基于能量法的橡膠浮置板軌道結(jié)構(gòu)彈性波分析

孫 彰，洪 顯，張 洪

（1.深圳鐵路投資建設(shè)集團(tuán)有限公司，廣東 深圳518006； 2.華東交通大學(xué)交通運(yùn)輸工程學(xué)院，江西 南昌330013）

隨著城市軌道交通的路線逐漸增多，沿線的環(huán)境振動(dòng)問(wèn)題日益突出，直接影響軌道結(jié)構(gòu)的健康狀況和使用壽命以及列車運(yùn)行的安全性及舒適性，必要時(shí)需要采取隔振措施。

軌道結(jié)構(gòu)通?？梢钥醋饕粋€(gè)沿線路延伸方向排列的周期結(jié)構(gòu)， 固體物理學(xué)研究表明周期結(jié)構(gòu)具有特殊的波動(dòng)特性， 處在特定頻率范圍內(nèi)的彈性波無(wú)法在結(jié)構(gòu)中傳播，稱之為帶隙特性[1-2]。帶隙特性僅需建立一個(gè)單元便能分析出無(wú)限尺度下的傳播特性， 這對(duì)于軌道結(jié)構(gòu)和軌道減振措施的快速預(yù)測(cè)是極其有利的。 因此大量學(xué)者逐漸從波動(dòng)的角度研究軌道結(jié)構(gòu)的振動(dòng)特性。 Grassie 等[3]建立離散點(diǎn)支撐軌道結(jié)構(gòu)模型， 利用軌道結(jié)構(gòu)周期特征， 結(jié)合傳遞矩陣法推導(dǎo)了周期性軌道結(jié)構(gòu)振動(dòng)響應(yīng)的解析方法， 并結(jié)合試驗(yàn)驗(yàn)證了該模型50～1 500 Hz 頻率范圍內(nèi)的正確性。Metrikine 等根據(jù)軌道結(jié)構(gòu)的周期特征，建立三維周期性軌道結(jié)構(gòu)模型，計(jì)算移動(dòng)荷載作用下軌道結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)[4-5]。代豐等[6]采用波導(dǎo)有限元方法分析了CRTS Ⅱ型軌道結(jié)構(gòu)中波導(dǎo)特性， 對(duì)比分析了Timoshenko 梁模型和波導(dǎo)有限元模型的差異。易強(qiáng)[7]基于傳遞矩陣法建立周期性軌道結(jié)構(gòu)彈性波傳播模型， 計(jì)算得到軌道結(jié)構(gòu)中不同類型彈性波帶隙范圍， 并分析了軌道結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)彈性波帶隙的影響規(guī)律。 洪顯等[8]將滯變阻尼效應(yīng)引入鋼軌、扣件和道床中，研究了周期性有砟軌道的頻散特性隨阻尼的變化情況。 綜上可知，帶隙特性也逐漸成為軌道結(jié)構(gòu)減振的重要指標(biāo)。

為降低軌道結(jié)構(gòu)對(duì)沿線的環(huán)境振動(dòng)問(wèn)題，橡膠浮置板軌道由于其優(yōu)異的減振性能被廣泛運(yùn)用于軌道交通領(lǐng)域。 研究橡膠浮置板的減振性能與隔振機(jī)理，有利于更好的使用橡膠浮置板，對(duì)城市軌道交通的環(huán)境振動(dòng)控制具有重要意義。 橡膠浮置板軌道通過(guò)降低軌道剛度隔離耗散輪軌沖擊振動(dòng)，從而實(shí)現(xiàn)環(huán)境振動(dòng)的控制[9]。馮青松等[10]以橡膠減振墊浮置板軌道作為減振軌道，研究了軌道過(guò)渡段對(duì)時(shí)域輪軌系統(tǒng)的動(dòng)力響應(yīng)，并分析了橡膠減振墊剛度對(duì)動(dòng)力響應(yīng)的影響。 王啟好等[9]從隔振墊橡膠的超彈性本構(gòu)出發(fā)， 對(duì)橡膠浮置板軌道進(jìn)行仿真分析，得到的頻域振級(jí)接近實(shí)測(cè)的數(shù)據(jù)。 韋凱等[11-12]針對(duì)減振墊浮置板軌道，從振動(dòng)分析的角度研究并提出了減振評(píng)價(jià)指標(biāo)，有助于指導(dǎo)我國(guó)浮置板軌道減振墊設(shè)計(jì)規(guī)范的制定。 綜上所述，對(duì)于橡膠浮置板軌道結(jié)構(gòu)時(shí)域頻域的振動(dòng)問(wèn)題具有大量的研究，但對(duì)于橡膠浮置板軌道結(jié)構(gòu)的傳遞機(jī)理缺乏深入的研究，尤其是從波動(dòng)的角度。 因此開展橡膠浮置板軌道的研究具有重要的工程意義。

本文以城市軌道交通中3 種不同鋪設(shè)方式的橡膠浮置板軌道結(jié)構(gòu)為研究對(duì)象，采用平面波級(jí)數(shù)和能量法[13]建立了其能帶計(jì)算模型，并通過(guò)有限元方法對(duì)該模型進(jìn)行了準(zhǔn)確性驗(yàn)證。

1 橡膠浮置板軌道結(jié)構(gòu)的能帶計(jì)算

1.1 橡膠浮置板能帶計(jì)算模型

橡膠浮置板軌道按橡膠支撐方式可以分為點(diǎn)鋪式、條鋪式和滿鋪式。 橡膠浮置板軌道系統(tǒng)為層狀結(jié)構(gòu)，從上至下主要由鋼軌、扣件、浮置板、橡膠層等組成，其中橡膠層提供彈性與阻尼。

能量法能夠?qū)⑦呏祮?wèn)題轉(zhuǎn)化為極值問(wèn)題，能夠很好的處理耦合關(guān)系。 因此本文采用能量作為基本解法求解橡膠浮置板的能帶特性。 圖1 表示的是一個(gè)胞元的橡膠浮置板軌道的計(jì)算模型。 在鋼軌和軌道板上建立獨(dú)立坐標(biāo)系，其中xrOryr為鋼軌坐標(biāo)系，xsOsys為浮置板坐標(biāo)系，lr和ls為鋼軌和浮置板的長(zhǎng)度，ds為浮置板的寬度，lf為扣件間距，yf表示扣件在軌道板上的y 坐標(biāo)。

圖1 一個(gè)橡膠浮置板軌道胞元計(jì)算圖Fig.1 Computational diagram of a rubber floating plate track cell element

1.2 橡膠浮置板的能量泛函

1） 位移形函數(shù)。本文主要考慮橡膠浮置板的低頻振動(dòng)，因此不考慮鋼軌剪切效應(yīng)，擬將鋼軌考慮為Euler 梁，浮置板采用薄板理論建模。 鋼軌的垂向振動(dòng)位移wr根據(jù)Bloch 定理及平面波級(jí)數(shù)展開

浮置板的ws可以由形函數(shù)和與時(shí)間相關(guān)的未知系數(shù)表示

式中：α2={α2，1，α2，2，α2，3，...}T；N 和M 為用于模擬鋼軌和浮置板的x 方向和y 方向形函數(shù)個(gè)數(shù)，即截?cái)嘞禂?shù)；?為Kronecker 積；ψ（x）為用于模擬x 方向形函數(shù)，ψ（x）={ ψ1（x），ψ2（x），...，ψN（x）}T；φ（y）為用于模擬y 方向形函數(shù)，φ（y）={ φ1（y），φ2（y），...，φM（y）}T。本文采用改進(jìn)傅里葉級(jí)數(shù)為

式中：x 和y 為歸一化的坐標(biāo)，0≤x≤1，0≤y≤1。

2） 鋼軌和浮置板的能量泛函。 根據(jù)Euler 梁理論和Kirchhoff 板理論，鋼軌與浮置板的動(dòng)能、應(yīng)變能可以分別表示為

式中：α=[α1，α2]T， 上標(biāo)H 表示Hermite 轉(zhuǎn)置；Erail和Urail分別表示鋼軌的動(dòng)能和應(yīng)變能；Eslab和Uslab分別表示浮置板的動(dòng)能和應(yīng)變能；ρr，Ar，Er和Ir分別表示鋼軌的密度、橫截面面積、彈性模量和截面慣性矩；ρs，hs，Ds和μs分別表示浮置板的密度、厚度、抗彎剛度、泊松比，其中Ds=Eshs/（12（1-μs）2），Es為浮置板的彈性模量；Mrail、Krail和Mslab、Kslab分別為鋼軌與浮置板的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣。

3） 扣件能量泛函。 鋼軌和浮置板之間扣件相連，扣件采用彈簧模擬，其彈性勢(shì)能可以表示為

式中：xr，a，xs，a和ys，a分別表示第a 個(gè)扣件在鋼軌的x方向坐標(biāo)，浮置板的x 和y 方向坐標(biāo)；A 表示一塊軌道板上扣件的個(gè)數(shù)；kfastener表示扣件剛度；Kfastener是扣件的剛度矩陣。

4） 橡膠墊層的能量泛函。滿鋪式橡膠浮置板可以認(rèn)為在浮置板底部有一層均布彈簧，橡膠墊層的能量可以表示為

式中：krubber為橡膠墊層的剛度；Kfull為滿鋪式橡膠的剛度矩陣。 條鋪式橡膠浮置板可以采用線彈簧進(jìn)行模擬，其能量泛函為

式中：xs，b為條鋪式橡膠在浮置板上的x 坐標(biāo)；Kline為條鋪式橡膠的剛度矩陣。 點(diǎn)鋪式橡膠浮置板考慮為點(diǎn)支撐彈簧，其能量泛函為

式中：xs，c和ys，c分別表示點(diǎn)鋪式橡膠在軌道板上x坐標(biāo)和y 坐標(biāo)；C 表示鋪設(shè)橡膠層的個(gè)數(shù)；Kdot表示點(diǎn)鋪式橡膠的剛度矩陣。

5） 總能量泛函。將各部分的能量泛函組合起來(lái)，便形成了總能量泛函，圖2 所示模型的能量泛函為

圖2 橡膠浮置板軌道結(jié)構(gòu)有限元模型圖Fig.2 Diagram of finite element model of rubber floating slab track structure

式中：M=Mrail+Mslab，K=Krail+Kslab+Kfastener+Kfull。

1.3 運(yùn)動(dòng)特征方程

對(duì)總能量泛函Π 變分求解，即將式（12）帶入拉格朗日方程

便可得到橡膠浮置板軌道的運(yùn)動(dòng)方程為

式中：ω 為振動(dòng)圓頻率。 在布里淵區(qū)[-π/lr，π/lr]掃描波數(shù)， 便可得到周期性橡膠板軌道結(jié)構(gòu)的帶隙特性。

2 橡膠浮置板軌道模型驗(yàn)證

為驗(yàn)證理論計(jì)算結(jié)果的準(zhǔn)確性，本小節(jié)將以橡膠浮置板軌道結(jié)構(gòu)為對(duì)象，參數(shù)如表1 所示[14-15]。 選用有限元軟件（COMSOL Multiphysics）建立周期性橡膠浮置板軌道結(jié)構(gòu)模型，如圖2 所示。

表1 橡膠浮置板軌道結(jié)構(gòu)參數(shù)表Tab.1 Parameters of rubber floating slab track structure

鋼軌、浮置板，扣件與橡膠墊層參數(shù)取值均參照表1。利用有限元軟件為鋼軌邊界賦予Floquet 周期性邊界條件，浮置板內(nèi)側(cè)賦予對(duì)稱邊界條件。 計(jì)算時(shí)，在COMSOL 中選擇物理場(chǎng)控制網(wǎng)格，單元?jiǎng)澐执笮∵x擇常規(guī)，網(wǎng)格數(shù)為89 602。 求得帶隙特性與本文理論計(jì)算結(jié)果對(duì)比如圖3 所示，其中藍(lán)色散點(diǎn)圖即為有限元計(jì)算結(jié)果。

圖3 橡膠浮置板軌道結(jié)構(gòu)帶隙特性對(duì)比圖（有限元解與理論解）Fig.3 Comparison of band gap characteristics of rubber floating slab track structure（FEM solution and theoretical solution）

根據(jù)上述參數(shù)，基于能量泛函變分和平面波級(jí)數(shù)的混合方法求得200 Hz 內(nèi)橡膠浮置板軌道結(jié)構(gòu)垂向振動(dòng)的帶隙特性如圖3 中紅色實(shí)線所示。 為方便后續(xù)的分析， 圖3 中引入了無(wú)量綱參數(shù)Q=k/（π/lr）, 因波數(shù)k 的取值范圍在第一布里淵區(qū)（-π/l，π/l），故Q 的取值范圍為（-1，1）。 為減少后續(xù)分析的工作量， 本文將忽略帶寬不足5 Hz 及相對(duì)帶寬小于5%的帶隙。

通過(guò)圖3 對(duì)比可以看到，兩種方法所求的頻散曲線基本吻合，二者均存在4 階帶隙，二者帶隙頻段對(duì)照結(jié)果如表2 所示。 由表可知，二者對(duì)應(yīng)帶隙頻段基本一致，誤差皆在5%以內(nèi)，這也驗(yàn)證了本文方法求解帶隙特性的準(zhǔn)確性。

表2 橡膠浮置板軌道帶隙頻段對(duì)比表Tab.2 Comparison of band gap frequency of rubber floating slab track

3 橡膠浮置板軌道結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)帶隙特性的影響分析

3.1 不同支撐形式的影響

本小節(jié)將分析3 種布設(shè)方式對(duì)結(jié)構(gòu)內(nèi)部彈性波傳播的影響。 條鋪式中彈性墊層布設(shè)于鋼軌對(duì)應(yīng)的浮置板下方，點(diǎn)鋪式布設(shè)位置與之相同，布設(shè)間距為1.2 m，其余均與前文滿鋪式結(jié)構(gòu)參數(shù)相同。 分別求得頻散曲線如圖4 所示，由圖4 可以看到，3 種布設(shè)方式下， 條鋪式的第一階帶隙截止頻率最低，滿鋪式第一階截止頻率最大。 除此之外，100～200 Hz內(nèi)的曲線幾乎無(wú)變化，且布設(shè)方式并未改變總帶隙階數(shù)。 在橡膠墊層的剛度相同時(shí)，相較于滿鋪式而言， 條鋪式與點(diǎn)鋪式布設(shè)工況下的通帶帶寬更大，這說(shuō)明能夠在軌道結(jié)構(gòu)內(nèi)傳播的彈性波更多，二者抑制低頻波向下傳播的能力更強(qiáng)。

圖4 滿鋪式、條鋪式與點(diǎn)鋪式橡膠浮置板軌道結(jié)構(gòu)帶隙特性對(duì)比圖Fig.4 Comparison of band gap characteristics of paved rubber floating slab track structure in full paved，strip paved and point paved

3.2 橡膠墊層剛度變化的影響

為探究剛度對(duì)橡膠浮置板軌道帶隙特性的影響，在其他參數(shù)保持不變的情況下，將橡膠墊層剛度由1×107N/m 增至5×107N/m，得到帶隙特性變化如圖5 所示。 由圖5 可得，橡膠墊層剛度的增大對(duì)第一階帶隙的影響最為明顯，其增幅增長(zhǎng)了約1.23倍。 這是由于隨著剛度的增加，浮置板與下方地基的耦合作用增強(qiáng)，從而使得更多的波無(wú)法在鋼軌內(nèi)傳播，向下方浮置板傳播。 此外，值得注意的是，橡膠墊層剛度增加對(duì)第四階帶隙截止頻率的影響微乎其微。 可見，橡膠墊層剛度對(duì)50 Hz 以下的帶隙影響更大，那么對(duì)于低頻隔振，可以采用適當(dāng)改變橡膠墊層剛度的方式來(lái)調(diào)節(jié)結(jié)構(gòu)間的耦合強(qiáng)度、 設(shè)計(jì)浮置板軌道的隔振頻率，以達(dá)到更好的隔振效果。

圖5 橡膠墊層剛度變化對(duì)橡膠浮置板軌道結(jié)構(gòu)帶隙特性影響圖Fig.5 Comparison of band gap characteristics of paved rubber floating slab track structure in full paved, strip paved or point paved

4 動(dòng)力吸振器對(duì)橡膠浮置板軌道結(jié)構(gòu)彈性波調(diào)控分析

動(dòng)力吸振器（dynamic vibration absorber，DVA）由彈簧、阻尼與質(zhì)量塊組成，能夠在不改變浮置板質(zhì)量與橡膠墊層剛度的情況下抑制軌道結(jié)構(gòu)的振動(dòng)。 由于本文主要針對(duì)低頻振動(dòng)分析，為更進(jìn)一步降低橡膠浮置板軌道結(jié)構(gòu)的隔振頻率，本文將其作為減振設(shè)計(jì)對(duì)象，從波動(dòng)的角度分析浮置板動(dòng)力吸振器對(duì)低頻彈性波傳播的影響機(jī)理。 將DVA 工作頻率設(shè)計(jì)為第一階帶隙的截止頻率，將之置于浮置板之上，如圖6 所示，每隔1.2 m 布設(shè)1 個(gè)動(dòng)力吸振器，詳細(xì)參數(shù)參考文獻(xiàn)[16]。

圖6 附有動(dòng)力吸振器的橡膠浮置板軌道結(jié)構(gòu)圖Fig.6 Diagram of rubber floating slab track structure with dynamic vibration absorber

滿鋪式、條鋪式及點(diǎn)鋪式橡膠浮置板軌道結(jié)構(gòu)鋪設(shè)DVA 后的帶隙特性如圖7 所示， 其中實(shí)線為初始帶隙特性曲線，虛線表示附有DVA 后的曲線。首先，觀察圖7（a）滿鋪式，可以看到第一階帶隙截止頻率由26.8 Hz 升至27.7 Hz，第二階帶隙由27.7 Hz～29.8 Hz 變?yōu)?2.7～36.1 Hz。滿鋪式與另二者有所不同，其第一條帶隙曲線變化最為明顯，其變化表明在添加DVA 后， 可在軌道結(jié)構(gòu)內(nèi)部傳播的頻段得到了拓寬，意味著向下傳播的彈性波減少，軌道結(jié)構(gòu)的隔振能力增強(qiáng)。 其次值得注意的是，在添加吸振器后條鋪式與點(diǎn)鋪式的變化相似， 二者的第一、二階帶隙截止頻率均有所降低。這表明浮置板DVA的添加使橡膠浮置板軌道結(jié)構(gòu)具有更低隔振頻率，在低頻處的隔振性能增強(qiáng)。 這是由于DVA 與浮置板結(jié)構(gòu)產(chǎn)生共振，將其共振頻率附近的彈性波吸收并耗散，使其無(wú)法通過(guò)橡膠層向下傳播，增強(qiáng)了軌道結(jié)構(gòu)的低頻減振能力。

圖7 附有DVA 的橡膠浮置板軌道帶隙特性圖Fig.7 Diagram band gap characteristics of rubber floating slab track structure with DVA

5 結(jié)論

1） 在軌道結(jié)構(gòu)內(nèi)部其它參數(shù)不變的情況下，相較于條鋪式、點(diǎn)鋪式，滿鋪式的第一階帶隙截止頻率較高，條鋪式與點(diǎn)鋪式具有更低的截止頻率和更寬的通帶帶寬。

2） 相較于普通橡膠浮置板軌道而言，附有動(dòng)力吸振器的橡膠浮置板軌道結(jié)構(gòu)具有更低頻的隔振能力，且吸振器對(duì)滿鋪式軌道結(jié)構(gòu)隔振能力影響最為明顯。 利用該特性可實(shí)現(xiàn)對(duì)特定頻段彈性波的有效調(diào)控，增強(qiáng)耗散作用，從而達(dá)到降低軌道運(yùn)行過(guò)程中產(chǎn)生振動(dòng)與噪聲的目的。