考慮溫度效應(yīng)的干纖維預(yù)制體壓縮蠕變模型

司衍鵬，孫立帥，閆恩瑋，2，李玉軍，蔣建軍，

1.西北工業(yè)大學(xué) 機(jī)電學(xué)院，西安 710072

2.中航西安飛機(jī)工業(yè)集團(tuán)股份有限公司，西安 710089

干纖維自動(dòng)鋪放-液體成型是一種低成本、高效率的樹(shù)脂基纖維增強(qiáng)復(fù)合材料成型技術(shù)體系，在近10 年發(fā)展極其迅速，應(yīng)用該成型工藝制造的零件性能與采用熱壓罐成型制造的零件性能相當(dāng)，且適用于大型復(fù)雜復(fù)合材料結(jié)構(gòu)的整體制造［1-4］。該成型工藝將自動(dòng)鋪放和液體成型的優(yōu)勢(shì)綜合起來(lái)，提高了復(fù)合材料結(jié)構(gòu)的減重效率、產(chǎn)品精度和表面質(zhì)量。

越來(lái)越多的國(guó)家和組織啟動(dòng)研究項(xiàng)目開(kāi)展相關(guān)研究，例如，俄羅斯已將該成型技術(shù)應(yīng)用于MC-21 單通道客機(jī)的中央翼盒、翼壁蒙皮和翼梁結(jié)構(gòu)制造［5］；空客公司在推出的“明日之翼”研究項(xiàng)目中使用了該成型工藝，為下一代支線客機(jī)機(jī)翼全面采用液體成型工藝做技術(shù)驗(yàn)證，目前已實(shí)現(xiàn)17 m 驗(yàn)證件測(cè)試［6］。

干纖維自動(dòng)鋪放-液體成型主要包括干纖維預(yù)成型、樹(shù)脂填充、固化3 個(gè)方面，其中干纖維預(yù)成型過(guò)程是自動(dòng)鋪放成型的基本過(guò)程，干纖維預(yù)成型決定了結(jié)構(gòu)成型后的纖維構(gòu)型，且預(yù)制體的質(zhì)量對(duì)制造的復(fù)合材料零件的力學(xué)性能有重大影響［7］。在預(yù)成型過(guò)程中，纖維束間的相互擠壓引起纖維束截面形狀和纖維取向發(fā)生變化，進(jìn)而改變預(yù)成型體的纖維束路徑及孔隙率，從而影響后續(xù)工藝中樹(shù)脂的滲透性能和成型后結(jié)構(gòu)的力學(xué)性能。因此，研究干纖維預(yù)制體在預(yù)成型過(guò)程中的預(yù)制體厚度控制具有重要意義。

在干纖維預(yù)成型過(guò)程中，纖維絲束被擠壓在一起，起到彈性彎曲梁的作用，纖維絲束間相互滑動(dòng)，重新排列，產(chǎn)生摩擦力。上述綜合效應(yīng)導(dǎo)致了干纖維預(yù)制體在壓實(shí)過(guò)程中復(fù)雜的黏彈性行為［8］。干纖維預(yù)制體的黏彈性響應(yīng)包括蠕變、回復(fù)和應(yīng)力松弛。當(dāng)移除產(chǎn)生蠕變的載荷后，材料會(huì)出現(xiàn)瞬時(shí)彈性回復(fù)和隨時(shí)間發(fā)展的滯后回復(fù)現(xiàn)象，這個(gè)過(guò)程被稱為蠕變回復(fù)。

對(duì)于干纖維預(yù)制體而言，目前相關(guān)研究多數(shù)集中于應(yīng)力松弛［9-11］，且對(duì)干纖維預(yù)成型體在預(yù)成型過(guò)程中的蠕變/回復(fù)行為研究較少，而在實(shí)際的干纖維預(yù)成型中，保壓、釋放過(guò)程會(huì)發(fā)生蠕變現(xiàn)象，這使得其在實(shí)際應(yīng)用中仍然是一個(gè)懸而未決的問(wèn)題，特別是在干纖維在預(yù)成型過(guò)程中，預(yù)制體厚度方向表現(xiàn)出非線性、時(shí)間相關(guān)性和溫度相關(guān)性，需要一種能夠描述干纖維預(yù)制件蠕變/回復(fù)行為的材料本構(gòu)模型，該模型應(yīng)可以準(zhǔn)確預(yù)測(cè)在不同蠕變應(yīng)力和預(yù)成型溫度下預(yù)制體厚向應(yīng)變隨時(shí)間的變化。Celauro 等［12］使用雙參數(shù)模型（TP）分?jǐn)?shù)階函數(shù)表達(dá)式可以準(zhǔn)確地反映瀝青混合料的蠕變/回復(fù)行為，但在較長(zhǎng)加載時(shí)間下，預(yù)測(cè)的回復(fù)應(yīng)變與測(cè)量數(shù)據(jù)有較大偏差。Findley 模型（FD）在預(yù)測(cè)聚合物基復(fù)合材料的黏彈性能方面表現(xiàn)出良好的適用性，但它沒(méi)有考慮材料形狀的變化，并且模型的參數(shù)對(duì)曲線的形狀十分敏感［13-14］。由N個(gè)（N＞3）Kelvin 模型（GK）并聯(lián)或串聯(lián)組成的廣義Kelvin 模型可以表示黏彈性材料的黏度和彈性，但由于它包含的參數(shù)較多，在實(shí)際求解過(guò)程相對(duì)復(fù)雜［15］。

迄今為止，用于分析蠕變/回復(fù)非線性黏彈性行為最廣泛的方程之一是Burgers 模型（BG）［16］。先前研究表明，干纖維預(yù)制體在不同工藝條件下表現(xiàn)出顯著的非線性黏彈性響應(yīng)［17］。Burgers 模型相對(duì)于其他模型能更好反映線性黏彈性，具有模型參數(shù)少、模擬精度高的特點(diǎn)［13，18-20］。但該模型僅可在特定實(shí)驗(yàn)條件下較為準(zhǔn)確地描述材料的非線性黏彈性行為，無(wú)法用單一模型預(yù)測(cè)不同蠕變應(yīng)力和預(yù)成型溫度下的蠕變/回復(fù)行為。綜上所述，現(xiàn)有模型主要關(guān)注蠕變或回復(fù)行為，通常這些模型針對(duì)蠕變/回復(fù)過(guò)程提供2 個(gè)單獨(dú)公式，且準(zhǔn)確描述蠕變階段到回復(fù)階段的過(guò)渡較為困難。此外，上述模型均未在不同蠕變應(yīng)力和預(yù)成型溫度下，對(duì)卸載后材料厚向應(yīng)變隨時(shí)間的變化進(jìn)行分析和預(yù)測(cè)。由此可見(jiàn)，研究使用單一方程中對(duì)材料行為的全面描述對(duì)于預(yù)測(cè)干纖維預(yù)制體在不同蠕變應(yīng)力和預(yù)成型溫度下的蠕變/回復(fù)行為至關(guān)重要。

通過(guò)研究分析干纖維預(yù)制體隨時(shí)間變化的蠕變/回復(fù)行為，對(duì)比分析4 種蠕變模型在不同條件下的蠕變/回復(fù)行為的預(yù)測(cè)效果，選用參數(shù)較少且預(yù)測(cè)精度較高的Burgers 模型；在此基礎(chǔ)上提出1種單一方程形式，且考慮不同蠕變應(yīng)力和預(yù)成型溫度的改進(jìn)的Burgers 模型，然后通過(guò)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分析計(jì)算及最小二乘法原理獲取模型參數(shù)；最終結(jié)合新設(shè)計(jì)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)證該本構(gòu)模型的準(zhǔn)確性。

1 實(shí)驗(yàn)材料及測(cè)試方法

1.1 實(shí)驗(yàn)材料

如圖1 所示，使用的纖維增強(qiáng)復(fù)合材料是威海光威公司生產(chǎn)的碳纖維機(jī)織物CF3031。材料的規(guī)格列于表1 中。該織物為3×1 斜紋織物，絲束尺寸為3 K，面積重量為（220±7）g/m2。

表1 機(jī)織物CF3031 規(guī)格Table 1 Specification of woven fabric CF3031

圖1 碳纖維機(jī)織物CF3031Fig.1 Carbon fiber woven fabric CF3031

1.2 蠕變-回復(fù)實(shí)驗(yàn)方法

使用計(jì)算機(jī)數(shù)字控制機(jī)床切割成單層邊長(zhǎng)為50 mm 的方形樣品，以0°的方向鋪設(shè)，形成24 層的預(yù)成型體疊層。在干燥環(huán)境下研究纖維織物的蠕變/回復(fù)行為。圖2 為放置在兩鋼質(zhì)壓板之間的干纖維預(yù)制體樣品，這兩個(gè)壓板為圓形，直徑為100 mm。

圖2 蠕變/回復(fù)實(shí)驗(yàn)裝置Fig.2 Creep/recovery experiment apparatus

使用ETM104C 型微機(jī)控制電子萬(wàn)能試驗(yàn)機(jī)對(duì)實(shí)驗(yàn)件進(jìn)行蠕變/回復(fù)實(shí)驗(yàn)。由于干纖維預(yù)制體在實(shí)際預(yù)成型過(guò)程中所受鋪放壓力一般小于0.8 MPa，CF3031 織物在溫度高于60 ℃時(shí)，表面的定型劑易發(fā)生固化，因此設(shè)計(jì)蠕變/回復(fù)實(shí)驗(yàn)方案如表2 所示，包括在室溫（25 ℃）不同蠕變應(yīng)力（0.3、0.5、0.8 MPa）和不同預(yù)成型溫度（40、50、60 ℃）下同一蠕變應(yīng)力（0.3 MPa）時(shí)的實(shí)驗(yàn)，以1 mm/min 的加載速率對(duì)試樣施加位移控制，用量程為10 kN 的傳感器記錄試樣應(yīng)變隨時(shí)間的變化。蠕變/回復(fù)實(shí)驗(yàn)可分為4 個(gè)階段：加載階段、蠕變階段、卸載階段和蠕變回復(fù)階段。

表2 蠕變/回復(fù)實(shí)驗(yàn)的測(cè)試方案Table 2 Testing programme for creep/recovery experiments

1）加載階段

在應(yīng)力加載到預(yù)定載荷的過(guò)程中，樣品主要發(fā)生不超過(guò)6 min 的彈性變形和非機(jī)械變形。

2）蠕變階段

為使試樣充分地蠕變，試樣主要承受持續(xù)約3 h的恒定載荷，伴隨著黏彈性變形和黏塑性變形。

3）卸載階段

加載3 h 后開(kāi)始卸載，約150 s，樣品主要發(fā)生彈性回復(fù)。

4）蠕變回復(fù)階段

樣品進(jìn)入自由狀態(tài)，施加約10 N 的載荷1 h，樣品主要發(fā)生黏彈性變形。

材料的蠕變/回復(fù)過(guò)程如圖3 所示。

圖3 恒定施加應(yīng)力下蠕變/回復(fù)實(shí)驗(yàn)的典型應(yīng)變曲線Fig.3 Typical strain curve from creep/recovery experiment under constant applied stress

2 蠕變/回復(fù)計(jì)算

2.1 蠕變模型

為了實(shí)現(xiàn)復(fù)合材料蠕變行為的計(jì)算分析，將目前文獻(xiàn)中采用的計(jì)算模型進(jìn)行總結(jié)，選用Findley 模型、雙參數(shù)模型、廣義Kelvin 模型和Burgers模型4種模型。其中Findley模型應(yīng)變計(jì)算公式為

雙參數(shù)模型應(yīng)變計(jì)算公式為

式中：a為瞬時(shí)應(yīng)變；t為時(shí)間；b為瞬態(tài)蠕變的振幅；c為材料常數(shù)；ε（t）為t時(shí)刻的總材料應(yīng)變。

廣義Kelvin 模型和Burgers 模型均由彈簧、Kelvin 單元和黏壺組成，其模型示意圖分別如圖4 和圖5 所示。

圖4 廣義 Kelvin 模型示意圖Fig.4 Diagram of generalized Kelvin model

圖5 Burgers 模型示意圖Fig.5 Diagram of Burgers model

廣義Kelvin 模型應(yīng)變計(jì)算公式為

式中：n′為廣義Kelvin 模型中Kelvin 單元的數(shù)量。

Burgers 模型應(yīng)變計(jì)算公式為

式中：σ為施加在材料上的恒定應(yīng)力；E0為材料彈性模量；η0為材料的黏度系數(shù)；Ei和ηi為每個(gè)Kelvin 單元的彈性系數(shù)和黏度系數(shù)；τi為每個(gè)Kelvin單元的松弛時(shí)間，且τi=ηi/Ei，i=0，1，…。

2.2 改進(jìn)的Burgers 模型

應(yīng)力σ（t）和應(yīng)變?chǔ)牛╰）之間內(nèi)在關(guān)系的相應(yīng)數(shù)學(xué)公式包含具有指數(shù)解的整數(shù)階時(shí)間導(dǎo)數(shù)，即其具體公式通常為

式中：n為應(yīng)力σ（t）方程中整數(shù)階導(dǎo)數(shù)的總數(shù)，可被理解為應(yīng)力方程中包含的導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)；m為應(yīng)變?chǔ)牛╰）方程中整數(shù)階導(dǎo)數(shù)的總數(shù)，可被理解為應(yīng)變方程中包含的導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)；i和j為階數(shù)，i=1，2，…，n，j=1，2，…，m。

式中：Ki和Si是常數(shù)值。其中一個(gè)例子是圖4 所示的Burgers 模型，它包括一個(gè)Kelvin-Voigt 模型（一個(gè)與黏壺平行的彈簧）和一個(gè)Maxwell 元件（與黏壺串聯(lián)的彈簧）。Burgers 模型中σ和ε之間的關(guān)系可以表示為

Burgers 模型的蠕變應(yīng)變計(jì)算公式為

式中：τ1=η1/E1為松弛時(shí)間。

現(xiàn)有研究將蠕變/回復(fù)變形劃分為可回復(fù)和不可回復(fù)的部分，一般采用黏彈性模型描述材料的可回復(fù)的變形，將不可回復(fù)的變形用其他部件表示。在本實(shí)驗(yàn)過(guò)程中，不同實(shí)驗(yàn)條件下材料特性、纖維間孔隙等所產(chǎn)生的非機(jī)械應(yīng)變較為一致，因此將非機(jī)械應(yīng)變?cè)c原黏彈性模型進(jìn)行串聯(lián)，使得改進(jìn)的Burgers 模型能夠考慮非機(jī)械應(yīng)變。在卸載點(diǎn)t0之前，材料在壓實(shí)過(guò)程中由于恒定的應(yīng)力而發(fā)生蠕變應(yīng)變?chǔ)欧纸鉃榭赡娌糠趾筒豢赡娌糠?部分：

式中：εr為可逆部分，是黏彈性應(yīng)變；εN為不可逆部分，是非機(jī)械應(yīng)變。如圖6 所示，由于在壓實(shí)過(guò)程中且未達(dá)到蠕變應(yīng)力σ0之前，干纖維預(yù)制體的應(yīng)變?yōu)閺椥詰?yīng)變?chǔ)舉與非機(jī)械應(yīng)變?chǔ)臢之和，在卸載過(guò)程中產(chǎn)生的應(yīng)變均為彈性應(yīng)變?chǔ)舉。

圖6 蠕變/回復(fù)應(yīng)變曲線示意圖Fig.6 Schematic diagram of creep/recovery strain curve

如圖7 所示，在具有Kelvin-Voigt 元件、Maxwell 元件和非機(jī)械應(yīng)變?cè)母倪M(jìn)的Burgers 模型中，應(yīng)變被描述為時(shí)間t和蠕變應(yīng)力σ的函數(shù)：

圖7 改進(jìn)的Burgers 模型示意圖Fig.7 Schematic representation of modified Burgers model

CF3031 干纖維預(yù)制體的不穩(wěn)定性主要體現(xiàn)在2 個(gè)方面：一方面材料表面上存在定型劑，這種熱敏黏彈性材料使得干纖維預(yù)制體的蠕變/回復(fù)行為對(duì)預(yù)成型溫度變化十分敏感；另一方面，不同載荷下的預(yù)制體纖維絲束間嵌套程度不同。上述問(wèn)題均會(huì)影響材料的蠕變速率。此外，干纖維預(yù)制體在實(shí)際預(yù)成型過(guò)程中的黏彈性力學(xué)性能不僅與時(shí)間有關(guān)，還與壓輥力和預(yù)成型溫度有關(guān)，而傳統(tǒng)的黏彈性本構(gòu)方程不能直接反映蠕變應(yīng)力和預(yù)成型溫度對(duì)材料黏彈性特性的影響，例如從Burgers 模型的本構(gòu)關(guān)系中很容易看出，該模型只能表征材料在給定蠕變應(yīng)力、預(yù)成型溫度下隨時(shí)間變化的黏彈性力學(xué)特性。由于預(yù)成型過(guò)程中預(yù)制體所受載荷和預(yù)成型溫度效應(yīng)的復(fù)雜性，研究干纖維預(yù)制件的本構(gòu)模型非常困難。

為解決這一問(wèn)題，通過(guò)進(jìn)行相同預(yù)成型溫度不同蠕變應(yīng)力和同一蠕變應(yīng)力不同預(yù)成型溫度下的干纖維預(yù)制體蠕變/回復(fù)實(shí)驗(yàn)，并根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合獲取以蠕變應(yīng)力和預(yù)成型溫度為變量的材料本構(gòu)方程系數(shù)。最終建立考慮不同蠕變應(yīng)力和預(yù)成型溫度的改進(jìn)的Burgers本構(gòu)方程形式為

式中：E1和η1為常數(shù)；E2（σ，T）和η2（σ，T）為載荷σ和預(yù)成型溫度T的函數(shù)。

2.3 干纖維預(yù)制體蠕變回復(fù)計(jì)算方法

目前，還沒(méi)有專門(mén)面向干纖維預(yù)制體的蠕變回復(fù)計(jì)算方法。參考混凝土等黏彈性材料的蠕變響應(yīng)［21］，使用Boltzmann 疊加原理建立干纖維預(yù)制體蠕變回復(fù)方程。Boltzmann 疊加原理認(rèn)為，當(dāng)多個(gè)載荷共同作用時(shí)，每一個(gè)負(fù)載的增加或減少步驟都是獨(dú)立的，且能夠相互疊加［22］?；贐oltzmann 疊加的應(yīng)力、應(yīng)變表示為

式中：n′′為獨(dú)立應(yīng)力增量的數(shù)量；τ為弛豫時(shí)間，決定材料響應(yīng)速度，與整體時(shí)間t有所區(qū)別，τ只是一個(gè)特定瞬時(shí)時(shí)間點(diǎn)；Δσ（τi）為在弛豫時(shí)間τi處引起的應(yīng)力增量；φ（t，τ）為單位應(yīng)力下的蠕變。如圖8所示，根據(jù)疊加原理，蠕變模型可用于計(jì)算和分析蠕變回復(fù)，即卸載后變形回復(fù)相當(dāng)于反向力蠕變疊加。

圖8 Boltzmann 疊加原理在蠕變回復(fù)行為分析中的應(yīng)用Fig.8 Application of Boltzmann superposition principle in analysis of creep-recovery behavior

假定在t0時(shí)刻撤除施加在材料表面的恒定應(yīng)力，基于疊加原理方法，F(xiàn)indley 模型的蠕變回復(fù)方程為

雙參數(shù)模型的蠕變回復(fù)方程為

廣義Kelvin 模型的蠕變回復(fù)方程為

Burgers 模型的蠕變回復(fù)方程為

3 計(jì)算結(jié)果分析與討論

3.1 干纖維預(yù)制體蠕變計(jì)算結(jié)果

根據(jù)最小二乘法原理，編制了非線性擬合程序，在程序中輸入合適的模型參數(shù)初始值，利用實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合得到模型各參數(shù)值及相關(guān)系數(shù)，并采用相關(guān)系數(shù)評(píng)判模型擬合精度。圖9、圖10 中的曲線為分別采用Findley 模型、Burgers 模型、廣義Kelvin 模型、雙參數(shù)模型，在室溫（25 ℃）下不同應(yīng)力（0.3、0.5、0.8 MPa）和同一應(yīng)力（0.3 MPa）不同預(yù)成型溫度（25、40、50、60 ℃）下的蠕變曲線的非線性擬合結(jié)果，擬合得到的模型參數(shù)如表3～表6 所示，表中R2為擬合優(yōu)度，RMSE 為均方根誤差。

表3 Findley 模型蠕變曲線擬合參數(shù)Table 3 Fitting parameters of creep curve of Findley model

表4 廣義Kelvin 模型蠕變曲線擬合參數(shù)Table 4 Fitting parameters of creep curve of generalized Kelvin model

表5 Burgers 模型蠕變曲線擬合參數(shù)Table 5 Fitting parameters of creep curve of Burgers model

表6 雙參數(shù)模型蠕變曲線擬合參數(shù)Table 6 Fitting parameters of creep curve of two-parameters model

圖9 模型在室溫、不同蠕變應(yīng)力下蠕變計(jì)算結(jié)果Fig.9 Creep calculation results of model under room temperature and different creep stresses

圖10 模型在0.3 MPa、不同預(yù)成型溫度下蠕變計(jì)算結(jié)果Fig.10 Creep calculation results of model at 0.3 MPa and different preform temperatures

結(jié)合表3～表6 中模型擬合參數(shù)和圖10 中各模型擬合結(jié)果可得，Burgers 模型在不同預(yù)成型溫度下都表現(xiàn)出了良好的擬合效果，隨著預(yù)成型溫度的增加，F(xiàn)indley 模型、廣義Kelvin 模型和雙參數(shù)模型擬合效果受預(yù)成型溫度影響較大。

通過(guò)不同模型蠕變曲線擬合結(jié)果，計(jì)算擬合優(yōu)度R2和均方根誤差RMSE。由圖11 中的柱狀圖中R2和RMSE 計(jì)算結(jié)果可以看出，在室溫不同蠕變應(yīng)力和相同蠕變應(yīng)力不同預(yù)成型溫度條件下，F(xiàn)indley 模型和雙參數(shù)模型擬合效果較差，R2在0.8左右，且RMSE 較大，廣義Kelvin 模型擬合效果次之，Burgers 模型的擬合效果最好，R2＞0.95，且RMSE 最小。

圖11 不同模型擬合蠕變曲線的R2和RMSE 計(jì)算結(jié)果Fig.11 Calculation results of R2 and RMSE of different models fitting creep curves

3.2 干纖維預(yù)制體蠕變/回復(fù)計(jì)算結(jié)果

基于Boltzmann 疊加原理，采用兩參數(shù)指數(shù)模型、Findley 模型、廣義Kelvin 模型和 Burgers模型對(duì)蠕變/回復(fù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算，分析得到的蠕變/回復(fù)全曲線如圖12 所示。這些曲線表明，CF3031 干纖維織物預(yù)制體的應(yīng)變與時(shí)間、載荷和預(yù)成型溫度有關(guān)。隨著時(shí)間、載荷和預(yù)成型溫度的增加，由于預(yù)制體的黏彈性特征，應(yīng)變?cè)谌渥冸A段逐漸增加。由于非機(jī)械應(yīng)變的存在，在不同蠕變應(yīng)力和不同預(yù)成型溫度下的蠕變/回復(fù)曲線末端，永久變形始終存在。此外，蠕變/回復(fù)行為對(duì)預(yù)成型溫度變化較為敏感，隨著預(yù)成型溫度的升高，由于單層干纖維織物表面的定型劑由固態(tài)向熔融態(tài)轉(zhuǎn)變，材料在壓實(shí)過(guò)程中層間間距逐漸變小，從而導(dǎo)致應(yīng)變?cè)龃蟆?/p>

圖12 不同模型在不同蠕變應(yīng)力和不同預(yù)成型溫度下蠕變/回復(fù)計(jì)算結(jié)果Fig.12 Creep/recovery calculation results of different models under different creep stresses and preform temperatures

圖12 中的曲線圖為分別采用Findley 模型、Burgers 模型、廣義Kelvin 模型和雙參數(shù)模型，在室溫（25 ℃）、不同蠕變應(yīng)力（0.3、0.5、0.8 MPa）和相同蠕變應(yīng)力（0.3 MPa）、不同預(yù)成型溫度（25、40、50、60 ℃）條件下的蠕變/回復(fù)曲線的非線性預(yù)測(cè)結(jié)果，擬合得到的模型參數(shù)如表7～表10所示。

表7 廣義Kelvin 模型蠕變/回復(fù)曲線擬合參數(shù)Table 7 Fitting parameters of creep/recovery curve of generalized Kelvin model

表8 Burgers 模型蠕變/回復(fù)曲線擬合參數(shù)Table 8 Fitting parameters of creep/recovery curve of Burgers model

表9 Findley 模型蠕變/回復(fù)曲線擬合參數(shù)Table 9 Fitting parameters of creep/recovery curve of Findley model

表10 雙參數(shù)模型蠕變/回復(fù)曲線擬合參數(shù)Table 10 Fitting parameters of creep/recovery curve of tow-parameter model

通過(guò)不同模型蠕變/回復(fù)曲線擬合結(jié)果，計(jì)算得到各模型的R2和RMSE 如圖13 所示。結(jié)合表7～表10 中模型擬合參數(shù)和圖12 中各模型擬合結(jié)果可得，在室溫不同蠕變應(yīng)力條件下，4 種模型預(yù)測(cè)值與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)吻合較好，R2均較高，且Burgers 模型的RMSE 最小。在相同蠕變應(yīng)力不同預(yù)成型溫度條件下，F(xiàn)indley 模型、雙參數(shù)模型和廣義Kelvin 模型隨著預(yù)成型溫度的升高擬合效果逐漸變差，其中廣義Kelvin 模型擬合效果最差，R2均值在0.8 左右，且RMSE 較大。

圖13 不同模型擬合蠕變/回復(fù)曲線的R2和RMSE 計(jì)算結(jié)果Fig.13 Calculation results of R2 and RMSE of different models fitting creep/recovery curves

可以清晰看出，在不同實(shí)驗(yàn)條件下采用Burgers 模型均能夠良好分析CF3031 干纖維織物預(yù)制體的蠕變/回復(fù)行為，且整體擬合效果優(yōu)于其他模型，R2均值大于0.95，且RMSE 最小。

4 本構(gòu)方程建立與驗(yàn)證

4.1 參數(shù)識(shí)別

基于對(duì)不同模型擬合效果對(duì)比，選用擬合效果最好的Burgers 模型，對(duì)傳統(tǒng)Burgers 模型進(jìn)行改進(jìn)。與傳統(tǒng)Burgers 模型相比，改進(jìn)的Burgers模型引入了蠕變應(yīng)力σ0和預(yù)成型溫度T作為經(jīng)驗(yàn)本構(gòu)方程系數(shù)的變量，并引入由于材料特性、纖維間孔隙等所產(chǎn)生的非機(jī)械應(yīng)變?chǔ)臢。其蠕變/回復(fù)全過(guò)程應(yīng)變描述為

式中：ε1（t）為從壓實(shí)過(guò)程到卸載結(jié)束時(shí)σ0增加的應(yīng)變；根據(jù)疊加原理將t0時(shí)刻卸載產(chǎn)生應(yīng)變等效為施加反向力σ0產(chǎn)生的應(yīng)變?chǔ)?（t-t0），則ε1（t）-ε2（t-t0）是卸載響應(yīng)階段的總應(yīng)變；H（x）為階躍函數(shù)，其函數(shù)表達(dá)式為

現(xiàn)有研究通過(guò)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)與擬合結(jié)果分析，基于疊加原理方法的材料模型均會(huì)高估材料的回復(fù)能力［23］，一方面是因?yàn)镃F3031 干纖維織物表面的定型劑為熱敏黏彈性材料，定型劑隨著預(yù)成型溫度升高逐漸由固態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)槿廴趹B(tài)，導(dǎo)致各干纖維織物層間相互粘連；另一方面蠕變應(yīng)力的增加會(huì)加劇纖維絲束間的嵌套行為，因此在回復(fù)過(guò)程中無(wú)法將t0時(shí)刻卸載產(chǎn)生的應(yīng)變，等效為施加與蠕變應(yīng)力大小相同方向相反力σ0所產(chǎn)生的應(yīng)變。為考慮不同應(yīng)力和預(yù)成型溫度對(duì)回復(fù)行為產(chǎn)生的影響，引入系數(shù)A，定義系數(shù)A為蠕變應(yīng)力σ0和預(yù)成型溫度T的函數(shù)?；谏鲜龇治觯瑔我环匠绦问降腃F3031 干纖維預(yù)制體蠕變/回復(fù)材料模型為

圖14、圖15 分別為室溫不同蠕變應(yīng)力下蠕變?nèi)崃侩S時(shí)間變化的曲線和相同蠕變應(yīng)力不同預(yù)成型溫度下蠕變?nèi)崃侩S時(shí)間變化曲線。

圖14 不同蠕變應(yīng)力下蠕變?nèi)崃侩S時(shí)間變化曲線Fig.14 Creep compliance versus time under different creep stresses

圖15 不同預(yù)成型溫度下蠕變?nèi)崃侩S時(shí)間變化曲線Fig.15 Creep compliance versus time at different preform temperatures

蠕變?nèi)崃縅（t）計(jì)算公式為

如圖14、圖15 所示，蠕變?nèi)崃縅（t）在加載過(guò)程中均隨著時(shí)間的延長(zhǎng)逐漸增大，在卸載階段蠕變?nèi)崃烤S著時(shí)間的增加逐漸減少。加載階段蠕變應(yīng)力越大、預(yù)成型溫度越高，蠕變?nèi)崃孔兓叫?；卸載階段蠕變應(yīng)力越小、預(yù)成型溫度越低，蠕變?nèi)崃孔兓酱蟆?/p>

由圖12 中蠕變/回復(fù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)以及圖15 參數(shù)識(shí)別示意圖獲取E0、εN、η0的數(shù)值。

根據(jù)不同蠕變應(yīng)力和不同預(yù)成型溫度下蠕變/回復(fù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)中非機(jī)械應(yīng)變?chǔ)臢和卸載純彈性應(yīng)變?chǔ)舉計(jì)算E1、εN，發(fā)現(xiàn)不同實(shí)驗(yàn)條件下E0、εN計(jì)算結(jié)果趨于一致，且在擬合過(guò)程中發(fā)現(xiàn)η1的大小與圖16 中紅色橢圓形標(biāo)注的曲線傾斜程度有關(guān)，隨著η1的增大，此部分?jǐn)M合曲線與x軸的夾角越小，隨著時(shí)間的增加此部分曲線逐漸趨于與x軸平行，根據(jù)擬合結(jié)果取η0為一較大值（大于100）。因此本構(gòu)模型系數(shù)E0、εN的計(jì)算結(jié)果和η0的取值為

圖16 參數(shù)E0、εN、η1識(shí)別示意圖Fig.16 Schematic diagram of parameters E0，εN，η1 identification

為獲取本構(gòu)模型中E1、τ1、A的表達(dá)式，首先將蠕變應(yīng)力σ0和T進(jìn)行歸一化處理，其次選用二次多項(xiàng)式作為模型系數(shù)E1、τ1、A的表達(dá)式形式，最后根據(jù)不同實(shí)驗(yàn)條件下的實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)二次多項(xiàng)式的系數(shù)進(jìn)行求解，求得E1、τ1、A與蠕變應(yīng)力σ0和預(yù)成型溫度T相關(guān)的函數(shù)表達(dá)式為

式中：σ0∈（-1，1），T∈（-1，1）。將式（22）、式（23）代入式（20），得到能夠預(yù)測(cè)CF3031 干纖維預(yù)制體在不同蠕變應(yīng)力和預(yù)成型溫度下蠕變/回復(fù)行為的單一方程形式本構(gòu)模型。

將T=25 ℃和σ0=0.3 MPa 歸一化后，分別代入得到的本構(gòu)方程式（20）中，采用最小二乘法原理分別對(duì)室溫下不同蠕變應(yīng)力和相同應(yīng)力在不同預(yù)成型溫度下的蠕變?nèi)崃窟M(jìn)行擬合，得到的蠕變?nèi)崃咳S擬合圖如圖17、圖18 所示，擬合優(yōu)度R2均大于0.97，說(shuō)明不論從數(shù)據(jù)的大小還是數(shù)據(jù)的變化趨勢(shì)，實(shí)驗(yàn)結(jié)果與擬合曲面均表現(xiàn)出良好的一致性。

圖17 室溫下不同蠕變應(yīng)力的蠕變?nèi)崃咳S擬合圖Fig.17 Three dimensional fitting diagram of creep compliance of different creep stresses at room temperature

圖18 相同蠕變應(yīng)力在不同預(yù)成型溫度下的蠕變?nèi)崃咳S擬合圖Fig.18 Three dimensional fitting diagram of creep compliance of the same creep stress at different preform temperatures

4.2 模型驗(yàn)證

為了驗(yàn)證建立的CF3031 干纖維預(yù)制體的非線性黏彈性本構(gòu)模型的準(zhǔn)確性，采用與實(shí)驗(yàn)相同的干纖維預(yù)制體樣品，以蠕變應(yīng)力σ0、回復(fù)保載應(yīng)力σ1、預(yù)成型溫度T、卸載時(shí)刻t0為變量進(jìn)行實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)，模型驗(yàn)證實(shí)驗(yàn)方案如表11 所示。

表11 本構(gòu)方程驗(yàn)證實(shí)驗(yàn)的測(cè)試程序Table 11 Test procedure of constitutive equation validation experiment

圖19 為本構(gòu)模型預(yù)測(cè)結(jié)果與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的比較結(jié)果，驗(yàn)證實(shí)驗(yàn)與模型預(yù)測(cè)曲線基本吻合。結(jié)果表明，該單一方程形式的材料模型能夠?qū)崿F(xiàn)在不同蠕變應(yīng)力和預(yù)成型溫度下干纖維預(yù)制體蠕變/回復(fù)的良好預(yù)測(cè)，這對(duì)于實(shí)際預(yù)成型工藝過(guò)程中材料的非線性黏彈性行為的預(yù)測(cè)較為便利。

圖19 預(yù)測(cè)曲線與實(shí)驗(yàn)曲線對(duì)比Fig.19 Comparison between prediction curves and experimental curves

5 結(jié)論

采用了一系列蠕變/回復(fù)實(shí)驗(yàn)來(lái)研究CF3031 干纖維預(yù)制件在不同蠕變應(yīng)力和預(yù)成型溫度下的黏彈性行為，對(duì)于干纖維預(yù)制件的蠕變/回復(fù)行為進(jìn)行計(jì)算分析。特別是，蠕變應(yīng)力和預(yù)成型溫度對(duì)CF3031 干纖維預(yù)制體的黏彈性行為的影響已經(jīng)通過(guò)使用改進(jìn)的Burgers 模型進(jìn)行了預(yù)測(cè)與量化。主要研究結(jié)果列舉如下。

1）采用4種模型進(jìn)行了CF3031干纖維預(yù)制體的蠕變計(jì)算分析，發(fā)現(xiàn)Burgers 模型在不同的蠕變應(yīng)力和預(yù)成型溫度下的預(yù)制體蠕變的計(jì)算效果略優(yōu)于廣義Kelvin模型、Findely模型和雙參數(shù)模型。

2）基于Burgers 模型和Boltzmann 疊加原理，提出了考慮蠕變應(yīng)力和預(yù)成型溫度的經(jīng)驗(yàn)本構(gòu)模型，僅使用單一方程即可全面描述CF3031干纖維預(yù)制體的在不同的蠕變應(yīng)力和預(yù)成型溫度下的黏彈性行為。

3）改進(jìn)的Burgers 模型能夠被用來(lái)分析預(yù)測(cè)CF3031 干纖維預(yù)制體蠕變/回復(fù)的黏彈性行為，且實(shí)驗(yàn)結(jié)果與預(yù)測(cè)結(jié)果吻合較好，證明了該本構(gòu)模型的可行性。