高超聲速機(jī)動(dòng)目標(biāo)攔截多約束解析捕獲區(qū)

譚一廷，荊武興，高長(zhǎng)生，安若銘

哈爾濱工業(yè)大學(xué) 航天學(xué)院，哈爾濱 150001

以臨近空間高超聲速滑翔飛行器為代表的新概念武器對(duì)現(xiàn)有防空反導(dǎo)系統(tǒng)已造成較大威脅，針對(duì)該類(lèi)強(qiáng)機(jī)動(dòng)突防目標(biāo)的先進(jìn)防御技術(shù)發(fā)展迫切。遠(yuǎn)程攔截彈彈道一般可分為：助推段、中制導(dǎo)段和末制導(dǎo)段［1］。由于攔截彈大部分飛行時(shí)間處于中段和末段，因此針對(duì)目標(biāo)機(jī)動(dòng)突防而采取的彈道修正等反制措施通常由中末制導(dǎo)完成［2］。中末交班條件同時(shí)關(guān)聯(lián)中制導(dǎo)終端約束和末制導(dǎo)初始條件，有利交班條件是保障精確中末制導(dǎo)的前提，通常需從捕獲區(qū)中獲?。?］。捕獲區(qū)為末段彈目需滿(mǎn)足的初始狀態(tài)集合，意義是使攔截器從該集合內(nèi)任意狀態(tài)點(diǎn)出發(fā)都有能力實(shí)現(xiàn)對(duì)目標(biāo)的攔截［4］。然而，為適應(yīng)臨近空間轉(zhuǎn)瞬即逝的可攔截窗口，多約束捕獲區(qū)的快速構(gòu)建仍面臨著諸多挑戰(zhàn)［5］。

在比例導(dǎo)引律的發(fā)展過(guò)程中引出了捕獲區(qū)的概念，而蒙特卡洛打靶作為最直接的分析方法，其通過(guò)某一初始條件下的彈道積分，根據(jù)在某種特定制導(dǎo)律下的終端脫靶量等指標(biāo)來(lái)判斷該初始條件是否屬于捕獲區(qū)，卻仍存在較大計(jì)算負(fù)擔(dān)。為應(yīng)對(duì)瞬變的現(xiàn)代作戰(zhàn)場(chǎng)景，逐漸發(fā)展了以比例導(dǎo)引律為代表的特定制導(dǎo)律下解析捕獲區(qū)。Ghose 等［6-7］最早基于非零脫靶量概念在二維和三維彈目視線系下分析了真比例導(dǎo)引與理想比例導(dǎo)引攔截非機(jī)動(dòng)目標(biāo)時(shí)的捕獲域。周覲等［8-10］基于零控?cái)r截條件分析了比例導(dǎo)引、反比例導(dǎo)引及最優(yōu)制導(dǎo)律攔截非機(jī)動(dòng)目標(biāo)的捕獲域，并給出了導(dǎo)航比設(shè)置條件，得出了相同條件下反比例導(dǎo)引捕獲區(qū)要大于比例導(dǎo)引捕獲區(qū)的結(jié)論。為提高末制導(dǎo)律的魯棒性，針對(duì)機(jī)動(dòng)目標(biāo)攔截的先進(jìn)制導(dǎo)律下捕獲區(qū)分析逐漸成為發(fā)展重點(diǎn)。Li 等［11-12］基于修正極坐標(biāo)系，給出了實(shí)現(xiàn)微分幾何制導(dǎo)律攔截垂直視線方向機(jī)動(dòng)目標(biāo)，初始視線法向相對(duì)速度需滿(mǎn)足的捕獲條件。Liu 和Shen［13］同樣基于修正極坐標(biāo)系，設(shè)計(jì)了三維攔截機(jī)動(dòng)形式未知目標(biāo)的H∞制導(dǎo)律，并給出了攔截器飽和加速度約束下初始接近速度和初始切向速度需滿(mǎn)足的約束不等式。以上研究給出了基于某一特定制導(dǎo)律下的捕獲區(qū)解析形式，為多約束下攔截捕獲區(qū)分析提供了理論支撐。

目前綜合考慮攔截器視場(chǎng)角、飽和加速度等多種約束下的任意機(jī)動(dòng)目標(biāo)攔截捕獲區(qū)的分析較少，但針對(duì)其中某一或某些約束已有所研究。Feng［14］利用修正極坐標(biāo)系和修正極坐標(biāo)變量分別分析了攻擊角和飽和視線旋轉(zhuǎn)角速率等約束下純比例導(dǎo)引攔截非機(jī)動(dòng)目標(biāo)，和攔截器輸入飽和約束下廣義理想比例導(dǎo)引攔截有界機(jī)動(dòng)目標(biāo)［15-16］的帶約束捕獲區(qū)，它們由標(biāo)準(zhǔn)化初始接近速度和初始視線旋轉(zhuǎn)角速率的集合表示。文獻(xiàn)［17-18］考慮大氣層外攔截場(chǎng)景，通過(guò)構(gòu)造彈目相對(duì)狀態(tài)李雅普諾夫函數(shù)，推導(dǎo)了導(dǎo)航比允許邊界，并基于該邊界分別分析了現(xiàn)實(shí)真比例導(dǎo)引和微分幾何制導(dǎo)律攔截僅沿視線法向任意形式機(jī)動(dòng)目標(biāo)的捕獲區(qū)，其由初始接近速度和初始視線法向速度的捕獲條件構(gòu)成。采用同一方法，文獻(xiàn)［19］基于視線旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系推導(dǎo)了現(xiàn)實(shí)真比例導(dǎo)引三維攔截任意方向機(jī)動(dòng)目標(biāo)捕獲區(qū)。為進(jìn)一步補(bǔ)充攔截器飽和過(guò)載約束下任意方向機(jī)動(dòng)目標(biāo)捕獲區(qū)，文獻(xiàn)［20-21］在沿用文獻(xiàn)［17-19］制導(dǎo)模型的基礎(chǔ)上，采用考慮最小脫靶量和最大接近速度的攔截條件，推導(dǎo)了導(dǎo)航比的修正邊界以及初始接近速度的修正捕獲條件。至此，攔截器飽和過(guò)載單一約束下，比例導(dǎo)引及其擴(kuò)展形式制導(dǎo)律在大氣層外攔截任意有界機(jī)動(dòng)目標(biāo)的捕獲區(qū)分析已較為成熟。

由于比例導(dǎo)引法無(wú)法保證視線角速率的快速收斂且魯棒性較差，在短時(shí)間內(nèi)難以實(shí)現(xiàn)對(duì)強(qiáng)機(jī)動(dòng)目標(biāo)的有效攔截，因此分析高超聲速目標(biāo)攔截多約束捕獲區(qū)需以漸近收斂的抗干擾先進(jìn)制導(dǎo)律為基礎(chǔ)。針對(duì)臨近空間目標(biāo)攔截場(chǎng)景，文獻(xiàn)［22］提出了能量約束下攔截彈攻擊區(qū)建模方法，并結(jié)合空間幾何推導(dǎo)了以初始速度方向表示的捕獲區(qū)；文獻(xiàn)［23］推導(dǎo)了不依賴(lài)特定制導(dǎo)律的高超聲速目標(biāo)攔截捕獲區(qū)，但其僅針對(duì)常值機(jī)動(dòng)目標(biāo)；文獻(xiàn)［24-25］分別推導(dǎo)了滑模制導(dǎo)律和微分對(duì)策制導(dǎo)律攔截高速任意有界機(jī)動(dòng)目標(biāo)的解析捕獲區(qū)。以上研究為針對(duì)不同場(chǎng)景快速構(gòu)建中末交班約束提供了參考，然而對(duì)攔截器視場(chǎng)角和飽和過(guò)載約束仍缺乏考慮。

在過(guò)去幾年中，依賴(lài)改進(jìn)偏置比例導(dǎo)引［26-28］、狀態(tài)約束廣義模型預(yù)測(cè)靜態(tài)規(guī)劃技術(shù)［29］、多項(xiàng)式制導(dǎo)［30］和非奇異滑模面［31］等方法，考慮視場(chǎng)角約束的制導(dǎo)律得到了快速發(fā)展，它們雖只針對(duì)固定目標(biāo)攔截或者結(jié)構(gòu)形式復(fù)雜不便于解析推導(dǎo)，但卻為視場(chǎng)角約束下捕獲區(qū)分析提供了思路。此外，部分學(xué)者利用機(jī)器學(xué)習(xí)中決策樹(shù)等方法［32-33］對(duì)所有初始樣本進(jìn)行快速分類(lèi)，以設(shè)計(jì)符合捕獲區(qū)的中末交班條件，該方法能充分考慮干擾和飽和過(guò)載等影響，但對(duì)于不同機(jī)動(dòng)形式目標(biāo)仍需在線訓(xùn)練，實(shí)時(shí)應(yīng)用難以保證。其他學(xué)者利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中深度學(xué)習(xí)等方法［34-35］對(duì)空空導(dǎo)彈殺傷包線離線訓(xùn)練擬合以達(dá)到攻擊區(qū)可在線實(shí)時(shí)計(jì)算效果，但其僅針對(duì)特定機(jī)動(dòng)形式目標(biāo)攔截，缺乏一定的通用性。

為完善上述臨近空間目標(biāo)攔截捕獲區(qū)分析中存在的不足，本文考慮攔截器視場(chǎng)和飽和加速度限制，對(duì)機(jī)動(dòng)形式方向任意且有界的目標(biāo)攔截捕獲區(qū)進(jìn)行了分析。首先構(gòu)建了適配高超聲速機(jī)動(dòng)目標(biāo)攔截的漸近收斂抗干擾末制導(dǎo)模型，并基于穩(wěn)定性原理證明了視線角速率的有限時(shí)間收斂性，給出了視場(chǎng)約束全程滿(mǎn)足的條件。進(jìn)而推導(dǎo)了以該制導(dǎo)模型為基礎(chǔ)的多約束解析捕獲區(qū)：通過(guò)構(gòu)建彈目接近速度與視線旋轉(zhuǎn)角速率的復(fù)合李雅普諾夫函數(shù)，推導(dǎo)了制導(dǎo)指令有界條件及制導(dǎo)增益可選范圍，使得制導(dǎo)指令始終滿(mǎn)足飽和加速度限制。然后，基于上述有界條件、增益邊界引入更符合現(xiàn)實(shí)的攔截判斷條件，利用不等式分析得到無(wú)視場(chǎng)約束下攔截捕獲區(qū)，其由初始接近速度、初始視線法向相對(duì)速度和初始彈目距離三者的捕獲條件構(gòu)成；額外考慮視場(chǎng)約束時(shí)，將非線性規(guī)劃技術(shù)用于不等式分析中，對(duì)初始接近速度捕獲條件進(jìn)一步修正最終得到多約束捕獲區(qū)，其由修正的初始接近速度、初始視線法向相對(duì)速度和攔截器初始速度前置角三者的解析捕獲條件構(gòu)成。最后，對(duì)比仿真驗(yàn)證了所得結(jié)論的正確性，并對(duì)捕獲區(qū)影響因素及變化規(guī)律進(jìn)行了分析。

1 高超聲速機(jī)動(dòng)目標(biāo)攔截末制導(dǎo)模型

為便于后續(xù)理解，將本文對(duì)制導(dǎo)系統(tǒng)做出的所有合理假設(shè)列舉如下：

假設(shè)1末制導(dǎo)過(guò)程中，攔截器機(jī)動(dòng)能力強(qiáng)于目標(biāo)機(jī)動(dòng)能力，攔截器速度遠(yuǎn)大于目標(biāo)速度。

假設(shè)2末制導(dǎo)過(guò)程中干擾及目標(biāo)機(jī)動(dòng)有界且最大邊界已知。

1.1 彈目相對(duì)動(dòng)力學(xué)模型

圖1 描繪了末制導(dǎo)二維攔截示意圖，M、T分別代表攔截器和目標(biāo)；OXY為地面參考坐標(biāo)系；Rm、Rt分別代表攔截器和目標(biāo)的位置矢量；Vm、Vt分別代表攔截器和目標(biāo)的速度矢量；q為視線角；θm、θt分別為攔截器和目標(biāo)速度傾角；γm、γt分別為攔截器速度和目標(biāo)速度與彈目視線夾角；r、V分別表示彈目相對(duì)位置和相對(duì)速度矢量，即

圖1 彈目攔截幾何Fig.1 Interception geometry between target and interceptor

圖1 分別以視線和垂直視線方向建立視線坐標(biāo)系(er，eθ)，用ωs=表示視線旋轉(zhuǎn)角速率。根據(jù)右手標(biāo)架旋轉(zhuǎn)定理，視線坐標(biāo)系下彈目相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程如下所示［17］：

式中：r為彈目相對(duì)距離，即r=rer；(atr，atθ)和(amr，amθ)分別為目標(biāo)和攔截器在視線坐標(biāo)系下加速度；下標(biāo)r、θ在后文中代表物理量分別沿er，eθ方向分量。末制導(dǎo)過(guò)程中，由于執(zhí)行機(jī)構(gòu)通常橫側(cè)向配置，對(duì)彈目接近速度大小一般不作控制，因此僅設(shè)計(jì)amθ加速度指令使得角速率ωs減為0并保證過(guò)程中彈目接近速度＜0，即可保證攔截器沿著視線方向接近并攔截目標(biāo)［12］。

考慮到制導(dǎo)過(guò)程中方法誤差、外界擾動(dòng)等影響，將標(biāo)稱(chēng)模型式（2）改寫(xiě)為式（3），以近似模擬干擾影響下相對(duì)運(yùn)動(dòng)模型：

式中：dr、dθ代表由方法誤差或外界擾動(dòng)等構(gòu)成的集中擾動(dòng)，通常未知但考慮有界：

其中：ηr、ηθ為集中擾動(dòng)最大邊界。

同時(shí)考慮目標(biāo)以任意形式機(jī)動(dòng)，它們同樣未知但考慮有界：

式中：αr、αθ為目標(biāo)機(jī)動(dòng)最大邊界。

定義接近速度vr=和視線法向相對(duì)速度vθ=rωs，則彈目相對(duì)速度V=vrer+vθeθ表示為

式中：vm、vt分別為攔截器和目標(biāo)速度大小。

1.2 視場(chǎng)約束下攔截末制導(dǎo)律

考慮彈體捷聯(lián)安裝導(dǎo)引頭，則探測(cè)視場(chǎng)角可近似看作攔截器速度前置角［30-31］，即γm∈(-π/2，π/2)，其通常需滿(mǎn)足單機(jī)約束范圍：

式中：γmax表示導(dǎo)引頭能提供的最大視場(chǎng)角。

定理1對(duì)于考慮擾動(dòng)的制導(dǎo)系統(tǒng)式（3），制導(dǎo)指令am為

式中：k＞0 為增益系數(shù)；為飽和函數(shù)；Δω＞0 為設(shè)定的零附近的常值閾值。制導(dǎo)律式（9）中所用狀態(tài)量，ωs均為實(shí)際有效測(cè)量值，且攔截器初始視場(chǎng)角γm0滿(mǎn)足：

則攔截過(guò)程中式（8）恒成立，即攔截器始終滿(mǎn)足視場(chǎng)角約束，并能實(shí)現(xiàn)對(duì)任意有界機(jī)動(dòng)目標(biāo)式（5）的有效攔截。

證明選擇李雅普諾夫函數(shù)為

將式（11）左右兩邊對(duì)時(shí)間求導(dǎo)并結(jié)合式（3）和式（9）得

結(jié)合不等式（4）和式（5）有：

因此角速率ωs漸近穩(wěn)定收斂到0，能實(shí)現(xiàn)目標(biāo)式（5）的最終攔截。下面證明攔截器始終滿(mǎn)足視場(chǎng)角約束式（8）。

1）在視線角速率ωs收斂過(guò)程中式（8）恒成立。

視場(chǎng)角約束式（8）可以等效為式（14）：

當(dāng)角速率ωs未收斂到0 時(shí)，根據(jù)前面證明可知視線角速率|ωs|此時(shí)會(huì)漸近收斂，因此|vθ|=|rωs|在攔截過(guò)程中同樣逐漸減小，即有：

式中：vθ0為視線法向相對(duì)速度vθ的初值。根據(jù)式（7），由于攔截過(guò)程中攔截器速度遠(yuǎn)大于目標(biāo)速度，且初始視場(chǎng)角γm0滿(mǎn)足式（10），故有|vθ0|≤kc。再結(jié)合式（15）可知在角速率ωs收斂過(guò)程中，式（14）和關(guān)系式|γm|≤|γm0|始終成立，因此式（8）在角速率ωs收斂過(guò)程中始終滿(mǎn)足。

2）在視線角速率ωs收斂到0 后，式（8）恒成立。

當(dāng)角速率ωs收斂到0 后，根據(jù)式（9）可知攔截器加速度am接近于0。又由幾何關(guān)系有γm=q-θm，對(duì)其求導(dǎo)得

證明結(jié)束。

在現(xiàn)實(shí)應(yīng)用中，末制導(dǎo)保證脫靶量在較小的范圍內(nèi)即可實(shí)現(xiàn)攔截，同時(shí)接近速度應(yīng)小于設(shè)定的閾值，從而保證攔截器對(duì)目標(biāo)的快速碰撞殺傷。因此攔截條件采用如下定義［19］：

式中：tf為制導(dǎo)結(jié)束時(shí)刻；0 ＜rmin＜r0為允許的最小脫靶量；r0為初始彈目相對(duì)距離；為容許碰撞速度常值。

2 多約束捕獲區(qū)分析

本節(jié)基于上述制導(dǎo)模型，進(jìn)一步分析考慮干擾、攔截器最大機(jī)動(dòng)過(guò)載及視窗角約束下的任意有界機(jī)動(dòng)目標(biāo)攔截捕獲區(qū)。首先分析了考慮干擾和攔截器最大機(jī)動(dòng)過(guò)載情況下增益系數(shù)、視線旋轉(zhuǎn)角速率等狀態(tài)參數(shù)邊界；基于該狀態(tài)參數(shù)邊界推導(dǎo)了由初始相對(duì)距離、初始接近速度和初始法向速度等構(gòu)成的捕獲條件；最后考慮導(dǎo)引頭視窗角約束，進(jìn)一步修正捕獲條件給出了捕獲區(qū)。

2.1 制導(dǎo)指令邊界和增益取值范圍

從彈目相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程式（3）可以看出，攔截器制導(dǎo)模型主要由相對(duì)距離、接近速度、視線旋轉(zhuǎn)角速率和制導(dǎo)增益系數(shù)等狀態(tài)參數(shù)描述。尤其在考慮干擾影響、攔截器最大機(jī)動(dòng)過(guò)載及目標(biāo)機(jī)動(dòng)時(shí)，這些參數(shù)的變化規(guī)律更加復(fù)雜。而在制導(dǎo)律的作用下，它們實(shí)際上具有一定的變化范圍，這些取值范圍也將直接決定攔截器捕獲區(qū)。

定理2對(duì)于考慮擾動(dòng)的制導(dǎo)系統(tǒng)式（3），采用制導(dǎo)律式（9）對(duì)任意有界機(jī)動(dòng)目標(biāo)式（5）進(jìn)行攔截，若增益系數(shù)滿(mǎn)足：

式中：Dr=αr+ηr，且接近速度滿(mǎn)足：

則式（20）成立：

證明采用反證法進(jìn)行證明，假設(shè)式（20）不成立，即存在時(shí)刻t1，t2∈[0，tf]使得

選擇李雅普諾夫函數(shù)：

將式（23）左右兩邊對(duì)時(shí)間求導(dǎo)并結(jié)合式（3）和式（9）得

結(jié)合式（4）、式（5）和式（19）有：

證明結(jié)束。

定理2 給出了使制導(dǎo)律式（9）生成的指令加速度有界時(shí)的增益系數(shù)k取值范圍，可以看出其加速度邊界由增益系數(shù)k決定，而實(shí)際應(yīng)用中還需考慮加速度最大限制，即

式中：amax為攔截器可提供的最大加速度，并假設(shè)amax＞2Dθ意味著攔截器機(jī)動(dòng)能力能完全抵抗目標(biāo)機(jī)動(dòng)和干擾影響。因此需進(jìn)一步縮小增益系數(shù)k的取值范圍，使得指令加速度始終在最大限制內(nèi)。

定理3對(duì)于考慮擾動(dòng)的制導(dǎo)系統(tǒng)式（3），采用制導(dǎo)律式（9）對(duì)任意有界機(jī)動(dòng)目標(biāo)式（5）進(jìn)行攔截，若接近速度滿(mǎn)足式（19），增益系數(shù)k滿(mǎn)足：

式中：ωs0為初始視線旋轉(zhuǎn)角速率，且初始相對(duì)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)滿(mǎn)足：

則式（20）、式（21）和式（27）成立。

證明對(duì)式（29）進(jìn)行變形可得到：

結(jié)合式（28），則增益系數(shù)k可看作由以下2 個(gè)關(guān)系式?jīng)Q定：

可以看出k按式（31）或式（32）取值均使得式（18）成立，因此條件式（28）和式（29）滿(mǎn)足定理2 條件，故式（20）和式（21）成立。根據(jù)k的取值，考慮以下2 種情況：

1）當(dāng)k按式（31）取值時(shí)，式（31）右邊不等關(guān)系式整理得

結(jié)合式（21）可知式（27）自然成立。

2）當(dāng)k按式（32）取值時(shí)，式（32）左邊不等關(guān)系式整理得

由式（20）可知此時(shí)δ=|0ωs0|，將式（32）右邊不等關(guān)系式整理得

結(jié)合式（21）可知式（27）自然成立。

證明結(jié)束。

2.2 無(wú)視場(chǎng)約束下捕獲條件

本節(jié)將依據(jù)攔截條件式（17）以及上一節(jié)定理2 和定理3 給出的狀態(tài)參數(shù)邊界進(jìn)一步推導(dǎo)初始相對(duì)距離、初始接近速度和初始法向速度等需滿(mǎn)足的捕獲條件。

根據(jù)相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程式（3）～式（5），顯然有：

對(duì)式（37）兩邊同時(shí)積分得

令f(t*)=0，對(duì)應(yīng)的t*為

在攔截過(guò)程中有r(t)≥0，意味著f(t)≥0，將式（39）代入式（38）第1 式則有：

依據(jù)該條件及定理2 和定理3 可推導(dǎo)出考慮干擾及攔截器最大加速度限制的任意有界機(jī)動(dòng)目標(biāo)攔截的捕獲條件。

定理4對(duì)于考慮擾動(dòng)的制導(dǎo)系統(tǒng)式（3），采用制導(dǎo)律式（9）對(duì)任意有界機(jī)動(dòng)目標(biāo)式（5）進(jìn)行攔截，若初始相對(duì)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)滿(mǎn)足：

且增益系數(shù)滿(mǎn)足：

則有r(t) ＞rmin，?t∈ [0，+∞)時(shí)，以下關(guān)系式成立：

以及式（20）和式（21）成立。這意味著存在時(shí)刻tf使得攔截條件成立，保證目標(biāo)成功攔截。

證明同樣利用反證法進(jìn)行證明，假設(shè)式（43）不成立，即假設(shè)存在時(shí)刻t3∈(0，tf]使得

結(jié)合條件式（42）可知當(dāng)t∈)[0，t3時(shí)，定理2成立。根據(jù)定理2 可知，將其代入相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程式（3）第1 式可得

將式（46）左右兩邊同時(shí)積分得

當(dāng)t=0 時(shí)，有f(t)=＞0，且t=t3時(shí)，有，因此若要保證式（47）成立，同時(shí)考慮到f(t)的連續(xù)性，必存在某一時(shí)刻t4∈[0，t3]使得，即

又因?yàn)楹瘮?shù)f(t)關(guān)于r(t)是單調(diào)遞增的，且r(t4)＞rmin，因此有f(r(t4))＞f(rmin)，寫(xiě)為

根據(jù)δ的取值，考慮以下2 種情況。

因此式（50）與式（42）矛盾，說(shuō)明式（43）成立。此外，時(shí)式（33）成立，依此推導(dǎo)得

聯(lián)立式（42）和式（51）便可證明得到式（41）。

因此式（52）與式（41）矛盾，說(shuō)明式（43）成立。此外，時(shí)式（35）成立，依此推導(dǎo)得

聯(lián)立式（41）和式（53）便可證明得到式（42）。

綜上所述，式（41）和式（42）證明成立，其滿(mǎn)足定理2 中增益系數(shù)條件式（18），因此在條件式（41）和式（42）下，由定理2 可知式（20）和式（21）自然成立。

證明結(jié)束。

定理4 給出了實(shí)現(xiàn)干擾影響下任意有界機(jī)動(dòng)目標(biāo)攔截的增益系數(shù)及初始相對(duì)狀態(tài)取值范圍式（41）和式（42），而考慮攔截器最大機(jī)動(dòng)能力時(shí)，其取值范圍還應(yīng)與定理3 中給出的增益系數(shù)及初始相對(duì)狀態(tài)取值范圍式（28）和式（29）形成相應(yīng)的包含關(guān)系。

定理5對(duì)于考慮擾動(dòng)的制導(dǎo)系統(tǒng)式（3），采用制導(dǎo)律式（9）對(duì)任意有界機(jī)動(dòng)目標(biāo)式（5）進(jìn)行攔截，若相對(duì)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)滿(mǎn)足式（29）和式（54）：

且制導(dǎo)增益系數(shù)k滿(mǎn)足式（28），則式（43）和式（27）成立。

證明當(dāng)式（54）成立時(shí)，若|0ωs0|邊界滿(mǎn)足式（29），則式（41）恒成立，同樣依據(jù)式（54）可推導(dǎo)得到：

由此可知，當(dāng)增益系數(shù)按式（28）取值時(shí)，式（42）恒成立。因此當(dāng)滿(mǎn)足定理5 中條件式（29）、式（54）和式（28）時(shí)，定理3 和定理4 同時(shí)成立，依據(jù)定理3 和定理4，式（43）和式（27）自然成立。

證明結(jié)束。

定理5 最終給出了考慮攔截器最大機(jī)動(dòng)能力和干擾影響時(shí)，能實(shí)現(xiàn)任意有界機(jī)動(dòng)目標(biāo)攔截的捕獲條件，其由初始接近速度、初始視線旋轉(zhuǎn)角速率關(guān)系式（29）和式（54），以及增益系數(shù)取值范圍式（28）構(gòu)成。為更清晰地用相對(duì)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)進(jìn)行描述，將捕獲條件（Capture Condition，CC）式（29）和式（54）改寫(xiě)為初始接近速度vr0=0和初始視線法向相對(duì)速度vθ0=r0ωs0表示形式：

捕獲條件式（56）和式（57）由初始相對(duì)距離r0、初始接近速度vr0和視線法向相對(duì)速度vθ0之間的關(guān)系式組成，捕獲條件式（56）、式（57）和式（28）即可看作考慮攔截器最大機(jī)動(dòng)能力和干擾影響時(shí)，實(shí)現(xiàn)任意有界機(jī)動(dòng)目標(biāo)攔截的充分條件。

2.3 視場(chǎng)約束下修正捕獲條件

考慮到視場(chǎng)角限制，本節(jié)將進(jìn)一步修正捕獲條件CC1 和CC2 以得到多約束解析捕獲區(qū)。

將捕獲條件CC2 式（57）中第2 式改寫(xiě)為

可看出b，c＜0，計(jì)算根的判別式可知：b2-4ac＞0，又由于g(0)=c＜0，因此函數(shù)0 有且僅有一個(gè)根，將其記作。又由于vr0＜0，則式（58）的解集為{vr0|vr0＜-vroot，vroot＞0}，進(jìn)而將捕獲條件CC2 式（57）改寫(xiě)為

為便于后續(xù)分析，同樣將捕獲條件CC1式（56）改寫(xiě)為如下簡(jiǎn)潔形式：

考慮正向迎擊形式進(jìn)行攔截，根據(jù)式（6）和式（7），將初始目標(biāo)速度前置角γt0和初始法向相對(duì)速度vθ0進(jìn)行如下代換：

根據(jù)式（63）可看出，對(duì)于任意滿(mǎn)足捕獲條件CC2 式（60）的初始接近速度vr0而言，初始法向相對(duì)速度vθ0可看作關(guān)于攔截器初始速度前置角γm0的函數(shù)關(guān)系式，進(jìn)而捕獲條件CC1 可轉(zhuǎn)換為對(duì)γm0的約束。實(shí)際上，對(duì)vθ0的表達(dá)式（63）分析可知，vθ0在各自分段區(qū)間內(nèi)均是單調(diào)遞增的，下面以區(qū)間內(nèi)vθ0(γm0)的增減性為例進(jìn)行說(shuō)明。

將式（63）第1 式左右兩邊對(duì)γm0求導(dǎo)可得

將式（63）代入捕獲條件CC1 式（61）中得

事實(shí)上，由于|vθ0(γm0)|在γm0的全區(qū)間內(nèi)關(guān)于γm0=0 對(duì)稱(chēng)，因此不等式（65）的解集是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的。

以γm0∈ [0，π 2)時(shí)的解集進(jìn)行說(shuō)明：從式（63）可看出，在γm0∈ [0，π/2)區(qū)間內(nèi)存在方程vθ0(γm0)=0 的唯一解，將其記為，可由式（66）計(jì)算得出：

式（67）和式（68）可通過(guò)簡(jiǎn)單形式的非線性規(guī)劃法，如最小二乘法求解得出。根據(jù)解集對(duì)稱(chēng)性，不等式（65）在γm0∈ (-π/2，0 ]區(qū)間內(nèi)的解集為

結(jié)合視場(chǎng)角約束式（10），攔截器初始速度前置角γm0需滿(mǎn)足的捕獲條件CC3 如下：

補(bǔ)充捕獲條件CC3 式（69）成立的前提是γm0不為空集。觀察式（63）可發(fā)現(xiàn)，隨著|vr0|增大：vθ0(γm0)函數(shù)曲線在γm0∈ [0，π/2)區(qū)間逐漸向左移動(dòng)，在γm0∈ (-π/2，0 ]區(qū)間逐漸向右移動(dòng)；h*(vr0) 逐漸減小。式（69）不為空集的條件是，考慮極端情況時(shí)，此時(shí)|vr0|有最小值，即vr0的最大值，將其設(shè)為＜0，滿(mǎn)足：

因此，當(dāng)額外考慮視場(chǎng)角約束時(shí)，原捕獲條件CC2 式（60）需進(jìn)一步限制，對(duì)應(yīng)修改為

需要注意，對(duì)于不同初始接近速度vr0，攔截器初始速度前置角γm0允許的變化范圍可能不同。為此，定義初始速度前置角可控裕度λ為

3 仿真校驗(yàn)

3.1 捕獲條件正確性驗(yàn)證

本節(jié)將對(duì)考慮干擾、攔截器最大過(guò)載及視場(chǎng)角約束下的任意有界機(jī)動(dòng)目標(biāo)攔截捕獲條件式（61）、式（69）、式（71）和定理5 的正確性進(jìn)行驗(yàn)證。

設(shè)動(dòng)能攔截器與目標(biāo)初始狀態(tài)如表1 所示。目標(biāo)機(jī)動(dòng)加速度上界設(shè)為αr=10m/s2，αθ=20m/s2?？紤]到導(dǎo)航誤差或目標(biāo)機(jī)動(dòng)加速度估計(jì)誤差等帶來(lái)的方法誤差［3］，將集中干擾最大邊界設(shè)為dr=0.5m/s2，dθ=0.5m/s2，攔截器最大加速度限制amax=80m/s2。同時(shí)考慮攔截器碰撞允許的最小脫靶量rmin=0.2 m，容許接近速度為=-1km/s?？紤]攔截器最大視場(chǎng)角為γmax=25°，設(shè)置制導(dǎo)律式（9）中飽和閾值Δω=10-5rad/s。

表1 彈目初始狀態(tài)量Table 1 Initial states of interceptor and target

根據(jù)上述條件，式（58）的解集計(jì)算為{vr0|vr0＜-2 082.8m/s}，求解式（70）得到vmr0ax=-3 816.3m/s，因此根據(jù)式（71）捕獲條件CC2應(yīng)為CC2：vr0＜-3 816.3m/s。由于在攔截器與目標(biāo)初始速度大小vm0和vt0確定情況下，彈目初始接近速度大小不會(huì)超過(guò)vm0+vt0，因此捕獲條件 CC2 補(bǔ)充為 CC2：-4 500m/s ≤vr0＜-3 816.3m/s。

圖2 分別給出了上述攔截場(chǎng)景設(shè)置下，考慮視場(chǎng)角約束的捕獲條件式（61）、式（69）和式（71），以及無(wú)視場(chǎng)角約束的捕獲條件式（56）和式（57）分別構(gòu)成的攔截捕獲區(qū)，可看出無(wú)論初始接近速度vr0與初始速度前置角γm0構(gòu)成的捕獲區(qū)還是vr0與初始視線法向相對(duì)速度vθ0構(gòu)成的捕獲區(qū)均具有對(duì)稱(chēng)性。進(jìn)一步觀察發(fā)現(xiàn)，與不考慮視場(chǎng)角約束情況相比，當(dāng)考慮視場(chǎng)角約束時(shí)，其最大允許接近速度和捕獲區(qū)均有所減小。這意味著當(dāng)考慮視場(chǎng)角約束時(shí)，在末制導(dǎo)開(kāi)機(jī)時(shí)攔截器初始速度需要更靠近視線方向。此外，當(dāng)不考慮視場(chǎng)角約束時(shí)，攔截器可控裕度隨初始接近速度減小逐漸減??；當(dāng)考慮視場(chǎng)角約束時(shí)可看出，在滿(mǎn)足捕獲條件CC1 式（65）的最小視線前置角等于最大視場(chǎng)角時(shí)，此時(shí)考慮視場(chǎng)角約束下的允許接近速度有最大值，這也驗(yàn)證了修正捕獲條件CC2 式（71）的正確性，由于最大視場(chǎng)角限制，因此對(duì)應(yīng)的可控裕度隨初始接近速度減小是從零開(kāi)始先逐漸增大的。

圖2 攔截捕獲區(qū)Fig.2 Interception capture region

為驗(yàn)證捕獲條件的正確性，在圖2 捕獲區(qū)內(nèi)外選擇3 種初始狀態(tài)進(jìn)行攔截性能分析：初始狀態(tài)1vr0=-4 400m/s，vθ0=100m/s；初始狀態(tài)2vr0=-3 000m/s，vθ0=100m/s；初始狀態(tài)3vr0=-3 000m/s，vθ0=400m/s。其中，初始狀態(tài)1 對(duì)應(yīng)的便是表1 彈目初始狀態(tài)，由計(jì)算可知，初始視線旋轉(zhuǎn)角速率為ωs0=1.9×10-3rad/s，攔截器初始速度前置角為γm0=12.04°，在考慮視場(chǎng)角約束捕獲區(qū)內(nèi)；初始狀態(tài)2 選在無(wú)視場(chǎng)角約束捕獲區(qū)內(nèi)，對(duì)應(yīng)的攔截器初始速度傾角修改為θm0=-56.79°，目標(biāo)初始速度傾角改為θt0=-139.68°，初始視線旋轉(zhuǎn)角速率為初始狀態(tài)3 選在捕獲區(qū)外，對(duì)應(yīng)的攔截器初始速度傾角改為θm0=-62.15°，目標(biāo)初始速度傾角改為θt0=-145.9°，初始視線旋轉(zhuǎn)角速率為

根據(jù)以上計(jì)算結(jié)果可知，在初始狀態(tài)1 和初始狀態(tài)2 情況下，|ωs0|均未超過(guò)式（29）允許的最大值15.6m·rad/s2，可由定理3 中式（28）計(jì)算得到考慮攔截器加速度飽和式（27）時(shí)，對(duì)任意有界機(jī)動(dòng)目標(biāo)式（5）進(jìn)行攔截的制導(dǎo)律式（9）的增益系數(shù)取值范圍為1.875 ≤k≤4.978，而初始狀態(tài)3 情況不滿(mǎn)足定理3 中條件式（29）。為控制變化因素的單一性，本節(jié)對(duì)3 種初始狀態(tài)情況均采用增益系數(shù)k=3。此外，考慮目標(biāo)常值機(jī)動(dòng)αr=，集中干擾dr，dθ考慮為均值為0，標(biāo)準(zhǔn)差為0.167 的高斯噪聲。

不同初始狀態(tài)下捕獲性能如圖3 所示，其中可以看出，考慮捕獲區(qū)內(nèi)外不同初始狀態(tài)時(shí)，由于增益系數(shù)設(shè)置＞0，攔截器均能實(shí)現(xiàn)對(duì)目標(biāo)攔截，這符號(hào)定理1 中攔截條件。但仔細(xì)觀察可發(fā)現(xiàn)：只有當(dāng)按照捕獲條件式（61）、式（69）和式（71）選擇初始狀態(tài)時(shí)，即初始狀態(tài)1，攔截器在攔截過(guò)程中才能同時(shí)滿(mǎn)足最大加速度限制約束、視場(chǎng)角約束和實(shí)現(xiàn)對(duì)機(jī)動(dòng)目標(biāo)攔截；而當(dāng)初始狀態(tài)選在不考慮視場(chǎng)角的捕獲區(qū)內(nèi)時(shí)，即初始狀態(tài)2，攔截器能在滿(mǎn)足最大加速度限制約束下實(shí)現(xiàn)對(duì)機(jī)動(dòng)目標(biāo)攔截，但過(guò)程中視場(chǎng)角約束不能保證滿(mǎn)足；當(dāng)初始狀態(tài)選在捕獲區(qū)之外時(shí)，即初始狀態(tài)3，其雖實(shí)現(xiàn)機(jī)動(dòng)目標(biāo)攔截，但攔截過(guò)程中制導(dǎo)加速度、視場(chǎng)角和相對(duì)狀態(tài)|vrωs|均會(huì)超出最大限制值。以上對(duì)比分析直接驗(yàn)證了捕獲條件式（61）、式（69）、式（71）和定理5 的正確性。

圖3 不同初始狀態(tài)下捕獲性能Fig.3 Capturability with various initial states

3.2 目標(biāo)不同機(jī)動(dòng)下捕獲性能

下面考慮目標(biāo)常值機(jī)動(dòng)和正弦機(jī)動(dòng)αr=-5-5sin(2πt+π/2)，αθ=-15-5sin(2πt+π/2)2種形式來(lái)分析不同增益系數(shù)取值下的攔截性能，其中對(duì)目標(biāo)常值機(jī)動(dòng)形式和集中干擾dr、dθ的考慮同3.1 節(jié)，以保證目標(biāo)機(jī)動(dòng)和干擾幅值與前文設(shè)置一致。初始狀態(tài)選擇3.1 節(jié)中初始狀態(tài)1，其他參數(shù)同3.1 節(jié)。分別考慮了增益系數(shù)取值范圍內(nèi)外的3 種取值情況，即k=0.2，k=3，k=6，圖4展示了不同增益系數(shù)取值下對(duì)不同機(jī)動(dòng)形式目標(biāo)捕獲性能。

圖4 目標(biāo)不同機(jī)動(dòng)下捕獲性能Fig.4 Capturability with various maneuvering targets

從圖4（a），圖4（c）～圖4（e）可看出，由于k＞0 且初始視場(chǎng)角滿(mǎn)足視角約束，攔截器均能成功攔截目標(biāo)，并且在攔截過(guò)程中，視線旋轉(zhuǎn)角速率和視線法向相對(duì)速度均會(huì)漸近收斂到零，攔截器視角始終在視場(chǎng)之內(nèi)，這也驗(yàn)證了定理1 的正確性。進(jìn)一步觀察發(fā)現(xiàn)，視線旋轉(zhuǎn)角速率和視線法向相對(duì)速度的收斂時(shí)間與目標(biāo)機(jī)動(dòng)形式及增益系數(shù)大小相關(guān)，在同一目標(biāo)機(jī)動(dòng)形式下，增益系數(shù)設(shè)置越大，它們的收斂時(shí)間越短。結(jié)合圖4（b）來(lái)看，增益系數(shù)設(shè)置越大，盡管ωs和vθ收斂時(shí)間越短，但需要以在末制導(dǎo)初始階段增大制導(dǎo)加速度為代價(jià)。當(dāng)增益系數(shù)取值超出式（28）的取值范圍時(shí)，制導(dǎo)需用加速度在初始階段會(huì)超出攔截器飽和加速度限制，這也驗(yàn)證了定理3 的正確性。而當(dāng)增益系數(shù)取值小于式（28）允許的最小值時(shí)，盡管全程制導(dǎo)加速度較小，但ωs和vθ可能需要在攔截時(shí)刻才收斂到0。

從圖4（f）和圖4（g）可看出，在攔截過(guò)程中，接近速度基本只與目標(biāo)機(jī)動(dòng)形式相關(guān)，而受增益系數(shù)影響較??；|vrωs|的變化基本與視線角速率的變化一致，在攔截過(guò)程中未超過(guò)式（29）允許的最大值42.9m·rad/s2，體現(xiàn)了有界性。

3.3 捕獲區(qū)影響因素分析

從捕獲條件式（61）、式（69）和式（71）的計(jì)算過(guò)程可以看出，捕獲區(qū)的大小受最大視場(chǎng)角、攔截器飽和加速度和目標(biāo)機(jī)動(dòng)邊界等參數(shù)值影響。圖5～圖7 分別展示了不同視場(chǎng)角約束、不同飽和加速度和不同目標(biāo)機(jī)動(dòng)上界下的捕獲區(qū)及可控裕度變化曲線。從圖5 可看出，捕獲區(qū)隨著最大視場(chǎng)角的減小而縮小，其主要體現(xiàn)在對(duì)允許的最大初始接近速度和攔截器最大初始速度前置角的限制上，它們均隨最大視場(chǎng)角的減小而減小。而當(dāng)視場(chǎng)角約束不同時(shí)，對(duì)于同一初始接近速度vr0，攔截器初始速度前置角γm0邊界或初始視線法向相對(duì)速度vθ0邊界均有重合。此外，同一初始接近速度vr0下，可控裕度會(huì)隨最大視場(chǎng)角的減小而減小，這意味著視場(chǎng)角限制越嚴(yán)格，要求攔截器初始速度越靠近視線方向且可調(diào)整范圍越小。

圖5 不同視場(chǎng)角約束下捕獲區(qū)Fig.5 Capture region with various field of view constraints

圖6 和圖7 展示的不同飽和加速度和不同目標(biāo)最大機(jī)動(dòng)下的捕獲區(qū)變化規(guī)律相似，當(dāng)攔截器飽和加速度越小或目標(biāo)最大機(jī)動(dòng)越大時(shí)，捕獲區(qū)越小。其主要體現(xiàn)在對(duì)允許的最大初始接近速度和允許的最大初始視線法向相對(duì)速度的限制上，它們均隨攔截器飽和加速度的減小或目標(biāo)最大機(jī)動(dòng)的增大而減小，而不同飽和加速度或不同目標(biāo)最大機(jī)動(dòng)下，vr0與γm0捕獲區(qū)雖有所變化，但允許的最大初始速度前置角保持不變。這說(shuō)明當(dāng)攔截器飽和加速度減小或目標(biāo)最大機(jī)動(dòng)增大時(shí)，若攔截器仍想以較大初始速度前置角進(jìn)入末制導(dǎo)，則需要調(diào)整初始作戰(zhàn)位置使得目標(biāo)初始速度前置角增大。此外，同一初始接近速度vr0下，可控裕度同樣隨飽和加速度的減小或目標(biāo)最大機(jī)動(dòng)的增大而減小。

圖6 不同飽和加速度下捕獲區(qū)Fig.6 Capture region with various acceleration saturation

圖7 不同目標(biāo)機(jī)動(dòng)上界下捕獲區(qū)Fig.7 Capture region with various bounded maneuverability

綜上分析，若希望擴(kuò)大考慮攔截器加速度飽和限制和視場(chǎng)角約束下任意有界機(jī)動(dòng)目標(biāo)的攔截捕獲區(qū)以及攔截器初始速度方向的可調(diào)整范圍，攔截方可從增大導(dǎo)引頭視場(chǎng)角或增大最大機(jī)動(dòng)加速度等方面進(jìn)行考慮。

4 結(jié)論

1）基于漸近收斂的抗干擾末制導(dǎo)律，推導(dǎo)了高超聲速任意有界機(jī)動(dòng)目標(biāo)攔截的多約束解析捕獲區(qū)及制導(dǎo)增益允許取值范圍。所推導(dǎo)的多約束捕獲區(qū)由修正的初始接近速度、初始視線法向相對(duì)速度和攔截器初始速度前置角三者的解析捕獲條件構(gòu)成。理論證明了在增益設(shè)置滿(mǎn)足所給范圍情況下，攔截器從該捕獲區(qū)內(nèi)任意初始狀態(tài)點(diǎn)出發(fā)，均能有效攔截任意有界機(jī)動(dòng)目標(biāo)且保證制導(dǎo)加速度不超過(guò)允許上限以及視場(chǎng)約束全程滿(mǎn)足，并滿(mǎn)足終端脫靶量小于允許閾值且接近速度小于容許碰撞速度。

2）所推導(dǎo)的多約束解析捕獲區(qū)考慮了彈目非線性相對(duì)運(yùn)動(dòng)模型，進(jìn)一步補(bǔ)充修正了無(wú)視場(chǎng)約束下的捕獲條件，具有在線快速響應(yīng)潛力?；诒疚慕Y(jié)論，推廣考慮導(dǎo)引頭、自動(dòng)駕駛儀等特性的三維解析捕獲區(qū)將作為未來(lái)研究重點(diǎn)，使其在臨近空間攔截場(chǎng)景應(yīng)用中更具一般性。

3）對(duì)比仿真驗(yàn)證了所得結(jié)論的正確性，并從捕獲區(qū)影響因素分析中得出，攔截方可從增大導(dǎo)引頭視場(chǎng)角或增大最大過(guò)載等方面來(lái)增大捕獲區(qū)。