基于均勻網(wǎng)格的復(fù)合材料層合板分層損傷建模

錢若力，李梁軼，李頂河，蔡舒妤

（中國(guó)民航大學(xué)航空工程學(xué)院，天津 300300）

預(yù)測(cè)復(fù)合材料結(jié)構(gòu)分層損傷的起始和擴(kuò)展是目前復(fù)合材料結(jié)構(gòu)損傷研究中最棘手的問題之一。近年來(lái)，大量學(xué)者針對(duì)分層損傷研究提出各種分析方法和計(jì)算模型，并得到了廣泛應(yīng)用。目前，擴(kuò)展有限元方法（XFEM，extended finite element method）與虛擬裂紋閉合技術(shù)（VCCT，virtual crack closure technique）或內(nèi)聚力模型（CZM，cohesive zone model）相結(jié)合的思路被廣泛應(yīng)用于預(yù)測(cè)和分析分層損傷的擴(kuò)展問題[1]。

Ashari 等[2-3]利用正交各向異性擴(kuò)充函數(shù)改進(jìn)了擴(kuò)展有限元方法，用于模擬分析兩種正交各向異性介質(zhì)之間的界面裂紋，擴(kuò)充函數(shù)基于無(wú)外力作用下界面裂紋的漸進(jìn)解析位移場(chǎng)得到。Nagashima 等[4-5]利用三維實(shí)體元和二維擴(kuò)展有限元方法研究了層合板結(jié)構(gòu)的分層擴(kuò)展問題。

Benvenuti 等[6]基于連續(xù)-非連續(xù)擴(kuò)展有限元方法提出了纖維增強(qiáng)混凝土板的分層分析模型，把纖維增強(qiáng)混凝土板和粘接層看成線彈性材料，而混凝土的力學(xué)性能由連續(xù)損傷模型模擬。Borst 等[7]基于擴(kuò)展有限元方法和內(nèi)聚力模型研究了圓形初始分層損傷以及正弦型面外損傷問題。Curiel 等[8]利用擴(kuò)展有限元方法研究了金屬纖維層合板的分層問題。Grogan 等[9]建立了一種用于模擬熱疲勞分層問題的分析方法，預(yù)測(cè)了分層損傷擴(kuò)展方向及復(fù)合材料低溫燃料箱的滲透率。Jas＇kowiec[10]對(duì)含分層損傷的玻璃纖維夾層結(jié)構(gòu)進(jìn)行三維分析，通過擴(kuò)展有限元方法引入由于分層引起的位移不連續(xù)函數(shù)，用于描述有限元中的分層節(jié)點(diǎn)。

在基于內(nèi)聚力模型的有限元方法中，兩層之間的界面采用內(nèi)聚力單元建模，引入損傷系數(shù)后可以用逐漸減小單元?jiǎng)偠饶M分層損傷的漸進(jìn)擴(kuò)展。目前，基于內(nèi)聚力模型的擴(kuò)展有限元方法也被廣泛用于分析層合板的分層問題。Yazdani 等[11]建立了一個(gè)無(wú)摩擦線性接觸模型，并利用一階剪切變形理論（FSDT，firstorder shear deformation theory）和擴(kuò)展有限元方法來(lái)模擬層合板的線性和幾何非線性分層問題。Sun 等[12]提出一種將內(nèi)聚力模型與擴(kuò)展有限元方法相結(jié)合的新方法建立三維分層模型，通過擴(kuò)展有限元方法的擴(kuò)充節(jié)點(diǎn)與單元?jiǎng)澐謱?duì)基體裂紋進(jìn)行有效建模，并通過附著分離法對(duì)層間分層進(jìn)行建模，用于分析失效過程中的層間分層和基體裂紋之間的相互作用。內(nèi)聚力單元分析分層損傷的漸進(jìn)擴(kuò)展存在計(jì)算效率低，計(jì)算結(jié)果難以收斂的問題。Motamedi 等[13]運(yùn)用內(nèi)聚力模型對(duì)單向復(fù)合材料的I 型分層進(jìn)行數(shù)值模擬，只在分層前緣引入內(nèi)聚力模型，有效提升了計(jì)算效率。Wang 等[14]結(jié)合離散損傷模型、擴(kuò)展有限元以及連續(xù)損傷力學(xué)方法，建立了一種分層損傷的漸進(jìn)分析模型，用牛頓迭代求解，計(jì)算結(jié)果可以快速收斂。Zhao 等[15]利用內(nèi)聚力模型和擴(kuò)展有限元方法在Abaqus 軟件中建立了分層模型。Jiao 等[16]基于有限元網(wǎng)格重分技術(shù)[17-18]提出了一種自適應(yīng)分層分析法，以解決大規(guī)模層合板分層分析的計(jì)算效率問題。該方法證明了有限元網(wǎng)格重分技術(shù)、擴(kuò)展有限元方法與逐層離散化在分析層合板分層問題上是等效的[19]。

VCCT 常用來(lái)計(jì)算分層前緣能量釋放率[20]。近30年中，基于VCCT 的有限元方法被廣泛用于分析復(fù)合材料的分層問題[21-24]。Lua 等[25]結(jié)合虛擬裂紋閉合技術(shù)和有限元方法建立了一種自動(dòng)分層分析方法，該方法能預(yù)測(cè)含多分層復(fù)合材料粘結(jié)接頭處的剩余強(qiáng)度。Bacarreza 等[26]分析了含復(fù)雜形狀的混合型分層疲勞擴(kuò)展問題。Alalade 等[27]應(yīng)用擴(kuò)展有限元方法檢測(cè)分層和裂紋，提出一種動(dòng)態(tài)耦合問題的逆分析方法，該方法能夠識(shí)別裂紋的位置、尺寸和方向。Zhang 等[28]采用奈爾-米德（NM）和擬牛頓（QN）優(yōu)化方法對(duì)彈性動(dòng)力學(xué)中的裂紋識(shí)別問題進(jìn)行了數(shù)值求解，研究了各種動(dòng)力試驗(yàn)載荷對(duì)裂紋識(shí)別的影響，與靜態(tài)載荷相比，動(dòng)態(tài)載荷對(duì)裂紋檢測(cè)更有效。VCCT 雖然可以精確分析在靜態(tài)和動(dòng)態(tài)載荷下的分層擴(kuò)展，但是需要在分層前緣進(jìn)行密集的網(wǎng)格劃分，內(nèi)聚力單元可以很好地解決這一問題。

由于復(fù)合材料層合板的損傷特性和分層前緣的形狀極其復(fù)雜，在實(shí)際工程領(lǐng)域中，通常采用無(wú)損檢測(cè)技術(shù)來(lái)探測(cè)分層損傷，通過C 掃描或X 射線掃描得到的分層損傷邊緣是非常模糊的，因此傳統(tǒng)的建模方法不能快速精確地重建分層區(qū)域。在基于有限元的建模方法中，單元邊界必須與分層前緣保持一致，在建模與分析過程中很難實(shí)現(xiàn)。在損傷區(qū)域不規(guī)則的情況下，通常需借助有限元軟件完成不規(guī)則的網(wǎng)格劃分，需要繁瑣的建模過程，快速建模方法對(duì)模型進(jìn)行均勻網(wǎng)格劃分，只需程序就可以實(shí)現(xiàn)，明顯提升了建模效率。在損傷邊緣位置需要一定程度上加密網(wǎng)格，以提高計(jì)算精度，勢(shì)必會(huì)造成計(jì)算效率的降低。本文利用C 掃描或X 射線得到初始分層損傷的檢測(cè)照片，基于擴(kuò)展逐層方法[29-32]、多維最大熵原理[33]以及分層前緣追蹤算法[21-22]提出一種基于均勻有限元網(wǎng)格且能夠快速實(shí)現(xiàn)分層的建模方法，可以有效提高建模效率和精度。

1 復(fù)合材料分層損傷的快速建模方法

基于無(wú)損檢測(cè)掃描圖像和均勻有限元網(wǎng)格，本文建立的快速建模方法，如圖1 所示。該方法建模過程分為兩步：首先，通過掃描圖像和均勻有限網(wǎng)格，對(duì)分層損傷區(qū)域進(jìn)行快速重建；然后，通過虛擬裂紋閉合技術(shù)重建分層前緣，并建立分析模型。最初的分層形狀可由C 掃描或X 射線掃描得到，多維最大熵原理用于確定分層區(qū)域，找出分層區(qū)域的像素點(diǎn)，處于分層區(qū)域的有限元節(jié)點(diǎn)被標(biāo)記為分層節(jié)點(diǎn)。通過這些已經(jīng)標(biāo)記為分層的節(jié)點(diǎn)，結(jié)合分層前緣追蹤算法[21-22]，可以精確跟蹤分層前緣。

圖1 復(fù)合材料層合板分層損傷區(qū)域的快速建模方法Fig.1 Fast modeling scheme for delamination damage region in the composite laminates

由快速建模方法得到的最終分層前緣示意圖如圖2 所示，根據(jù)Xie 等[21-22]的追蹤算法得到分層前緣是鋸齒狀的，并在一些節(jié)點(diǎn)上發(fā)生偏移。這可能會(huì)導(dǎo)致能量釋放率隨分層前緣的擴(kuò)展而發(fā)生振蕩，精細(xì)化的有限元網(wǎng)格可減小這種振蕩，提高對(duì)分層擴(kuò)展路徑的預(yù)測(cè)精度。

圖2 任意分層前緣分析模型Fig.2 Analysis model of arbitrary delamination front

2 多維最大熵原理

利用多維最大熵原理確定分層區(qū)域[33-34]，該方法已經(jīng)成功解決圖像重建和目標(biāo)識(shí)別等問題。多維最大熵原理表示，在信息量給定且約束條件也確定的條件下，其分布的最佳狀態(tài)是熵總和達(dá)到最大值。

如圖2 所示，假設(shè)掃描圖中有M×N 個(gè)像素點(diǎn)，像素點(diǎn)xp的灰度函數(shù)定義為

式中：n 表示維度；xp（x，y）為像素點(diǎn)的坐標(biāo)，1≤x≤M，1≤y≤N；Fm∈[0，1，…，L -1]，m=0，1，…，L -1，L=256 代表灰度。

根據(jù)灰度閾值Ti，i=1，2，…，n，可將掃描后得到的像素點(diǎn)分為兩大類：

第一類為目標(biāo)類

第二類為背景類

其中，目標(biāo)類處于分層區(qū)域內(nèi)，而背景類則位于分層區(qū)域外。

將灰度函數(shù)的頻率設(shè)定為him（fi=Fm），則聯(lián)合概率質(zhì)量函數(shù)可定義如下

利用二維最大熵方法確定復(fù)合材料層合結(jié)構(gòu)的分層損傷，找到每個(gè)像素點(diǎn)周圍3 × 3 范圍內(nèi)像素點(diǎn)平均灰度值，則熵函數(shù)可定義為

式中，上標(biāo)1 和2 分別代表目標(biāo)類和背景類。

利用文獻(xiàn)[35]中的C 掃描圖像來(lái)驗(yàn)證快速建模方法的有效性，如圖3 所示。圖3（c）和圖3（e）以像素點(diǎn)的灰度值分別表示灰度圖像和最終識(shí)別的結(jié)果。對(duì)于3 種不同的有限元網(wǎng)格（81×51，121×81，201×131），分層節(jié)點(diǎn)表示的分層區(qū)域如圖3（b）、3（d）、3（f）所示?？梢钥闯觯S著節(jié)點(diǎn)數(shù)量的增加，分層區(qū)域更接近C掃描的真實(shí)情況。

圖3 C 掃描圖像和分層識(shí)別結(jié)果Fig.3 C-scan image and identification results of delamination

3 基于虛擬裂紋閉合技術(shù)的擴(kuò)展逐層方法

利用擴(kuò)展逐層理論[29-32]建立復(fù)合材料層合板損傷分析模型，擴(kuò)展逐層理論厚度方向上的位移場(chǎng)包括線性拉格朗日插值函數(shù)、一維弱不連續(xù)函數(shù)和強(qiáng)不連續(xù)函數(shù)。強(qiáng)不連續(xù)函數(shù)和弱不連續(xù)函數(shù)分別模擬由層間分層引起的位移不連續(xù)性和由層間界面引起的應(yīng)變不連續(xù)性?；w裂紋則由擴(kuò)展有限元方法在面內(nèi)位移離散中進(jìn)行模擬。擴(kuò)展逐層理論不僅可以描述復(fù)合材料層合板的多層分層和基體裂紋損傷，還可以求得裂紋尖端和分層前緣的位移場(chǎng)和應(yīng)力場(chǎng)。

3.1 復(fù)合材料層合板的擴(kuò)展逐層理論

對(duì)于含多層分層損傷的復(fù)合材料層合板，擴(kuò)展逐層理論的位移場(chǎng)如圖4 所示。其中，hk表示第k 層的厚度，zk代表第k 層和第k-1 層之間厚度方向上的坐標(biāo)。左側(cè)數(shù)字1st，2nd，…，（NC+2）th 表示復(fù)合材料層合板物理層的中性層，即擴(kuò)展逐層理論在復(fù)合材料層合板厚度方向上建立的位移場(chǎng)節(jié)點(diǎn)；右側(cè)數(shù)字1st，2nd，…，（NC-1）th 表示復(fù)合材料層合板的實(shí)際分層界面。對(duì)于含多層分層損傷的復(fù)合材料層合板上任一點(diǎn)（x，y，z）的位移可表示為

圖4 含NC 層的復(fù)合材料層合板Fig.4 Composite laminate containing NC layer

式中：α=1，2，3 表示x，y，z 方向上的分量；t 表示時(shí)間變量；uαik，uαlk，uαrk分別表示插值點(diǎn)的標(biāo)準(zhǔn)位移自由度、分層損傷引起的位移不連續(xù)附加自由度以及層間界面引起的應(yīng)變不連續(xù)附加自由度；下標(biāo)i，l 和r 分別表示標(biāo)準(zhǔn)自由度、分層的附加自由度和層間界面的附加自由度；NC表示層合板數(shù)學(xué)層層數(shù)；ND表示由于分層而擴(kuò)充的插值點(diǎn)的數(shù)量。從圖4 中可以看出，層間界面處的標(biāo)準(zhǔn)自由度和附加自由度數(shù)量分別為NC+2和NC-1。令Φik=?k（z），?k（）是層合板厚度方向上的拉格朗日插值函數(shù)；令Φrk=Θk（z），Θk（z）=?k（z）χk（z）是用于模擬分層界面的弱不連續(xù)函數(shù)，χk（z）是一維符號(hào)距離函數(shù)；令Φlk=Ξk（z），Ξk（z）=?k（z）Hk（z）是用于模擬分層損傷的強(qiáng)不連續(xù)函數(shù)，Hk（z）是一維Heaviside 函數(shù)。

運(yùn)用Einstein 求和約定，式（7）可簡(jiǎn)化為

式中：重復(fù)指標(biāo)ζ 和k 在取值范圍內(nèi)求和，k 的取值取決于ζ 的取值，如當(dāng)ζ=i 時(shí)，k 可以取1～NC+2，但當(dāng)ζ=r 時(shí)k 只能取1～NC-1。

擴(kuò)展逐層理論的基本思想是將復(fù)雜的三維斷裂問題分解為一維和二維斷裂問題。對(duì)于含多層分層損傷和基體裂紋的復(fù)合材料層合結(jié)構(gòu)，將拉格朗日插值函數(shù)、裂紋面擴(kuò)充函數(shù)和裂尖擴(kuò)充形函數(shù)線性相加，則每個(gè)單元上的節(jié)點(diǎn)位移自由度uαik以及附加自由度uαlk和uαrk可表示為

若無(wú)基體裂紋，則式（9）可表示為

式中：Uαζkq（t）為分層節(jié)點(diǎn)間位移，q=u，s，hb；u=1，2，…，NE，NE為平面內(nèi)的有限元節(jié)點(diǎn)數(shù)；s=1，2，…，NEP，NEP為橫向裂紋的面內(nèi)擴(kuò)充節(jié)點(diǎn)數(shù)；hb=1，2，…，NEQ，NEQ為橫向裂紋尖端的面內(nèi)擴(kuò)充節(jié)點(diǎn)數(shù)分別為標(biāo)準(zhǔn)節(jié)點(diǎn)自由度、橫向裂紋面自由度和橫向裂紋尖端自由度；ψu(yù)（x，y）=?u（x，y）為拉格朗日插值函數(shù)；Λs（x，y）=?s（x，y）Hs（x，y）為橫向裂紋的形函數(shù)，Hs（x，y）為二維Heaviside 函數(shù)；Πhb（x，y）=?hb（x，y）Fhb（x，y）為橫向裂紋尖端的形函數(shù)，F(xiàn)hb（x，y）為分支函數(shù)。

Hamilton 原理中的虛應(yīng)變能、外力虛功和虛動(dòng)能可以根據(jù)式（8）、式（10）的假設(shè)以及層合板的應(yīng)變-位移關(guān)系來(lái)建立。含多層分層損傷的層合板的控制方程為

式中：u=m，s，hb；v=n，g，fb；m，n=1，2，…，NE；s，g=1，2，…，NEP；hb，fb=1，2，…，NEQ；Kαβζηkeuv為不含橫向裂紋的層合板的剛度矩陣，表示為

單元?jiǎng)偠染仃囎禹?xiàng)的具體表達(dá)式參考文獻(xiàn)[32]。在式（12）中，（m，n），（s，g）和（hb，fb）分別對(duì)應(yīng)形狀函數(shù)ψ（），Λ（），Π（）。對(duì)于復(fù)合材料層合板，可令1/R=0，其中R 是層合板的內(nèi)徑。

3.2 分層前緣跟蹤算法

利用Xie 等[21-22]提出的算法來(lái)追蹤形狀上任意改變的移動(dòng)分層前緣，如圖5 所示。

圖5 分層前緣和封閉裂紋區(qū)域的定義Fig.5 Definition of the delamination front and closed crack area

定義從中心節(jié)點(diǎn)到周圍節(jié)點(diǎn)的8 個(gè)基本向量Ri（i=1，2，...，8），分層由變量mi（i=1，2，…，8）定義，mi=0 表示完好節(jié)點(diǎn)，mi=1 則表示分層節(jié)點(diǎn)。Rb和Re兩向量分別表示分層區(qū)域的初始端和末端。完好區(qū)可由Rb和Re逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)得到，因此分層前緣也可以由這兩個(gè)向量來(lái)定義。在已知損傷狀態(tài)變量mi的情況下，分層前緣（Rb和R）e可由基向量的線性組合得到，即

中心節(jié)點(diǎn)處的單位向量以及切向量定義為

式中：nb=∑mi-1（1 -m）i（-Riyi+Rixj）是初始端向量Rb的法方向向量；ne=∑（1-m）imi+1（Riyi-Rixj）是末端向量Re的法方向向量；Rix，Riy分別表示Ri在x，y 方向上的分量；i，j 和k 是單位向量。

3 個(gè)向量（n0，q，k）構(gòu)成局部坐標(biāo)系的一組基，能量釋放率也是在這個(gè)坐標(biāo)系下計(jì)算的。在自然坐標(biāo)系（ξ，η）中，如圖5（b）所示，閉合區(qū)域可以分為A1和A2兩部分，可由高斯積分計(jì)算得到。每4 個(gè)點(diǎn)2；j=1，2，3，4）分別圍成兩個(gè)子區(qū)域，這些點(diǎn)在自然坐標(biāo)系下的具體表達(dá)式見參考文獻(xiàn)[21-22]。為了得到兩個(gè)未知點(diǎn)P21和P42的具體位置，首先需要得到兩個(gè)臨時(shí)點(diǎn)的位置。點(diǎn)是平行于向量n^ 過點(diǎn)P21的線（1）與平行于向量Re過點(diǎn)P31的線（2）的交點(diǎn)。

一旦計(jì)算出能量釋放率分量，可利用復(fù)合型斷裂判據(jù)來(lái)預(yù)測(cè)分層是否擴(kuò)展，即

式中：Ed是分層擴(kuò)展參數(shù)；GⅠ、GⅡ和GⅢ分別對(duì)應(yīng)Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ型分層前緣能量釋放率；GⅠC、GⅡC和GⅢC分別對(duì)應(yīng)Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ型分層臨界能量釋放率；指數(shù)a，b，c 取1[21]。

本文研究的分層擴(kuò)展是由mi表示的已知分層區(qū)域開始的。首先，在每一步分析過程中，根據(jù)多維熵原理確定所有節(jié)點(diǎn)上的mi值。然后，用Xie 等[21-22]的算法追蹤分層前緣，用虛擬裂紋閉合技術(shù)計(jì)算分層前緣處節(jié)點(diǎn)上（mi=0）的能量釋放率。最后，若分層前緣上節(jié)點(diǎn)的能量釋放率滿足混合型斷裂判據(jù)（式（16）），則令該點(diǎn)的mi=1，并繼續(xù)下一步計(jì)算。

4 數(shù)值算例

4.1 矩形分層區(qū)域

考慮一塊含正方形分層區(qū)域（10 m × 10 m）的方板（20 m×20 m），厚度為ht=0.1 m，如圖6（a）所示。采用10 201 單元10 404 節(jié)點(diǎn)的均勻有限元網(wǎng)格對(duì)求解區(qū)域進(jìn)行劃分，如圖6（b）所示。在厚度方向上，層合板被均勻地分為8 個(gè)子層，分層位于第4 和第5 層之間，分層區(qū)域中心與板的中心重合。材料參數(shù)取為：彈性模量E=3.585×1011Pa，泊松比μ=0.3。板的上表面受P=120 kN/m2的均布載荷作用，邊界條件為四邊固支。

圖6 含矩形分層區(qū)域的方板Fig.6 The square plate with a square delamination region

矩形分層區(qū)域的識(shí)別結(jié)果如圖7 所示，快速建模/擴(kuò)展逐層法（FUGD/VCCT-XLWM）重建的分層區(qū)域比實(shí)際的分層區(qū)域大。但從圖7 可以看出，重建分層區(qū)域與實(shí)際分層區(qū)域之間的差別由前緣處劃分的有限單元的大小控制。因此，分層前緣附近采用更密的有限元網(wǎng)格可提高識(shí)別精度。

圖7 矩形分層區(qū)域的識(shí)別結(jié)果Fig.7 The identification result of the square delamination region

為了驗(yàn)證方法的正確性，建立了三維彈性模型，并采用8 節(jié)點(diǎn)實(shí)體單元對(duì)該問題進(jìn)行分析。在三維彈性模型中，分層界面上的一對(duì)重復(fù)節(jié)點(diǎn)用于模擬位移的不連續(xù)性，且與單元的邊界重合，因此，三維彈性模型中的分層前緣是精確的，該模型被稱為精確前緣/三維彈性模型。此外，直接利用VCCT-XLWM 建立了分析模型，采用10 201 單元10 404 節(jié)點(diǎn)進(jìn)行計(jì)算，平面內(nèi)網(wǎng)格與三維彈性模型一樣，因此分層前緣也是精確的，該模型稱為精確前緣/擴(kuò)展逐層法（EF/VCCT-XLWM）模型。

由FUGD/VCCT-XLWM、精確前緣/三維彈性和EF/VCCT-XLWM 模型計(jì)算得到的最大位移（u1和u3）和應(yīng)力（σ11和σ12）如表1 所示，能量釋放率（ERR，energy relense rate）GI如圖8 所示，其中，θ 是分層區(qū)域的幅角（極點(diǎn)位于分層區(qū)域的中心），θ=0°代表軸x1的方向。

表1 由3 種模型計(jì)算出的矩形分層板的最大位移和應(yīng)力Tab.1 The maximum displacements and stresses of the square delamination plate calculated by three kinds of models

圖8 由FUGD/VCCT-XLWM 和EF/VCCT-XLWM得到的能量釋放率G1Fig.8 ERR G1 obtained by FUGD/VCCT-XLWM and XLWM

從表1 和圖8 中可以看出，F(xiàn)UGD/VCCT-XLWM計(jì)算結(jié)果足夠精確。對(duì)于各向同性板上的方形分層，GⅠ的最大值出現(xiàn)在邊緣中心點(diǎn)，而在頂點(diǎn)處GⅠ幾乎為0。因此，4 條邊的中心點(diǎn)是最先出現(xiàn)分層擴(kuò)展的位置。

下面考慮厚度方向上分為8 個(gè)子層（[0]8）的層合板。該板的幾何形狀、邊界條件與各向同性板相同。上表面受P=140 kN/m2載荷，每單層的材料參數(shù)為：E11=1.09×1011Pa，E22=E33=8.82×109Pa，G12=G13=4.32 × 109Pa，G23=3.2 × 109Pa，μ32=0.52，μ12=μ13=0.342，GⅠC=0.306 N/mm，GⅡC=0.632 N/mm，GⅢC=0.817 N/mm。

對(duì)比算例采用EF/VCCT-XLWM 方法分析該問題。圖9 是這兩種方法得到的最終擴(kuò)展區(qū)域，可以看出，由FUGD/VCCT-XLWM 預(yù)測(cè)的擴(kuò)展路徑與EF/VCCTXLWM 模型的吻合得非常好。在均勻受載的情況下，層合板的方形分層區(qū)域最終擴(kuò)展成橢圓，其長(zhǎng)軸沿材料主方向。由于裂紋前緣為鋸齒狀的，因此G 隨分層前緣的擴(kuò)展而振蕩。從圖9 中可以看出，如果主要關(guān)注分層擴(kuò)展的形狀，這種振蕩并不會(huì)影響分層擴(kuò)展路徑的預(yù)測(cè)。在大多數(shù)實(shí)際情況下，分層不會(huì)是簡(jiǎn)單光滑的形狀，而是會(huì)隨擴(kuò)展而變化。FUGD/VCCT-XLWM 可以近似模擬出分層形狀并且使分層任意擴(kuò)展。因此，本文提出的模擬方案可從非結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格和X 射線圖像得到合理的近似的分層擴(kuò)展形狀。

圖9 含方形分層層合板的擴(kuò)展路徑Fig.9 Extended path of the laminate with square delamination

4.2 圓形分層區(qū)域

以一個(gè)含圓形分層區(qū)域（半徑0.5 m）的方板為例，分層的位置、材料參數(shù)、幾何尺寸以及邊界條件都與4.1 節(jié)的方板相同。該板在厚度方向上分為8 個(gè)單層，板的上表面受P=140 kN/m2的均布載荷作用。

EF/VCCT-XLWM 模型的有限單元網(wǎng)格和FUGD/VCCT-XLWM 的網(wǎng)格如圖10 所示，其中，紅色代表分層區(qū)域。

圖10 含圓形分層區(qū)域的方形板Fig.10 The square plate with a circular delamination region

從圖10 中可以看出，盡管FUGD/VCCT-XLWM方法重建的分層區(qū)域的前緣不是很光滑，但與EF/VCCT-XLWM 模型相近。在EF/VCCT-XLWM 模型中，邊緣處的單元與分層前緣一致，因此在建模方面比較困難。而FUGD/VCCT-XLWM 的分析模型基于均勻有限單元網(wǎng)格，在建模方面的難度要低于精確前緣/三維彈性模型和EF/VCCT-XLWM 模型，而且可以很大程度提高計(jì)算效率。

表2 中列出了用3 種模型計(jì)算出的最大位移及應(yīng)力。對(duì)于精確前緣/三維彈性模型，有限元網(wǎng)格如圖10（a）所示。FUGD/VCCT-XLWM 用到了兩種均勻網(wǎng)格：網(wǎng)格1，10 201 單元10 404 節(jié)點(diǎn)；網(wǎng)格2，22 500 單元22 801 節(jié)點(diǎn)。EF/VCCT-XLWM 模型中有10 900 個(gè)四節(jié)點(diǎn)單元和11 041 個(gè)節(jié)點(diǎn)。

表2 3 種模型計(jì)算出的含圓形分層板的最大位移和應(yīng)力Tab.2 The maximum displacements and stresses of the plate with circular delamination calculated by three kinds of models

從表2 可以看出，本文方法的網(wǎng)格1 能夠得到足夠精確的靜力結(jié)果。盡管使用網(wǎng)格1 的FUGD/VCCTXLWM 和EF/VCCT-XLWM 模型的計(jì)算成本一樣，但前者在最大位移、應(yīng)力上更接近精確前緣/三維彈性模型的計(jì)算結(jié)果。

接下來(lái)考慮含圓形分層區(qū)域的復(fù)合材料層合板。其分層的位置、材料參數(shù)、幾何尺寸以及邊界條件與4.1 節(jié)中的層合板相同。板的上表面受P=180 kN/m2的均勻載荷作用，鋪層順序?yàn)閇0]8。

圖11 給出了分層前緣的最終擴(kuò)展區(qū)域，F(xiàn)UGD/VCCT-XLWM 預(yù)測(cè)得到的擴(kuò)展路徑與EF/VCCT-XLWM模型得到的很接近。與方形分層區(qū)域一樣，層合板上的圓形分層區(qū)域最終會(huì)擴(kuò)展成橢圓形，其長(zhǎng)軸方向?yàn)椴牧现鞣较颉?/p>

圖11 含圓形分層層合板的擴(kuò)展路徑Fig.11 Extended path of the laminate with circular delamination

4.3 雙圓形分層區(qū)域

以含雙圓形分層區(qū)域的方形層合板為例，兩個(gè)圓形分層區(qū)域的半徑為0.5 m，且兩圓心之間的距離為5 m。該層合板分層的位置、材料參數(shù)、幾何尺寸以及邊界條件都與4.1 節(jié)中的層合板一致。板的上表面受P=140 kN/m2的均勻載荷作用。圖12 給出了兩種方法的有限元網(wǎng)格劃分。

圖12 含雙圓形分層區(qū)域的方形板有限元網(wǎng)格Fig.12 The finite element meshing of the square plate with doubly circular delamination region

從圖12 中可以看出，重建的分層區(qū)域與真實(shí)情況非常接近，尤其是在尖角處。FUGD/VCCT-XLWM 也使用4.2 節(jié)中模型的2 種網(wǎng)格，EF/VCCT-XLWM 模型和精確前緣/三維彈性模型中都有10 201 個(gè)四節(jié)點(diǎn)單元和10 404 個(gè)節(jié)點(diǎn)。

表3 給出了這3 種分析模型的最大位移和應(yīng)力，從表3 中可以看出，采用網(wǎng)格1 的FUGD/VCCT-XLWM最適合雙圓形分層區(qū)域。圖13 給出了3 種方法得到的能量釋放率GI，最大值出現(xiàn)在兩個(gè)圓形分層的交點(diǎn)處（θ=90°和270°）。因此，雙圓形分層最先在這2 個(gè)交點(diǎn)處擴(kuò)展。

表3 含雙圓形分層板的最大位移和應(yīng)力Tab.3 The maximum displacements and stresses of the plate with doubly circular delamination

圖13 含雙圓形分層區(qū)域方形板的能量釋放率GIFig.13 ERR GI of the square plate with doubly circular delamination region

5 結(jié)語(yǔ)

復(fù)合材料結(jié)構(gòu)的分層損傷一般可由無(wú)損檢測(cè)技術(shù)探測(cè)，形狀復(fù)雜的裂紋尖端會(huì)給建模和分析帶來(lái)巨大困難。基于擴(kuò)展逐層理論、多維最大熵原理和分層前緣追蹤算法，本文提出了一種基于均勻網(wǎng)格的快速分層建模方法，減小建模的難度，還以含方形、圓形、雙圓形分層區(qū)域的方形層合板為例，驗(yàn)證了該方法的有效性，從而得到以下結(jié)論：

（1）盡管本文方法的分層前緣不夠光滑，但其重建的分層區(qū)域與真實(shí)情況十分接近，該方法在建模難度上遠(yuǎn)小于精確前緣/三維彈性模型和FUGD/VCCTXLWM 模型，且該方法能模擬分層區(qū)域的動(dòng)態(tài)變化過程；

（2）有兩種方法可以用來(lái)降低本文方法計(jì)算能量釋放率時(shí)的缺點(diǎn)，一種是細(xì)化網(wǎng)格來(lái)減少振蕩，但計(jì)算的成本會(huì)加大，另一種是利用水平集函數(shù)重建更光滑、更精確的分層前緣；

（3）在實(shí)際情況中，分層形狀不是簡(jiǎn)單光滑的，而是隨分層擴(kuò)展而改變的，本文方法能模擬任意分層形狀，且能有效跟蹤分層擴(kuò)展過程中前緣形狀的任意改變，因此，基于非結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格和無(wú)損檢測(cè)圖像，本文方法能快速有效地得到分層擴(kuò)展形狀；

（4）對(duì)于多層分層損傷區(qū)域，快速建模和分析在工程運(yùn)用上意義重大，擴(kuò)展逐層理論能用于分析多層分層損傷問題，但必須進(jìn)一步改進(jìn)多維最大熵原理，使其能識(shí)別多層分層損傷區(qū)域。