利用糾纏交換制備原子-原子最大糾纏態(tài)

張 蕾, 王宏偉, 郝丹輝, 楊 潔, 李育康, 冉銳明

(西安建筑科技大學(xué)華清學(xué)院, 西安710043)

1 引 言

量子信息能夠?qū)崿F(xiàn)經(jīng)典信息所不具有的新功能，關(guān)鍵在于量子糾纏態(tài)的運(yùn)用，其主要體現(xiàn)在多個(gè)系統(tǒng)間的非局域性和強(qiáng)關(guān)聯(lián)性，這點(diǎn)也使得它在量子信息各個(gè)領(lǐng)域中有其重要的應(yīng)用，例如：量子隱形傳送[1]、量子密鑰[2]、量子密集編碼[3]、量子計(jì)算[4]等，因此對(duì)于如何制備量子糾纏態(tài)對(duì)量子信息的發(fā)展具有非常重要的意義. 目前，關(guān)于量子糾纏態(tài)的制備方法，主要有：核磁共振[5]、腔量子電動(dòng)力學(xué)(QED)[6]、離子阱[7]、超導(dǎo)量子干涉儀[8]等. 這些方法通常依靠的是兩個(gè)系統(tǒng)的直接作用來實(shí)現(xiàn)糾纏，然而在實(shí)現(xiàn)量子通信的過程中，需要提前把相隔遙遠(yuǎn)距離的兩地所共同擁有的最大量子糾纏態(tài)進(jìn)行遠(yuǎn)距傳送，在此過程中系統(tǒng)難免會(huì)與外界環(huán)境發(fā)生作用，而產(chǎn)生消相干效應(yīng)，使得最大量子糾纏態(tài)的糾纏品質(zhì)出現(xiàn)不同程度的下降，為了避免這類問題，1993年，Zukowski等人提出了糾纏交換[9]，其作用是通過某些變換過程，使得初始沒有直接作用的量子系統(tǒng)之間建立關(guān)聯(lián). 近幾年，人們利用該技術(shù)提出了很多制備量子糾纏態(tài)的方案[10，11].Yang 等人提出了一種無需聯(lián)合測(cè)量就能實(shí)現(xiàn)糾纏交換的方案[12 ]；單傳家等人[13]提出了一種基于腔QED在外場(chǎng)驅(qū)動(dòng)下實(shí)現(xiàn)量子糾纏交換的方案；林秀等人[14]提出了利用糾纏交換在腔 QED中制備光子-光子和原子-光子最大糾纏態(tài)的簡(jiǎn)便方案；2009年，dSouza等人[15]提出了在雙光子J-C模型中的糾纏交換方案；2021年，張蕾提出了一種在V-型三能級(jí)原子與雙模腔場(chǎng)模型中的量子糾纏交換的方案[16]. 本文在上述方案的啟發(fā)下，基于腔QED提出在級(jí)聯(lián)型三能級(jí)原子與單模腔場(chǎng)模型中制備原子-原子最大糾纏態(tài)的方案. 即利用兩對(duì)糾纏的級(jí)聯(lián)型三能級(jí)原子與單模腔場(chǎng)，使其中一個(gè)原子與未與它有糾纏關(guān)系的腔場(chǎng)發(fā)生作用，再對(duì)單個(gè)腔場(chǎng)態(tài)測(cè)量，從而得到初始沒有任何關(guān)聯(lián)的兩原子之間產(chǎn)生糾纏，該方案可以有效克服光腔的消相干的影響.

2 理論模型

在級(jí)聯(lián)型三能級(jí)原子與單模腔場(chǎng)相互作用系統(tǒng)中，發(fā)生雙光子躍遷，旋波近似下，有效哈密頓量[17-19]在相互作用繪景中可表示為

HI=?g1(a|e〉〈f|e-iδt+a+|f〉〈e|eiδt)+

?g2(a|f〉〈g|eiδt+a+|g〉〈f|e-iδt)

(1)

g1、g2分別表示能級(jí)|e〉?|f〉、|f〉?|g〉之間發(fā)生躍遷的耦合常數(shù)；a、a+分別表示腔場(chǎng)的湮滅算符和產(chǎn)生算符；t為原子與腔場(chǎng)作用時(shí)間；|e〉、|f〉為激發(fā)態(tài)，|g〉為基態(tài)；

ωe、ωf、ωg分別對(duì)應(yīng)該原子能級(jí)的頻率；圖1為原子能級(jí)示意圖. 失諧量δ為

圖1 與單模腔場(chǎng)相互作用的三能級(jí)原子示意圖Fig. 1 Schematic diagram of three-level atom interacting with single-mode cavity field

δ=Ω-(ωe-ωf)=(ωf-ωg)-Ω

(2)

其中Ω表示腔場(chǎng)頻率. 假設(shè)任意時(shí)刻原子與腔場(chǎng)作用之后，系統(tǒng)態(tài)可表示為

Cf，n(t)|f，n〉+Cg，n(t)|g，n〉]

(3)

式中|m，n〉(m=e，f，g)表示原子和腔場(chǎng)所處的態(tài)，n為光子數(shù).

根據(jù)薛定諤方程將(1)式、(3)式代入其中，可得微分方程組

(4)

假設(shè)初始時(shí)刻原子與腔場(chǎng)的態(tài)為

Ce，n(0)=CeCn

Cf，n+1(0)=CfCn+1

Cg，n+2(0)=CgCn+2

(5)

式中：Cn(0)表示初始時(shí)刻腔場(chǎng)態(tài)的振幅，Cm(0)(m=e，f，g)表示初始時(shí)刻原子態(tài)(歸一化)|χ〉=Ce|e〉+Cf|f〉+Cg|g〉的振幅. 將(5)式代入(4)式，可得微分方程組的解為

(6)

(7)

(8)

3 糾纏交換

假設(shè)初始時(shí)刻一個(gè)級(jí)聯(lián)型三能級(jí)原子1與腔場(chǎng)2處于糾纏狀態(tài)，即|φ〉12=cosθ|e〉1|0〉2+sinθ|g〉1|2〉2，同樣，原子3與腔場(chǎng)4也處于糾纏狀態(tài)，即|φ〉34=cosθ|e〉3|0〉4+sinθ|g〉3|2〉4. 整個(gè)具體的糾纏交換示意圖如圖2所示. 最初原子1、3之間、腔場(chǎng)2、4之間無相互聯(lián)系，接著讓原子1與腔場(chǎng)4發(fā)生作用，則系統(tǒng)演化為

圖2 糾纏交換方案示意圖Fig.2 Schematic representation of the entanglement swapping protocol

sinθcosθ|e〉3|2〉2|g〉1|0〉4

(9)

此時(shí)若探測(cè)腔場(chǎng)4為雙光子態(tài)，則系統(tǒng)態(tài)將塌縮為

(10)

其成功概率

(11)

(12)

4 數(shù)值分析及討論

若原子1與腔場(chǎng)2，原子3與腔場(chǎng)4開始分別處于各自最大糾纏態(tài)，即對(duì)應(yīng)的參數(shù)θ=π/4，當(dāng)選擇耦合常數(shù)g1=g2=g=17.5×106MHz，失諧量δ=30g，原子與腔場(chǎng)的相互作用時(shí)間為10.8μs時(shí)，獲得兩原子處于最大糾纏態(tài)的保真度為99.8%及成功幾率為49.2%，如圖3所示. 此外，圖3直觀地反映了保真度隨原子與腔場(chǎng)相互作用時(shí)間的變化關(guān)系. 如若原子1與腔場(chǎng)2，原子3與腔場(chǎng)4一開始分別處于各自非最大糾纏態(tài)時(shí)，糾纏交換之后得到兩原子處于最大糾纏態(tài)的成功幾率及保真度隨參數(shù)θ的關(guān)系曲線如圖4(a)、4(b)所示. 圖4表明原子與腔場(chǎng)初始時(shí)所處的糾纏狀態(tài)對(duì)通過糾纏交換后所生成兩原子間的最大糾纏態(tài)的概率和保真度有影響.

圖 3 保真度隨時(shí)間的變化Fig.3 Plot of fidelity versus interaction time

圖4 (a)成功幾率隨參數(shù)θ的變化曲線；(b)保真度隨參數(shù)θ的變化曲線Fig. 4 (a)Plot of success probability versus θ；(b)Plot of fidelity versus θ

5 結(jié) 論

文章提出基于一個(gè)級(jí)聯(lián)型三能級(jí)原子與一個(gè)單模腔場(chǎng)模型中實(shí)現(xiàn)糾纏交換的簡(jiǎn)單方案，由于原子與腔場(chǎng)通過大失諧相互作用，所以它們之間無能量傳遞，這樣使得系統(tǒng)對(duì)腔的耗散和熱輻射都不敏感，還能大大降低對(duì)腔品質(zhì)的要求. 該方案中，只需對(duì)單個(gè)腔場(chǎng)態(tài)測(cè)量和合適選擇原子與腔場(chǎng)的作用時(shí)間就可獲得兩個(gè)原子之間的最大糾纏態(tài). 結(jié)果表明：當(dāng)原子與腔場(chǎng)的相互作用時(shí)間為10.8 μs時(shí)，可得到兩原子處于最大糾纏態(tài)的最大保真度為99.8%；另外還發(fā)現(xiàn)初始時(shí)兩對(duì)原子-腔場(chǎng)系統(tǒng)的糾纏狀態(tài)對(duì)糾纏交換后生成兩原子的最大糾纏態(tài)的概率和保真度有影響.