部分浸沒(méi)充液無(wú)限長(zhǎng)圓柱殼聲輻射特性研究

王文濤，王 斌，范 軍，周富霖

（上海交通大學(xué)海洋工程國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室高新船舶與深海開(kāi)發(fā)裝備協(xié)同創(chuàng)新中心，上海 200240）

0 引 言

殼體是工程應(yīng)用中的常見(jiàn)結(jié)構(gòu)，例如系泊的潛艇、水面艦船、油氣運(yùn)輸管道等均可簡(jiǎn)化為部分浸沒(méi)的充液圓柱殼。近些年來(lái)，單層圓柱殼、雙層圓柱殼[1]和內(nèi)部加肋圓柱殼[2]等的聲振特性被廣泛研究，但是大多聚焦在全無(wú)限流體域中，忽略了自由液面邊界的影響，因此本文開(kāi)展部分浸沒(méi)充液圓柱殼的研究，重點(diǎn)關(guān)注浸沒(méi)深度和充液高度對(duì)其輻射聲場(chǎng)的影響。

在現(xiàn)有研究中，Salaün[3]建立了半浸沒(méi)狀態(tài)下無(wú)限長(zhǎng)圓柱殼聲輻射的解析模型，研究表明自由液面對(duì)半浸沒(méi)圓柱殼輻射聲場(chǎng)具有重要影響；王斌等[4]研究了半浸沒(méi)無(wú)限長(zhǎng)圓柱殼的振動(dòng)和聲輻射特性，通過(guò)對(duì)比激勵(lì)力位于液面上方及下方時(shí)殼體的均方振速和輻射聲功率，得出殼體均方振速受激勵(lì)力位置影響較小的結(jié)論；葉文兵[5]基于Flügge薄殼理論建立了半潛無(wú)限長(zhǎng)圓柱殼振動(dòng)和聲輻射的解析模型，將殼體周圍流體域近似為扇形，得到了部分浸沒(méi)圓柱殼振動(dòng)的近似理論模型，這些工作為后續(xù)研究部分浸沒(méi)圓柱殼的振動(dòng)和聲特性奠定了理論基礎(chǔ)。當(dāng)殼體部分浸沒(méi)時(shí)，殼體與流體之間的耦合面會(huì)隨著浸沒(méi)深度變化，嚴(yán)格解析解較難獲得，大多采用數(shù)值仿真計(jì)算方法，因此Ergin[6]和Adams[7]等利用有限元方法討論了部分浸沒(méi)在流體中的圓柱殼自由振動(dòng)特性。關(guān)于部分浸沒(méi)真空?qǐng)A柱殼的聲輻射研究已較為成熟，而針對(duì)內(nèi)部充液圓柱殼的研究，Li[8]通過(guò)波數(shù)域方法研究了半浸沒(méi)全充液圓柱殼在流動(dòng)的流體中的聲輻射特性，并指出輻射聲場(chǎng)與激勵(lì)點(diǎn)位置、流體流速和殼體厚度有關(guān)；林子欽等[9]利用附帶水質(zhì)量法討論了部分浸沒(méi)充液圓柱殼的自由振動(dòng)特性。但是上述工作對(duì)于殼體中彈性波的研究大多聚焦在定量分析而未對(duì)其機(jī)理進(jìn)行深入討論。

本文首先利用有限元軟件COMSOL 建立半充液無(wú)限長(zhǎng)圓柱殼和半浸沒(méi)無(wú)限長(zhǎng)圓柱殼的仿真模型。然后，為了研究殼體浸沒(méi)深度變化對(duì)輻射特性的影響，計(jì)算了半充液無(wú)限長(zhǎng)圓柱殼輻射聲壓的頻率-浸沒(méi)深度譜，為了研究殼體充液高度對(duì)輻射特性的影響，計(jì)算了半浸沒(méi)無(wú)限長(zhǎng)圓柱殼輻射聲壓的頻率-充液高度譜?？紤]到在后續(xù)的研究中方便與現(xiàn)有實(shí)際模型對(duì)比，計(jì)算參數(shù)取殼體中面半徑a=0.1365 m，厚度hs=0.004 m，材料為鋼，密度ρs=7850 kg/m3，楊氏模量Es=1.94201×1011Pa，泊松比σs=0.25；水介質(zhì)密度ρf=1000 kg/m3，聲速cf=1500 m/s，結(jié)果中呈現(xiàn)出兩種不同的輻射共振亮線。最后，通過(guò)對(duì)殼體中彈性環(huán)繞波的激發(fā)、傳播路徑以及輻射的研究，分析了共振現(xiàn)象的產(chǎn)生機(jī)理，并給出共振頻率的預(yù)報(bào)公式。

1 仿真建模

假設(shè)圓柱殼為彈性薄殼，沿軸向無(wú)限長(zhǎng)，頂部施加軸向線激勵(lì)F。以殼體截面圓心為原點(diǎn)建立柱坐標(biāo)系(r,φ,z)，其中φ的取值范圍為0到2π。

對(duì)于部分浸沒(méi)半充液無(wú)限長(zhǎng)圓柱殼，其浸沒(méi)深度動(dòng)態(tài)變化，引入?yún)⒘縣表示殼體底部與外部流體液面間的距離，仿真模型示意圖如圖1所示。

圖1 部分浸沒(méi)半充液圓柱殼仿真模型示意圖Fig.1 Simulation model of partially-immersed semi-filled cylindrical shell

為了方便對(duì)計(jì)算結(jié)果的觀測(cè)，引入歸一化浸沒(méi)深度H，令H=(h-a)/a。當(dāng)殼體下表面剛剛接觸外部流體自由液面時(shí)H=-1；當(dāng)殼體恰好完全浸沒(méi)于殼體外部流體時(shí)H=1。因此當(dāng)H的變化范圍為-1～1 時(shí)表示殼體連續(xù)下潛的過(guò)程。遠(yuǎn)場(chǎng)輻射聲壓觀察點(diǎn)取在殼體正橫位置的正下方100 m 處(r=-100,φ= 3π 2,z= 0)。力源激勵(lì)頻率范圍為20～5000 Hz。

在COMSOL 軟件中添加二維軸對(duì)稱幾何，并設(shè)置上文所述參數(shù)和相應(yīng)的區(qū)域以及邊界條件，建模結(jié)果如圖2所示。

圖2 部分浸沒(méi)半充液無(wú)限長(zhǎng)圓柱殼建模結(jié)果Fig.2 Modeling result of partially-immersed semi-filled infinite cylindrical shell

然后掃描歸一化浸沒(méi)深度和激勵(lì)頻率，可以得到不同浸沒(méi)深度下圓柱殼遠(yuǎn)場(chǎng)輻射聲壓的頻譜結(jié)果，最終可得到殼體遠(yuǎn)場(chǎng)輻射聲壓的頻率-浸沒(méi)深度譜。

對(duì)于半浸沒(méi)部分充液無(wú)限長(zhǎng)圓柱殼，建立相同的殼體結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系，如圖3所示。

圖3 半浸沒(méi)部分充液圓柱殼仿真模型示意圖Fig.3 Simulation model of semi-immersed partially-filled cylindrical shell

殼體內(nèi)部充液高度為d，為了方便對(duì)計(jì)算結(jié)果的觀測(cè)，引入歸一化充液高度D，令D=(d-a)/a。當(dāng)殼體內(nèi)部真空時(shí)D=-1，當(dāng)殼體內(nèi)部完全充液時(shí)D=1。因此當(dāng)D的變化范圍為-1～1 時(shí)表示殼體連續(xù)充液的過(guò)程。

在COMSOL軟件中采用類似的建模方法，得到的結(jié)果如圖4所示。

圖4 半浸沒(méi)部分充液無(wú)限長(zhǎng)圓柱殼建模結(jié)果Fig.4 Modeling result of semi-immersed partially-filled infinite cylindrical shell

通過(guò)掃描歸一化充液高度和激勵(lì)頻率，可以得到不同充液高度下圓柱殼遠(yuǎn)場(chǎng)輻射聲壓的頻譜結(jié)果，最終得到殼體遠(yuǎn)場(chǎng)輻射聲壓的頻率-充液高度譜。

上述兩種工況的模型計(jì)算均屬于振動(dòng)問(wèn)題，在COMSOL 計(jì)算過(guò)程中只掃描參數(shù)的變化，原理相同。

2 半充液圓柱殼浸沒(méi)深度對(duì)聲輻射特性的影響研究

本章主要研究半充液圓柱殼輻射聲場(chǎng)隨浸沒(méi)深度的變化規(guī)律，通過(guò)對(duì)輻射聲壓的頻率-浸沒(méi)深度譜的分析，基于彈性環(huán)繞波理論對(duì)結(jié)果中呈現(xiàn)出的共振現(xiàn)象做出機(jī)理解釋。

基于第1章仿真模型和計(jì)算方法可以得到半充液圓柱殼輻射聲壓的頻率-浸沒(méi)深度譜，結(jié)果如圖5 所示。其中：顏色代表聲壓幅值，單位為Pa；縱軸為圓柱殼歸一化浸沒(méi)深度H；橫軸為力源激勵(lì)頻率f。

圖5中呈現(xiàn)出兩種明顯特征：一是存在一系列規(guī)律分布且大致平行的傾斜亮線，這是由殼體內(nèi)彎曲波a0輻射共振產(chǎn)生的[10]；二是存在兩段獨(dú)立分布的共振亮線，如圖中紅色虛線框標(biāo)注所示，說(shuō)明殼體內(nèi)還存在其他形式的波。兩種特征均與激勵(lì)頻率以及浸沒(méi)深度有關(guān)。

首先分析a0波的輻射共振規(guī)律，a0波在殼體中的傳播速度分為兩種情況：一是殼外流體液面低于充液液面，如圖6所示；二是殼外流體液面高于充液液面，如圖7所示。

圖6 部分浸沒(méi)半充液圓柱殼彎曲波傳播路徑情況一：外部流體低于充液高度Fig.6 Propagation path of bending wave of semi-filled cylindrical shell with the liquid level higher than external fluid level

圖7 部分浸沒(méi)半充液圓柱殼彎曲波傳播路徑情況二：外部流體高于充液高度Fig.7 Propagation path of bending wave of semi-filled cylindrical shell with the liquid level lower than external fluid level

對(duì)于情況一，圓柱殼浸沒(méi)在水中，殼體外部與水面交于A1、B1兩點(diǎn)，殼體內(nèi)部與水面交于A2、B2兩點(diǎn)。以順時(shí)針傳播為例，a0波的路徑為A1—＞A2—＞B2—＞B1—＞A1，會(huì)途經(jīng)殼體兩側(cè)均為真空的部分（A2—＞B2）、殼體外部真空內(nèi)部充液部分（A1—＞A2、B2—＞B1）和殼體兩側(cè)均為水的部分（B1—＞A1）。設(shè)a0波在其中的相速度分別為。根據(jù)不同部分傳播的相速度，可以得到共振頻率的預(yù)報(bào)公式：

隨著殼體浸沒(méi)深度的增加，θ1逐漸減小，共振頻率f逐漸減小，所以共振峰隨著浸沒(méi)深度的增加向低頻方向傾斜，在頻率-浸沒(méi)深度譜上呈現(xiàn)出從左上到右下的共振亮線。

對(duì)于情況二，殼體外部與水面交于A4、B4兩點(diǎn)，殼體內(nèi)部與水面交于A3、B3兩點(diǎn)。同樣以順時(shí)針傳播為例，a0波的路徑為A4—＞B4—＞B3—＞A3—＞A4，會(huì)途經(jīng)殼體兩側(cè)均為真空的部分、殼體外部浸水內(nèi)部真空部分（B4—＞B3、A3—＞A4）和殼體兩側(cè)均為水的部分。設(shè)a0波在B4—＞B3、A3—＞A4段傳播的相速度為，由此可以得到共振頻率的預(yù)報(bào)公式：

隨著殼體浸沒(méi)深度的增加，θ2逐漸增大，共振頻率f逐漸減小，共振峰分布向低頻傾斜。

由于浸沒(méi)狀態(tài)下的充液圓柱殼頻散曲線較難獲得，且a0波在圓柱殼中的傳播速度與在平板中的傳播速度相似，可通過(guò)相同材料、相同厚度的板中波的相速度頻散曲線預(yù)報(bào)輻射共振。通過(guò)譜方法計(jì)算兩側(cè)真空的鋼板、一側(cè)真空一側(cè)水的鋼板和兩側(cè)均為水的鋼板等三種工況的頻散曲線，結(jié)果如圖8所示。

圖8 不同工況鋼板的相速度頻散曲線Fig.8 Phase velocity dispersion curve of different steel plates

圖中橫軸表示激勵(lì)頻率，縱軸表示不同工況鋼板中a0波波速與水中聲速的比值。黑色實(shí)線表示兩側(cè)均為真空的鋼板中a0波相速度頻散曲線（c值），紅色虛線表示一側(cè)真空一側(cè)為水的鋼板中a0波的相速度頻散曲線值），藍(lán)色點(diǎn)劃線表示兩側(cè)均為水的鋼板中a0波的相速度頻散曲線（c值）?；陬A(yù)報(bào)公式和頻散曲線，將計(jì)算出的預(yù)報(bào)結(jié)果添加至輻射聲壓的頻率-浸沒(méi)深度譜中，結(jié)果如圖9所示。

圖9 a0波共振預(yù)報(bào)結(jié)果與數(shù)值計(jì)算結(jié)果對(duì)比Fig.9 Comparison between the prediction results and the numerical results of a0 wave resonance

圖中白色虛線即為預(yù)報(bào)結(jié)果，可以看出預(yù)報(bào)結(jié)果與數(shù)值仿真計(jì)算結(jié)果中的亮線吻合得很好，說(shuō)明導(dǎo)出的預(yù)報(bào)公式能夠準(zhǔn)確地解釋共振現(xiàn)象。此外，聲壓的頻率-浸沒(méi)深度譜中除了a0波貢獻(xiàn)的傾斜條紋外，還存在獨(dú)立分布的共振亮條紋，這是由于殼體內(nèi)被激發(fā)出的一系列流體附加波導(dǎo)致的。流體附加波只在殼體內(nèi)表面流體中往返傳播[11]，路徑如圖10 中白色曲線所示。

圖10 流體附加波傳播路徑Fig.10 Propagation path of fluid additional wave

可見(jiàn)流體附加波往返傳播會(huì)激發(fā)較強(qiáng)的輻射共振，為了導(dǎo)出共振頻率的預(yù)報(bào)公式，需要計(jì)算半充液圓柱殼中各種波的相速度頻散曲線。已知?dú)んw浸沒(méi)對(duì)流體附加波的傳播影響很小[12]，因此本章僅針對(duì)外部真空狀態(tài)下的半充液圓柱殼模型展開(kāi)計(jì)算，為了避免手動(dòng)插值造成結(jié)果不準(zhǔn)確，采用COMSOL 仿真計(jì)算求解，結(jié)果如圖11所示。

圖11 半充液圓柱殼中流體附加波相速度頻散曲線Fig.11 Phase velocity dispersion curve of fluid additional wave in semi-liquid filled cylindrical shell

圖中橫軸表示激勵(lì)頻率，縱軸表示真空中半充液圓柱殼內(nèi)流體附加波Fi的波速與水中聲速的比值。在研究頻段內(nèi)，起主要貢獻(xiàn)作用的是低階流體附加波F0和F1。由于殼體內(nèi)部恒為半充液，因此共振頻率的預(yù)報(bào)公式為

圖12 流體附加波共振預(yù)報(bào)結(jié)果與數(shù)值計(jì)算結(jié)果對(duì)比Fig.12 Comparison of prediction results and numerical calculation results of fluid additional wave resonance

圖12 中紅色虛線表示F0波激發(fā)的共振峰，紅色“*”線表示F1波激發(fā)的共振峰。趨勢(shì)吻合說(shuō)明推導(dǎo)的預(yù)報(bào)公式可以預(yù)報(bào)輻射聲壓的頻率-浸沒(méi)深度譜中的共振現(xiàn)象。但是在數(shù)值計(jì)算結(jié)果中，當(dāng)H在-1～0 范圍內(nèi)變化時(shí)，流體附加波的輻射很弱，起主要貢獻(xiàn)作用的是F0波，相速度幾乎不變，表現(xiàn)為不隨浸沒(méi)深度變化的共振條紋；當(dāng)H在0～1 范圍內(nèi)變化時(shí)，起主要貢獻(xiàn)作用的是F1波，表現(xiàn)為隨浸沒(méi)深度變化的彎曲亮條紋，其中的原因有待進(jìn)一步研究。

3 半浸沒(méi)圓柱殼內(nèi)部充液對(duì)聲輻射特性的影響研究

接下來(lái)研究半浸沒(méi)圓柱殼輻射聲場(chǎng)隨殼體內(nèi)部充液高度的變化規(guī)律，通過(guò)對(duì)輻射聲壓的頻率-充液高度譜的分析對(duì)呈現(xiàn)出的共振現(xiàn)象做出機(jī)理解釋。

采用相同計(jì)算參數(shù)，得到半浸沒(méi)圓柱殼輻射聲壓的頻率-充液高度譜，結(jié)果如圖13所示。其中顏色代表聲壓幅值，單位為Pa；縱軸為圓柱殼歸一化充液高度D；橫軸為力源激勵(lì)頻率f。

圖13 半浸沒(méi)圓柱殼輻射聲壓頻率-充液高度譜Fig.13 Frequency height spectrum of radiated sound pressure of semi-immersed cylindrical shell

從圖13 中可以觀察到一系列規(guī)律分布的由a0波激發(fā)的共振峰和一條獨(dú)立的由Fi波激發(fā)的共振峰。首先分析a0波輻射共振機(jī)理，a0波的傳播也分為兩種情況：一是充液高度低于浸沒(méi)深度，如圖14所示；二是充液高度高于浸沒(méi)深度，如圖15所示。

圖14 半浸沒(méi)部分充液殼體彈性波傳播路徑情況一：充液高度低于浸沒(méi)深度Fig.14 Propagation path of elastic wave in partially-filled cylindrical shell with the lower filling height

圖15 半浸沒(méi)部分充液殼體彈性波傳播路徑情況二：充液高度高于浸沒(méi)深度Fig.15 Propagation path of elastic wave in partially-filled cylindrical shell with the higher filling height

對(duì)于情況一，圓柱殼半浸沒(méi)在水中，殼體外部與水面交于C2、D2兩點(diǎn)，殼體內(nèi)部與水面交于C1、D1兩點(diǎn)。以順時(shí)針傳播為例，a0波的路徑為C1—＞C2—＞D2—＞D1—＞C1，會(huì)途經(jīng)殼體兩側(cè)均為真空的部分、殼體外部浸水內(nèi)部真空部分和殼體兩側(cè)均為水的部分。根據(jù)不同部分傳播的相速度，可以得到共振頻率的預(yù)報(bào)公式：

隨著殼體浸沒(méi)深度的增加，γ1逐漸減小，共振頻率f逐漸減小，所以共振峰隨著浸沒(méi)深度的增加向低頻方向傾斜，在頻率-浸沒(méi)深度譜上呈現(xiàn)出從左上到右下的共振亮線。

對(duì)于情況二，殼體外部與水面交于C3、D3兩點(diǎn)，殼體內(nèi)部與水面交于C4、D4兩點(diǎn)。同樣以順時(shí)針傳播為例，a0波的路徑為C4—＞D4—＞D3—＞C3—＞C4，會(huì)途經(jīng)殼體兩側(cè)均為真空的部分、殼體外部真空內(nèi)部充液部分和殼體兩側(cè)均為水的部分，由此可以得到共振頻率的預(yù)報(bào)公式：

隨著殼體浸沒(méi)深度的增加，γ2逐漸增大，共振頻率f逐漸減小，共振峰分布向低頻傾斜。

由于預(yù)報(bào)公式中需要的a0波在不同部分的相速度均在圖5中給出，因此可直接對(duì)共振峰進(jìn)行預(yù)報(bào)，將預(yù)報(bào)結(jié)果添加至輻射聲壓的頻率-充液高度譜中，結(jié)果如圖16所示。

圖16 a0波共振預(yù)報(bào)結(jié)果與數(shù)值計(jì)算結(jié)果對(duì)比Fig.16 Comparison between the prediction results and the numerical results of a0 wave resonance

圖中白色曲線即為預(yù)報(bào)結(jié)果，可以看出預(yù)報(bào)結(jié)果與數(shù)值仿真計(jì)算結(jié)果中的亮線吻合得很好，說(shuō)明了預(yù)報(bào)公式的準(zhǔn)確性。接下來(lái)分析流體附加波的共振機(jī)理，其傳播路徑與上一章分析的類似，限于篇幅，在此不重復(fù)描述。計(jì)算外部真空全充液圓柱殼中各種波的相速度頻散曲線，結(jié)果如圖17所示。

圖17 全充液圓柱殼相速度頻散曲線Fig.17 Phase velocity dispersion curve of fully-filled shell

圖17中橫軸表示激勵(lì)頻率，縱軸表示真空中的全充液圓柱殼內(nèi)流體附加波Fi波速與水中聲速的比值?？梢?jiàn)在研究頻段內(nèi)，起主要貢獻(xiàn)作用的只有F0波，可得共振頻率的預(yù)報(bào)公式為

式中，β表示圖11 中OC1與OD1之間的夾角。將預(yù)報(bào)結(jié)果添加至輻射聲壓的頻率-充液高度譜中，結(jié)果如圖18所示。

圖18 流體附加波共振預(yù)報(bào)結(jié)果與數(shù)值計(jì)算結(jié)果對(duì)比Fig.18 Comparison of prediction results and numerical calculation results of fluid additional wave resonance

圖中紅色曲線即為F0波共振的預(yù)報(bào)結(jié)果。由頻散曲線易知，F(xiàn)0波相速度在研究頻段內(nèi)幾乎不變，表現(xiàn)在輻射聲壓的頻率-充液高度譜中為近似線性分布，吻合得很好。說(shuō)明了本章推導(dǎo)的預(yù)報(bào)公式能準(zhǔn)確地預(yù)報(bào)輻射聲壓的頻率-充液高度譜中的共振現(xiàn)象，同時(shí)解釋了流體附加波對(duì)殼體輻射聲場(chǎng)的影響規(guī)律。

4 結(jié) 論

本文分析了部分浸沒(méi)圓柱殼和部分充液圓柱殼輻射聲場(chǎng)的構(gòu)成，利用有限元軟件建立了部分浸沒(méi)半充液無(wú)限長(zhǎng)圓柱殼和半浸沒(méi)部分充液無(wú)限長(zhǎng)圓柱殼輻射的仿真模型，基于COMSOL 軟件計(jì)算得到輻射聲壓的頻率-浸沒(méi)深度/充液高度譜。通過(guò)殼體中各種波的相速度頻散曲線解釋了輻射聲場(chǎng)中呈現(xiàn)的輻射共振現(xiàn)象。得到如下結(jié)論：

（1）部分浸沒(méi)半充液無(wú)限長(zhǎng)圓柱殼和半浸沒(méi)部分充液無(wú)限長(zhǎng)圓柱殼輻射聲場(chǎng)均呈現(xiàn)出一系列規(guī)律分布的共振峰，這是由于殼體中彎曲波a0在不同部分的傳播速度不同導(dǎo)致的；

（2）部分浸沒(méi)半充液圓柱殼的輻射聲場(chǎng)中存在的獨(dú)立分布的共振峰，是由殼體內(nèi)低階流體附加環(huán)繞波F0和F1激發(fā)的，其分布規(guī)律與殼體浸沒(méi)深度有關(guān)；

（3）半浸沒(méi)部分充液圓柱殼的輻射聲場(chǎng)中存在的獨(dú)立共振峰則主要由F0波貢獻(xiàn)，在殼體輻射的頻率-充液高度譜中近似呈現(xiàn)線性分布規(guī)律；

（4）基于殼體中各種波的相速度頻散曲線推導(dǎo)出的頻率預(yù)報(bào)公式能夠準(zhǔn)確地預(yù)報(bào)聲場(chǎng)中出現(xiàn)的共振現(xiàn)象；

（5）經(jīng)過(guò)驗(yàn)證，當(dāng)殼體的厚徑比改變時(shí)，共振頻點(diǎn)間隔隨之改變，但是分布規(guī)律以及產(chǎn)生的機(jī)理相同，因此本文結(jié)論具有普適性。