《借根方比例》中開方算法之來源新探

賈洪巖 紀志剛

(1.中共上海市閔行區(qū)委黨校,上海201199; 2.上海交通大學科學史與科學文化研究院,上海200240)

康熙年間,《借根方算法》(1700,以下簡稱“《算法》”)首次通過西方代數(shù)學傳入中國,作者是比利時傳教士安多(Antoine Thomas,1644—1709)[1],書中介紹了西方的開方算法①本文將解未知數(shù)的計算方法,如(xn=a)、(axn±bxm=c),統(tǒng)稱為開方算法。 稱xn=a 的解法為高次冪開方算法,其中解2 次冪的方法為開平方法,解3 次冪的方法為開立方法,解其余次冪的方法為n 次冪開方算法(n≥4)。稱axn±bxm=c 的解法為高次冪方程解法,其中解2 次冪的方法為二次冪方程解法(或帶縱平方法),解3 次冪的方法為三次冪方程解法(或帶縱立方法),解其余次冪的方法為n 次冪方程解法(4≤n≤6)。。 1712 年,康熙開蒙養(yǎng)齋,梅瑴成(1681—1763)、何國宗(? —1767)等人應召入館并編撰《數(shù)理精蘊》,《數(shù)理精蘊》下編卷31—36《借根方比例》(以下簡稱“《比例》”)即以《算法》為底本改編而成。

《比例》卷32、33 分別介紹了高次冪開方算法(xn=a)和高次冪方程解法(axn±bxm=c),在清初算家看來“借根方比例法中,開各乘方為最要”([2],下編卷32 頁2)。 也許因為“宋元時期的增乘開方法失傳之后,這是第一次給出高次方程的數(shù)值解法”[3],所以《比例》卷33 中的高次冪方程解法也一直備受當代學者的關注。 通過對卷33 中三次冪方程解法的分析,先前研究一般認為卷33 中的高次冪方程解法來源是中、西雙方二者之一①李儼、韓琦認為此法即西方的“牛頓法”,魏保華、潘亦寧也支持西方來源的觀點。 錢寶琮、李迪雖然承認三次冪方程解法與“牛頓法”完全相同,但《數(shù)理精蘊》是否受到影響需進一步研究。 李兆華則認為三次冪方程解法“是由中國古代的開帶縱立方法,即《數(shù)理精蘊》卷24 的方法,演變來的”。 參見參考文獻[3—10]。。

但是,關于《比例》卷32 中高次冪開方算法(xn=a)的來源②魏雪剛指出《比例》卷32 中的高次冪開方算法與《少廣拾遺》的開方算法一致,指出了兩書之關聯(lián),但稱兩書中的開方算法一致似有不妥(參見參考文獻[11])。 實際上《比例》只是吸收了《少廣拾遺》的部分內容,并非一致,具體分析見下文。,《比例》卷33 中的4—6 次冪方程解法(axn±bxm=c)的來源,以及卷32、33 中開方算法之關系的研究有待加強,而這些算法實際上有非常緊密的關系,應放在一起討論,方可探明原委。 因此,《比例》中的高次冪開方算法與高次冪方程解法有怎樣的關系? 不同次冪的解法有何異同? 它們又是從何而來? 本文基于“古證復原”原則,對比分析了與《算法》《比例》密切相關的幾部算書,為《比例》中的高次冪開方算法、高次冪方程解法之來源給出一種新的可能。

1 相關算書開方算法之異同

1.1 《算法》與《比例》簡要對比

雖然《算法》是《比例》的底本,但兩書中大部分的開方算法并不相同。 總的來說,兩書中開方算法的異同關系如圖1 所示。

圖1 《算法》《比例》部分開方算法對比

《算法》介紹了4—9 次冪的開方算法(xn=a),以及2、3、4、6 次冪的方程解法(axn±bxm=c)。 書中都是盡可能使用“換元法”進行計算,比如,將x4=a 視為X2=a(X=x2);將x6=ax3+b 視為X2=aX+b(X=x3)。 只有在無法使用此法時,安多才給出特殊的計算方法,即5、7 次冪開方算法(即x5=a、x7=a,以下簡稱“查表法”)和三次冪方程解法(即ax3±bx2=c),它們與中算傳統(tǒng)不同,是純粹的數(shù)值運算,安多也沒有對這些運算過程作任何解釋說明。

《比例》卷32 介紹了高次冪開方算法(xn=a)(3—10 次冪),清初算家為不同次冪給出了三種開方算法,與本卷開始處介紹的順序一致,分別為“未知法”③由于此算法在處理3—10 次冪時具備機械化、程序化的特征,擁有相同的算法原理,且此算法的來源未知,故而將這種計算方法稱作“未知法”,此名稱為筆者命名,并非出自《比例》原文。、“代開法”“表開法”。 基于開篇以及之后案例中的介紹邏輯,可知三種計算方法雖然不同,但應該是并列關系。 在“未知法”之后,“代開法”之前,還有“蓋幾乘方之本法,有……”字樣,之后的內容是對“未知法”中部分步驟的猜測性解讀(分析見下文)。

在這三種開方算法中,“代開法”和《算法》的“換元法”相同,“表開法”改編自《算法》的“查表法”①“表開法”與“查表法”的算法流程基本相同。 由于清初算家清楚“查表法”的算法原理,所以將《算法》中僅有的5、7 次冪“查表法”作了改進和拓展,使其能夠適用于3—10 次冪,并為它們配備了“新數(shù)表”。,二者的來源比較清晰,因此本文不對它們做具體分析。 本文主要討論的一個問題,即卷32 中“未知法”的來源和構造過程②關于清初算家構造“未知法”與“表開法”的先后問題,尚未有證據(jù)明確指出二者的先后順序,筆者認為二者應該是同時構造的。 但如果一定要區(qū)分構造它們的先后順序,筆者以為,應該是先有“未知法”,后有“表開法”。 原因在于,“表開法”中所需要的數(shù)值,“未知法”里都有,且明確了數(shù)值的計算方法。 但是,“未知法”所需要的整個運算流程,“表開法”是沒有的。(下文關于卷32 中高次冪開方算法的討論均指“未知法”,特此說明)。

《比例》卷33 介紹了高次冪方程解法(axn±bxm=c)(3—6 次冪)。 其中,三次冪方程解法倍受關注,正是基于對它的分析,前人學者才得出了《比例》中高次冪方程解法的來源是中、西雙方二者之一的結論。 但是,《比例》卷33 中不只有三次冪方程解法,還有4—6 次冪方程解法,且4—6 次冪方程解法的來源未知,同時,卷33 中的3—6 次冪方程解法還呈現(xiàn)出了統(tǒng)一的、機械化、程序化特征。 因此,本文的另一個主題是將《比例》卷33 中的3—6 次冪方程解法視為一個整體,來探討其來源和構造過程,而不只是針對其中的三次冪方程解法。

綜上,首先,目前已知《比例》卷32 中的“代開法”“表開法”源自《算法》,但“未知法”的來源有待探究。 其次,《比例》卷33 中的三次冪方程解法源自《算法》,但4—6 次冪來源未知。 因此,為了更好地探究卷32 中的“未知法”以及卷33 中的高次冪方程解法的來源,有必要對與《比例》《算法》有緊密關系的其他算書作對比分析,為溯源工作打好基礎。

首先,安多在編撰《算法》時引用了《算法纂要總綱》(以下簡稱“《總綱》”),此書同樣為安多所作,約成書于1689—1695 年間[12],因而不能忽略此書。 書中介紹了平方、立方、帶縱平方、帶縱立方四種開方算法。 其次,《比例》作為《數(shù)理精蘊》的一部分,《數(shù)理精蘊》卷11、23、24 中的開方算法也應得到關注。 其中,下編卷11 介紹了平方、帶縱平方算法,卷23、24 介紹了立方、帶縱立方算法。 再次,在《數(shù)理精蘊》的編撰者中,梅瑴成自幼受梅文鼎的影響,何國宗及分校官魏廷珍、王蘭生也都曾和梅文鼎學習過數(shù)學和天文[3],加上《比例》卷32 中有部分內容與《少廣拾遺》中的計算方法十分相似,因此,梅文鼎的《少廣拾遺》也值得我們留意。 書中介紹了“諸乘方大法”,可以處理3—13 次冪的開方算法(xn=a),但此法的算法流程和算法原理與“未知法”并不相同。

1.2 相關算書之對比

由于《總綱》《數(shù)理精蘊》(卷11、卷23、卷24)均不涉及3 次冪以上的開方算法,因此,在此處先探討《比例》卷32 中“未知法”的開平方、開立方法,以及《比例》卷33 中二次冪、三次冪方程解法與《總綱》《數(shù)理精蘊》之關系。

首先,關于《比例》卷32“未知法”的開平方、開立方算法(關系參見圖2)。 對比《總綱》《比例》《數(shù)理精蘊》(卷11、卷23)可知：其一,《數(shù)理精蘊》卷11、23 中的開平方、開立方算法屬于清初算家所謂的“常法”,算理與《九章算術》無異。 其二,《比例》“未知法”中的開平方、開立方算法都異于“常法”,與中算傳統(tǒng)開方法迥異。 其三,《總綱》的開平方法與“常法”相同,與《數(shù)理精蘊》卷11 的步算過程相同;開立方法則異于“常法”,與《比例》“未知法”的步算過程相同。

圖2 《總綱》與《數(shù)理精蘊》《比例》中開平方、開立方算法之關系

其次,關于《比例》卷33 中的二次冪、三次冪方程解法(即開帶縱平方、開帶縱立方)。對比《算法》《總綱》《比例》《數(shù)理精蘊》(卷11、卷24)可知,幾本算書中的帶縱平方法(二次冪方程)大都相同,且與《算法統(tǒng)宗》的“歸除平方帶縱歌”類似[13],在此不作贅述。 關于開帶縱立方(三次冪方程)算法(關系參見圖3),《數(shù)理精蘊》卷24 屬于清初算家所謂的“常法”,與《比例》大體相同但細節(jié)有異。 《算法》與《總綱》的表述形式、運算思路極為相近,安多曾在《算法》中稱“此法與《總綱》內第十二節(jié)內帶一縱開立方之法同”([14],頁187),也許正因如此,才有學者認為二者是相同的[8],但如果回歸文本內容仔細對比二者的算法過程可知,它們其實還是略有差別的①在求初商積時,《算法》是以多項式為基礎,將初商帶入x3+ax2,《總綱》則是將初商帶入x2(x+a),二者的區(qū)別在于前者為數(shù)值運算,后者結合了立體幾何圖形的構造進行運算。 參見參考文獻[15]。。 然而,雖然安多在《算法》中聲稱此法與《總綱》相同,但《比例》卷33 的帶縱立方解法卻沿用了《算法》的計算方法,而非《總綱》之法。 值得反思的是,《算法》和《總綱》的運算過程略有不同,但為何安多稱二者相同②依筆者淺見,安多基于西方數(shù)學知識背景看待這兩種算法,二者均為純數(shù)值運算,因此認為二者算理相同。? 清初算家又為何使用了《算法》的方法,而沒有使用《總綱》的方法? (分析見下文)

圖3 相關算書中三次冪方程解法之關系

通過對比分析《算法》《總綱》《數(shù)理精蘊》和《比例》中的部分開方算法可知：首先,《比例》中的開方算法,除了二次冪方程解法,其余大都異于中算傳統(tǒng)中的“常法”。 其次,《比例》卷32 中“未知法”的開立方法源自《總綱》,《比例》卷33 中的三次冪方程解法源自《算法》(圖4)。 不同之處在于,《算法》《總綱》中的開方算法均屬于純數(shù)值運算,傳教士安多并未對算法流程作任何解釋,清初算家則是在《比例》中使用中算術語對相關算法作了解釋說明。 但是,“未知法”的4—10 次冪開方算法、《比例》卷33 的4—6 次冪的方程解法來源仍是未知的,因此,下文將用兩節(jié)分別討論它們的來源。

圖4 《比例》卷32、33 中部分開方算法來源

2 《比例》卷32“未知法”對《算法》《少廣拾遺》的借鑒與會通

由于《比例》卷33 中的高次冪方程解法與《比例》卷32 中的“未知法”緊密相關,因而在本小節(jié)先探討《比例》卷32 中“未知法”(3—10 次冪)的來源。 此外,雖然已知《比例》卷32 中的“表開法”改編自《算法》的“查表法”,且“查表法”與“未知法”的算法原理不同,但“未知法”卻借鑒了“查表法”中的部分計算方法,因此,在探究“未知法”來源之前,需要對“查表法”作一簡要介紹,為之后的探源工作做好鋪墊。

“查表法”是通過查找“數(shù)表”中的兩個數(shù)值(即“相近小數(shù)”與“次行之數(shù)”)來求得初商、次商和三商的,這兩個數(shù)值與本文主題即《比例》卷32“未知法”、卷33 高次冪方程解法的由來密切相關。

以5 次冪“查表法”求解為例(x5=13383270465632)([14],頁19),首先,要在“數(shù)表”中找到與被開方數(shù)13383270465632 前部分相近的“相近小數(shù)”,即130691232,通過此數(shù)值便可得到被開方數(shù)的初商(4)和次商(2)。 然后,再找到“相近小數(shù)”相同格內的“次行之數(shù)”,即15558480,用它便可得到三商的值。 7 次冪的步算過程也是如此,只是“數(shù)表”的數(shù)值不同,整個步算流程極為便捷。 實際上,清初算家正是參考了“相近小數(shù)”和“次行之數(shù)”這兩個數(shù)值,才能將源自《總綱》的三次冪開方算法擴展至更高次冪,具體分析見下文。

2.1 “未知法”對“相近小數(shù)”之參考

基于上文分析可知,《比例》“未知法”的三次冪開方算法源自《總綱》,異于中算傳統(tǒng)中的“常法”(如《數(shù)理精蘊》卷23)。 分析“未知法”與“常法”的區(qū)別,有助于進一步理解清初算家構造“未知法”時的思考方式,并探究這種計算方法的由來。

“未知法”和“常法”的算法流程都可以總結為以下10 個步驟：①定位;②定初商;③求初商積;④求次商廉隅之共積;⑤求次商廉法;⑥定次商;⑦求初商、次商共積;⑧求三商廉隅之共積;⑨求三商廉法;⑩定三商。 但是,二者的具體計算過程仍有不同,主要體現(xiàn)在步驟5、7、9 上(步驟5、9 的算法原理相同,因此可視為同一問題)。

清初算家曾在《比例》卷32 開平方法的末尾處直言,“此法止用廉法除余積,得次商,即并初商數(shù)自乘,得數(shù)復與原積相減,與常法不同”([2],下編卷32 頁4)。 此段文字可以看做是對上述步驟5—8 的“解釋說明”,對應了“未知法”與“常法”的不同之處,比如,“即并初商數(shù)自乘”對應“未知法”的步驟7(求初商次商共積),但是,這種異于“常法”的計算方法是怎么來的呢?

《數(shù)理精蘊》卷23 展現(xiàn)的“常法”計算思路符合中算傳統(tǒng)“析理以辭,解體用圖”這一特征,它將立方體“遞析開之”,分為“方、廉、隅”幾個立方體,分別計算它們的表面積和體積,以此逐步求次商、三商。 因此,在求初商、次商之共積時便需要使用“方、廉、隅”的相關數(shù)值反推求之,相應的,此法所需的計算量也比較大。 反之,《總綱》和《比例》“未知法”的三次冪開方算法在此步驟則節(jié)省了大量計算,它們只需“合并初商、次商,自乘、再乘”(初商+次商)3即可。

然而,這種“初商次商共積”的計算方法不只是出現(xiàn)在《總綱》的三次冪開方算法中,它同樣出現(xiàn)在《算法》的“查表法”中。 如上文所述,5 次冪“查表法”是用“相近小數(shù)”130691232 求得初商、次商為4、2,而此數(shù)值130691232 正是“初商、次商相并再自乘四次”之結果(425),二者互為逆運算,同樣的情況在7 次冪的“查表法”中同樣存在。 由于這種逆向思維并不困難,所以清初算家完全能夠意識到“數(shù)表”“中每格所列細數(shù)二層……上層為初商、次商積”([2],下編卷32 頁44),即(初商+次商)n。

正所謂孤證不立,如果清初算家僅知道《總綱》中的這種計算方法,而沒有見過“查表法”對“相近小數(shù)”的使用,其實很難保證他們能夠將《總綱》中的這種異于“常法”的、僅出現(xiàn)在三次冪開方算法中的計算方法適用于更高次冪。 但是,當這種計算方法同時出現(xiàn)在《總綱》的三次冪開方算法和《算法》的5、7 次冪“查表法”中,就足以說明此算法在“求初商次商共積”時的可行性。 同時,由于此法適用于3、5、7 次冪,這也說明此算法可適用于其他次冪。

因此,《比例》“未知法”中的三次冪開方算法雖然源自《總綱》,但清初算家在構造“未知法”的4—10 次冪開方算法時,則應該是在《總綱》三次冪開方算法的基礎上,參考了《總綱》中異于“常法”的計算方法,以及《算法》對“相近小數(shù)”的使用方法。 而清初算家之所以在構造3—10 次冪“未知法”時采用了這種方法,主要可能出于兩方面原因：其一,在保證數(shù)值準確的前提下,此法可以簡化大量計算步驟。 其二,此法可以適用于任意次冪,有助于使“未知法”在處理高次冪時不至于特別復雜。

2.2 “未知法”對“第一廉汎積”與“次行之數(shù)”之會通

除了上述步驟7,《比例》“未知法”的步驟5、9 也與“常法”不同,這兩個步驟求的是“次商廉法”和“三商廉法”,前者用于計算次商,后者用于計算三商。 由于這兩個步驟的算法原理相通,因而在此先討論步驟5。 以“未知法”三次冪開方算法的步驟5 為例,其計算方法為“初商自乘,3 因之”,所得之數(shù)“以除次商積,即定次商”。 此方法同樣可以對應清初算家在平方法末尾處所作的“解釋說明”,即“此法止用廉法除余積,得次商……與常法不同”。 但值得反思的是,這種異于“常法”的計算方法是怎么來的? 實際上,清初算家對這一計算過程應該并不陌生,因為此計算方法在《少廣拾遺》中也曾出現(xiàn)過。

2.2.1 “未知法”“蓋本法”與“諸乘方大法”

為了下文更好地探討“未知法”對《少廣拾遺》中計算方法的借鑒,有必要在此之前先對“未知法”與《少廣拾遺》之關系作一個簡要的說明。

清初算家在介紹完“未知法”之后(自三乘方開始),會緊隨著“蓋幾乘方之本法,有……”的一段話,之后會再介紹一種計算方法(以下稱此計算方法為“蓋本法”)。 筆者以為,“蓋”應表示推測,相當于“大約”“大概”,再考慮到“未知法”來源未知,且異于“常法”,故而認為,“蓋幾乘方之本法,有……”之后的“蓋本法”應該是清初算家對前面“未知法”原本樣貌的推測,因此,“蓋幾乘方之本法,有……”應解讀為“大概此處‘幾乘方’原本的計算方法應該是這樣的……”①對比“蓋本法”與“未知法”可知,“蓋本法”中僅第一步計算過程與“未知法”步驟5、6 一致,其余均與“未知法”有異,且有很大的不同。 首先,二者所求關鍵數(shù)值的步驟不同,“蓋本法”是先求“次商”,再求“次商廉隅之共積”,但是,“未知法”則是先求“次商廉隅之共積”,再求“次商”,二者正好相反。 其次,“未知法”和“蓋本法”求“次商廉隅之共積”的方法不同。 “未知法”是用過“原積”-“初商積”的方法求得“次商廉隅之共積”;“蓋本法”則是通過對“廉”“隅”做計算,再求“次商廉隅之共積”。 因此,進一步說,筆者認為“蓋本法”僅是針對“未知法”步驟5、6 的原本樣貌的測性解讀,即主要針對開平方法后“解釋說明”中“此法止用廉法除余積,得次商”的回應,而非“未知法”的全部流程。。

實際上,“蓋本法”與《少廣拾遺》“諸乘方大法”中求“廉隅共積”的計算方法非常相似,二者的區(qū)別在于乘以次商的時機不同。 “蓋本法”是先求各廉和,再用各廉和一起乘以次商;“諸乘方大法”則是在計算每一廉的定積時,直接乘以次商。 二者有此區(qū)別的原因暫且不表,只有解決了之后的一系列問題,才能言明(原因分析見下文)。 但二者的相似性,以及梅瑴成等人對梅文鼎工作的熟悉,說明清初算家在構造“未知法”時,應該參考了《少廣拾遺》中的“諸乘方大法”。

因此,清初算家應該是基于對“諸乘方大法”的了解,將其中的部分計算方法進行了適當?shù)恼{整,才構造了“蓋本法”,并在“未知法”之后,“蓋本法”之前,給出“蓋幾乘方之本法,有……”的字樣,表示對“未知法”本來樣貌的推測②關于“蓋本法”的作用及意義：清初算家在開平方法后曾指出“未知法”中的步驟5—8 與“常法”不同,而此計算方法能解決“廉法條例甚繁,難于布算”的實際問題。 因此,一方面,“蓋本法”是對“廉法條例甚繁,難于布算”的實際演示,它能夠展現(xiàn)“未知法”確實在“多乘方,所省實多”;另一方面,則是為了解釋,為什么在“求廉法”和“次商”時,即“未知法”的步驟5、6,可以使用“止用廉法除余積得次商”的這種異于“常法”的計算方式。 筆者以為,第二方面是最重要的。。

然而,我們雖然考證了“未知法”“蓋本法”與“諸乘方大法”之間的關系,但是本小節(jié)開篇所說的重要問題仍然有待解答,即這種“止用廉法除余積”的異于“常法”的計算方法是怎么來的? 它和《少廣拾遺》又有怎樣的關系?

2.2.2 《少廣拾遺》中的“第一廉汎積”

《少廣拾遺》的“開諸乘方大法”在求次商(或三商)時,需要用“汎積之和”與“余積”相除,但“汎積之和”的求法比較繁瑣。 繁瑣之處在于,不同次冪有不同數(shù)量的“廉”,不同“廉”求“汎積”值的方法又不同,最終需要求得每個“廉”的“汎積”值,再將它們相加,才能得到“汎積之和”。

“廉”的汎積值求法(圖5)所示,其中最關鍵的兩個數(shù)值為該“廉”的“定率”及其“應有各數(shù)”。 首先,隨著乘方數(shù)的增加,“廉”的數(shù)量會增加,而不同次冪各“廉”的“定率”也有所不同,其數(shù)值源自“廉率立成圖”([16],頁5a),如立方有兩個廉,第一廉的“定率”為3。 其次,各“廉”對應的“應有各數(shù)”也不同,如立方第一廉的“初商應有各數(shù)”即為“初商平冪”。 這兩個數(shù)相乘便可得到立方第一廉的汎積值,即初商2×3,如果再求得立方第二廉的汎積值,將二者相加,便能基于此求得次商。

圖5 各廉“汎積”計算流程

稍加留意便可發(fā)現(xiàn),《比例》三次冪“未知法”的步驟5,即上文所述異于“常法”的計算方法,恰好與《少廣拾遺》中三次冪第一廉汎積的計算方法相同,二者都是“初商自乘,三因之”。 無獨有偶,這兩個數(shù)值還都是為了求次商所用,只不過《少廣拾遺》的計算更為繁瑣,在處理更高次冪時,它除了要求第一廉的汎積值,還要求其他所有廉的汎積值。

再看“未知法”與“常法”的另一個不同之處,步驟9。 “未知法”(三次冪)為“初商、次商相并自乘,3 因之”,所得為“三商廉法”,用此數(shù)便可求三商。 再看《少廣拾遺》求三商時的計算方法,同樣需要計算“汎積之和”,但與上文求次商時略有不同的是,此時各廉“應有各數(shù)”的計算方法要改成帶入“初商、次商相并之數(shù)”,即所謂“其廉定率不變,但求汎積時,三商則并初商、次商兩位商數(shù)合而用之”([16],頁18a)。 因此,《少廣拾遺》在求三次冪的三商時,第一廉汎積的計算方法應為(初商+次商)2×3,此法與“未知法”的步驟9 完全相同。

可見,“未知法”(三次冪)求次商、三商時所需的“次商廉法”“三商廉法”的計算方法與《少廣拾遺》(三次冪)求次商、三商時所用的部分內容(即第一廉汎積求法)完全相同,對比其他次冪(如4—10 次冪)同樣如此。 因此我們說,“未知法”異于“常法”的“止用廉法除余積”的計算方法,極有可能是參考了《少廣拾遺》的“諸乘方大法”。

但是,如果這種可能性是真實的,就引出了另一個問題,即清初算家在熟悉《少廣拾遺》中“諸乘方大法”的基礎上,為什么在構造《比例》的“未知法”時沒有沿用熟悉的算法,而是使用了現(xiàn)在這種“止用廉法除余積”的計算方法呢? 他們是怎么確定,可以僅通過“諸乘方大法”的第一廉汎積,而非所有廉的汎積值的和,就能求得次商和三商呢? 他們是在什么情況下,意識到這種方法不僅能適用于《總綱》的三次冪開方算法,還能拓展并適用于更高次冪? 實際上,清初算家應該是對比了《算法》“查表法”使用的“數(shù)表”中的“次行之數(shù)”,才確認了此方法的可行性。

2.2.3 “第一廉汎積”與《算法》的“次行之數(shù)”

以《少廣拾遺》解四乘方為例(x5=13383270465632,x=422),求三商時,其第一廉“定率”應為5,“應有各數(shù)”為424,因此,第一廉“汎積”的計算方法應為424×5=15558480。 而這一數(shù)值,恰巧和《算法》五次冪“查表法”所用“數(shù)表”中的“次行之數(shù)”相同,即求三商時所用的“三商廉法”。 同樣的情況也發(fā)生在七次冪上,《少廣拾遺》七次冪求三商時第一廉汎積的數(shù)值同樣可以和《算法》七次冪“數(shù)表”相應表格的“次行數(shù)字”相對應。

因此,除了《總綱》中的三次冪開方算法在求次商、三商時所用的“次商廉法”“三商廉法”可以對應于《少廣拾遺》中的第一廉汎積求法,《算法》中5、7 次冪“查表法”在求三商時所用的“次行之數(shù)”也能夠對應于《少廣拾遺》。 應該正是這種一致性,讓清初算家確認并意識到,雖然這種計算方法僅等同于“諸乘方大法”的第一廉汎積求法,且與“常法”不同,但它仍然能夠保證求次商廉法、三商廉法以及次商、三商時的準確性,以及對不同次冪的廣泛適用性。 基于此,清初算家才能夠將《總綱》中僅有的三次冪開方算法進行拓展,只需在不同次冪的步驟5、9 中使用這種異于“常法”的計算方法(表1),即可讓“未知法”適用于更高次冪。

表1 《比例》“未知法”不同次冪次商、三商廉法求法

至此,我們也許可以對上述關于“蓋本法”與“諸乘方大法”為何不同這一問題,嘗試作出回應。

考慮到《數(shù)理精蘊》是一部西方數(shù)學著作的編譯作品[17],所以“未知法”很可能是作為西方的開方算法來介紹的。 實際上,清初算家在構造出了“未知法”之后,就已經認識到了“未知法”與“常法”有異,出于某種原因,他們需要對這種異于“常法”的計算步驟作解釋說明,因此,就需要借助某種熟知的開方算法,此時,梅文鼎的《少廣拾遺》就派上了用場。 通過參考《少廣拾遺》,清初算家對“諸乘方大法”中的部分計算流程進行了改編,構造了“未知法”之后的“蓋本法”,以此試圖對“未知法”中異于“常法”的部分算法進行解釋,使其合理化;并在介紹“蓋本法”之前,給出“蓋幾乘方之本法,有……”的字樣,表示這是對“未知法”原貌的推測。 同時,此行為還能展現(xiàn)這種西方開方算法的“中源”特征,這與當時“西學中源”說的社會背景也是吻合的。

反觀本小節(jié)之主題,雖然《比例》卷32 中的三次冪開方算法源自《總綱》,但是,卷32 中的4—10 次冪開方算法,以及整個“未知法”(3—10 次冪)則應視為中、西算法相互會通融合的產物。 首先,它展現(xiàn)了中算傳統(tǒng)特征的術語和表達形式。 其次,清初算家基于對《算法》5、7 次冪“查表法”所用的“相近小數(shù)”和“次行之數(shù)”的理解,以及對梅文鼎《少廣拾遺》“開諸乘方大法”的熟悉,才能以《總綱》中異于“常法”的三次冪開方算法為基礎,將其拓展至3—10 次冪。 此外,“未知法”還展現(xiàn)了中算傳統(tǒng)中的程序化、機械化特征(圖6)。 經檢驗,它不僅可以處理《算法》所未及的更大數(shù)值,還可以適用于任意次冪,“但其數(shù)繁衍而無所用,茲故不載焉”([2],下編卷32 頁3)。

圖6 高次冪開方算法流程圖

3 《比例》卷33 高次冪方程解法的“重構”與“創(chuàng)新”

在討論《比例》卷33 中統(tǒng)一的3—6 次冪方程解法來源之前,首先要指出的是,卷33 中的三次冪方程解法的步算過程與《算法》是一樣的。 如果用現(xiàn)代數(shù)學語言解讀,兩書中的解法都和“牛頓法”一樣,也正因如此,才有《比例》三次冪方程解法源自西方之論斷。

但是,兩本算書中的三次冪方程解法還是有差異的。 首先,二者的表述方式不同,《算法》的步算過程是純數(shù)值運算,安多僅介紹了各數(shù)值的使用方法,但并未對運算過程做任何解釋,其中更沒有任何中算傳統(tǒng)術語。 《比例》則更像是對純數(shù)值運算的解讀,清初算家使用了大量中算傳統(tǒng)術語,如“立方廉”“平方廉”“次商廉法”……來解釋運算過程。 其次,《算法》中的高次冪方程(axn±bxm=c)均為多項式相乘之結果,它們屬于純數(shù)值運算,與幾何圖形無任何關系,但《比例》的編撰者卻將它們視為不同的幾何圖形,并稱得到這些幾何體的過程為“變正方體而為長方體,或為磬折長方體、扁方體”([2],下編卷33 頁12),體現(xiàn)了中算傳統(tǒng)用圖解方式說明數(shù)學問題的特點[18]。 此外,還不應忘記《算法》中3 次冪與4、6 次冪的方程解法并不相同,而《比例》中的3—6 冪次方程解法卻帶有中算傳統(tǒng)的程序化、機械化特征。 因此,在探討《比例》卷33 中高次冪方程解法的來源時,不應忽視其中算淵源。

如上文所述,在《比例》之前,《數(shù)理精蘊》卷24 就已經介紹了中算傳統(tǒng)處理三次冪方程的“常法”,有學者認為《比例》卷33 中的三次冪方程解法即來源于此[3],但二者實際上并不完全相同(表2),且清初算家在《比例》中也曾直言稱“借根方比例開帶縱立方,與常法不同”([2],下編卷33 頁10)。

表2 《數(shù)理精蘊》卷24、《比例》三次冪方程解法步算流程對比

雖然兩種算法的運算流程大體相同,都可分為“求初商、求初商積、求次商積、求次商廉法、求次商”5 個步驟,但二者對步驟2、4 的處理方式還是略有不同,這體現(xiàn)了“常法”與《比例》卷33 對同一運算法則的不同理解方式。

“常法”使用的是符合中算傳統(tǒng)開帶縱立方的圖解方式,即將一個長方體遞析開之,將其分為一個小長方體,以及包裹在它之外的“方、廉、隅”,求“次商”時,需分別計算“方、廉、隅”的表面積、體積,并以此求得次商(圖7)。 然而,即便清初算家有了熟悉的“常法”,但他們并沒有在《比例》卷33 中沿用此法,而是轉而采用了《算法》中的三次冪方程解法。 究其原因,“常法”所處理的帶縱立方問題總表現(xiàn)為某幾類“常規(guī)”幾何體,它們或為“長方體”或為“扁方體”,但《算法》中的方程是多項式相乘的結果,與幾何圖形并無關系。 因此,在清初算家看來,這些一元多次方程“或為長方體扁方體形,或非長方體扁方體形,皆不可知”,既然其樣貌不可知,自然就“不可以帶縱之常法求也”([2],下編卷33 頁10)。

圖7 “常法”圖解與“新”圖解

因此,清初算家為這些“不常規(guī)”幾何圖形“重構”了新的圖解方式,以x3+4x2為例,他們借助中算傳統(tǒng)“析理以辭,解體用圖”的方法,把x3+4x2所代表的長方體分成了兩個部分,稱其為“正方體之外多四平方,故成長方體”([2],下編卷33 頁17)(圖7)。 求次商時,只需分別計算“正方體”(x3)和“四平方”(4x2)兩者的“次商廉法”并相加(即步驟4),即可求得“次商”值,而“次商廉法”的計算方法則與《比例》“未知法”沿用《少廣拾遺》第一廉“汎積”的計算方法相同(表1)。

至此,也可以對上文中提及的問題,即“既然《算法》的作者聲稱三次冪方程解法與《總綱》同,那么清初算家為何選擇了《算法》,而非《總綱》”嘗試作出回應。

依筆者淺見,清初算家選擇沿用《算法》計算方法的原因在于,在求初商積時(步驟2)：一,《總綱》將初商帶入x2(x+a)的行為與中算傳統(tǒng)的思路相同,此法在《數(shù)理精蘊》卷24 中已有體現(xiàn)。 二,《算法》將初商帶入x3+ax2的方法具備將三次冪方程解法拓展至更高次冪方程解法的可能性。 三,《算法》將初商帶入x3+ax2以求初商積的方法(步驟2),可以和之后步驟4 中將x3+ax2拆分為兩個幾何圖形的圖解方式保持一致性,而《總綱》卻不能。

此外,清初算家還將這種新的“圖解方式”應用于任意次冪,在處理高次冪方程時,即便它們的外形“皆不可知”,但只需根據(jù)不同次冪改變相應的“次商廉法”計算方法即可。如x5+2x3=7990272,同樣是將其拆分為兩個部分,即“四乘方”(x5)和“兩個立方體”(2x3)([2],下編卷33 頁37),然后分別計算二者的“次商廉法”即可(表1)。 與《比例》卷32 中的“未知法”一樣,卷33 中的4—6 次冪方程解法同樣展現(xiàn)了中算傳統(tǒng)的程序化、機械化特征。

綜上,《比例》卷33 中的三次冪方程解法一直是前人討論的焦點,雖然它和西方的“牛頓法”類似,但它只是3—6 次冪方程解法的其中之一,如此,《比例》卷33 中的高次冪方程解法(3—6 次冪)應該被視為一個整體進行討論。 通過上述對比、復原、分析,可知清初算家沿用了《算法》中的三次冪方程解法,并基于中算傳統(tǒng)的圖解方式對此算法作了“重構”與“創(chuàng)新”,又參考了《比例》卷32“未知法”中源自《少廣拾遺》第一廉汎積的“次商廉法”的求解方式,才構造出了這套新的帶有程序化、機械化特征的高次冪方程解法。

4 余論:對清初算家會通行為的反思

《比例》卷32 的高次冪開方算法(“未知法”)(xn=a)、卷33 的高次冪方程解法(axn±bxm=c)的來源如圖8。 雖然卷32 中的三次冪開方算法源自《總綱》,卷33 中的三次冪方程解法源自《算法》,但是,將這兩個算法改編成一套程序化、機械化的算法流程,并將其拓展、適用于更高次冪的工作應是清初算家“會通中西”的一個創(chuàng)造性成果,并非單獨源自中、西二者之一。

圖8 《比例》卷32、33 開方法來源分析

值得反思的是,《算法》中的高次冪開方算法和高次冪方程解法原本并非全書的重點內容①其一,安多盡量使用開平方、開立方的“換元法”來解決這些開方問題。 其二,在“借未知數(shù)—列式—化簡—開方”這一運算流程中,簡單問題經過“化簡”步驟后便能直接得到最終結果,只有復雜問題(即化簡后等式為xn=a 或axn±bxm=c)才會涉及這些算法。 其三,在《算法》的刪減本《借根方算法節(jié)要》中,安多僅刪減了對高次冪開方算法的介紹。 其四,傅圣澤在介紹《阿爾熱巴拉新法》時,介紹了西方代數(shù)學的符號表示法、等式的概念,唯獨沒有介紹開方算法。,但為何清初算家要在《比例》中稱贊“借根方比例法中,開各乘方為最要”,并做這般創(chuàng)造性的改進工作呢? 究其原因：

其一,開方算法一直以來都是中國傳統(tǒng)數(shù)學最為擅長的運算法則之一。 從《九章算術》首次給出開平方法與開立方法,到《孫子算經》對開方算法“超位退位定位”的改進……到南宋的賈憲給出了“增乘開方法”,以及劉益、秦九韶等人對“增乘開方法”的改進,可見開方算法在中國本就有深厚的土壤基礎。

其二,康熙對開方算法有較高的關注度。 在面對傅圣澤(Jean-Fran?ois Foucquet,1665—1741)的“新代數(shù)學”(符號代數(shù))時,康熙非但沒有理解這些數(shù)學知識的重要意義,在評價傅圣澤的“算法平平”時,他還不忘轉而稱贊《算法》中的開方算法([6],頁25)。當?shù)弥餮笕舜鬟M賢(Ignatius Kgler,1680—1746)帶來了“簡單講述小計算之書幾小本”[19]時,他也非常關注“此等人尚有新好法,或有簡便計算數(shù)表,開方方法,即繕寫帶給朕”[19]。 由此可見康熙對開方算法的重視。

其三,與“西學中源”說相吻合。 自康熙在《御制三角形推算法論》中明確提出“西學中源”說后[20],歷算學家通常會以此學說為基礎,將西學納入中算傳統(tǒng)。 《數(shù)理精蘊》在開篇就描繪了中國古代典籍西傳之圖景([2],上編卷1 頁10),清初算家更是在書中稱西方的比例算法乃中算傳統(tǒng)之質言([2],下編卷3 頁3)……加之康熙曾稱“阿爾朱巴爾,傳自東方之謂也”[21](阿爾朱巴爾,algebra 音譯,即指《算法》),這些宮廷數(shù)學家自然要將此觀點付諸實踐,在卷32“未知法”后接“蓋本法”的行為就是一種體現(xiàn)。

相較于西方算法,《比例》卷32 中的高次冪開方算法(“未知法”)和卷33 中的高次冪方程解法不僅可以使用中算傳統(tǒng)術語進行表達,它們還帶有中算傳統(tǒng)的程序化、機械化特征,展現(xiàn)了“中源”的影子,尤其是清初算家對“未知法”本貌的推測,更是建立了西方算法與梅文鼎《少廣拾遺》之間的聯(lián)系。 此外,因為清初算家的創(chuàng)造性工作,它們還可以處理更大數(shù)值和更高次冪。 相較于中算傳統(tǒng),由于借鑒了《算法》“數(shù)表”中的數(shù)值,《比例》卷32 的高次冪開方算法(“未知法”)和卷33 的高次冪方程解法可以在確保計算準確性的前提下,省略大量計算步驟,使算法流程甚是簡捷。 總之,清初算家的會通行為無疑對中算傳統(tǒng)的發(fā)展以及中西文化的交流都具有積極意義。