基于近場(chǎng)動(dòng)力學(xué)的含損傷缺陷Q345鋼裂紋擴(kuò)展分析

李 雙，呂海寧，黃小華，楊建民

（1.上海交通大學(xué)海洋工程國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海 200240；2.上海交通大學(xué)三亞崖州灣深海科技研究院，海南三亞 572000；3.廣西大學(xué)防災(zāi)與結(jié)構(gòu)安全教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，南寧 530004）

0 引 言

Q345鋼材作為一種低合金高強(qiáng)度結(jié)構(gòu)鋼，綜合性能良好，被廣泛應(yīng)用于船舶與海洋工程結(jié)構(gòu)中，是軍輔船、民船的主要結(jié)構(gòu)材料，還是艦艇設(shè)備的結(jié)構(gòu)用材料[1-2]。雖然該材料具有較好的塑性性能，但是由初始裂紋擴(kuò)展造成的低應(yīng)力脆斷是工程結(jié)構(gòu)鋼的主要破壞模式[3]，這是由于材料本身缺陷（金屬澆筑產(chǎn)生的收縮孔、氣泡、雜質(zhì)，鍛壓產(chǎn)生的褶層，焊接產(chǎn)生的氣孔、夾雜等）或使用過程中造成的損傷（機(jī)加工產(chǎn)生的刀傷，運(yùn)輸產(chǎn)生的碰傷，使用過程中的疲勞裂紋和腐蝕裂紋等），使結(jié)構(gòu)內(nèi)部不可避免地會(huì)存在裂紋缺陷，破壞了構(gòu)件和材料的連續(xù)性和均勻性，造成應(yīng)力集中，在一定條件下微裂紋不斷擴(kuò)展和積聚產(chǎn)生宏觀裂紋，最終使材料和結(jié)構(gòu)的工作應(yīng)力在遠(yuǎn)低于屈服極限的情況下發(fā)生脆性斷裂，使工程中存在重大安全隱患，產(chǎn)生不可預(yù)估的損失。因此，研究含裂紋缺陷的低合金鋼構(gòu)件的裂紋擴(kuò)展規(guī)律、斷裂和破壞行為，掌握其裂紋斷裂特性具有重要的學(xué)術(shù)價(jià)值和工程應(yīng)用背景，且對(duì)于軍民用船結(jié)構(gòu)的均衡設(shè)計(jì)、關(guān)鍵鋼構(gòu)件的斷裂防護(hù)等具有重要意義。

為了研究含裂紋缺陷的鋼構(gòu)件斷裂特性和裂紋擴(kuò)展規(guī)律，相關(guān)研究者分別采用試驗(yàn)和數(shù)值模擬的方法進(jìn)行了研究。在試驗(yàn)方面，余柳明[4]進(jìn)行了含裂紋損傷的Q345 鋼構(gòu)件拉伸試驗(yàn)并提出了呈現(xiàn)脆性性能的概率分析方法。張得揚(yáng)等[2]研究了Q345 鋼T 型焊接接頭的抗沖擊性能，發(fā)現(xiàn)焊接拉伸試件的塑性階段較短，在相同位移載荷下有裂紋缺陷的焊接拉伸試件會(huì)提前發(fā)生斷裂。在數(shù)值方面，何書韜等[5]利用彈塑性裂紋及裂紋擴(kuò)展的理論解析解，探討了不同裂紋變量對(duì)含裂紋損傷的海洋平臺(tái)結(jié)構(gòu)承載能力的影響。李景陽等[6]根據(jù)有限元數(shù)值分析方法，研究了雙向拉伸載荷作用下的含裂紋金屬板的剩余極限強(qiáng)度。劉偉[3]基于線彈性斷裂力學(xué)理論，借助ANSYS 軟件平臺(tái)，利用APDL 語言編制了專用分析程序，研究了含裂紋損傷金屬材料的二維裂紋擴(kuò)展路徑。曾雙峰[7]和李玉濤[8]研究了含雙邊裂紋缺陷的Q345鋼在單軸拉伸荷載下的裂紋擴(kuò)展規(guī)律和漸進(jìn)斷裂行為，并采用ABAQUS軟件平臺(tái)進(jìn)行計(jì)算模擬。張婧等[9]應(yīng)用非線性有限元分析方法，研究了初始變形缺陷對(duì)含裂紋加筋板承載力的影響，并討論了預(yù)制裂紋位置和長(zhǎng)度對(duì)板應(yīng)力分布特征及變形模式的影響。

由以上分析可知，研究者大多采用有限元及其擴(kuò)展方法進(jìn)行結(jié)構(gòu)的斷裂模擬，但是有限元法及其他基于連續(xù)介質(zhì)力學(xué)理論的數(shù)值方法在處理材料不連續(xù)問題時(shí)，需要額外引入裂紋擴(kuò)展準(zhǔn)則，而且如何克服網(wǎng)格依賴性以及如何解決裂紋萌發(fā)和擴(kuò)展時(shí)的非奇異問題仍然是一個(gè)挑戰(zhàn)。

新興的近場(chǎng)動(dòng)力學(xué)理論（Peridynamics，PD）[10]的提出彌補(bǔ)了這些不足。PD 以位移的空間積分形式完全重構(gòu)了傳統(tǒng)連續(xù)介質(zhì)力學(xué)理論，這種積分型方程在不連續(xù)處仍有定義而使其避免了奇異性問題，且PD將物體離散為一系列帶質(zhì)量的物質(zhì)點(diǎn)，物質(zhì)點(diǎn)之間通過“鍵”連接，從而不存在網(wǎng)格依賴性問題。斷裂準(zhǔn)則通過一個(gè)描述連接鍵狀態(tài)的記憶函數(shù)嵌入本構(gòu)方程中，能夠模擬材料中裂紋自發(fā)的萌生和擴(kuò)展，是一種特別適合模擬材料破壞的力學(xué)理論[11]。傳統(tǒng)的鍵基近場(chǎng)動(dòng)力學(xué)方法（Bond-based Peridynamics，BPD）[10，12]只有一個(gè)微觀模量參數(shù)，即鍵剛度，產(chǎn)生了固定泊松比的限制，在平面應(yīng)力狀態(tài)下，泊松比只能是1/3，平面應(yīng)變狀態(tài)和三維應(yīng)力狀態(tài)下，泊松比只能是1/4[13]。因此，2007年，Silling等[14]提出了能突破泊松比恒定限制的態(tài)基PD 方法，但是其需要較高的計(jì)算成本并且降低了數(shù)值穩(wěn)定性。2015 年，Prakash 等[15]通過引入一個(gè)切向彈簧，提出一種求解平面應(yīng)力問題的雙參數(shù)PD 模型，該模型不僅突破了BPD固定泊松比的限制，并且能夠保留BPD的簡(jiǎn)單性和數(shù)值實(shí)施穩(wěn)定性，但是該模型主要是為了解決彈脆性破壞問題，對(duì)材料受載過程中的非線性行為無法表述，而且也無法反映PD 非局部力的長(zhǎng)程力特性。

本文基于近場(chǎng)動(dòng)力學(xué)理論，通過改進(jìn)Prakash 等[15]提出的雙參數(shù)PD 方法，提出一種適用于模擬含損傷缺陷的低合金鋼斷裂的非線性雙參數(shù)近場(chǎng)動(dòng)力學(xué)模型，重點(diǎn)研究含裂紋損傷的Q345鋼拉伸斷裂行為，可為船舶設(shè)計(jì)和結(jié)構(gòu)破壞預(yù)測(cè)提供參考。

1 雙參數(shù)PD

傳統(tǒng)鍵基PD 中，宏觀連續(xù)體在其所在空間域Ω內(nèi)由大量物質(zhì)點(diǎn)組成，物質(zhì)點(diǎn)以初始構(gòu)型的位置X作為標(biāo)記，攜有體積VX和質(zhì)量密度ρ。任一物質(zhì)點(diǎn)X僅在其有限的“域”內(nèi)通過鍵與其他物質(zhì)點(diǎn)X'存在相互作用力f，而與該域以外的物質(zhì)點(diǎn)不存在任何相互作用。域是以該物質(zhì)點(diǎn)為中心、以δ為半徑的鄰域范圍HX={X′∈Ω:|X′-X|≤δ} ，根據(jù)牛頓第二定律，物質(zhì)點(diǎn)X在t時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)方程為

式中，u?=?2u(X,t)/?t2為加速度，b為體力密度；f為本構(gòu)力函數(shù)，包含了物質(zhì)點(diǎn)的所有本構(gòu)信息，表示t時(shí)刻單位體積的物質(zhì)點(diǎn)X'施加于物質(zhì)點(diǎn)X的體力密度；u和u'分別表示t時(shí)刻兩物質(zhì)點(diǎn)的位移。通常采用ξ=X'-X表示初始時(shí)刻兩物質(zhì)點(diǎn)的相對(duì)位置，η=u'-u表示在t時(shí)刻它們的相對(duì)位移，則t時(shí)刻兩物質(zhì)點(diǎn)的相對(duì)位置為ξ+η。

根據(jù)Prakash 等[15]提出的雙參數(shù)PD 方法，假定平面結(jié)構(gòu)內(nèi)任意兩物質(zhì)點(diǎn)X和X'間通過法向彈簧和切向彈簧連接，法向彈簧是沿著平行鍵初始方向（e?n//ξ=X'-X），切向彈簧是沿著垂直于連接鍵初始方向（e?t⊥ξ），此時(shí)，X和X'之間微彈性應(yīng)變能密度為

式中，cn(ξ,δ)和ct(ξ,δ)分別為法向剛度系數(shù)和切向剛度系數(shù)，|ξ|為物質(zhì)點(diǎn)X和X'之間鍵的原長(zhǎng)，且|ξ|=ξ，ηn是相對(duì)位移矢量在鍵初始方向的分量，ηt是相對(duì)位移矢量在垂直于連接鍵初始方向的分量。ω是由于彈簧伸長(zhǎng)而儲(chǔ)存在連接鍵中的單位體積應(yīng)變能密度，稱為微彈性應(yīng)變能密度。物質(zhì)點(diǎn)X的宏觀彈性應(yīng)變能密度WPD(X)是其近場(chǎng)范圍HX內(nèi)所有與它連接的鍵內(nèi)微彈性應(yīng)變能密度之和，表示為

于是，根據(jù)Silling[10]的方法，兩物質(zhì)點(diǎn)X和X'間的作用力密度被推導(dǎo)為

在二維情形下，e?n和e?t分別表示沿著鍵初始方向和垂直鍵初始方向單位矢量，即

該本構(gòu)力函數(shù)是一個(gè)不一定與ξ+η共線的矢量，因此，PD的運(yùn)動(dòng)方程可表示為

考慮均勻雙向應(yīng)變場(chǎng)下的各向同性均勻體。假設(shè)應(yīng)變無窮小，則每一點(diǎn)的變形梯度為

式中，ε11和ε22分別是材料中任意物質(zhì)點(diǎn)沿方向1和方向2的應(yīng)變值。假定ξ是參考構(gòu)型中與e?1成θ角的任意鍵，為了簡(jiǎn)單起見，令ξ= |ξ|，則ξ={ξcosθ,ξsinθ}T。而鍵ξ變形成ξ+η可通過Fξ給出，即ξ+η={(ε11+ 1)ξcosθ,(ε22+ 1)ξsinθ}T。則相對(duì)位移矢量η={ε11ξcosθ,ε22ξsinθ}T，進(jìn)一步地，相對(duì)位移矢量η可以分解為沿法向和切向的分量

值得注意的是，平面應(yīng)力條件下當(dāng)材料的泊松比為1/3，平面應(yīng)變條件下當(dāng)材料的泊松比為1/4時(shí)，切向剛度ct趨近于零，從而退化為類似于傳統(tǒng)BPD的單參數(shù)模型。

2 改進(jìn)雙參數(shù)PD

2.1 考慮PD非局部長(zhǎng)程力特性修正

為了考慮PD 物質(zhì)點(diǎn)間作用強(qiáng)度隨物質(zhì)點(diǎn)距離增大而衰減的客觀規(guī)律，基于Ha 等[16]在傳統(tǒng)BPD模型考慮的能夠反映非局部長(zhǎng)程力尺寸效應(yīng)的核函數(shù)修正項(xiàng)，推導(dǎo)了雙參數(shù)鍵基PD的圓錐形微模量表達(dá)式。傳統(tǒng)BPD 模型中圓錐形微模量變化函數(shù)為g(ξ,δ)=1-(ξ/δ)，因此，考慮非局部長(zhǎng)程力特性的雙參數(shù)鍵基PD的法向和切向剛度可表達(dá)為

式中，cn(0,δ)和ct(0,δ)分別反映兩物質(zhì)點(diǎn)相鄰時(shí)的點(diǎn)之間法向和切向剛度，g(ξ,δ)反映物質(zhì)點(diǎn)間長(zhǎng)程力的強(qiáng)度隨兩點(diǎn)間距離變化的規(guī)律并且需滿足一定的條件方能成立[17]。

因此，式（9）可改寫為

同理，二維平面應(yīng)變狀態(tài)下，

2.2 雙參數(shù)PD的非線性本構(gòu)力函數(shù)構(gòu)建

雙參數(shù)鍵基PD模型只能描述彈脆性材料的力學(xué)行為，而不能描述材料的非線性受力情況。根據(jù)曾雙峰[7]和李玉濤[8]針對(duì)含裂紋缺陷的Q345 低合金鋼在單軸拉伸荷載試驗(yàn)下的載荷-位移曲線，如圖1（a）所示，其完整破壞過程是線性與非線性的力學(xué)行為，由于初始裂紋的存在，Q345鋼裂紋尖端存在高度的應(yīng)力集中，所以載荷-位移曲線沒有明顯的屈服平臺(tái)，其受力過程可劃分為線彈性變形OA，非線性強(qiáng)化變形AB和損傷破壞BC三個(gè)階段。

圖1 含裂紋缺陷的Q345鋼的荷載-位移曲線和雙參數(shù)PD力函數(shù)擬合曲線Fig.1 Load-displacement curve and two-parameter PD force function fitting curve of Q345 steel with crack defects

在近場(chǎng)動(dòng)力學(xué)理論中，近場(chǎng)力與伸長(zhǎng)量、荷載與位移均為力與變形的關(guān)系，均表述了材料破壞的力學(xué)行為，其線性和非線性的關(guān)系應(yīng)是基本一致的。于是，基于石宏順等[18]將BPD 模型本構(gòu)力函數(shù)劃分為線性變形和非線性變形階段的思想，將含裂紋缺陷的低合金鋼的雙參數(shù)PD本構(gòu)力函數(shù)與試驗(yàn)所得荷載-位移曲線進(jìn)行擬合，得到雙參數(shù)PD 的非線性本構(gòu)力函數(shù)曲線，如圖1（b）所示。線性段OA和非線性段AC描述鍵的彈性變形和非線性變形階段；超過A點(diǎn)以后進(jìn)入非線性階段，材料開始發(fā)生損傷變形直至最后破壞。

基于雙參數(shù)PD 方法通過引入非線性本構(gòu)函數(shù)以及損傷模型，使之能夠模擬含裂紋損傷的Q345鋼損傷累積和斷裂行為。由圖1（a）可知，荷載-位移曲線的A點(diǎn)是線性變形至非線性變形的過渡點(diǎn)，引入損傷變量D：

式中：s表示鍵拉伸時(shí)的變形，定義為s=(|ξ+η|- |ξ|)/ |ξ|；set表示鍵拉伸時(shí)彈性變形階段臨界伸長(zhǎng)量；snt表示鍵最大拉伸臨界伸長(zhǎng)量；st表示鍵拉伸斷裂伸長(zhǎng)量，對(duì)應(yīng)PD鍵的斷裂。當(dāng)0 ＜s≤set時(shí)，鍵處在彈性變形階段，當(dāng)set＜s≤st時(shí)，鍵進(jìn)入非線性變形階段，此時(shí)鍵的損傷開始逐漸積累；當(dāng)s≥st時(shí)，鍵斷裂。在準(zhǔn)靜態(tài)荷載情況下，鍵拉伸斷裂伸長(zhǎng)量可表示為st=αft/E，鍵的斷裂意味著裂紋的形成。因此，受拉荷載下Q345鋼線性變形和非線性變形階段的本構(gòu)力函數(shù)基本形式可表示為

將式（19）代入式（20），可得含裂紋損傷Q345鋼拉伸斷裂的雙參數(shù)PD非線性本構(gòu)力函數(shù)表達(dá)式：

在交變荷載情況下，PD 疲勞裂紋的擴(kuò)展仍采用上述改進(jìn)的PD 計(jì)算方法，但是鍵疲勞斷裂準(zhǔn)則取代準(zhǔn)靜態(tài)荷載下的斷裂準(zhǔn)則。在疲勞斷裂準(zhǔn)則中，單次的荷載無法直接產(chǎn)生鍵斷裂效應(yīng)，通過對(duì)模型的一次準(zhǔn)靜態(tài)分析來處理一次荷載循環(huán)，得到這一次荷載循環(huán)中鍵的損傷量。隨著交變荷載循環(huán)次數(shù)的增加，鍵的損傷逐步累積，當(dāng)達(dá)到一定的條件時(shí)，鍵斷裂，從而得到疲勞裂紋的萌生和擴(kuò)展。因此，可賦予每個(gè)鍵“剩余壽命”λ的概念，其初始值與循環(huán)荷載次數(shù)N的關(guān)系[19]如下：

式中：ε為鍵伸長(zhǎng)率的變化值；smax和smin分別為一次加載過程中鍵伸長(zhǎng)率的最大值和最小值，通過準(zhǔn)靜態(tài)分析得到；R為應(yīng)力比；A和p均為可通過實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合得到的待定常數(shù)。PD 采用標(biāo)量函數(shù)μ來表達(dá)鍵的損傷情況[12]，鍵未發(fā)生斷裂時(shí)，μ=1；鍵斷裂時(shí)，兩個(gè)物質(zhì)點(diǎn)相互作用永久消失，此時(shí)μ=0。交變荷載情況下，在標(biāo)量函數(shù)μ中引入“剩余壽命”λ參數(shù)，將μ改寫為

為了表征任意質(zhì)點(diǎn)位置處的損傷程度，可基于標(biāo)量函數(shù)μ定義每個(gè)質(zhì)點(diǎn)的損傷指數(shù)ψ，當(dāng)ψ=0時(shí)表示材料未發(fā)生損傷，ψ=1時(shí)表示材料完全損傷，可表示為

3 誤差分析

為了驗(yàn)證提出的改進(jìn)雙參數(shù)PD 模型的計(jì)算精度，通過數(shù)值解與解析解進(jìn)行對(duì)比分析。采用長(zhǎng)1 m、寬0.5 m 的長(zhǎng)方形薄板，彈性模量E=200 GPa，密度ρ=7850 kg/m3，幾何參數(shù)和材料參數(shù)除泊松比外，與Madenci 等[20]采用的誤差分析算例相同，薄板被離散為100×50 個(gè)物質(zhì)點(diǎn)，物質(zhì)點(diǎn)間距Δ=0.1 mm，鄰域半徑δ=3.015Δ，沿矩形短邊施加的單軸應(yīng)力荷載為p=200 MPa，應(yīng)力邊界條件的施加方式是從薄板邊界區(qū)域上以體力密度的形式施加在板內(nèi)物質(zhì)點(diǎn)上。因?yàn)殡p參數(shù)PD 模型能夠突破傳統(tǒng)BPD模型固定泊松比的限制，該算例取材料泊松比ν等于0.1、0.15、0.2、0.25、0.3、1/3分別進(jìn)行計(jì)算。

根據(jù)彈性力學(xué)基本理論，二維平面x和y位移解析解計(jì)算公式為ux(x,y=0)=px/E，uy(x= 0,y) =-νpy/E。x和y位移的數(shù)值解ux*、uy*與解析解ux、uy的相對(duì)誤差計(jì)算公式為ex=(ux*-ux)/ux，ey=(uy*-uy)/uy，其中，ex、ey分別表示x和y位移的相對(duì)誤差。

當(dāng)泊松比ν=0.3 時(shí)，改進(jìn)的雙參數(shù)PD 模型與Prakash 等[15]原雙參數(shù)PD 模型計(jì)算的薄板沿受力x方向的誤差位移云圖如圖2所示。由圖可知，改進(jìn)的雙參數(shù)PD 模型沿受力方向的數(shù)值解與解析解的最大相對(duì)誤差為1.85%，而原雙參數(shù)PD模型最大相對(duì)誤差為2.44%。薄板內(nèi)部的相對(duì)誤差也從0.43%提升到了0.1%。

圖2 雙參數(shù)PD模型相對(duì)誤差云圖Fig.2 Contours of two-parameter PD model relative errors

圖3 給出了泊松比ν分別取0.1、0.15、0.2、0.25、0.3、1/3情況下的兩種雙參數(shù)PD 模型沿薄板受力方向的最大相對(duì)誤差。由圖3 可知，無論材料泊松比取何值，改進(jìn)的雙參數(shù)PD 模型總能進(jìn)一步提高計(jì)算精度，減少誤差；并且隨著材料泊松比的增大，計(jì)算誤差有逐漸增大的趨勢(shì)，但最大的相對(duì)誤差也僅有2.54%，此時(shí)泊松比ν=1/3。

圖3 不同泊松比情況下兩種雙參數(shù)PD模型的最大相對(duì)誤差Fig.3 Maximum relative errors of two two-parameter PD models with different Poisson's ratios

4 含損傷缺陷Q345鋼裂紋擴(kuò)展模擬

為了驗(yàn)證改進(jìn)的非線性雙參數(shù)PD 方法，將試驗(yàn)結(jié)果和數(shù)值模擬仿真得到的裂紋擴(kuò)展結(jié)果進(jìn)行對(duì)比分析。采用幾何參數(shù)和材料參數(shù)與文獻(xiàn)[7-8]相同的低合金高強(qiáng)度Q345 結(jié)構(gòu)鋼，有效幾何尺寸長(zhǎng)度、寬度和厚度分別為70 mm、40 mm 和4 mm，試件雙邊緣預(yù)制穿透型裂紋，裂紋寬度為2 mm，如圖4 所示。材料彈性模量E=203 GPa，泊松比ν=0.3，質(zhì)量密度ρ=7850 kg/m3，極限抗拉強(qiáng)度ft=572 MPa，將試件進(jìn)行離散，取物質(zhì)點(diǎn)間距Δ=0.5 mm，鄰域半徑δ=3.015Δ。整個(gè)模擬過程中在試件短邊采用位移加載，每一個(gè)加載步在試件兩端施加一個(gè)增量為Δu=1.5×10-7mm 的位移，為了得到每一步位移的穩(wěn)態(tài)解，采用動(dòng)態(tài)松弛法[20]，時(shí)間步長(zhǎng)取Δt=1.0。最大拉伸臨界伸長(zhǎng)量與材料抗拉強(qiáng)度相關(guān)，snt=ft/E=2.82×10-3。通過PD 數(shù)值計(jì)算方法，以程序設(shè)計(jì)的方式實(shí)現(xiàn)了對(duì)該材料破壞的模擬。

圖4 預(yù)制雙邊裂紋的Q345鋼試件示意圖Fig.4 Sketch of the Q345 steel specimen with double-edge notch

4.1 不同裂紋間距雙邊裂紋擴(kuò)展分析

在本節(jié)中，試件的雙邊預(yù)制裂紋互相平行，雙裂紋長(zhǎng)度l1=l2=10 mm，α=0°，裂紋縱向間距d分別為0 mm、10 mm和20 mm。

圖5 展示了d為10 mm 和20 mm 時(shí)Q345 鋼試件的裂紋擴(kuò)展模式。由圖5（a）可知，d=10 mm 時(shí)，試件在t=2100 時(shí)間步雙預(yù)制缺陷尖端開始起裂，裂紋沿垂直加載方向生長(zhǎng)，到達(dá)t=2900 時(shí)，兩尖端的水平距離和豎向距離接近相等，裂紋改變擴(kuò)展方向，沿與水平方向大約45°方向擴(kuò)展，至t=3700 時(shí)，最終雙裂紋串接，試件被拉斷。由圖5（b）可知，d=20 mm 時(shí)，試件在t=2230 時(shí)間步雙缺陷尖端開始起裂，試件裂紋單獨(dú)沿垂直加載方向一直擴(kuò)展，雙裂紋互不影響，不發(fā)生交匯，各自擴(kuò)展至試件邊緣，至t=5550 時(shí)間步，最終斷裂破壞。由模擬可知，隨著裂紋間距的增大，雙邊裂紋從開始擴(kuò)展至完全破壞的時(shí)間有逐漸增大的趨勢(shì)。

圖5 不同裂紋間距的試件裂紋擴(kuò)展示意圖Fig.5 Crack propagation of specimens with different crack distances

圖6展示了采用本文改進(jìn)雙參數(shù)PD方法和Zhao等[21]采用態(tài)基PD方法模擬的裂紋間距分別為d=0 mm，d=10 mm 和d=20 mm 時(shí)的Q345 鋼試件的最終斷裂形態(tài)；圖7 展示了試驗(yàn)試件的三種裂紋間距的預(yù)制缺陷布置形式和拉伸斷裂試驗(yàn)結(jié)果。對(duì)比可知，PD 數(shù)值模擬仿真得到的裂紋啟裂位置、擴(kuò)展方向以及最終破壞形態(tài)與試樣試驗(yàn)產(chǎn)生的結(jié)果保持了很好的一致性；與Zhao等[21]采用態(tài)基PD模擬的拉伸斷裂結(jié)果也吻合較好。證明了提出的雙參數(shù)PD 模型用于含損傷缺陷的Q345鋼的裂紋擴(kuò)展和拉伸斷裂破壞分析是可行的。

圖6 不同裂紋間距Q345鋼裂紋生長(zhǎng)路徑的兩種數(shù)值模擬結(jié)果對(duì)比Fig.6 Comparison of numerical simulation results of Q345 steel with different crack distances by two PD methods

圖7 不同裂紋間距Q345鋼的裂紋布置形式和拉伸斷裂試驗(yàn)結(jié)果［7］Fig.7 Experimental results of Q345 steel specimens with different crack distances

4.2 不同裂紋長(zhǎng)度雙邊裂紋擴(kuò)展分析

在本節(jié)中，試件的雙邊預(yù)制裂紋位于試件的中軸線上，雙裂紋間距d=0 mm，α=0°，裂紋長(zhǎng)度分別為l1=l2=5 mm，l1=5 mm、l2=10 mm和l1=l2=10 mm。

圖8 展示了l1=l2=5 mm 和l1=5 mm、l2=10 mm 時(shí)Q345鋼試件的裂紋擴(kuò)展模式。由圖8（a）可知，l1=l2=5 mm 時(shí)，試件在t=2400時(shí)間步雙預(yù)制缺陷尖端開始起裂，雙裂紋沿垂直加載方向?qū)ΨQ擴(kuò)展，至t=3700 時(shí)裂紋進(jìn)一步水平生長(zhǎng)，到達(dá)t=4100 時(shí)，雙裂紋尖端在試件中心交匯。由圖8（b）可知，l1=5 mm、l2=10 mm時(shí)，試件在t=2100時(shí)間步l2裂紋率先萌發(fā)并沿垂直加載的方向擴(kuò)展，之后l1裂紋擴(kuò)展，至t=3200時(shí)，l2裂紋率先到達(dá)試件中心位置，最后至t=3700，雙裂紋在靠近l1裂紋尖端附近交匯并貫穿整個(gè)試件。由模擬可知，當(dāng)雙邊裂紋對(duì)稱布置時(shí)，在荷載作用下，裂紋對(duì)稱擴(kuò)展；對(duì)稱裂紋越長(zhǎng)，試件有更早破壞的趨勢(shì)；當(dāng)雙邊裂紋非對(duì)稱布置時(shí)，裂紋首先沿預(yù)制缺陷更長(zhǎng)的一側(cè)擴(kuò)展，然后在短邊預(yù)制裂紋處交匯貫通。

圖8 不同裂紋長(zhǎng)度的試件裂紋擴(kuò)展示意圖Fig.8 Crack propagation of specimens with different crack lengths

圖9 展示了采用本文改進(jìn)雙參數(shù)PD 方法和試驗(yàn)方法獲得的三種不同雙裂紋長(zhǎng)度l1=l2=5 mm，l1=5 mm、l2=10 mm和l1=l2=10 mm的裂紋生長(zhǎng)路徑。在模擬過程中，當(dāng)裂紋尖端的損傷值接近1時(shí)，物質(zhì)點(diǎn)間的PD 力消失，裂紋沿垂直加載方向擴(kuò)展，隨著荷載的增加，損傷部位逐漸擴(kuò)大，最終貫穿整個(gè)試件。通過圖9（a）和9（b）對(duì)比可知，數(shù)值模擬和試驗(yàn)結(jié)果的裂紋擴(kuò)展路徑保持一致。

圖9 不同裂紋長(zhǎng)度Q345鋼裂紋生長(zhǎng)路徑的數(shù)值模擬和試驗(yàn)結(jié)果對(duì)比Fig.9 Comparison of numerical and experimental results of Q345 steel with different crack lengths

4.3 不同裂紋角度雙邊裂紋擴(kuò)展分析

在本節(jié)中，試件的雙邊分別預(yù)制水平裂紋和斜裂紋，雙裂紋長(zhǎng)度l1=10 mm，l2=10 mm，裂紋縱向間距d=10 mm。試件傾斜裂紋角度分別為α=30°，α=45°和α=60°。

圖10（a）展示了α=30°時(shí)Q345 鋼試件在t為2220、2950 和4050 時(shí)間步的裂紋擴(kuò)展模式；圖10（b）展示了α=60°時(shí)Q345鋼試件在t為2150、3100和4120時(shí)間步的裂紋擴(kuò)展模式。兩種試件的裂紋擴(kuò)展模式和最終破壞模式相似，首先，裂紋從預(yù)制傾斜裂紋的尖端擴(kuò)展，隨后，預(yù)制水平裂紋的尖端開始擴(kuò)展，雙裂紋沿垂直加載方向生長(zhǎng)，當(dāng)兩尖端的水平距離和豎向距離接近相等時(shí)，裂紋改變擴(kuò)展方向，沿與水平方向大約45°方向擴(kuò)展，最終雙裂紋串接，試件被拉斷。由于預(yù)制裂紋傾角的改變并沒有改變雙邊預(yù)制裂尖的間距，因此裂紋角度的增大，對(duì)裂紋擴(kuò)展模式和試件整體貫通時(shí)間并無較大影響。

圖10 不同裂紋角度的試件裂紋擴(kuò)展示意圖Fig.10 Crack propagation of specimens with different crack angles

圖11展示了采用本文改進(jìn)雙參數(shù)PD方法和試驗(yàn)方法獲得的三種不同雙裂紋角度α=30°，α=45°和α=60°時(shí)的試件破壞形態(tài)。對(duì)比可知，PD 數(shù)值結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果保持了很好的一致性，但也存在一定差異。主要原因在于：PD 理論認(rèn)為材料是理想均勻各向同性的，而試樣實(shí)際上存在非均勻性和成分性能等差異；其次，PD 理論是從宏觀尺度來描述材料破壞，未從材料的微觀和細(xì)觀尺度分析原子分子、自身存在的微孔洞、微裂紋及晶界對(duì)材料破壞的影響[18]。

圖11 不同裂紋角度Q345鋼裂紋生長(zhǎng)路徑的數(shù)值模擬和試驗(yàn)結(jié)果對(duì)比Fig.11 Comparison of numerical and experimental results of Q345 steel with different crack angles

4.4 交變荷載下中心斜裂紋板的裂紋擴(kuò)展模擬

采用本文PD 模型對(duì)文獻(xiàn)[22-23]中斜裂紋板的疲勞裂紋擴(kuò)展進(jìn)行模擬。試件尺寸為300 mm×100 mm×2 mm，中心有一穿透斜裂紋，裂紋長(zhǎng)度為10 mm，與垂直中心線的夾角為60°，彈性模量E=72 GPa，泊松比ν=0.3。平板上下預(yù)留夾持端并施加拉—拉交變荷載，最大應(yīng)力σmax=70 MPa，應(yīng)力比R=0.1，將其簡(jiǎn)化為平面應(yīng)力問題并建立PD疲勞模型，物質(zhì)點(diǎn)間距Δ=1mm，δ=3.015Δ，共計(jì)29 988個(gè)真實(shí)物質(zhì)點(diǎn)，在板頂端一層物質(zhì)點(diǎn)上施加70 MPa的最大循環(huán)載荷，對(duì)平板下端3層物質(zhì)點(diǎn)的位移進(jìn)行約束，采用與文獻(xiàn)[23]相同的模型參數(shù)和最大循環(huán)加載次數(shù)：模型參數(shù)A=6450，p=2.86，設(shè)置最大循環(huán)加載次數(shù)N=139 610。

使用本文改進(jìn)的PD 模型，對(duì)交變荷載下斜裂紋板內(nèi)疲勞裂紋擴(kuò)展進(jìn)行模擬，裂紋擴(kuò)展路徑結(jié)果如圖12（a）所示，疲勞裂紋自中心斜裂紋兩尖端處向兩側(cè)擴(kuò)展，且兩側(cè)裂紋擴(kuò)展路徑均近似呈一水平直線。圖12（b）-（d）分別展示了采用擴(kuò)展有限元法（XFEM）[22]、態(tài)基PD 方法[23]的模擬結(jié)果和試驗(yàn)結(jié)果[22]。對(duì)比圖12（a）與圖12（b）-（d）可得，本文模擬結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果和文獻(xiàn)模擬結(jié)果的裂紋擴(kuò)展路徑基本一致。在相同循環(huán)加載次數(shù)下，將中心斜裂紋左右兩尖端的擴(kuò)展長(zhǎng)度與初始裂紋長(zhǎng)度相加，得到疲勞裂紋總長(zhǎng)度a與循環(huán)荷載次數(shù)N的a-N曲線，將其與試驗(yàn)結(jié)果[22]和已有文獻(xiàn)結(jié)果[22-23]進(jìn)行比較（圖13），結(jié)果吻合較好，證明了本文PD模型模擬交變荷載情況下裂紋擴(kuò)展的準(zhǔn)確性。

圖12 交變荷載下試件裂紋擴(kuò)展路徑的數(shù)值模擬和試驗(yàn)及文獻(xiàn)結(jié)果對(duì)比Fig.12 Comparison of numerical and experimental results of specimen under alternating load

圖13 荷載循環(huán)次數(shù)與裂紋長(zhǎng)度的關(guān)系Fig.13 Relationship between the number of load cycles and the crack lengths

5 結(jié) 論

近場(chǎng)動(dòng)力學(xué)理論采用積分方程替代傳統(tǒng)微分方程從而避免了在不連續(xù)處產(chǎn)生的奇異性問題且不存在網(wǎng)格依賴性，特別適用于研究材料破壞問題。本文基于Prakash 等[15]提出的PD 方法，通過引入長(zhǎng)程力函數(shù)修正非線性損傷模型，提出了適用于含裂紋缺陷Q345 鋼裂紋擴(kuò)展的雙參數(shù)PD 模型。通過誤差分析、準(zhǔn)靜態(tài)荷載和交變荷載情形下含初始缺陷鋼構(gòu)件的裂紋擴(kuò)展和斷裂模擬分析，得出以下結(jié)論：

（1）改進(jìn)的雙參數(shù)PD 模型減小了原始模型的計(jì)算誤差，并且發(fā)現(xiàn)，隨著材料泊松比的增大，數(shù)值解與解析解的相對(duì)誤差有增大的趨勢(shì)。

（2）準(zhǔn)靜態(tài)荷載下，PD數(shù)值模擬的裂紋開裂位置、擴(kuò)展方向和最終破壞路徑與試驗(yàn)結(jié)果和其它數(shù)值方法所得模擬結(jié)果吻合較好；交變荷載下，PD 數(shù)值模擬的裂紋擴(kuò)展長(zhǎng)度與循環(huán)荷載次數(shù)的關(guān)系與試驗(yàn)結(jié)果和已有文獻(xiàn)數(shù)值結(jié)果保持一致；證明了本文提出模型對(duì)含缺陷的Q345鋼進(jìn)行裂紋擴(kuò)展分析的適用性和準(zhǔn)確性。

（3）在一定條件下，試件的破壞形態(tài)與預(yù)制缺陷的相對(duì)位置有關(guān)，而初始裂紋缺陷的長(zhǎng)度和角度對(duì)最終裂紋擴(kuò)展路徑影響雖不大，但對(duì)試件整體貫通破壞時(shí)間產(chǎn)生一定的影響。