|υi|=8.87×10-5m/s 范圍。相應(yīng)地，反步預(yù)時(shí)控制器下，各誤差狀態(tài)在進(jìn)入穩(wěn)定區(qū)間后可滿足|θi|≤3.72×10-3（°），|ωi|≤1.60×10-3（°）/s，|βi|=3.28×10-5m 和|υi|=1.02×10-5m/s。初態(tài)2 和初態(tài)3 時(shí)，位姿誤差更大。對(duì)于系統(tǒng)收斂時(shí)間，有限時(shí)間滑模控制器在初態(tài)3 下達(dá)到最大，約為116.5 s，反步預(yù)時(shí)控制器也在初態(tài)3 下最大，約為95.2 s。此兩組初態(tài)下，反步預(yù)時(shí)控制器下速度誤差的控制精度略提高至10-6量級(jí)，其他各跟蹤誤差的控制精度與初態(tài)1 基本為同一量級(jí)，遂不贅述。對(duì)于初態(tài)4，兩控制器的誤差收斂范圍與前3 組初態(tài)下同樣量級(jí)相同，但系統(tǒng)收斂時(shí)間反步預(yù)時(shí)控制器下約為96.8 s，而有限時(shí)間滑?？刂破飨录s為127.6 s。

圖12 初態(tài)4 下位姿跟蹤誤差對(duì)比Fig.12 Comparison of pose tracking error for Initial states 4

表3 反步預(yù)時(shí)控制和有限時(shí)間滑?？刂菩阅軐?duì)比Table 3 Performance comparison between back-stepping predefined time controller and finite-time sliding mode controller

特別地，為說明初態(tài)4 下兩控制器不同的位姿跟蹤過程，下面給出了該初態(tài)下兩控制器位姿誤差范數(shù)時(shí)間響應(yīng)，曲線見圖12。顯見，過渡階段，兩控制器下系統(tǒng)位姿誤差從約79.9 m 和165.5°開始快速下降。反步預(yù)時(shí)控制器下位置誤差的下降速度快于有限時(shí)間滑模控制器，最終，反步預(yù)時(shí)控制器的系統(tǒng)位姿誤差明顯先于有限時(shí)間滑?？刂破鬟M(jìn)入穩(wěn)定區(qū)間。由115 s 到130 s 的局部放大可見，前者在任務(wù)預(yù)設(shè)定穩(wěn)定跟蹤時(shí)間內(nèi)收斂，而后者在該時(shí)間內(nèi)明顯尚未收斂。

由上述結(jié)果可知，4 組初態(tài)下，2 種控制器的姿態(tài)和位置跟蹤誤差具有同量級(jí)的收斂范圍，分別為10-3（°）和10-5m。對(duì)于系統(tǒng)收斂時(shí)間，反步預(yù)時(shí)控制器在4 組初態(tài)下變化范圍＜10 s，且皆在任務(wù)指定時(shí)間內(nèi)，而有限時(shí)間滑模控制器則變化較大，接近40 s，且在較大初始誤差（如初態(tài)4）時(shí)會(huì)超出任務(wù)預(yù)設(shè)定收斂時(shí)間。由此可知，本文設(shè)計(jì)的預(yù)設(shè)時(shí)間位姿跟蹤控制策略相比有限時(shí)間控制策略具有相近的位置和姿態(tài)控制精度，但其收斂時(shí)間上界與系統(tǒng)初始狀態(tài)無(wú)關(guān)。

4 結(jié)論

1）李群SE（3）指數(shù)坐標(biāo)下的誤差動(dòng)力學(xué)模型形式簡(jiǎn)潔、性質(zhì)較好，可與預(yù)設(shè)時(shí)間控制技術(shù)相結(jié)合解決具有時(shí)間約束的航天器位姿一體化跟蹤控制問題；

2）復(fù)合量化器具有誤差有界性質(zhì)，引入該量化器對(duì)力和力矩通道實(shí)施不同水平量化，顯著降低了控制器和執(zhí)行機(jī)構(gòu)間的通信頻次，減輕了系統(tǒng)通信負(fù)擔(dān)；

3）本文基于反步法設(shè)計(jì)的預(yù)設(shè)時(shí)間控制器實(shí)現(xiàn)了位姿跟蹤誤差的預(yù)設(shè)時(shí)間收斂，且收斂時(shí)間上界僅由1 個(gè)控制參數(shù)顯式?jīng)Q定。仿真結(jié)果表明，可利用該參數(shù)便捷調(diào)節(jié)系統(tǒng)的收斂時(shí)間；

4）不同初始誤差下與有限時(shí)間滑?？刂频姆抡鎸?duì)比表明，當(dāng)初始誤差變化時(shí)，本文控制方法的誤差收斂時(shí)間皆滿足任務(wù)給定的時(shí)間約束，而有限時(shí)間滑模控制則不然；而且，控制精度也略高于后者，可滿足高精度的任務(wù)需求。