關(guān)于n-純同調(diào)維數(shù)的注記

呂家鳳, 金欣怡

(1.浙江師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,浙江 金華 321004;2.浙江師范大學(xué) 初陽學(xué)院,浙江 金華 321004)

0 引 言

自20世紀(jì)六七十年代純模與純正合列的概念提出后,其性質(zhì)引起了廣泛關(guān)注.值得注意的是,純正合列的定義是基于有限表現(xiàn)模的.為了研究諾特環(huán)、凝聚環(huán)以及更一般環(huán)上的同調(diào)性質(zhì),模的有限表現(xiàn)性的研究越來越受到人們的關(guān)注[1-5].例如,Bravo等[4]建立了n-凝聚環(huán)與n-表現(xiàn)模之間的聯(lián)系,并研究了其同調(diào)性質(zhì).設(shè)n為非負(fù)整數(shù),如果存在一個正合列Pn→Pn-1→…→P1→P0→M→0,使得每個Pi都是有限生成的投射模,那么稱一個模M為n-表現(xiàn)的[2].易見,0-表現(xiàn)模是有限生成的,1-表現(xiàn)模即為有限表現(xiàn)模,每個(n+1)-表現(xiàn)模是n-表現(xiàn)的.反之不成立,文獻[3]給出了反例.最近,為了研究n-純導(dǎo)出范疇的同調(diào)性質(zhì),文獻[5]引入了n-純正合列、n-純投射模以及n-純內(nèi)射模等概念.受此啟發(fā),本文運用同調(diào)的方法,研究了模與環(huán)的n-純投射維數(shù)與n-純內(nèi)射維數(shù),并證明了環(huán)R的n-純投射整體維數(shù)不超過1的充分必要條件是R的n-純內(nèi)射整體維數(shù)不超過1.

本文中,環(huán)R指的是含單位元的結(jié)合環(huán),除特別說明外,R-模表示的是左R-模,m與n均為非負(fù)整數(shù).其他未說明的概念與術(shù)語參見文獻[6-8].

1 預(yù)備知識

定義1若對任意n-表現(xiàn)模M,有正合列

0→HomR(M,A)→HomR(M,B)→HomR(M,C)→0,

定義2設(shè)M為R-模,若對任意n-純正合列0→A→B→C→0,都有正合列

0→HomR(M,A)→HomR(M,B)→HomR(M,C)→0,

則稱M為n-純投射模.類似地,若對任意n-純正合列0→A→B→C→0,都有正合列

0→HomR(C,M)→HomR(B,M)→HomR(A,M)→0,

則稱M為n-純內(nèi)射模.

以下分別用PPn與PIn表示所有n-純投射模與n-純內(nèi)射模.

命題1[5]設(shè)η：0→A→B→C→0為R-模正合列,則下列條件等價：

1)η是n-純正合列;

2)對任意n-純投射模P,有正合列

0→HomR(P,A)→HomR(P,B)→HomR(P,C)→0;

3)對任意n-純內(nèi)射模E,有正合列

0→HomR(C,E)→HomR(B,E)→HomR(A,E)→0.

設(shè)X為由一些R-模組成的類,M為R-模.M的X-預(yù)覆蓋[7]是指一個模同態(tài)φ：X→M,其中X∈X,并且對任意的X′∈X,HomR(X′,φ)：HomR(X′,X)→HomR(X′,M)都是滿同態(tài).若φ：X→M是M的一個X-預(yù)覆蓋且滿足φg=φ的自同態(tài)g：X→X只能是X的自同構(gòu),則稱φ為M的X-覆蓋.如果對于任意的R-模,它的X-(預(yù))覆蓋都存在,那么稱X是(預(yù))覆蓋類[7].對偶地,可定義X-預(yù)包絡(luò)、X-包絡(luò)以及X是(預(yù))包絡(luò)類等概念.

命題2[5]設(shè)R為環(huán),則下列結(jié)論成立：

1)PPn與PIn均對直和項封閉;

2)PPn是預(yù)覆蓋類;

3)PIn是包絡(luò)類.

設(shè)M是非零R-模,M的n-純投射分解是指一個n-純正合列

其中,P0,P1,P2,…都是n-純投射模.

由于PPn是預(yù)覆蓋類,所以每個模都有PPn投射分解.

定義3若M有長度為m(0≤m< ∞)的n-純投射分解

則稱M的n-純投射分解的最小長度為M的n-純投射維數(shù);若M沒有長度有限的n-純投射分解,則M的n-純投射維數(shù)定義為∞.通常用PPn-pdR(M)表示M的n-純投射維數(shù).所有R-模的n-純投射維數(shù)的上確界稱為環(huán)R的n-純投射整體維數(shù),記作PPn-PD(R),即

PPn-PD(R)=sup{PPn-pdR(M)|M為任意R-模}.

對偶地,M的n-純內(nèi)射分解是指一個n-純正合列

使得E0,E1,E2,…都是n-純內(nèi)射模.

由于PIn是包絡(luò)類,所以每個模都有n-純內(nèi)射分解.

定義4若M有長度為m(0≤m<∞)的n-純內(nèi)射分解

則稱M的n-純內(nèi)射分解的最小長度為M的n-純內(nèi)射維數(shù);若M沒有長度有限的n-純內(nèi)射分解,則M的n-純內(nèi)射維數(shù)定義為∞.通常用PIn-idR(M)表示M的n-純內(nèi)射維數(shù).稱所有R-模的n-純內(nèi)射維數(shù)的上確界為環(huán)R的n-純內(nèi)射整體維數(shù),記作PIn-ID(R),即

PIn-ID(R)=sup{PIn-idR(M)|M為任意R-模}.

2 主要結(jié)論

主要結(jié)果如下：

定理1設(shè)R為環(huán),則下列敘述等價：

1)LPPn-PD(R)≤1;

2)LPIn-ID(R)≤1;

3)對M的每個n-純投射分解

都有Ker(f)∈PPn;

4)對M的每個n-純內(nèi)射分解

都有Coker(g)∈PIn.

首先,討論模M的n-純投射維數(shù)與n-純內(nèi)射維數(shù).

引理1設(shè)M為R-模且m為非負(fù)整數(shù),則下列敘述等價：

1)PPn-pdR(M)≤m;

2)對M的每個n-純投射分解

都有Ker(?n-1)∈PPn.

于是有下面的行與列均是正合的交換圖：

因為0→Ker(f)→P0→M→0是n-純正合的,所以由命題1知,0→Ker(f)→X→Q0→0也是n-純正合的.由于Q0是n-純投射模,從而0→Ker(f)→X→Q0→0是可裂的,所以X?Ker(f)⊕Q0.類似可證明X?Ker(g)⊕P0.由此可知,Ker(f)⊕Q0?Ker(g)⊕P0.由Ker(g)存在長度為s的n-純投射分解可知,PPn-pdR(Ker(g))≤s.因此,PPn-pdR(Ker(f))≤s.故由歸納假設(shè)可知,Ker(?n-1)∈PPn.引理1證畢.

對偶地,易得下述引理：

引理2設(shè)M為R-模且m為非負(fù)整數(shù),則下列敘述等價：

1)PIn-idR(M)≤m;

2)對M的每個n-純內(nèi)射分解

都有Coker(?m+1)∈PIn.

引理3設(shè)M為左R-模,則下列敘述等價：

1)M是n-純投射模;

2)對任意n-純正合列0→K→E→F→0,其中E是n-純內(nèi)射模,都有正合列

0→HomR(M,K)→HomR(M,E)→HomR(M,F)→0.

證明1)?2)顯然成立,只需證明2)?1).設(shè)0→A→B→C→0是n-純正合列.由命題2知,存在n-純正合列0→B→E→K→0,其中E是n-純內(nèi)射模.于是有下面的行與列均是正合的交換圖：

因為0→A→B→C→0與0→B→E→K→0均是n-純正合的,所以0→A→E→F→0也是n-純正合的.由2)知,0→HomR(M,A)→HomR(M,E)→HomR(M,F)→0與0→HomR(M,B)→HomR(M,E)→HomR(M,K)→0均為正合列.用函子HomR(M,-)作用上述交換圖可得下面的交換圖：

由于φ=ψφ是滿同態(tài),從而ψ也是滿同態(tài),所以由3×3引理可知,0→HomR(M,A)→HomR(M,B)→HomR(M,C)→0是正合列.因此,M是n-純投射模.引理3證畢.

對偶地,有下述引理：

引理4設(shè)N為左R-模,則下列敘述等價：

1)N是n-純內(nèi)射模;

2)對任意n-純正合列0→K→P→L→0,其中P是n-純投射模,都有正合列

0→HomR(L,N)→HomR(P,N)→HomR(K,N)→0.

定理1的證明1)??3)由引理1可得.2)??4)由引理2可得.

3 結(jié) 語

本研究是基于前人的成果下,運用同調(diào)方法,通過探討n-純投射模與n-純內(nèi)射模的一些同調(diào)性質(zhì),給出了模的n-純投射維數(shù)與n-純內(nèi)射維數(shù)的一些刻畫,并證明了環(huán)R的n-純投射整體維數(shù)不超過1的充分必要條件是R的n-純內(nèi)射整體維數(shù)不超過1.在本研究的基礎(chǔ)上,將來還可以進一步探討環(huán)R的高維n-純投射整體維數(shù)與高維n-純內(nèi)射整體維數(shù)之間的關(guān)系．