線性長(zhǎng)波越過(guò)水下環(huán)礁引起的Bragg共振分析

傅丹娟，劉必勁，毛豪東，張振偉

（1. 廈門理工學(xué)院土木工程與建筑學(xué)院 ，福建 廈門 361024；2. 浙江大學(xué)海南研究院，海南 三亞 572025）

波浪Bragg 共振指在特定頻率波的傳播方向上與某些特殊地形（如正弦沙紋、系列人工沙壩）相互作用，而使波產(chǎn)生最強(qiáng)反射的現(xiàn)象。波浪Bragg 共振最早由Davies［1］提出，他在研究波浪作用于水下有限正弦沙壩地形時(shí)發(fā)現(xiàn)，當(dāng)入射波波長(zhǎng)為沙壩波長(zhǎng)2倍時(shí)，共振產(chǎn)生且反射系數(shù)最大。之后學(xué)者們也進(jìn)行相關(guān)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證此結(jié)論［2-4］。受此啟發(fā)，科學(xué)家們提出建設(shè)系列周期性人工沙壩或潛堤來(lái)抵抗波浪侵襲的設(shè)想，以達(dá)到生態(tài)建設(shè)及海岸防護(hù)協(xié)調(diào)發(fā)展。近年來(lái)，關(guān)于海底周期起伏地形激發(fā)的波浪Bragg 共振的物理機(jī)制及應(yīng)用研究已成為水波研究的一個(gè)熱點(diǎn)［5-12］。且隨著越來(lái)越多的工程項(xiàng)目在島礁上開(kāi)發(fā)和建設(shè)，波浪在島礁上的傳播變形也越來(lái)越受到學(xué)者們的關(guān)注。然而，島礁與常見(jiàn)的緩變岸灘 （沙壩、潛堤、陸架等）相比，島焦波浪的傳播變形規(guī)律有較大的不同。珊瑚環(huán)礁是島礁極具代表性的形式之一，發(fā)育成熟的珊瑚環(huán)礁中心一般有寬廣的深淺不一的瀉湖。如環(huán)礁這般高低起伏的地形，是否具備激發(fā)波浪Bragg 共振的特性，還未見(jiàn)系統(tǒng)研究。為此，本文基于線性長(zhǎng)波方程給出波浪越過(guò)水下環(huán)礁?jìng)鞑プ冃蔚慕馕鼋?，并定義波浪散射系數(shù)，探討環(huán)礁地形周圍Bragg 共振的存在性及存在條件。

1 模型及解決技術(shù)

1.1 理論推導(dǎo)

環(huán)礁地形剖面如圖1 所示。假設(shè)地形是軸對(duì)稱的，采用極坐標(biāo)系，坐標(biāo)原點(diǎn)為環(huán)礁瀉湖中心。整個(gè)區(qū)域的水深函數(shù)h（r）表示為

圖1 環(huán)礁地形截面圖：s= 2Fig.1 Section sketch of atoll: s= 2

式（1）中：r1為中心到脊頂處的橫向距離；r2為中心到環(huán)礁邊界的橫向距離；h0為中心處水深；h1為脊頂處的水深；h2為外海水深；s 為任意正有理數(shù)。地形參數(shù)a和b由r1、h0、h1和m 決定：a = （h0-h1）/，b =。另外，r2與h2滿足關(guān)系式

基于長(zhǎng)波假設(shè)，對(duì)于軸對(duì)稱地形，采用如下方程來(lái)描述波浪的運(yùn)動(dòng)：

式（3）中：η（r， θ） 為自由水面函數(shù)；h（r）為靜水水深；ω為角頻率；g 為重力加速度。

對(duì)于水深如式 （1） 所示的地形，方程（3）的解可表示為

式（4）中：

式（4）、（5）中：k2為入射波波數(shù)；Jn是第一類的n階Bessel函數(shù)；Hn是第一類的n階Hankel函數(shù)；εn是Jacobi符號(hào)；m、p、q為整數(shù)且滿足m ≥ 1、 p ≥ 1、 q ≥ 2。

1）當(dāng)m =1時(shí)，有

式（8）中：u=w/g。

2）當(dāng)m = 2時(shí)，有

3）當(dāng)m > 2時(shí)，有

4）當(dāng)p＜q時(shí)，有

5）當(dāng)q ＜p＜2q時(shí)，有

6）當(dāng)p > 2q時(shí)，有

式（14）、（15）中：

基于連續(xù)性條件，在相鄰區(qū)間交界處（即r=r1和r=r2）波高相等，流量相等，可得待定系數(shù)An、β1，n、β2n及Dn的值。

1.2 散射系數(shù)

定義散射系數(shù)為

由式（18）可知，KS是關(guān)于方向角θ和徑向r的函數(shù)。

2 環(huán)礁激發(fā)的Bragg共振

2.1 Bragg共振存在性

為研究環(huán)礁地形上Bragg 共振的存在性，考慮如下的地形參數(shù)：h1=10 m，h0=20 m， h2= 21.5 m，r1= 1 000 m， r2= 1 200 m，S = 2r1=2 000 m， s = 4；考慮波長(zhǎng)計(jì)算范圍：0＜ 2S/L ≤ 3， 則無(wú)因次水深計(jì)算范圍為：0＜ k2h2＜ 0.1，滿足淺水方程適用范圍。其中，S是島礁脊頂間距。

圖2給出了環(huán)礁迎浪面不同方向散射系數(shù)隨波長(zhǎng)的變化趨勢(shì)。由圖2可以看出，迎浪面正面（θ =π） 有Bragg 共振產(chǎn)生，顯示在2S/L=1、2、3 附近（即：環(huán)礁脊頂距離與半波長(zhǎng)比值的整數(shù)倍附近），散射系數(shù)達(dá)到最大值和極大值，說(shuō)明在這些頻率下環(huán)礁對(duì)波浪的散射最強(qiáng)。但是，共振頻率并不落在整數(shù)上。如圖2 所示，主共振在2S/L = 1.16 時(shí)產(chǎn)生，次共振位于2S/L=1.92 處。之前，眾多學(xué)者［13-15］對(duì)水下周期性起伏地形 （如正弦沙紋、人工沙壩、系列溝槽等）激發(fā)的Bragg共振反射問(wèn)題進(jìn)行研究時(shí)，也發(fā)現(xiàn)共振發(fā)生的頻率不會(huì)出現(xiàn)在2S/L=1 處，而是會(huì)有所偏移，如系列溝槽等地形主頻出現(xiàn)在2S/L>1 處，而對(duì)于正弦沙紋及人工沙壩等地形，主頻出現(xiàn)在2S/L＜1 的位置。可見(jiàn)，三維的環(huán)礁地形跟沙壩、溝槽等二維地形所激發(fā)的Bragg共振在頻偏移上還是有差異，需進(jìn)一步加以更深入的研究。

圖2 不同方向散射系數(shù)隨波長(zhǎng)2S/L的變化趨勢(shì)（h1 =10 m, h0 =20 m, h2 = 21.5 m, r1 = 1 000 m, r2 = 1 200 m, s = 4）Fig.2 Relation between scattering rate and 2S/L at different directions（h1 =10 m, h0 =20 m, h2 = 21.5 m, r1 = 1 000 m, r2 = 1 200 m, s = 4）

由圖2可見(jiàn)，隨著方向的的偏轉(zhuǎn)，共振頻率的偏移程度越大。在θ =3π/4，θ =π/2方向上，已不滿足Bragg 共振的規(guī)律，主振頻率大大地偏離了2S/L=1 位置。還可以觀察到，當(dāng)2S/L=2.24 時(shí)，θ =3π/4方向共振產(chǎn)生，而此時(shí) θ = π 方向上的散射系數(shù)剛好接近極小值。

圖3 給出了頻率2S/L = 1.16、1.56 和2.24 時(shí)的環(huán)礁周圍的整體波振幅分布。從圖3 可見(jiàn)，當(dāng)2S/L = 1.16迎浪面的散射效應(yīng)非常強(qiáng)，觀察到明顯的駐波存在；當(dāng)2S/L = 1.56時(shí)，迎浪面散射很小，波振幅沒(méi)有明顯的變化，波能量主要集中在山脊處和背浪面；當(dāng)2S/L = 2.24 時(shí)，可以觀察到θ =3π/4 方向上有駐波存在，而迎浪面正向（θ =π）的波幅反而更小。

圖3 不同頻率下的波振幅分布圖Fig.3 Amplitude distribution of wave with different frequencies

2.2 環(huán)礁瀉湖深度對(duì)Bragg共振的影響

由上文可知，環(huán)礁可以激發(fā)其在迎浪面正面的Bragg 共振。本節(jié)主要討論環(huán)礁所環(huán)抱的中心瀉湖深度對(duì)Bragg共振的影響。取地形參數(shù)h1=10 m，h2=21.5 m，r1=1 000 m，r2=1 200 m，瀉湖深度h0分別取h0=20 m、h0=15.2 m、h0=10.038 m，對(duì)應(yīng)的參數(shù)s 為4、5、16，即深度由深到淺。不同深度下，散射系數(shù)隨波長(zhǎng)2S/L的變化趨勢(shì)如圖4所示。

圖4 不同瀉湖深度，散射系數(shù)隨波長(zhǎng)2S/L的變化趨勢(shì)（h1 =3.2 m, h2 =21.5 m, r1 = 1 000 m, r2 = 1 200 m）Fig.4 Relation between scattering rate and 2S/L at different lagoon depth（h1 =10 m, h0 =20 m, h2 = 21.5 m, r1 = 1 000 m, r2 = 1 200 m）

由圖4可以看出，隨著深度的變淺，即使是正向處的散射也越來(lái)越不滿足Bragg共振規(guī)律，如h0=15.2 m，h0=10.038 m情況所示，但是在 2S/L=1附近還是可以取到散射系數(shù)的極大值。

3 結(jié)論

本文基于線性長(zhǎng)波理論研究長(zhǎng)波越過(guò)水下環(huán)礁激發(fā)的Bragg 共振問(wèn)題。研究發(fā)現(xiàn)，有深瀉湖的水下環(huán)礁具備產(chǎn)生Bragg共振的特性，當(dāng)其頂部瀉湖的直徑約為1/2入射波長(zhǎng)的整數(shù)倍（即2S/L=1，2S/L=2，2S/L=3）時(shí)，將激發(fā)迎浪面正面（θ =π）的水波共振，將很大的一部分波浪散射于外海。共振規(guī)律隨著方位的偏移及瀉湖深度的變淺而逐漸消失；在θ =3π/4，θ =π/2 方向上，已不滿足Bragg 共振的規(guī)律，主振頻率大大地偏離了2S/L=1 位置，且隨著深度的變淺，即使是正向處的散射也越來(lái)越不滿足Bragg 共振規(guī)律；在另一些特定的入射波頻率下，環(huán)礁還可激發(fā)其他方位上的共振，如當(dāng)入射波頻率為2S/L=2.24時(shí)，可激發(fā)θ =3π/4方位上共振。

環(huán)礁激發(fā)的Bragg 共振現(xiàn)象的發(fā)現(xiàn)，將補(bǔ)充現(xiàn)有的水波Bragg 共振理論，為島礁周圍的工程建設(shè)及船舶航行提供一定的理論指導(dǎo)。